第1章《丰富的图形世界》（导图+知识点+考点提优练）-【培优方案】2023-2024学年七年级数学上册章节重点复习考点讲义（北师大版）

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2023-2024学年北师大版数学七年级上册章节考点精讲精练
第1章《丰富的图形世界》
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知识点01:立体图形
1． 定义：
图形的各部分不都在同一平面内，这样的图形就是立体图形，如长方体、圆柱、圆锥、球等．棱柱、棱锥也是常见的立体图形．
细节剖析
常见的立体图形有两种分类方法：

2． 棱柱的相关概念：
在棱柱中，相邻两个面的交线叫做棱，相邻两个侧面的交线叫做侧棱． 通常根据底面图形的边数将棱柱分为三棱柱、四棱柱、五棱柱、六棱柱……它们底面图形的形状分别为三角形、四边形、五边形、六边形……（如下图）


细节剖析（1）棱柱所有侧棱长都相等．棱柱的上、下底面的形状相同，侧面的形状都是平行四边形．
（2）长方体、正方体都是四棱柱．
（3）棱柱可分为直棱柱和斜棱柱．直棱柱的侧面是长方形，斜棱柱的侧面是平行四边形．
3．点、线、面、体：
长方体、正方体、圆柱、圆锥、球、棱柱、棱锥等都是几何体,几何体也简称体；包围着体的是面,面有平的面和曲的面两种；面和面相交的地方形成线，线也分为直线和曲线两种；线和线相交的地方形成点．从上面的描述中我们可以看出点、线、面、体之间的关系． 此外，从运动的观点看：点动成线，线动成面，面动成体．
知识点02:展开与折叠
有些立体图形是由一些平面图形围成，将它们的表面适当剪开，可以展开成平面图形，这样的平面图形称为相应立体图形的展开图．
细节剖析(1)不是所有的立体图形都可以展成平面图形．例如，球便不能展成平面图形．
(2)不同的立体图形可展成不同的平面图形；同一个立体图形，沿不同的棱剪开，也可得到不同的平面图．
知识点03:截一个几何体
用一个平面去截一个几何体，截出的面叫做截面．截面的形状可能是三角形、四边形、五边形、六边形或圆等等．
知识点04:从三个方向看物体的形状
一般是从以下三个方向：(1)从正面看；(2)从左面看；(3)从上面看．（如下图）

考点提优练

考点01：点、线、面、体
1．（2022春•绥棱县期末）长方形长5厘米，宽3厘米，以宽为轴旋转一周得到圆柱的体积是（　　）立方厘米．
A．225.5 B．235.5 C．245.5 D．255.5
解：由题意可知，圆柱体的底面半径为5厘米，高为3厘米，
所以体积为π×52×3＝75π≈235.5（立方厘米），
故选：B．
2．（2021秋•宣汉县期末）在朱自清的《春》中描写春雨“像牛毛、像花针、像细丝，密密麻麻地斜织着”的语句，这里把雨看成了线，这说明了（　　）
A．点动成线 B．线动成面 C．面动成体 D．以上都不对
解：在朱自清的《春》中描写春雨“像牛毛、像花针、像细丝，密密麻麻地斜织着”的语句，这里把雨看成了线，这说明了：点动成线，
故选：A．
3．（2021秋•苏州期末）将一个长方形绕着它的一边旋转一周，得到的几何体是　圆柱体　．
解：以矩形的一边所在直线为旋转轴，形成的旋转体叫做圆柱体．
故答案为：圆柱体．
4．（2020秋•碑林区校级期末）如图，三边长分别为3cm，4cm，5cm的直角三角形，绕其斜边所在直线旋转一周，所得几何体的体积为　9.6π　cm3．（结果保留π）

解：如图．

∵OB⊥AC，∠ABC＝90°，
∴OB＝＝，
几何体的体积为×π×（）2×5＝9.6π（cm3）．
故答案为：9.6π．
5．（2019秋•兰州期末）如图所示，已知直角三角形纸板ABC，直角边AB＝4cm，BC＝8cm．
（1）将直角三角形纸板绕三角形的边所在的直线旋转一周，能得到　3　种大小不同的几何体？
（2）分别计算绕三角形直角边所在的直线旋转一周，得到的几何体的体积？（圆锥的体积＝πr2h，其中π取3）

解：（1）将直角三角形纸板ABC绕三角形的三条边所在的直线旋转一周，能得到3种大小不同的几何体．
故答案为：3．
（2）以AB为轴：
×3×82×4
＝×3×64×4
＝256（立方厘米）；
以BC为轴：
×3×42×8
＝×3×16×8
＝128（立方厘米）．
答：以AB为轴得到的圆锥的体积是256立方厘米，以BC为轴得到的圆锥的体积是128立方厘米．
6．（2012秋•罗平县期末）如图，第二行的图形绕虚线旋转一周，便能形成第一行的某个几何体，请把相对应的图形和几何体用线连起来．

解：连接后的图形如下：
．
考点02：几何体的表面积
7．（2021•苏州二模）某几何体的主视图和俯视图及相关数据（单位：cm）如图所示，则该几何体的侧面积是（　　）

A．60πcm2 B．65πcm2 C．90πcm2 D．120πcm2
解：由图象可得圆锥底面半径r＝5cm，
则母线l长为：＝13cm，

∴侧面积S＝πrl＝5×13π＝65π（cm2），
故选：B．
8．（2018秋•宁阳县期末）如图，把一个高6分米的圆柱的底面分成许多相等的扇形，然后把圆柱切开，拼成一个与它等底等高的近似长方体，它的表面积比圆柱体的表面积增加了36平方分米．原来这个圆柱的体积是（　　）立方分米．

A．105π B．54π C．36π D．18π
解：∵近似长方体的表面积比圆柱体的表面积增加了36平方分米，
∴圆柱体的半径为：36÷2÷6＝3（分米），
∴圆柱的体积为：π×32×6＝54π（立方分米），
故选：B．
9．（2022•婺城区一模）已知圆柱形瓶子的底面半径为cm．其侧面贴合了一条宽为3cm的环形装饰带．
（1）如图1，若装饰带水平环绕，则瓶子侧面被装饰带覆盖的面积为 　72　cm2；
（2）如图2，若装饰带斜贴侧面环绕，装饰带的最高点与最低点高度差为4cm，则瓶子侧面被装饰带覆盖的面积为 　　cm2．

解：（1）图1的圆柱形瓶子的侧面展开图如图所示．

∵圆柱形瓶子的底面半径为cm，
∴底面周长为2π×＝24cm，即长方形的长为24cm，
∴AC＝24cm，
∵环形装饰带的宽为3cm，即CD＝3cm，
∴瓶子侧面被装饰带覆盖的面积为24×3＝72（cm2）．
故答案为：72．
（2）图2的圆柱形瓶子的侧面展开图如图所示．

过点C作CE⊥DF于E．
由题意，可得DB＝4cm，CE＝3cm，AB＝12cm，四边形ACDF是平行四边形，
∴∠FAC＝∠EDC，
∵∠FAC+∠CAB＝90°，∠EDC+∠ECD＝90°，
∴∠ECD＝∠CAB，
易得△ABC∽△CED，
∴．
设CD＝x，则BC＝4﹣x，
在Rt△CDE中，ED＝＝，
∴，
解得，（舍去），
∴FA＝CD＝，
∴瓶子侧面被装饰带覆盖的面积为24×＝cm2．
故答案为：．
10．（2020•市南区二模）如图所示，一个长方体的长、宽、高分别是3cm，3cm，5cm，在这个长方体每个面的中心位置，从前到后，从左到右，从上到下分别打一个边长为1cm的正方形通孔，那么打孔后的长方体的表面积为　104　cm2．

解：打孔后的长方体的表面积＝2×（3×3+3×5+3×5）﹣6+8×（1×1）+8×（1×1）+8×（2×1）＝104（cm2）
11．（2018秋•双流区校级月考）将一个长方形绕它的一边所在的直线旋转一周，得到的几何体是圆柱，现在有一个长为4cm，宽为3cm的长方形，分别绕它的长、宽所在直线旋转一周，得到不同的圆柱体，它们的表面积分别是多大？（结果保留π）
解：情况①：
π×3×2×4+π×32×2
＝24π+18π
＝42π（cm2）；
情况②：
π×4×2×3+π×42×2
＝24π+32π
＝56π（cm2）．
答：它们的表面积分别是42πcm2或56πcm2．
12．（2016秋•普宁市期中）已知正方体的棱长为a．
（1）一个正方体的表面积是多少？体积是多少？
（2）2个正方体（如图②）叠放在一起，它的表面积是多少？体积是多少？
（3）n个正方体按照图②的方式叠放在一起，它的表面积是多少？体积是多少？

解：（1）依题意得：正方体的表面积＝6×正方形的面积＝×26a2，体积＝a3；
（2）2个正方体叠放在一起，它的表面积＝6a2×2﹣2a2＝10a2，体积＝2a3；
（3）n个正方体的方式叠放在一起，它的表面积＝n•6a2﹣（n﹣1）•2a2＝（4n+2）a2，体积＝na3．
考点03：展开图折叠成几何体
13．（2022•六盘水）如图，裁掉一个正方形后能折叠成正方体，但不能裁掉的是（　　）

A．① B．② C．③ D．④
解：如图，裁掉一个正方形后能折叠成正方体，但不能裁掉的是①，
故选：A．
14．（2022•馆陶县二模）已知图1所示的平面图形可以折叠成图2所示的正方体，则小正方形P的图案是（　　）

A． B．
C． D．
解：观察图形可知，小正方形P的图案是．
故选：D．

15．（2022•邯山区模拟）如图是一个不完整的正方体平面展开图，需再添上一个面，折叠后才能围成一个正方体．下列添加方式（图中阴影部分）正确的是（　　）

A． B．
C． D．
解：选项A，B，C折叠后有一行两个面无法折起来，而且都缺少一个面，不能折成正方体．选项D可折成正方体．
故选：D．
16．（2020秋•未央区校级期末）如图是一个正方体纸盒的展开图，当折成纸盒时，与数11重合的数是　1和7　．

解：由正方体展开图的特征得出，折叠成正方体后，点11所在的正方形分别和点7、点1所在的两个正方形相交，
故点1与点7、点1重合．
故答案为1和7；
17．（2020秋•济南期中）图1和图2中所有的正方形都全等，将图1的正方形放在图2中的①、②、③、④某一位置，所组成的图形不能围成正方体的位置是　①　．

解：将图1的正方形放在图2中的①的位置出现重叠的面，所以不能围成正方体．
故答案为：①．
18．（2018秋•江宁区期末）如图，将一张长为17，宽为11的长方形纸片，去掉阴影部分，恰可以围成一个宽是高2倍的长方体纸盒，这个长方体纸盒的容积是　56　．

解：设长为y，高为x，则宽为2x，依题意得
，
解得，
∴这个长方体纸盒的容积是4×2×7＝56，
故答案为：56．
19．（2021秋•思明区校级期末）小明在学习了《展开与折叠》这一课后，明白了很多几何体都能展开成平面图形．于是他在家用剪刀展开了一个长方体纸盒，可是一不小心多剪了一条棱，把纸盒剪成了两部分，即图中的①和②．根据你所学的知识，回答下列问题：

（1）小明总共剪开了 　8　条棱．
（2）现在小明想将剪断的②重新粘贴到①上去，而且经过折叠以后，仍然可以还原成一个长方体纸盒，你认为他应该将剪断的纸条粘贴到①中的什么位置？请你帮助小明在①上补全．（画出一种情况即可）
（3）小明说：他剪的所有棱中，最短的一条棱长为a，最长的一条棱是最短的一条棱的5倍．已知纸盒的底面是一个正方形，并且这个长方体纸盒所有棱长的和是88cm，求a的值及长方体纸盒的体积．
解（1）小明共剪了8条棱，
故答案为：8．
（2）如图，四种情况．


（3）∵长方体纸盒的底面是一个正方形，
∴设最短的棱长高为acm，则长与宽相等为5acm，
∵长方体纸盒所有棱长的和是88cm，
∴4（a+5a+5a）＝88，
解得a＝2，
∴这个长方体纸盒的体积为2×10×10＝200（cm3）．
20．（2021秋•临淄区期中）（1）如图1四个几何体分别是三棱柱，四棱柱，五棱柱和六棱柱，三棱柱有5个面，9条棱，6个顶点，观察图形，并解答：四棱柱有 　6　个面，　12　条棱，　8　个顶点；六棱柱有 　8　个面，　18　条棱，　12　个顶点；由此猜想n棱柱有 　（n+2）　个面，　3n　条棱，　2n　个顶点．
（2）如图2，小华用若干个正方形和长方形准备拼成一个长方体的展开图．拼完后，小华看来看去总觉得所拼图形似乎存在问题．
请你帮小华分析一下拼图是否存在问题：若有多余块，则把图中多余部分涂黑；若还缺少，则直接在原图中补全；若图中的正方形边长为2.1cm，长方形的长为3cm，宽为2.1cm，请直接写出修正后所折叠而成的长方体的体积：　13.23　cm³．

解：（1）四棱柱有6个面，12条棱，8个顶点；六棱柱有8个面，18条棱，12个顶点；由此猜想n棱柱有（n+2）个面，3n条棱，2n个顶点．
故答案为：6，12，8；8，18，12；（n+2），3n，2n；

（2）拼图存在问题，如图：多了一个正方形．

折叠而成的长方体的体积为：3×2.1×2.1＝13.23（cm3）．
故答案为：13.23．
考点04：截一个几何体
21．（2021秋•七里河区校级期末）用一个平面去截一个正方体，截面的形状不可能是（　　）
A．正方形 B．圆形 C．三角形 D．长方形
解：用一个平面去截一个正方体，截面的形状不可能是圆形，
故选：B．
22．（2021秋•金水区校级期末）用一个平面去截一个三棱柱，所得截面的边数最少是a条，最多是b条，下列的选项中正确的是（　　）
A．a＝3，b＝6 B．a＝2，b＝5 C．a＝3，b＝5 D．a＝4，b＝6
解：用一个平面去截一个三棱柱，所得截面的边数最少是3条，最多是5条，
所以，a＝3，b＝5，
故选：C．
23．（2021秋•陈仓区期中）用一个平面截一个几何体，截面中有圆，这个几何体可以是 　球或圆柱或圆锥．　．（写一个即可）
解：圆柱体，圆锥体用平行于底面的平面去截，可得到圆形的截面，用一个平面去截球体，所得任意截面都是圆．
故答案为：球或圆柱或圆锥．
24．（2021•胶州市一模）如图，一个正方体形状的木块，棱长为2米，若沿正方体的三个方向分别锯成3份、4份和5份，得到若干个大大小小的长方体木块，则所有这些长方体木块的表面积和是 　96　平方米．

解：沿水平方向将它锯成3片，是切割了2刀，同理，每片又锯成4长条，是切了3刀，每条又锯成5小块，是切了4刀，所以一共切了2+3+4＝9（刀），
所以这60个小长方体的表面积之和是：6×4+18×4＝96（平方米）．
故答案为：96．
25．（2020秋•雁塔区校级月考）如图，将一个正方体截去一个角变成一个多面体，则这个多面体有　10　个顶点．

解：正方体有8个顶点，将这个正方体按照如图所示的方式截去一个角后，
所得到的多面体的顶点数为8﹣1+3＝10，
故答案为：10．
26．（2019•黄岩区二模）如图，一个5×5×5的正方体，先在它的前后方向正中央开凿一个“十字形”的孔（打通），再在它的上下方向正中央也开凿一个“十字形”的孔（打通），最后在它的左右方向正中央开凿一个“十字形”的孔（打通），这样得到一个被凿空了的几何体，则所得几何体的体积为　76　．

解：如图所示：该正方体可按如图方式分割，
则体积为（1×1×1）×（8×8+12）
＝1×76
＝76
故所得几何体的体积为76．
故答案为：76．

27．（2021秋•龙口市期中）如图，在棱长分别为2cm，3cm，4cm的长方体中截掉一个棱长为1cm的正方体，求剩余几何体的表面积．

解：（2×3+2×4+3×4）×2
＝（6+8+12）×2＝26×2＝52（cm2），
答：剩余几何体的表面积为52cm2．
28．（2017秋•铁西区期中）我们知道，三棱柱的上、下底面都是三角形，那么正三棱柱的上、下底面都是等边三角形．如图，大正三棱柱的底面周长为10，截取一个底面周长为3的小正三棱柱．
（1）请写出截面的形状；
（2）请直接写出四边形DECB的周长．

解：（1）由题可得，截面的形状为长方形；
（2）∵△ADE是周长为3的等边三角形，
∴DE＝AD＝1，
又∵△ABC是周长为10的等边三角形，
∴AB＝AC＝BC＝，
∴DB＝EC＝﹣1＝，
∴四边形DECB的周长＝1+×2+＝9．
考点05：由三视图判断几何体
29．（2022•五华区校级三模）如图是一个几何体的立体图及其三视图，则这个几何体的俯视图是（　　）

A． B．
C． D．
解：观察图形可知，这个几何体的俯视图是．
故选：B．
30．（2022•新华区校级四模）一个几何体的三视图如图所示，其中俯视图为正三角形，则该几何体的左视图中a的值为（　　）

A．1.8 B．1.7 C． D．2
解：如图，由图形中所标识的数据可知，
在俯视图中，AB＝2，△ABC是正三角形，过点C作CM⊥AB于M，
∴AM＝BM＝AB＝1，
∴CM＝AM＝，
即左视图中a的值为．
故选：C．

31．（2021秋•溧阳市期末）如图所示是一个几何体的三视图，若这个几何体的体积是6，则它的表面积是 　22　．

解：∵由主视图得出长方体的长是3，宽是1，这个几何体的体积是6，
∴设高为h，则
1×3×h＝6，
解得：h＝2，
∴它的表面积是：1×3×2+3×2×2+1×2×2＝22．
故答案为：22．
32．（2021秋•莱芜区期末）如图所示是若干个大小相同的小正方体搭成的几何体从不同方向看到的图形，则搭成这个几何体的小正方体的个数最多是 　8　．

解：这个几何体小正方体的个数最多是3+3+1+1＝8（个）．

故答案为：8．
33．（2021秋•市北区期末）用小立方块搭成的几何体，从左面看和从上面看如图所示，搭成这样的几何体最多要x个小立方块，最少要y个小立方块，则x+y等于 　12　．

解：如图，在从上面看到的图形中标数，可知最多需要7个，最少需要5个，即x+y＝12，

（第2行3个空可相互交换）
故答案为：12．
34．（2022秋•莱芜区校级月考）根据如图所示的形状图（单位．：mm），求该几何体的体积．

解：这个几何体由两个圆柱组成，体积＝π×42×4+π×82×16＝1040π（mm2）．
35．（2021秋•新泰市期末）如图，是由一些棱长为a厘米的正方体小木块搭建成的几何体的从正面看、从左面看和从上面看的图形．

（1）该几何体是由多少块小木块组成的？
（2）求出该几何体的体积；
（3）求出该几何体的表面积（包含底面）．
解：（1）几何体的小正方形的个数如俯视图所示，2+1+3+1+1+2＝10．

（2）V＝10a3（cm3），
∴该几何体的体积为10a3 cm3．
（3）S＝2（6a2+6a2+6a2）+2（a2+a2）＝40a2（cm2）．
∴该几何体的表面积40a2 cm2．
36．（2021秋•金塔县期中）一个几何体是由若干个棱长为3cm的小正方体搭成的，从正面、左面、上面看到的几何体的形状图如图所示：

（1）在“从上面看”的图中标出各个位置上小正方体的个数；
（2）求该几何体的体积．
解：（1）如图所示：

（2）该几何体的体积为33×（2+3+2+1+1+1）＝27×10＝270（cm3）