【期末培优课堂】第3章《变量之间的关系》-2023-2024学年七年级数学下册期末复习高频易错核心专题手册（北师大版）

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第3章 变量之间的关系



知识点01：变量、自变量、因变量
1、在某一变化过程中，断变化量叫做变量。
2、如果一个变量y随另一个变量x变化而变化，则把x叫做自变量，y叫做因变量。
3、自变量与因变量确定：
（1）自变量是先发生变化量；因变量是后发生变化量。
（2）自变量是主动发生变化量，因变量是随着自变量变化而发生变化量。
（3）利用具体情境来体会两者依存关系。
知识点02：表格
1、表格是表达、反映数据一种重要形式，从中获取信息、研究同量之间关系。
（1）首先要明确表格中所列是哪两个量；
（2）分清哪一个量为自变量，哪一个量为因变量；
（3）结合实际情境理解它们之间关系。
2、绘制表格表示两个变量之间关系
（1）列表时首先要确定各行、各列栏目；
（2）一般有两行，第一行表示自变量，第二行表示因变量；
（3）写出栏目名称，有时还根据问题内容写上单位；
（4）在第一行列出自变量各个变化取值；第二行对应列出因变量各个变化取值。
（5）一般情况下，自变量取值从左到右应按由小到大顺序排列，这样便于反映因变量与自变量之间关系。
知识点03：关系式
1、用关系式表示因变量与自变量之间关系时，通常是用含有自变量（用字母表示）代数式表示因变量（也用字母表示），这样数学式子（等式）叫做关系式。
2、关系式写法同于方程，必须将因变量单独写在等号左边。
3、求两个变量之间关系式途径：
（1）将自变量和因变量看作两个未知数，根据题意列出关于未知数方程，并最终写成关系式形式。
（2）根据表格中所列数据写出变量之间关系式；
（3）根据实际问题中基本数量关系写出变量之间关系式；
（4）根据图象写出与之对应变量之间关系式。
4、关系式应用：
（1）利用关系式能根据任何一个自变量值求出相应因变量值；
（2）同样也可以根据任何一个因变量值求出相应自变量值；
（3）根据关系式求值实质就是解一元一次方程（求自变量值）或求代数式值（求因变量值）。
知识点04：图象
1、图象是刻画变量之间关系又一重要方法，其特点是非常直观、形象。
2、图象能清楚地反映出因变量随自变量变化而变化情况。
3、用图象表示变量之间关系时，通常用水平方向数轴（又称横轴）上点表示自变量，用竖直方向数轴（又称纵轴）上点表示因变量。
4、图象上点：
（1）对于某个具体图象上点，过该点作横轴垂线，垂足数据即为该点自变量取值；
（2）过该点作纵轴垂线，垂足数据即为该点相应因变量值。
（3）由自变量值求对应因变量值时，可在横轴上找到表示自变量值点，过这个点作横轴垂线与图象交于某点，再过交点作纵轴垂线，纵轴上垂足所表示数据即为因变量相应值。
（4）把以上作垂线过程过来可由因变量值求得相应自变量值。
5、图象理解
（1）理解图象上某一个点意义，一要看横轴、纵轴分别表示哪个变量；
（2）看该点所对应横轴、纵轴位置（数据）；
（3）从图象上还可以得到随着自变量变化，因变量变化趋势。
知识点05：速度图象
1、弄清哪一条轴（通常是纵轴）表示速度，哪一条轴（通常是横轴）表示时间；
2、准确读懂同走向线所表示意义：
（1）上升线：从左向右呈上升状线，其代表速度增加；
（2）水平线：与水平轴（横轴）平行线，其代表匀速行驶或静止；
（3）下降线：从左向右呈下降状线，其代表速度减小。
知识点06：路程图象
1、弄清哪一条轴（通常是纵轴）表示路程，哪一条轴（通常是横轴）表示时间；
2、准确读懂同走向线所表示意义：
（1）上升线：从左向右呈上升状线，其代表匀速远离起点（或已知定点）；
（2）水平线：与水平轴（横轴）平行线，其代表静止；
（3）下降线：从左向右呈下降状线，其代表反向运动返回起点（或已知定点）。
知识点07：三种变量之间关系表达方法与特点：
表达方法
特　　点
表格法
多个变量可以同时出现在同一张表格中
关系式法
准确地反映了因变量与自变量数值关系
图象法
直观、形象地给出了因变量随自变量变化趋势

一．选择题（共10小题，满分20分，每小题2分）
1．（2分）（2022春•金牛区期末）如图1，在长方形ABCD中，动点P从点B出发，沿B→C→D→A的路径匀速运动到点A处停止，设点P运动的路程为x，△PAB的面积为y，表示y与x的关系的图象如图2所示，则a，b的值分别为（　　）

A．a＝4，b＝5 B．a＝4，b＝20 C．a＝4，b＝10 D．a＝5，b＝10
2．（2分）（2021•扬州模拟）成都市双流新城公园是亚洲最大的城市湿地公园，周末小李在这个公园里某笔直的道路上骑车游玩，先前进了a千米，休息了一段时间，又原路返回b千米（b＜a），再前进c千米，则他离起点的距离s与时间t的关系的示意图是（　　）
A． B．
C． D．
3．（2分）（2019•淄博）从某容器口以均匀地速度注入酒精，若液面高度h随时间t的变化情况如图所示，则对应容器的形状为（　　）

A． B． C． D．
4．（2分）（2020春•雁塔区期末）已知一段导线的电阻R（Ω）与温度T（℃）的关系如下表，若导线的电阻R为4Ω，则导线的温度T为（　　）
温度T（℃）
0
1
2
3
电阻R（Ω）
2
2.08
2.16
2.24
A．25℃ B．30℃ C．40℃ D．50℃
5．（2分）（2022春•天桥区期末）已知动点H以每秒x厘米的速度沿图1的边框（边框拐角处都互相垂直）按从A﹣B﹣C﹣D﹣E﹣F的路径匀速运动，相应的△HAF的面积S（cm2）关于时间t（s）的关系图象如图2，已知AF＝8cm，下列说法错误的是（　　）

A．动点H的速度为2cm/s
B．b的值为14
C．BC的长度为6cm
D．在运动过程中，当△HAF的面积为30cm2时，点H的运动时间是3.75s或9.25s
6．（2分）（2022•泰来县校级模拟）如图，在边长为2的正方形ABCD中剪去一个边长为1的小正方形CEFG，动点P从点A出发，沿A→D→E→F→G→B的路线绕多边形的边匀速运动到点B时停止（不含点A和点B），则△ABP的面积S随着时间t变化的函数图象大致是（　　）

A． B．
C． D．
7．（2分）（2022春•上杭县期末）已知动点H以每秒x厘米的速度沿图1的边框（边框拐角处都互相垂直）按从A﹣B﹣C﹣D﹣E﹣F的路径匀速运动，相应的△HAF的面积S（cm2）关于时间t（s）的关系图象如图2，已知AF＝8cm，则下列说法正确的有几个（　　）

①动点H的速度是2cm/s；
②BC的长度为3cm；
③当点H到达D点时△HAF的面积是8cm2；
④b的值为14；
⑤在运动过程中，当△HAF的面积是30cm2时，点H的运动时间是3.75s和10.25s．
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
8．（2分）（2023春•二七区校级期中）已知动点H以每秒x厘米的速度沿图1的边框（边框拐角处都互相垂直）按从A﹣B﹣C﹣D﹣E﹣F的路径匀速运动，相应的△HAF的面积 S（cm2）关于时间t（s）的关系图象如图2，已知AF＝8cm，则下列说法正确的有几个（　　）
①动点H的速度是2cm/s；
②BC的长度为3cm；
③b的值为14；
④在运动过程中，当△HAF的面积是30cm2时，点H的运动时间是3.75s和10.25s．

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
9．（2分）（2020秋•哈尔滨期末）小华和小明是同班同学，也是邻居，某日早晨，小明7：40先出发去学校，走了一段后，在途中停下吃了早餐，后来发现上学时间快到了，就跑步到学校；小华离家后直接乘公共汽车到了学校，如图是他们从家到学校已走的路程S（米）和所用时间t（分钟）的关系图，则下列说法中错误的是（　　）

A．小明家和学校距离1200米
B．小华乘公共汽车的速度是240米/分
C．小华乘坐公共汽车后7：50与小明相遇
D．小明从家到学校的平均速度为80米/分
10．（2分）（2017•丽水）在同一条道路上，甲车从A地到B地，乙车从B地到A地，乙先出发，图中的折线段表示甲、乙两车之间的距离y（千米）与行驶时间x（小时）的函数关系的图象，下列说法错误的是（　　）

A．乙先出发的时间为0.5小时
B．甲的速度是80千米/小时
C．甲出发0.5小时后两车相遇
D．甲到B地比乙到A地早小时
二．填空题（共10小题，满分20分，每小题2分）
11．（2分）（2022春•双流区校级期中）如图①所示，在△ABC中，AD⊥BC，且AD＝12cm，E点从B点出发在线段BC上运动，其速度与时间的变化关系如图②所示，已知BC＝15cm，当E点停止后，则△ABE的面积为 　 　．

12．（2分）（2022春•钢城区期末）小颖准备乘出租车到距家超过3km的科技馆参观，出租车的收费标准如下：
里程数/km
收费/元
3km以内（含3km）
8.00
3km以外每增加1km
1.80
则小颖应付车费y（元）与行驶里程数x（km）（x＞3）之间的关系式为 　 　．
13．（2分）（2022春•平阴县期末）如图1，∠B＝∠C＝90°，点P从A出发，沿A﹣B﹣C﹣D路线运动，到D停止；点P的速度为每秒2cm，运动时间为x秒，如图2是△ABP的面积S（cm2）与x（秒）的图象．根据题目中提供的信息，请你推断出m＝　 　．


14．（2分）（2022春•天府新区期末）一个底面是正方形的长方体，高为4cm，底面正方形边长为3cm．如果它的高不变，把底面正方形边长增加了xcm，则所得长方体增加的体积V（cm3）与x（cm）之间的关系式是 　 　．
15．（2分）（2022•历城区一模）疫苗接种，利国利民．甲、乙两地分别对本地各40万人接种新冠疫苗．甲地在前期完成5万人接种后，甲、乙两地同时以相同速度接种．甲地经过a天后接种人数达到30万人，由于情况变化，接种速度放缓，结果100天完成接种任务，乙地80天完成接种任务，在某段时间内，甲、乙两地的接种人数y（万人）与各自接种时间x（天）之间的关系如图所示，当乙地完成接种任务时，甲地未接种疫苗的人数为 　 　万人．

16．（2分）（2021春•栾城区期中）一辆轿车和一辆货车同时从甲地出发驶往乙地，轿车到达乙地后立即以另一速度原路返回甲地，货车到达乙地后停止．如图所示的图象分别表示货车、轿车离甲地的距离（千米）与轿车所用时间（小时）的关系．当轿车从乙地返回甲地的途中与货车相遇时，相遇处离甲地的距离为　 　千米．

17．（2分）（2019秋•东台市期末）如图表示甲、乙两名选手在一次自行车越野赛中，路程y（千米）随时间x（分）变化的图象．下面几个结论：
①比赛开始24分钟时，两人第一次相遇．
②这次比赛全程是10千米．
③比赛开始38分钟时，两人第二次相遇．
正确的结论为　 　．

18．（2分）（2023春•新民市期中）一水果商贩在批发市场按1.8元/千克批发了若干千克的苹果进城出售，为了方便，他带了一些零钱备用，他先按市场价出售一些后，又每千克下降0.5元将剩余的苹果降价售完，这时他手中的钱（含备用零钱）是450元．售出苹果x千克与他手中持有的钱数y元（含备用零钱）的关系如图所示，则这个水果商贩一共赚　 　元．

19． （2分）（2021春•埇桥区期末）已知动点P以2cm/s的速度沿图1所示的边框从B→C→D→E→F→A的路径运动，记△ABP的面积为y（cm2），y与运动时间t（s）的关系如图2所示，已知AB＝6cm，回答下列问题：

（1）当t＝3时，y＝　 　cm2；
（2）m＝　 　（s）．
20．（2分）（2018•吉州区模拟）如图①，在矩形MNPQ中，动点R从点N出发，沿N→P→Q→M方向运动至点M处停止，设点R运动的路程为x，△MNR的面积为y，如果y关于x的函数图象如图②所示，则矩形MNPQ的面积是　 　．




三．解答题（共7小题，满分60分）
21．（8分）（2023春•曲阳县期中）如图表示一辆汽车在行驶途中的速度v（千米/时）随时间t（分）的变化示意图，请根据图象回答下列问题：

（1）从点A到点B、点E到点F、点G到点H分别表明汽车是什么状态？
（2）汽车在点A的速度是多少？在点C呢？
（3）汽车在行驶途中在哪段时间停车休息？休息了多长时间？
（4）司机在第28分钟开始匀速先行驶了4分钟，之后立即以减速行驶2分钟停止，请你在本图中补上从28分钟以后汽车速度与行驶时间的关系图．



22．（8分）（2022春•贵阳期末）科技小组通过查找资料了解到：距离地面越远，温度越低．该小组获得了某地距离地面的高度与温度之间的一组数据．
距离地面的高度h（km）
0
1
2
3
4
5
6
7
…
温度t（℃）
30
24
18
12
6
0
﹣6
﹣12
…
（1）表格反映了哪两个变量之间的关系？哪个是自变量？哪个是因变量？
（2）直接写出t与h之间的关系式是 　 　；
（3）求距离地面的高度为6.5km时的温度．





23．（8分）（2019春•和平区期末）快车与慢车分别从甲乙两地同时相向出发，匀速而行，快车到达乙地后停留1h，然后按原路原速返回，快车比慢车晚1h到达甲地，快慢两车距各自出发地的路程y（km）与所用的时x（h）的关系如图所示．
（1）甲乙两地之间的路程为　 　km；快车的速度为　 　km/h；慢车的速度为　 　km/h；
（2）出发　 　h，快慢两车距各自出发地的路程相等；
（3）快慢两车出发　 　h相距150km．



24．（8分）（2022春•武侯区校级期中）如图，长方形ABCD中，宽AB＝4，点P沿着四边按B→C→D→A方向运动，开始以每秒m个单位匀速运动，a秒后变为每秒2个单位匀速运动，b秒后恢复原速匀速运动，在运动过程中，△ABP的面积S与运动时间t的关系如图所示．

（1）求长方形的长；
（2）直接写出m＝　 　，a＝　 　，b＝　 　；
（3）当P点运动到BC中点时，有一动点Q从点C出发，以每秒1个单位的速度沿C→D→A运动，当一个点到达终点，另一个点也停止运动，设点Q运动的时间为x秒，△BPQ的面积为y，求当0≤x≤4时，y与x之间的关系式．
25．（8分）（2023春•济南期中）心理学家发现，学生对概念的接受能力y与提出概念所用的时间x（单位：分）之间有如表关系（其中2≤x≤20）：
提出概念所用时间（x）
2
5
7
10
12
13
14
17
20
对概念的接受能力（y）
47.8
53.5
56.3
59
59.8
59.9
59.8
58.3
55
（注：接受能力值越大，说明学生的接受能力越强）
（1）当提出概念所用时间是10分钟时，学生的接受能力是多少？
（2）根据表格中的数据，你认为提出概念所用时间为几分钟时，学生的接受能力最强？
（3）从表格中可知，当提出概念所用时间x在什么范围内时，学生的接受能力逐步增强？当提出概念所用时间x在什么范围内时，学生的接受能力逐步降低？








26．（10分）（2022春•城关区期末）中国联通在某地的资费标准为包月186元时，超出部分国内拨打0.36元/分（不足1分钟按1分钟时间收费）．下表是超出部分国内拨打的收费标准：
时间/分
1
2
3
4
5
…
电话费/元
0.36
0.72
1.08
1.44
1.8
…
（1）这个表反映了哪两个变量之间的关系？哪个是自变量？哪个是因变量？
（2）如果用x表示超出时间，y表示超出部分的电话费，那么y与x的表达式是什么？
（3）由于业务多，小明的爸爸上月打电话已超出了包月费．如果国内拨打电话超出25分钟，他需付多少电话费？
（4）某用户某月国内拨打电话的费用超出部分是54元，那么他当月打电话超出几分钟？


27．（10分）（2021春•宝安区校级期中）如图，长方形ABCD中，点P沿着四边按B→C→D→A方向运动，开始以每秒m个单位匀速运动，a秒后变为每秒2个单位匀速运动，b秒后恢复原速匀速运动．在运动过程中，△ABP的面积S与运动时间t的函数关系如图所示．
（1）求长方形的长和宽；
（2）求m、a、b的值；
（3）当P点运动到BC中点时，有一动点Q从点C出发，以每秒1个单位的速度沿C→D→A运动，当一个点到达终点，另一个点也停止运动，设点Q运动的时间为x秒，△BPQ的面积为y，求y与x之间的关系式．