【期末培优课堂】第2章《相交线与平行线》-2023-2024学年七年级数学下册期末复习高频易错核心专题手册（北师大版）

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第2章 相交线与平行线



知识点01：平行线与相交线
平行线：在同一平面内，相交两条直线叫做平行线。
若两条直线只有一个公共点，我们称这两条直线为相交线。

知识点02：余角与补角
1、如果两个角和是直角，那么称这两个角互为余角，简称为互余，称其中一个角是另一个角余角。
2、如果两个角和是平角，那么称这两个角互为补角，简称为互补，称其中一个角是另一个角补角。
3、互余和互补是指两角和为直角或两角和为平角，它们只与角度数有关，与角位置无关。
4、余角和补角性质：同角或等角余角相等，同角或等角补角相等。
5、余角和补角性质用数学语言可表示为：
（1）则(同角余角（或补角）相等)。
（2）且则(等角余角（或补角）相等)。
6、余角和补角性质是证明两角相等一个重要方法。

知识点03：对顶角
1、两条直线相交成四个角，其中相邻两个角是对顶角。
2、一个角两边分别是另一个角两边反向延长线，这两个角叫做对顶角。
3、对顶角性质：对顶角相等。
4、对顶角性质在今后推理说明中应用非常广泛，它是证明两个角相等依据及重要桥梁。
5、对顶角是从位置上定义，对顶角一定相等，但相等角一定是对顶角。

知识点04：垂线及其性质
1、垂线：两条直线相交成直角时，叫做互相垂直，其中一条叫做另一条垂线。
2、垂线性质：
性质1：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。
性质2：连接直线外一点与直线上各点所有线段中，垂线段最短。

知识点05：同位角、内错角、同旁内角
1、两条直线被第三条直线所截，形成了8个角。
2、同位角：两个角都在两条直线同侧，并且在第三条直线（截线）同旁，这样一对角叫做同位角。
3、内错角：两个角都在两条直线之间，并且在第三条直线（截线）两旁，这样一对角叫做内错角。
4、同旁内角：两个角都在两条直线之间，并且在第三条直线（截线）同旁，这样一对角叫同旁内角。
5、这三种角只与位置有关，与大小无关，通常情况下，它们之间存在固定大小关系。

知识点06：六类角
1、补角、余角、对顶角、同位角、内错角、同旁内角六类角都是对两角来说。
2、余角、补角只有数量上关系，与其位置无关。
3、同位角、内错角、同旁内角只有位置上关系，与其数量无关。
4、对顶角既有数量关系，又有位置关系。

知识点07：平行线判定方法
1、同位角相等，两直线平行。
2、内错角相等，两直线平行。
3、同旁内角互补，两直线平行。
4、在同一平面内，如果两条直线都平行于第三条直线，那么这两条直线平行。
5、在同一平面内，如果两条直线都垂直于第三条直线，那么这两条直线平行。

知识点08：平行线性质
1、两直线平行，同位角相等。
2、两直线平行，内错角相等。
3、两直线平行，同旁内角互补。
4、平行线判定与性质具备互逆特征，其关系如下：

在应用时要正确区分积极向上题设和结论。

知识点09：尺规作线段和角
1、在几何里，只用没有刻度直尺和圆规作图称为尺规作图。
2、尺规作图是最基本、最常见作图方法，通常叫基本作图。
3、尺规作图中直尺功能是：
（1）在两点间连接一条线段；
（2）将线段向两方延长。
4、尺规作图中圆规功能是：
（1）以任意一点为圆心，任意长为半径作一个圆；
（2）以任意一点为圆心，任意长为半径画一段弧；
5、熟练掌握以下作图语言：
（1）作射线××；
（2）在射线上截取××=××；
（3）在射线××上依次截取××=××=××；
（4）以点×为圆心，××为半径画弧，交××于点×；
（5）分别以点×、点×为圆心，以××、××为半径作弧，两弧相交于点×；
（6）过点×和点×画直线××（或画射线××）；
（7）在∠×××外部（或内部）画∠×××=∠×××；
6、在作较复杂图形时，涉及基本作图地方，必重复作图详细过程，只用一句话概括叙述就可以了。
（1）画线段××=××；
（2）画∠×××=∠×××；

一．选择题（共10小题，满分20分，每小题2分）
1．（2分）（2022春•绍兴期末）如图，已知直线AB∥CD，直线EF分别交直线AB、CD于E、F，EM平分∠AEF交CD于M，G是射线MD上一动点（不与M、F重合）．EH平分∠FEG交CD于点H，设∠MEH＝α，∠EGF＝β，现有下列四个式子：①2α＝β；②2α﹣β＝180°；③α﹣β＝30°；④2α+β＝180°．其中正确的是（　　）

A．①② B．①④ C．①③④ D．②③④
2．（2分）（2022春•宾阳县期末）如图，已知GH∥BC，∠1＝∠2，GF⊥AB，给出下列结论：
①∠B＝∠AGH；②HE⊥AB；③∠D＝∠F；④HE平分∠AHG．
其中正确的有（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．（2分）（2022•黔东南州一模）如图，AB∥CD，若∠E＝55°，则∠B+∠D等于（　　）

A．125° B．180° C．250° D．305°
4．（2分）（2022•济南一模）如图，直线l1∥l2被直线l3所截，∠1＝∠2＝36°，∠P＝90°，则∠3＝（　　）

A．36° B．54° C．46° D．44°
5．（2分）（2022春•如皋市校级月考）如图，AD∥BC，∠D＝∠ABC，点E是边DC．上一点，连接AE交BC的延长线于点H．点F是边AB上一点，使得∠FBE＝∠FEB，作∠FEH的角平分线EG交BH于点G，若∠DEH＝104°，则∠BEG的度数为（　　）

A．38° B．37.5° C．37° D．40°
6．（2分）（2022•亳州一模）三角板是我们学习数学的好帮手．将一对直角三角板如图放置，点C在FD的延长线上，点B在ED上，AB∥CF，∠F＝∠ACB＝90°，∠E＝45°，∠A＝60°，则∠CBD＝（　　）

A．10° B．15° C．20° D．25°
7．（2分）（2021秋•嵩县期末）如图，在长方形ABCD纸片中，AD∥BC，AB∥CD，把纸片沿EF折叠后，点C、D分别落在C'、D'的位置．若∠EFB＝65°，则∠AED'等于（　　）

A．70° B．65° C．50° D．25°
8．（2分）（2023春•海珠区期中）如图，AB∥CD，F为AB上一点，FD∥EH，且FE平分∠AFG，过点F作FG⊥EH于点G，且∠AFG＝2∠D，则下列结论：①∠D＝30°；②2∠D+∠EHC＝90°；③FD平分∠HFB；④FH平分∠GFD．其中正确结论的个数是（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
9．（2分）（2022春•大观区校级期末）如图，AB∥CD，P为AB上方一点，H、G分别为AB、CD上的点，∠PHB、∠PGD的角平分线交于点E，∠PGC的角平分线与EH的延长线交于点F，下列结论：
①EG⊥FG；
②∠P+∠PHB＝∠PGD；
③∠P＝2∠E；
④若∠AHP﹣∠PGC＝∠F，则∠F＝60°．
其中正确的结论有（　　）个．

A．1 B．2 C．3 D．4
10．（2分）（2020秋•奉化区校级期末）在△ABC中，BC＝6，AC＝3，过点C作CP⊥AB，垂足为P，则CP长的最大值为（　　）
A．5 B．4 C．3 D．2
二．填空题（共10小题，满分20分，每小题2分）
11．（2分）（2023春•义乌市校级期中）已知∠α，∠β的两条角边分别平行，∠α＝50°，则∠β的度数为　 　．
12．（2分）（2022秋•香坊区校级期中）如图，已知AB∥CD，∠PAQ＝2∠BAQ，∠PCD＝3∠QCD，∠P＝75°，则∠AQC＝　 　．

13．（2分）（2022秋•崇阳县校级期末）某天卢老师在数学课上，利用多媒体展示如下内容：如图，C为直线AB上一点，∠DCE为直角，CF平分∠ACD，CH平分∠BCD，CG平分∠BCE，各学习小组经过讨论后得到以下结论：①∠ACF与∠BCH互余；②∠HCG＝45°；③∠ECF与∠GCH互补；④∠ACF﹣∠BCG＝45°．聪明的你认为哪些结论是正确的，请写出正确结论的序号 　 　．

14．（2分）（2022春•赣州期末）如图，将一副三角板中的两个直角顶点C叠放在一起，其中∠A＝30°，∠B＝60°，∠D＝∠E＝45°，按住三角板ABC不动，绕顶点C转动三角板DCE（不超过一周），当CE∥AB时，∠BCD等于 　 　度．

15．（2分）（2022春•孝南区期末）如图1，∠DEF＝24°，将长方形纸片ABCD沿直线EF折叠成图2，再沿直线GF折叠成图3，则图3中∠CFE＝　 　．

16．（2分）（2022春•武汉期末）如图，AB∥CD，∠ABG的平分线BE和∠GCD的平分线CF的反向延长线交于点E，且3∠E﹣5∠G＝172°，则∠G＝　 　度．

17．（2分）（2023春•西湖区校级期中）如图，点F是长方形ABCD的边BC上一点，将长方形的一角沿AF折叠，点B的折叠点E落在长方形ABCD外侧，若AE∥BD，∠ADB＝28°，则∠EAD＝　 　°，∠AFC＝　 　°．

18．（2分）（2023春•渝中区校级期中）已知∠AOB和∠BOC互为邻补角，且∠AOB＜∠BOC，OD平分∠BOC，射线OE在∠AOB内部，且4∠BOE+∠BOC＝180°，∠DOE＝70°，OM⊥OB，则∠MOE＝　 　．
19．（2分）（2021春•涡阳县期末）如图，AB∥CD，P2E平分∠P1EB，P2F平分∠P1FD，若设∠P1EB＝x°，∠P1FD＝y°则∠P1＝　 　度（用x，y的代数式表示），若P3E平分∠P2EB，P3F平分∠P2FD，可得∠P3，P4E平分∠P3EB，P4F平分∠P3FD，可得∠P4…，依次平分下去，则∠Pn＝　 　度．

20．（2分）（2019春•瑶海区期末）已知，直线AB∥CD，M、N分别是AB和CD上的动点，点P为直线AB、CD之间任一点，且PM⊥PN．则∠AMP与∠CNP之间的数量关系为　 　．
三．解答题（共7小题，满分60分）
21．（8分）（2023春•金水区校级期中）已知∠BAC与∠B′A′C′，其中∠BAC是锐角，设∠BAC＝α，∠B′A'C'＝β，当AB∥A′B′，AC∥A′C′时，那么α与β有什么数量关系？
（1）勤奋的小明同学，根据题意画出了下面图形，请根据小明的图形判断此时α与β的数量关系是 　 　；
（2）善于思考的小颖同学认为小明同学的解答不够全面，缺少了一种情况．α与β的数量关系还可能是什么？请画出图形，并说明理由；
（3）学霸小乐将原题中的条件AC∥A′C′改为AC⊥A′C′，其它条件均不变，请直接写出此时α与β有什么数量关系．















22．（8分）（2023春•福清市期中）如图，直线l1∥l2，点A为l1线上的一个定点，点B为直线l1、l2之间的定点，点C为直线l2上的动点．
（1）当点C运动到图1所示位置时，求证：∠B＝∠1+∠2；
（2）点D在直线l2上，且∠DBC＝∠2（∠2＜90°），BE平分∠ABD．
①如图2，若点D在AB的延长线上，∠1＝50°，求∠EBC的度数；
②若点D不在AB的延长线上，请你利用图1补全图形，探究并证明∠EBC与∠1之间的数量关系．（本问中的角均为小于180°的角）



23．（8分）（2023春•白银期中）问题情境
在综合实践课上，老师组织七年级（2）班的同学开展了探究两角之间数量关系的数学活动，如图，已知射线AM∥BN，连接AB，点P是射线AM上的一个动点（与点A不重合），BC，BD分别平分∠ABP和∠PBN，分别交射线AM于点C，D．
探索发现
“快乐小组”经过探索后发现：
（1）当∠A＝60°时，求证：∠CBD＝∠A．
（2）不断改变∠A的度数，∠CBD与∠A却始终存在某种数量关系，
当∠A＝40°，则∠CBD＝　 　度，
当∠A＝x°时，则∠CBD＝　 　度，（用含x的代数式表示）
操作探究
（3）“智慧小组”利用量角器量出∠APB和∠ADB的度数后，探究二者之间的数量关系．他们惊奇地发现，当点P在射线AM上运动时，无论点P在AM上的什么位置，∠APB与∠ADB之间的数量关系都保持不变，请写出它们的关系，并说明理由．





24．（8分）（2022春•云州区期中）如图，AD∥BC，射线OM上有一动点P，且∠ADP＝∠a，∠BCP＝∠β．
（1）当点P在A，B两点之间运动时，∠CPD与∠a、∠β之间有何数量关系？请说明理由．
（2）当点P在A、B两点外侧运动时（点P与点A、B、O三点不重合），∠CPD与∠α、∠β之间有何数量关系？请说明理由．












25．（8分）（2022秋•沈阳期末）如图，∠AOB＝40°，OC平分∠AOB，点D，E在射线OA，OC上，点P是射线OB上的一个动点，连接DP交射线OC于点F，设∠ODP＝x°．
（1）如图1，若DE∥OB．
①∠DEO的度数是　 　°，当DP⊥OE时，x＝　 　；
②若∠EDF＝∠EFD，求x的值；
（2）如图2，若DE⊥OA，是否存在这样的x的值，使得∠EFD＝4∠EDF？若存在，求出x的值；若不存在，说明理由．



















26．（10分）（2022春•诸暨市校级期中）如图，已知直线AM∥BN，∠BAM＝60°，点P是直线AM上的一个动点（不与点A重合），BC，BD分别平分∠ABP和∠PBN．
（1）当点P在点A左侧时，若∠DPB＝40°，则∠PDB＝　 　°．
（2）若点P为点A左侧运动时，求∠CBD的度数是否会发生变化？若不变化，求出该度数；若变化，请说明理由．
（3）∠ACB与∠ABD之间存在怎样的数量关系？写出结论并说明理由．



















27．（10分）（2021秋•金水区校级期末）【探究】
（1）如图1，∠ADC＝120°，∠BCD＝130°，∠DAB和∠CBE的平分线交于点F，则∠AFB＝　 　°；
（2）如图2，∠ADC＝α，∠BCD＝β，且α+β＞180°，∠DAB和∠CBE的平分线交于点F，则∠AFB＝　 　；（用α、β表示）
（3）如图3，∠ADC＝α，∠BCD＝β，当∠DAB和∠CBE的平分线AG、BH平行时，α、β应该满足怎样的数量关系？请证明你的结论．

【挑战】
如果将（2）中的条件α+β＞180°改为α+β＜180°，再分别作∠DAB和∠CBE的平分线，你又可以找到怎样的数量关系？画出图形并直接写出结论．