第2章《有理数及其运算》（导图+知识点+考点提优练）-【培优方案】2023-2024学年七年级数学上册章节重点复习考点讲义（北师大版）

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2023-2024学年北师大版数学七年级上册章节考点精讲精练
第2章《有理数及其运算》
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知识点01:有理数的相关概念
1．有理数的分类：
（1）按定义分类： （2）按性质分类：

细节剖析：（1）用正数、负数表示相反意义的量；
（2）有理数“0”的作用：
作用
举例
表示数的性质
0是自然数、是有理数
表示没有
3个苹果用+3表示，没有苹果用0表示
表示某种状态
表示冰点
表示正数与负数的界点
0非正非负，是一个中性数

2．数轴：规定了原点、正方向和单位长度的直线．
细节剖析：（1）一切有理数都可以用数轴上的点表示出来，数轴上的点不都表示的是有理数，如．
（2）在数轴上，右边的点所对应的数总比左边的点所对应的数大．
3．相反数：只有符号不同的两个数互称为相反数，0的相反数是0．
细节剖析：（1）一对相反数在数轴上对应的点位于原点两侧，并且到原点的距离相等，这两点是关于原点对称的．
（2）求任意一个数的相反数，只要在这个数的前面添上“”号即可．
（3）多重符号的化简：数字前面“”号的个数若有偶数个时，化简结果为正，若有奇数个时，化简结果为负．
4．绝对值：
（1)代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0． 数a的绝对值记作．





（2)几何意义：一个数a的绝对值就是数轴上表示数a的点与原点的距离．
知识点02:有理数的运算
1 ．法则：
（1）加法法则：①同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加．②绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值．③一个数同0相加，仍得这个数．
（2）减法法则：减去一个数，等于加这个数的相反数．即a-b=a+(-b) ．
（3）乘法法则：①两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘．②任何数同0相乘，都得0．
（4）除法法则：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数．即a÷b=a·(b≠0) ．
（5）乘方运算的符号法则：①负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；②正数的任何次幂都是正数，0的任何非零次幂都是0．
　 (6)有理数的混合运算顺序：①先乘方，再乘除，最后加减；②同级运算，从左到右进行；
③如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行．
细节剖析：“奇负偶正”口诀的应用：
（1）多重负号的化简，这里奇偶指的是“－”号的个数，例如：－[－（－3）]=－3，
－[+（－3）]=3．
（2）有理数乘法，当多个非零因数相乘时，这里奇偶指的是负因数的个数，正负指结果中积的符号，例如：（－3）×（－2）×（－6）=－36，而（－3）×（－2）×6=36．
（3）有理数乘方，这里奇偶指的是指数，当底数为负数时，指数为奇数，则幂为负；指数为偶数，则幂为正，例如： ， ．
2．运算律：
（1）交换律: ① 加法交换律:a+b=b+a； ②乘法交换律:ab=ba；
（2）结合律: ①加法结合律： (a+b)+c=a+(b+c)； ②乘法结合律：（ab）c=a(bc)
（3）分配律：a(b+c)=ab+ac
知识点03:有理数的大小比较
比较大小常用的方法有：（1）数轴比较法；（2）法则比较法：正数大于0，0大于负数，正数大于负数；两个负数，绝对值大的反而小；(3) 作差比较法．（4）作商比较法；（5)倒数比较法．
知识点04:科学记数法
把一个大于10的数表示成的形式（其中1≤，是正整数），此种记法叫做科学记数法．例如：200 000=．
考点提优练

考点01：数轴
1．（2022•路南区三模）如图1，点A，B，C是数轴上从左到右排列的三个点，分别对应的数为﹣5，b，4，某同学将刻度尺如图2放置，使刻度尺上的数字0对齐数轴上的点A，发现点B对应刻度1.8cm，点C对齐刻度5.4cm．

则数轴上点B所对应的数b为（　　）
A．3 B．﹣1 C．﹣2 D．﹣3
解：∵5.4÷（4+5）＝0.6（cm），
∴1.8÷0.6＝3，
∴﹣5+3＝﹣2，
故选：C．
2．（2022春•泗水县期末）如图，有一个直径为1个单位长度的圆片，把圆片上的点放在数轴上﹣1处，然后将圆片沿数轴向右滚动一周，点A到达点A'位置，则点A'表示的数是（　　）

A．﹣π+1 B． C．π+1 D．π﹣1
解：由题意得，圆片的周长为π．
∴点A'表示的数是﹣1+π．
故选：D．
3．（2021秋•济源期末）已知A，B，C是数轴上的三个点．点A，B表示的数分别是1，3，如图所示，若BC＝AB，则点C表示的数是 　或．　．

因为A、B两点表示的数为1，3，可以得到AB＝2，又因为BC＝AB，所以BC＝．
当C点在B点的左面时C点代表的数为3﹣＝；
当C点在B点的右面时C点代表的数为3+＝；
故答案为：或．
4．（2021秋•东阳市期末）数轴上的三个点，若其中一个点与其它两个点的距离满足2倍关系，则称该点是其它两个点的“友好点”，这三点满足“友好关系”．已知点A、B表示的数分别为﹣2、1，点C为数轴上一动点．
（1）当点C在线段AB上，点A是B、C两点的“友好点”时，点C表示的数为 　﹣0.5　；
（2）若点C从点B出发，沿BA方向运动到点M，在运动过程中有4个时刻使A、B、C三点满足“友好关系”，设点M表示的数为m，则m的范围是 　﹣5＜m≤﹣3.5　．
解：（1）设点C表示的数为x，则AC＝x+2，AB＝1+2＝3，
∵点A是B、C两点的“友好点”，
∴当AB＝2AC时，则3＝2（x+2），解得x＝﹣0.5，
所以点C表示的数是﹣0.5，
故答案为：﹣0.5；
（2）当点C在线段AB上时，若A、B、C三点满足“友好关系”，
存在三个时刻，即AC＝CB或AC＝CB或AC＝2CB时，
此时m＝﹣0.5或﹣1或0，
∴另外一个时刻则点C在点A的左侧时，则AB＝2AC或BC＝2AC，
∴m＝﹣3.5或﹣5，
∵只有四个时刻，
∴m的取值范围是﹣5＜m≤﹣3.5．
故答案为：﹣5＜m≤﹣3.5．
5．（2022秋•射阳县月考）数轴上有A，B，C三点，给出如下定义：若其中一个点与其它两个点的距离恰好满足2倍的数量关系，则称该点是其它两个点的“关联点”．例如数轴上点A，B，C所表示的数分别为1，3，4，此时点B是点A，C的“关联点”．
（1）若点A表示数﹣2，点B表示数1，下列各数﹣1，2，4，6所对应的点分别是C1，C2，C3，C4，其中是点A，B的“关联点”的是 　C1，C3　；
（2）点A表示数﹣10，点B表示数15，P为数轴上一个动点：
①若点P在点B的左侧，且点P是点A，B的“关联点”，求此时点P表示的数；
②若点P在点B的右侧，点P，A，B中，有一个点恰好是其它两个点的“关联点”，请直接写出此时点P表示的数．

解：（1）∵AC1＝﹣1﹣（﹣2）＝1，BC1＝1﹣（﹣1）＝2，
∴2AC1＝BC1，
∴C1是点A，B的“关联点”；
∵AC2＝2﹣（﹣2）＝4，BC2＝2﹣1＝1，AB＝1﹣（﹣2）＝3，
∴C2不是点A，B的“关联点”；
AC3＝4﹣（﹣2）＝6，BC3＝4﹣1＝3，
∴AC3＝2BC3，
∴C3是点A，B的“关联点”；
AC4＝6﹣（﹣2）＝8，BC4＝6﹣1＝5，AB＝1﹣（﹣2）＝3，
∴C4不是点A，B的“关联点”；
故答案为：C1，C3；
（2）设P点在数轴上表示的数为p．
①∵P在点B左侧，则：
（Ⅰ）当P点在AB之间时，
15﹣p＝2[p﹣（﹣10）]，
解得：p＝−；
或2（15﹣p）＝p﹣（﹣10），
解得：p＝；
（Ⅱ）当P点在A点左侧时，
15﹣p＝2（﹣10﹣p）p＝﹣35，
∴当P点在B点左侧时，点P表示的数为﹣35或−或；
②∵点P在B点右侧，则：
（Ⅰ）当点P为点A，B的“关联点”时，
2（p﹣15）＝p+10，
解得：p＝40；
（Ⅱ）当点B为点P，A的“关联点”时，
2（p﹣15）＝15+10，
解得：p＝27.5；
或p﹣15＝2×25，
解得：p＝65；
（Ⅲ）当点A为点B，P的“关联点”时，
p+10＝（15+10）×2，
解得：p＝40，
∴点P在点B的右侧，点P，A，B中，有一个点恰好是其它两个点的“关联点”，此时点P表示的数为40或65或27.5．
6．（2021秋•连州市期末）如图所示，在数轴上点A，B，C表示的数为﹣2，0，6．点A与点B之间的距离表示为AB，点B与点C之间的距离表示为BC，点A与点C之间的距离表示为AC．
（1）求AB、AC的长；
（2）点A，B，C开始在数轴上运动，若点A以每秒2个单位长度的速度向左运动，同时，点B和点C分别以每秒3个单位长度和4个单位长度的速度向右运动．
请问：BC﹣AB的值是否随着运动时间t的变化而变化？若不变，请求其值；若变化，请说明理由并判断是否有最值，若有求其最值．

解：（1）∵数轴上点A，B，C表示得数为﹣2，0，6，
∴AB的长为2，AC的长为8；
（2）由数轴可知，B点在A点前方，相距2个单位，C点在B点前方，相距6个单位，
∵点A以每秒2个单位长度的速度向左运动，同时，点B和点C分别以每秒3个单位长度和4个单位长度的速度向右运动，
∴点A可表示的数为﹣2﹣2t，点B可表示的数为3t，点C可表示的数为6+4t，
∴BC＝6+4t﹣3t＝t+6，AB＝3t﹣（﹣2﹣2t）＝5t+2，
∴BC﹣AB＝t+6﹣（5t+2）＝4﹣4t，当且仅当t＝0时，有最值为4．
考点02：绝对值
7．（2021秋•海门市校级月考）设abc≠0，且a+b+c＝0，则+++的值可能是（　　）
A．0 B．±1 C．±2 D．0或±2
解：∵abc≠0，且a+b+c＝0，
∴a、b与c中可能有1个字母小于0，也可能有2个字母小于0．
当a、b与c中有1个字母小于0，如a＜0，则b＞0，c＞0，
∴+++＝﹣1+1+1﹣1＝0．
当a、b与c中有2个字母小于0，如a＜0，b＜0，则c＞0，
∴+++＝﹣1﹣1+1+1＝0．
综上：+++＝0．
故选：A．
8．（2021秋•椒江区期末）如图，a，b是数轴上的两个有理数，下面说法中正确的是（　　）

A．a＞b B．b＞a C．|a|＞|b| D．|b|＞|a|
解：根据题意可得，b＞a．
A．所以A选项不正确，故A选项不符合题意；
B．所以B选项正确，故B选项符合题意；
C．因为当a＜b＜0时，|a|＞|b|，所以C选项不正确，故C选项不符合题意；
D．因为当0＜a＜b时，|a|＜|b|，所以D选项不正确，故D选项不符合题意；
故选：B．
9．（2021秋•绵竹市期末）代数式|x+1009|+|x+506|+|x﹣1012|的最小值是 　2021　．
解：∵|x+1009|＝|x﹣（﹣1009）|，|x+506|＝|x﹣（﹣506）|，
由绝对值的定义可知：|x+1009|代表x到﹣1009的距离；|x+506|代表x到﹣506的距离；|x﹣1012|代表x到1012的距离；
结合数轴可知：当x在﹣1009与1012之间，且x＝﹣506时，距离之和最小，
∴最小值＝1012﹣（﹣1009）＝2021，
故答案为：2021．

10．（2021秋•碑林区校级期末）已知a，b，c的位置如图，化简：|2a﹣b|+|b+c|﹣|a﹣c|＝　﹣a﹣2c　．

解：∵a＜c，b+c＜0，2a﹣b＜0，
∴|2a﹣b|+|b+c|﹣|a﹣c|
＝﹣2a+b﹣b﹣c+a﹣c
＝﹣a﹣2c．
故答案为：﹣a﹣2c．
11．（2022秋•宜兴市月考）阅读下列材料：|x|＝，即当x＜0时，＝﹣1．用这个结论可以解决下面问题：
（1）已知a，b是有理数，当ab＞0时，求的值；
（2）已知a，b，c是有理数，当abc＞0时，求的值；
（3）已知a，b，c是有理数，a+b+c＝0，abc＜0，求的值．
解：（1）∵ab＞0，
∴a、b同号，
即a＞0，b＞0或a＜0，b＜0，
∴＝1+1＝2或＝﹣1﹣1＝﹣2；
（2）∵abc＞0，
∴a、b、c中有3个正数或一正两负，
当a、b、c都是正数时，＝1+1+1＝3；
当a、b、c中有一正两负时，＝1﹣1﹣1＝﹣1；
（3）∵a+b+c＝0，
∴a+b＝﹣c，a+c＝﹣b，b+c＝﹣a，
∴＝﹣﹣﹣，
∵abc＜0，a+b+c＝0，
∴a、b、c中一负两正，
∴＝﹣﹣﹣
＝1﹣1﹣1
＝﹣1；
答：的值为﹣1．
12．（2021秋•太康县期末）已知|x|＝3，|y|＝7．
（1）若x＜y，求x+y的值；
（2）若xy＜0，求x﹣y的值．
解：由题意知：x＝±3，y＝±7，
（1）∵x＜y，
∴x＝±3，y＝7
∴x+y＝10或 4
（2）∵xy＜0，
∴x＝3，y＝﹣7或x＝﹣3，y＝7，
∴x﹣y＝±10，
考点03：有理数的乘方
13．（2022春•柯桥区期末）如图，小明在3×3的方格纸上写了九个式子（其中的n是正整数），每行的三个式子的和自上而下分别记为A1，A2，A3，每列的三个式子的和自左至右分别记为B1，B2，B3，其中值可以等于732的是（　　）

A．A1 B．B1 C．A2 D．B3
解：A1＝2n﹣2+2n﹣4+2n﹣6＝732，
整理可得：2n＝248，
n不为整数；
A2＝2n﹣8+2n﹣10+2n﹣12＝732，
整理可得：2n＝254，
n不为整数；
B1＝2n﹣2+2n﹣8+2n﹣14＝732，
整理可得：2n＝252，
n不为整数；
B3＝2n﹣6+2n﹣12+2n﹣18＝732，
整理可得：2n＝256，
n＝8；
故选：D．
14．（2021秋•无为市期末）下列各式结果相等的是（　　）
A．﹣22与（﹣2）2 B．﹣12022与（﹣1）2021
C．（）2与 D．﹣（﹣3）与﹣|﹣3|
解：A．（﹣2）2＝4，﹣22＝﹣4，不相等，不符合题意；
B．﹣12022＝﹣1，（﹣1）2021＝﹣1，相等，符合题意；
C．（ ）2＝，，不相等，不符合题意；
D．﹣（﹣3）＝3，﹣|﹣3|＝﹣3，不相等，不符合题意；
故选：B．
15．（2021秋•单县期末）一根1m长的绳子，第一次剪去绳子的，第二次剪去剩下绳子的，如此剪下去，第100次剪完后剩下绳子的长度是（　　）
A． B． C． D．
解：∵第一次剪去绳子的，还剩m；
第二次剪去剩下绳子的，还剩＝m，
……
∴第100次剪去剩下绳子的后，剩下绳子的长度为（）100m；
故选：C．
16．（2021秋•上思县期末）将一张长方形的纸对折，可得到一条折痕，继续对折，对折时每次折痕与上次的折痕保持平行，连续对折三次后，可以得到7条折痕，那么对折四次可以得到15条折痕，如果对折n次，可以得到　2n﹣1　条折痕．
解：根据题意可知，
第1次对折，折痕为1；
第2次对折，折痕为1+2；
第3次对折，折痕为1+2+22；
第n次对折，折痕为1+2+22+…+2n﹣1＝2n﹣1．
故答案为：2n﹣1．
17．（2016秋•海淀区校级期中）《九章算术》是中国古代第一部数学专著，不仅最早提到分数问题，也首先记录了盈不足等问题，在第七章“盈不足”中有这样一个问题：“今有蒲生一日，长三尺；莞生一日，长一尺．蒲生日自半，莞生日自倍．问几何日而长等？”其意思是“有蒲和莞两种植物，蒲第一日长了3尺，莞第一日长了1尺，以后蒲每日生长的长度是前一日的一半，莞每日生长的长度是前一日的2倍，问几日蒲、莞上涨的长度相等．”
请计算出第三日后，蒲、莞的长度相差为　　尺．
解：（1）设：日蒲、莞上涨的长度相等
有题意得：蒲，第x日上涨长度为：3×21﹣x；莞，第x日上涨长度为：1×2x﹣1，
则：3×21﹣x＝1×2x﹣1，解得：x≈2.6．
答：2.6日蒲、莞上涨的长度相等
（2）蒲第3日后上涨长度为：，
莞，第3日上涨长度为：7，
二者差为尺，
故答案是．
18．（2022•新华区校级一模）（1）将下列计算的结果直接写成幂的形式：
2÷2÷2＝（）1；2÷2÷2÷2＝　（）2　；＝　33　；
（﹣5）÷（﹣5）÷（﹣5）÷（﹣5）÷（﹣5）÷（﹣5）＝　（﹣）4　；
（2）一般地，把n个a（a为有理数且a≠0，n为正整数）相除的结果记作aⓝ，读作“a的圈n次方”．
计算：aⓝ＝＝　（）n﹣2　（其中a≠0，n为正整数）．
请你尝试用文字概括归纳aⓝ的运算结果：
一个非零有理数的圈n次方等于 　它的倒数的（n﹣2）次方　；
（3）计算：24÷（﹣）⑤+（﹣27）×3④．
解：（1）2÷2÷2÷2＝2×＝（）2，
＝＝33，
（﹣5）÷（﹣5）÷（﹣5）÷（﹣5）÷（﹣5）÷（﹣5）＝（﹣5）×（﹣）×（﹣）×（﹣）×（﹣）×（﹣）＝（﹣）4，
故答案为：（）2，33，（﹣）4；
（2）根据除法法则aⓝ＝＝（）n﹣2（其中a≠0，n为正整数）．
用文字概括归纳aⓝ的运算结果：
一个非零有理数的圈n次方等于它的倒数的（n﹣2）次方；
故答案为：（）n﹣2，它的倒数的（n﹣2）次方．
（3）原式＝24÷（−2）3+（−27）×（）2
＝24÷（﹣8）+（﹣27）×
＝﹣3﹣3
＝﹣6．
19．（2022春•攸县期末）如果10b＝n，那么b为n的劳格数，记为b＝d（n），由定义可知：10b＝n与b＝d（n）所表示的b，n两个量之间具有同一关系．
（1）根据劳格数的定义，计算d（10）和d（10﹣2）的值；
（2）若m，n为正数，则d（m•n）＝d（m）+d（n），d（）＝d（m）﹣d（n）．
根据运算性质，填空：＝　3　（a为正数）；
若d（2）＝0.3010，则d（4）＝　0.6020　，d（5）＝　0.6990　，d（0.08）＝　﹣1.0970；　．
（3）若表中与数x对应的劳格数d（x）有且仅有两个是错误的，请找出错误的劳格数，并将其改正过来．
x
1.5
3
5
6
8
9
12
27
d（x）
3a﹣b+c
2a﹣b
a+c
1+a﹣b﹣c
3﹣3a﹣3c
4a﹣2b
3﹣b﹣2c
6a﹣3b
解：（1）d（10）＝1，d（10﹣2）＝﹣2，
（2）∵d（a3）
＝d（a2•a）
＝d（a2）+d（a）
＝d（a•a）+d（a）
＝d（a）+d（a）+d（a）
＝3d（a），
∴＝＝3，
∵d（2）＝0.3010，
又∵d（10）＝1，
∴d（4）
＝d（2×2）
＝d（2）+d（2）
＝2d（2）
＝0.6020；
d（5）
＝d（）
＝d（10）﹣d（2）
＝1﹣0.3010
＝0.6990；
d（0.08）
＝d（8×10﹣2）
＝d（8）+d（10﹣2）
＝3d（2）+（﹣2）
＝0.9030﹣2
＝﹣1.0970；
故答案为：3，0.6020，0.6990，﹣1.0970；
（3）若d（3）≠2a﹣b，则d（9）＝2d（3）≠4a﹣2b，d（27）＝3d（3）≠6a﹣3b即有三个劳格数错误由题设矛盾，故d（3）＝2a﹣b；
若d（5）≠a+c，则d（2）＝1﹣d（5）≠1﹣a﹣c，d（8）＝3d（2）≠3﹣3a﹣3c，
d（6）＝d（2）+d（3）≠1+a﹣b﹣c即有三个劳格数错误与题设矛盾，
故d（5）＝a+c；
综上所述d（1.5）与d（12）两个值是错误的．应该更正为：d（1.5）＝d（3）﹣d（2）＝3a﹣b+c﹣1，d（12）＝d（3）+2d（2）＝2﹣b﹣2c．
20．（2020秋•海安市月考）已知M（1）＝﹣2，M（2）＝（﹣2）×（﹣2），M（3）＝（﹣2）×（﹣2）×（﹣2），…，（n为正整数）．
（1）求2M（2018）+M（2019）的值．
（2）猜想2M（n）与M（n+1）的关系并说明理由．
解：（1）2M（2018）+M（2019）
＝2×（﹣2）2018+（﹣2）2019
＝2×22018+（﹣2）2019
＝22019+（﹣2）2019
＝0；
（2）2M（n）与M（n+1）互为相反数，理由如下：
因为2M（n）＝2×（﹣2）n＝﹣（﹣2）×（﹣2）n＝﹣（﹣2）n+1，M（n+1）＝（﹣2）n+1，
所以2M（n）＝﹣M（n+1），
所以2M（n）与M（n+1）互为相反数．
21．（2021秋•红花岗区校级月考）某学习小组学习了幂的有关知识发现：根据am＝b，知道a、m可以求b的值．如果知道a、b，可以求m的值吗？他们为此进行了研究，规定：若am＝b，那么T（a，b）＝m．例如34＝81，那么T（3，81）＝4．
（1）填空：T（2，64）＝　6　；
（2）计算：T（3，27）+T（﹣2，﹣32）；
（3）探索T（2，3）+T（2，7）与T（2，21）的大小关系，并说明理由．
解：（1）∵26＝64，
∴T（2，64）＝6．
故答案为：6．
（2）∵33＝27，（﹣2）5＝﹣32，
∴T（3，27）＝3，T（﹣2，﹣32）＝5．
∴T（3，27）+T（﹣2，﹣32）＝3+5＝8．
（3）T（2，3）+T（2，7）＝T（2，21），理由如下：
设T（2，3）＝m，T（2，7）＝n．
∴2m＝3，2n＝7．
∴2m•2n＝2m+n＝21．
∴T（2，21）＝m+n．
∴T（2，3）+T（2，7）＝T（2，21）．
考点04：有理数的混合运算
22．（2022•工业园区校级自主招生）数整数部分的个位数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．以上都不是
解：∵＜＜
∴1＜＜，
∴数整数部分的个位数是1．
故选：A．
23．（2021秋•确山县期末）定义运算“@”的运算法则为：x@y＝xy﹣y，如：3@2＝3×2﹣2＝4．那么（﹣3）@（﹣2）的运算结果是（　　）
A．8 B．﹣3 C．4 D．﹣4
解：∵x@y＝xy﹣y，
∴（﹣3）@（﹣2）
＝（﹣3）×（﹣2）﹣（﹣2）
＝6+2
＝8，
故选：A．
24．（2021秋•栖霞市期末）在数学课上，老师让甲、乙、丙、丁，四位同学分别做了一道有理数运算题，你认为做对的同学是（　　）
甲：9﹣32÷8＝0÷8＝0
乙：24﹣（4×32）＝24﹣4×6＝0
丙：（36﹣12）÷＝36×﹣12×＝16
丁：（﹣3）2÷×3＝9÷1＝9
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
解：甲：9﹣32÷8＝9﹣9÷8＝7，原来没有做对；
乙：24﹣（4×32）＝24﹣4×9＝﹣12，原来没有做对；
丙：（36﹣12）÷＝36×﹣12×＝16，做对了；
丁：（﹣3）2÷×3＝9÷×3＝81，原来没有做对．
故选：C．
25．（2022•闵行区校级开学）用简便方法计算24×32×53+326×0.1256×（﹣0.25）5+（）100×（）99＝　17996　．
解：24×32×53+326×0.1256×（﹣0.25）5+（）100×（）99
＝（2×5）3×（2×32）+4×（86×0.1256）×（﹣4×0.25）5+（）100×（）99
＝103×（2×9）+4×（8×0.125）6×（﹣1）5+×（×）99
＝1000×18+4×16×（﹣1）+×199
＝18000+4×1×（﹣1）+×1
＝18000﹣4+
＝17996．
故答案为：17996．
26．（2022•镇海区校级模拟）定义一种新运算（a，b），若ac＝b，则（a，b）＝c，例（2，8）＝3，（3，81）＝4．已知（4，8）+（4，7）＝（4，x），则x的值为 　56　．
解：设4m＝8，4n＝7，
∵（4，8）+（4，7）＝（4，x），
∴m+n＝（4，x），
∴4m+n＝x，
∴4m×4n＝x，
∴8×7＝x，
∴x＝56，
故答案为：56．
27．（2021秋•北仑区期末）“转化”是一种解决问题的常用策略，有时画图可以帮助我们找到转化的方法．例如借助图①，可以把算式1+3+5+7+9+11转化为62＝36．请你观察图②，可以把算式转化为 　　．

解：
＝1﹣
＝，
故答案为：．
28．（2022•黄冈开学）计算：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）（﹣2）2×3+（﹣3）3÷9．
解：（1）
＝（﹣5）+（﹣3）
＝﹣8；
（2）
＝（）+[（﹣）+（﹣1）]
＝1+（﹣1）
＝﹣；
（3）
＝﹣4×（﹣2）﹣×48﹣×48+×48
＝8﹣66﹣112+180
＝10；
（4）（﹣2）2×3+（﹣3）3÷9
＝4×3+（﹣27）÷9
＝12+（﹣3）
＝9．
29．（2021秋•巫溪县期末）我们规定：求若干个相同的不为零的有理数的除法运算叫做除方，如2÷2÷2，（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）等．类比有理数的乘方，我们把2÷2÷2记作2③，读作“2的圈3次方”，（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）记作（﹣3）④，读作“﹣3的圈4次方”．一般地，把记作aⓝ，读作“a的圈n次方”．
（1）直接写出计算结果：2③＝　　，（﹣3）④＝　　，＝　﹣27　．
（2）我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，请尝试把有理数的除方运算转化为乘方运算，归纳如下：一个非零有理数的圈n次方等于 　这个数倒数的（n﹣2）次方　．
（3）计算．
解：（1）2③＝2÷2÷2＝，
（﹣3）④＝（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）＝，
＝（﹣）÷（﹣）÷（﹣）÷（﹣）÷（﹣）＝﹣27．
故答案为：；；﹣27；
（2）一个非零有理数的圈n次方等于这个数倒数的（n﹣2）次方．
故答案为：这个数倒数的（n﹣2）次方；
（3）
＝27×+（﹣48）÷8
＝3+（﹣6）
＝﹣3．
故答案为：﹣3．
30．（2021秋•双牌县期末）求若干个相同的不为零的有理数的除法运算叫做除方．如：2÷2÷2，（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）等．类比有理数的乘方，我们把2÷2÷2记做2③，读作“2的圈3次方”（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）记做（﹣3）④，读作“﹣3的圈4次方”．一般地，把（a≠0）记做aⓝ，读作“a的圈n次方”．
（1）直接写出计算结果：（﹣）③＝　﹣2　，（﹣3）④＝　　，2⑤＝　　．
（2）我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，请尝试将有理数的除方运算转化为乘方运算，归纳如下：一个非零有理数的圈n次方等于 　这个数倒数的（n﹣2）次方　．
（3）计算：24÷23+（﹣8）×2③．
解：（1）（﹣）③＝（﹣2）3﹣2＝﹣2，（﹣3）④＝＝，2⑤＝．
故答案为：﹣2，，；
（2）一个非零有理数的圈n次方等于这个数倒数的（n﹣2）次方；
故答案为：这个数倒数的（n﹣2）次方；
（3）24÷23+（﹣8）×2③
＝24÷8+（﹣8）×
＝3+（﹣4）
＝﹣1．
考点05：近似数和有效数字
31．（2021秋•姚安县校级月考）对0.08049用四舍五入法取近似值，精确到0.001的是（　　）
A．0.08 B．0.081 C．0.0805 D．0.080
解：对0.08049用四舍五入法取近似值，精确到0.001的是0.080．
故选：D．
32．（2022•萧山区二模）2019年11月，联合国教科文组织正式宜布，将每年的3月14日定为“国际数学日”．国际数学日之所以定在3月14日，是因为“3.14”是圆周率数值最接近的数字．将圆周率“π”用四舍五入法取近似值3.14，是精确到（　　）
A．个位 B．十分位 C．百分位 D．千分位
解：将圆周率“π”用四舍五入法取近似值3.14，是精确到百分位．
故选：C．
33．（2020秋•北仑区期中）把a精确到百分位得到的近似数是5.28，则a的取值范围是（　　）
A．5.275＜a＜5.285 B．5.275≤a＜5.285
C．5.275＜a≤5.285 D．5.275≤a≤5.285
解：∵a精确到百分位得到的近似数是5.28，
∴5.275≤a＜5.285．
故选：B．
34．（2021秋•仪征市期末）小亮用天平称得一个罐头的质量为2.026kg，近似数2.026精确到0.01约是　2.03　．
解：2.026≈2.03（精确到0.01）．
故答案为2.03．
35．（2021秋•江宁区期中）小亮的体重为43.75kg，精确到0.1kg所得近似值为　43.8kg　．
解：43.75kg，精确到0.1kg所得近似值为43.8kg．
故答案为43.8kg．
36．（2020秋•合肥期中）把1.5972精确到十分位得到的近似数是　1.6　．
解：把1.5972精确到十分位得到的近似数是1.6．
故答案为：1.6．
37．（2019春•陕西期末）一粒米，许多同学都认为微不足道，平时总会在饭桌上毫不经意地掉下几粒，甚至有些挑食的同学会把整块馒头或整碗米饭倒掉．针对这种浪费粮食现象，老师组织同学们进行了实际测算，称得500粒大米约重11.07克．现在请你来计算（可用计算器）：
（1）按我国现有人口13亿，每年365天，每人每天三餐计算，若每人每餐节约一粒大米，一年大约能节约大米多少千克？（结果精确到千位）
（2）假若我们把一年节约的大米卖成钱，按2.5元/千克计算，可卖得人民币多少元？（结果保留2位有效数字）
（3）对于因贫困而失学的儿童，学费按每人每年500元计算，卖得的钱可供多少名失学儿童上一年学？（精确到个位）
（4）经过以上计算，你有何感想和建议？
解：（1）称得500粒大米约重11.07 g，则11.07÷500≈0.022（g），一粒大米重约0.022 g，
0.022×1×3×365×1 300 000 000÷1 000＝31 317 000＝3.1317×107（kg），
答：一年大约能节约大米3.1317×107kg；

（2）2.5×3.1317×107≈7.8×107（元），
答：可卖得人民币7.8×107元；

（3）78 292 500÷500＝156 585；答：卖得的钱可供156 585名失学儿童上一年学；

（4）一粒米虽然微不足道，但是我们一年节约下来的钱数大的惊人．
所以提倡节约，杜绝浪费，我们要行动起来．
38．（2012秋•崆峒区校级月考）根据要求，用四舍五入法取下列各数的近似值：
（1）1.4249≈　1.42　（精确到百分位）；
（2）0.02951≈　0.030　（精确到0.001）．
（3）近似数1.23×105精确到　千　位，有　3　个有效数字．
（4）所有绝对值小于4的整数的积是　0　，和是　0　．
解：（1）1.4249精确到百分位，即精确到小数点后第二位，由四舍五入法可得1.424 9≈1.42；
（2）0.02951精确到0.001，即精确到小数点后第三位，由四舍五入法可得0.02951≈0.030；
（3）近似数1.23×105精确到千位，有效数字是1，2，3，一共3个；
（4）∵绝对值小于4的整数±3，±2，±1，0，
∴所有绝对值小于4的整数的积是0，和是0．
故答案为1.42；0.030；千，3；0，0