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- 第2章《有理数及其运算》（导图+知识点+考点提优练）-【培优方案】2023-2024学年七年级数学上册章节重点复习考点讲义（北师大版） 试卷 5 次下载
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第4章《基本平面图形》（导图+知识点+考点提优练）-【培优方案】2023-2024学年七年级数学上册章节重点复习考点讲义（北师大版）
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这是一份第4章《基本平面图形》（导图+知识点+考点提优练）-【培优方案】2023-2024学年七年级数学上册章节重点复习考点讲义（北师大版），文件包含第4章《基本平面图形》解析版docx、第4章《基本平面图形》原卷版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共58页， 欢迎下载使用。
2022-2023学年北师大版数学七年级上册章节考点精讲精练
第4章《基本平面图形》
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知识点01:线段、射线、直线
1.直线，射线与线段的区别与联系
2.基本性质
(1)直线的性质:两点确定一条直线． (2)线段的性质:两点之间，线段最短．
细节剖析：①本知识点可用来解释很多生活中的现象. 如：要在墙上固定一个木条，只要两个钉子就可以了，因为如果把木条看作一条直线，那么两点可确定一条直线.
②连接两点间的线段的长度，叫做两点的距离.
3.画一条线段等于已知线段
（1）度量法：可用直尺先量出线段的长度,再画一条等于这个长度的线段.
（2）用尺规作图法：用圆规在射线AC上截取AB=ａ，如下图：
4.线段的比较与运算
（1）线段的比较：
比较两条线段的长短，常用两种方法，一种是度量法；一种是叠合法.
（2）线段的和与差：
如下图，有AB+BC=AC，或AC=a+b；AD=AB-BD。
（3）线段的中点：
把一条线段分成两条相等线段的点，叫做线段的中点．如下图，有：
细节剖析：①线段中点的等价表述：如上图，点M在线段AB上，且有，则点M为线段AB的中点.
②除线段的中点（即二等分点）外，类似的还有线段的三等分点、四等分点等.如下图，点M,N,P均为线段AB的四等分点.
知识点02:角
1.角的度量
（1）角的定义：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边；此外，角也可以看作由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形.
(2)角的表示方法：角通常有三种表示方法：一是用三个大写英文字母表示，二是用角的顶点的一个大写英文字母表示，三是用一个小写希腊字母或一个数字表示.例如下图：
细节剖析：①角的两种定义是从不同角度对角进行的定义；
②当一个角的顶点有多个角的时候，不能用顶点的一个大写字母来表示.
（3）角度制及角度的换算
1周角=360°，1平角=180°，1°=60′，1′=60″，以度、分、秒为单位的角的度量制，叫做角度制.
细节剖析：①度、分、秒的换算是60进制，与时间中的小时分钟秒的换算相同.
②度分秒之间的转化方法：由度化为度分秒的形式(即从高级单位向低级单位转化)时用乘法逐级进行；由度分秒的形式化成度(即低级单位向高级单位转化)时用除法逐级进行.
③同种形式相加减：度加（减）度，分加（减）分，秒加（减）秒；超60进一，减一
成60.
（4）角的分类：
∠β
锐角
直角
钝角
平角
周角
范围
0＜∠β＜90°
∠β=90°
90°＜∠β<180°
∠β=180°
∠β=360°
（5）画一个角等于已知角
（1）借助三角尺能画出15°的倍数的角，在0～180°之间共能画出11个角.
（2）借助量角器能画出给定度数的角.
（3）用尺规作图法.
2.角的比较与运算
（1）角的比较方法: ①度量法；②叠合法.
（2）角的平分线：
从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫做这个角的平分线，例如：如下图，因为OC是∠AOB的平分线，所以∠1=∠2=∠AOB，或∠AOB=2∠1=2∠2.
类似地，还有角的三等分线等.
3.方位角
以正北、正南方向为基准，描述物体运动的方向，这种表示方向的角叫做方位角.
细节剖析：（1）方位角还可以看成是将正北或正南的射线旋转一定角度而形成的.所以在应用中一要确定其始边是正北还是正南.二要确定其旋转方向是向东还是向西，三要确定旋转角度的大小.
（2）北偏东45°通常叫做东北方向，北偏西45°通常叫做西北方向，南偏东45°通常叫做东南方向，南偏西45°通常叫做西南方向.
（3）方位角在航行、测绘等实际生活中的应用十分广泛.
知识点03:多边形和圆的初步认识
1.多边形及正多边形：多边形是由一些不在同一条直线上的线段依次首尾相连组成的封闭平面图形．其中，各边相等、各角也相等的多边形叫做正多边形．如下图：
细节剖析：（1）n边形有n个顶点、n条边，对角线的条数为．
（2）多边形按边数的不同可分为三角形、四边形、五边形、六边形等．
2. 圆及扇形：
（1）圆：如图，在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆，固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径. 以点O为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”．
细节剖析：圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小.
（2）扇形：由一条弧AB和经过这条弧的端点的两条半径OA，OB所组成的图形叫做扇形.如下图：
细节剖析：扇形OAB的面积公式：；扇形OAB的弧长公式：.知识点01:
考点提优练
考点01：直线、射线、线段
1．（2021秋•花溪区期末）如图棋盘上有黑、白两色棋子若干，找出所有使三颗颜色相同的棋在同一直线上的直线，满足这种条件的直线共有（ ）
A．5条 B．4条 C．3条 D．2条
解：如下图所示：
则所有三颗颜色相同的棋并且在同一直线上的直线共有五条：①竖直的三颗黑色的，②竖直的三颗白色的，③斜着三颗黑色的，④斜着三颗白色的，⑤斜着的三颗白色的．
故选：A．
2．（2021秋•金水区校级期末）下列几何图形与相应语言描述相符的是（ ）
A．如图1所示，延长线段BA到点C
B．如图2所示，射线BC经过点A
C．如图3所示，直线a和直线b相交于点A
D．如图4所示，射线CD和线段AB没有交点
解：A．如图1所示，延长线段BA到点C，几何图形与相应语言描述不相符；
B．如图2所示，射线BC不经过点A，几何图形与相应语言描述不相符；
C．如图3所示，直线a和直线b相交于点A，几何图形与相应语言描述相符；
D．如图4所示，因为射线CD可以延伸，会有交点，几何图形与相应语言描述不相符；
故选：C．
3．（2022春•宁阳县期末）甲、乙两地开通了高铁，中途有三个站停靠，如果站与站之间的路程及站点与甲、乙两地的路程都不相等，那么高铁公司需要在这段路上准备几种不同的高铁票（ ）
A．5种 B．10种 C．20种 D．40种
解：根据线段的定义：可知图中共有线段有AC，AD，AE，AB，CD、CE、CB、DE、DB、EB共10条，
因车票需要考虑方向性，如，“A→C”与“C→A”票价相同，但车票不同，故需要准备20种车票．
故选：C．
4．（2021秋•泗洪县期末）如图，在直线l上有A，B，C三点，则图中的线段共有 3 条．
解：图中线段有AB、AC、BC这3条，
故答案为：3．
5．（2021秋•云梦县校级期末）往返于A、B两地的客车，中途停靠四个站，共有 15 种不同的票价，要准备 30 种车票．
解：如图，记中途四个车站分别为C、D、E、F：
则共有AC，AD，AE，AF，AB，CD，CE，CF，CB，DE，DF，DB，EF，EB，FB，15种不同的票价，
又题中是往返列车，往返的车票都不相同，
所以共有15×2＝30票，
故答案为：15，30．
6．（2021秋•东台市期末）对于数轴上的点M，线段AB，给出如下定义：
P为线段AB上任意一点，我们把M、P两点间距离的最小值称为点M关于线段AB的“靠近距离”，记作d1（点M，线段AB）；把M、P两点间的距离的最大值称为点M关于线段AB的“远离距离”，记作d2（点M，线段AB）．
特别的，若点M与点P重合，则M，P两点间的距离为0．
已知点A表示的数为﹣5，点B表示的数为2．
如图，若点C表示的数为3，则d1（点C，线段AB）＝1，d2（点C，线段AB）＝8．
（1）若点D表示的数为﹣7，则
d1（点D，线段AB）＝ 2 ，d2（点D，线段AB）＝ 9 ；
（2）若点M表示的数为m，d1（点M，线段AB）＝3，则m的值为 ﹣8或5 ；若点N表示的数为n，d2（点N，线段AB）＝12，则n的值为 ﹣10或7 ．
（3）若点E表示的数为x，点F表示的数为x+2，d2（点F，线段AB）是d1（点E，线段AB）的3倍．求x的值．
解：（1）∵点D表示的数为﹣7，
∴d1（点D，线段AB）＝DA＝﹣5﹣（﹣7）＝2，
d2（点D，线段AB）＝DB＝2﹣（﹣7）＝9，
故答案为：2，9．
（2）①当点M在点A的左侧：
有AM＝3，
∴m＝﹣8；
当点M在点B的右侧：
有BM＝3，
∴m＝5，
∴m的值为﹣8或5．
②当点N在点A的左侧：
有BN＝12，
∴n＝﹣10；
当点N在点B的右侧：
有AN＝12，
∴n＝7，
∴n的值为﹣10或7．
（3）分两种情况：
当点E在点A的左侧，
d2（点F，线段AB）＝BF＝2﹣（x+2）＝﹣x，
d1（点E，线段AB）＝AE＝﹣5﹣x，
∵d2（点F，线段AB）是d1（点E，线段AB）的3倍，
∴﹣x＝3（﹣5﹣x），
∴x＝﹣7.5，
当点E在点B的右侧，
d2（点F，线段AB）＝AF＝x+2﹣（﹣5）＝x+7，
d1（点E，线段AB）＝EB＝x﹣2，
∵d2（点F，线段AB）是d1（点E，线段AB）的3倍，
∴x+7＝3（x﹣2），
∴x＝6.5，
综上所述：x的值为：﹣7.5或6.5．
7．（2021秋•金华期末）如图，数轴上点A，B分别表示数﹣6，12，C为AB中点．
（1）求点C表示的数．
（2）若点P为线段AB上一点，PC＝2，求点P表示的数．
（3）若点D为线段AB上一点，在线段AB上有两个动点M，N，分别同时从点A，D出发，沿数轴正方向运动，点M的速度为4个单位每秒，点N的速度为3个单位每秒，当MN＝1，NC＝2时，求点D表示的数．
解：（1）点C表示的数为：＝3；
（2）点C所表示的数为3，设点P所表示的数为p，则|p﹣3|＝2，
解得p＝5或p＝1，
答：点P所表示的数为1或5；
（3）设点D在数轴上所表示的数为d，运动的时间为ts，
则点M所表示的数为﹣6+4t，点N所表示的数为d+3t，
①当点M在点N的左侧，点N在点C的左侧，
MN＝d+3t﹣（﹣6+4t）＝d﹣t+6＝1，
即d﹣t＝﹣5，
NC＝3﹣d﹣3t＝2，
即d+3t＝1，
由可解得d＝﹣；
②当点M在点N的左侧，点N在点C的右侧，
MN＝d+3t﹣（﹣6+4t）＝d﹣t+6＝1，
即d﹣t＝﹣5，
NC＝d+3t﹣3＝2，
即d+3t＝5，
由可解得d＝﹣；
③当点M在点N的右侧，点N在点C的左侧，
MN＝﹣6+4t﹣（d+3t）＝﹣6+t﹣d＝1，
即d﹣t＝﹣7，
NC＝3﹣d﹣3t＝2，
即d+3t＝1，
由可解得d＝﹣5；
④当点M在点N的右侧，点N在点C的右侧，
MN＝﹣6+4t﹣（d+3t）＝﹣6+t﹣d＝1，
即d﹣t＝﹣7，
NC＝d+3t﹣3＝2，
即d+3t＝5，
由可解得d＝﹣4；
综上所述，点D所表示的数为﹣或﹣或﹣5或﹣4．
考点02：钟面角
9．（2021秋•长沙期末）12月21日16：15，我校七年级SuperSound英语趣配音比赛在学校千人报告厅举行．为了保证比赛准时开始，年级组长张老师组织同学16：00出发前往千人报告厅，此时时针与分针的夹角为（ ）
A．37.5° B．75° C．120° D．135°
解：16：00，此时时针与分针相距4份，
此时时针与分针所成的角度30°×4＝120°，
故选：C．
10．（2021秋•惠民县期末）2点半时，时针与分针所成的夹角为（ ）
A．120° B．115° C．110° D．105°
解：由题意得：
3×30°+×30°＝105°，
∴2点半时，时针与分针所成的夹角为105°，
故选：D．
11．（2021秋•长安区期末）钟表在12时15分时刻的时针与分针所成的角的度数是 82.5° ．
解：12时15分时刻的时针与分针相距的份数是3﹣＝，
12时15分时刻的时针与分针所成的角的度数是30×＝82.5°，
故答案为：82.5°．
12．（2020秋•秦都区校级月考）时钟显示为10：50时，时针与分针所夹锐角的大小是 25° ．
解：如图，由钟面角的定义可知，
∠AOC＝×360°＝30°，
由时针、分针旋转过程中所形成角的关系可知，
∠AOB＝30°×＝25°，
故答案为：25°．
13．（2017秋•兴化市期末）钟面角是指时钟的时针与分针所成的角．如图，在钟面上，点O为钟面的圆心，图中的圆我们称之为钟面圆．为便于研究，我们规定：钟面圆的半径OA表示时针，半径OB表示分针，它们所成的钟面角为∠AOB；本题中所提到的角都不小于0°，且不大于180°；本题中所指的时刻都介于0点整到12点整之间．
（1）时针每分钟转动的角度为 0.5 °，分针每分钟转动的角度为 6 °；
（2）8点整，钟面角∠AOB＝ 120 °，钟面角与此相等的整点还有： 4 点；
（3）如图，设半径OC指向12点方向，在图中画出6点15分时半径OA、OB的大概位置，并求出此时∠AOB的度数．
解：（1）时针每分钟转动的角度为0.5°，分针每分钟转动的角度为6°；
故答案为：0.5，6；
（2）0.5×60×4＝120°，4点时0.5×60×4＝120°，
故答案为：120，4；
（3）如图，
∠AOB＝6×30+15×0.5﹣15×6＝97.5°．
考点03：角的计算
14．（2021秋•天元区校级期末）已知：O为直线AB上一点，一个三角形COD的直角顶点放在点O上，OE平分∠AOC，OF平分∠BOD，当三角形COD绕O点旋转到如图所示时，对于下列结论：
①∠AOD﹣∠EOC＝90°；②∠AOC﹣∠BOD＝90°；③∠AOE﹣∠BOF＝45°；④∠EOF＝135°．其中正确的是（ ）
A．②③④ B．①②③ C．①③④ D．①②④
解：延长CO到G，
∴∠AOG＝∠BOC，
∵∠COD＝90°，
∴∠DOG＝90°，
∴∠AOD＝∠DOG+∠AOG＝90°+∠BOC，
∴∠AOD﹣∠BOC＝90°，
∵∠COE≠∠BOC，故①错误；
∵∠BOC＝180°﹣∠AOC，∠BOC＝90°﹣∠BOD，
∴180°﹣∠AOC＝90°﹣∠BOD，
∴∠AOC﹣∠BOD＝90°；故②正确；
∵OE平分∠AOC，OF平分∠BOD，
∴∠AOE＝∠AOC，∠BOF＝∠BOD，
∴∠AOE﹣∠BOF＝（∠AOC﹣∠BOD）＝45°，故③正确；
∵∠COE＝∠AOE，
∴∠EOF＝∠COE+∠BOC+∠BOF＝∠AOC+∠BOC+∠BOD＝（90°+∠BOD）+∠BOC+∠BOD＝45°+∠BOC+∠BOD＝45°+90°＝135°，故④正确；
故选：A．
15．（2021秋•广水市期末）将一副学生用的三角板（一个锐角为30°的直角三角形，一个锐角为45°的直角三角形）如图叠放，则下列4个结论中正确的个数有（ ）
①∠AOC+∠BOD＝90°
②∠AOC＝∠BOD
③∠AOC﹣∠CEA＝15°
④如果OB平分∠DOC，则OC平分∠AOB
A．0 B．1 C．2 D．3
解：∵∠DOC＝∠AOB＝90°，
∴∠DOC﹣∠BOC＝∠AOB﹣∠COB，
即∠AOC＝∠BOD，故②正确．
∠AOC＝∠BOD，但并不确定度数，故①不正确．
如图，AB与OC交于点P，
∵∠CPE＝∠APO，∠C＝45°，∠A＝30°，
∠CEA+∠CPE+∠C＝∠AOC+∠APO+∠A＝180°．
∴∠AOC﹣∠CEA＝15°，故③正确．
OB平分∠DOC，则，
∵∠DOC＝∠AOB，
∴∠COB＝．
∴OC平分∠AOB，故④正确．
∴正确的有②③④三个．
故选：D．
16．（2021秋•莲湖区期末）如图，将三个边长相同的正方形的一个顶点重合放置，已知∠1＝34°，∠2＝32°，则∠3＝ 24 °．
解：由图象可知：∠1+∠2+90°＝（90°﹣∠3）+（90°﹣∠3）+∠3，
∵∠1＝34°，∠2＝32°，
∴34°+32°+90°＝180°﹣∠3，
∴∠3＝24°，
故答案为：24．
17．（2021秋•江岸区期末）如图，射线OB、OC为锐角∠AOD的三等分线，若图中所有锐角度数之和为200°，则∠AOD的度数为 60° ．
解：∵OB、OC为锐角∠AOD的三等分线，
∴∠AOB＝∠BOC＝∠COD，
设∠AOB＝∠BOC＝∠COD的度数为x，
∴∠AOB+∠BOC+∠COD+∠AOC+∠AOD+∠BOD＝x+x+x+2x+3x+2x＝10x＝200°，
∴x＝20°，
∴∠AOD＝∠AOB+∠BOC+∠COD＝3x＝60°，
故答案为：60°．
18．（2021秋•市中区期末）点O为直线l上一点，射线OA、OB均与直线l重合，将射线OB绕点O逆时针旋转α（0≤α≤90°），过点O作射线OC、OD、OM、OM，使得∠BOC＝90°，∠COD＝2α，∠COM＝∠AOC，∠CON＝∠COD（OM在∠AOC内部，ON在∠COD内部），当∠MON＝α时，则α＝ 20° ．
解：由题意可得：∠AOC＝180°﹣∠BOC﹣α＝90°﹣α，
∵∠COD＝2α，∠COM＝∠AOC，∠CON＝∠COD，
∴∠CON＝，∠COM＝（90°﹣α）＝30°﹣，
∵∠COM＝∠MON+∠CON，∠MON＝α
∴30°﹣＝α+，
解得：α＝20°．
故答案为：20°．
19．（2021秋•樊城区期末）一副三角尺（分别含45°，45°，90°和30°，60°，90°）按如图1所示摆放在量角器上，边PD与量角器0°刻度线重合，边AP与量角器180°刻度线重合（∠APB＝45°，∠DPC＝30°），将三角尺ABP绕量角器中心点P以每秒15°的速度顺时针旋转，当边PB与0°刻度线重合时停止运动，设三角尺ABP的运动时间为t．
（1）当t＝3时，边PB经过的量角器刻度线对应的度数是 90 度；
（2）如图2，若在三角尺ABP开始旋转的同时，三角尺PCD也绕点P以每秒5°的速度逆时针旋转，当三角尺ABP停止旋转时，三角尺PCD也停止旋转，∠MPN＝180°．
①用含t的代数式表示：∠NPD＝ （5t）° ；∠MPB＝ （15t+45）° ；当t为何值时，∠BPC＝5°？
②从三角尺ABP与三角尺PCD第一对直角边和斜边重叠开始起到另一对直角边和斜边重叠结束止，经过的时间t为 秒．
解：（1）当t＝3秒时，由旋转可知：
边BP旋转的角度为：15°×3＝45°，
∴边PB经过的量角器刻度线对应的度数为：180°﹣（45°+3×15°）＝90°，
故答案为：90°；
（2）①∵三角尺PCD也绕点P以每秒5°的速度逆时针旋转，
∴∠NPD＝（5t）°，
∵∠APB＝45°，
∴∠MPB＝∠MPA+∠APB＝（15t）°+45°＝（15t+45）°，
故答案为：（5t）°，（15t+45）°，
在三角尺ABP和三角尺PCD旋转前，∠BPC＝180°﹣45°﹣30°＝105°，
现在∠BPC＝5°，分两种情况：
PB与PC相遇前，则：
15t+5t＝105﹣5，
解得：t＝5，
PB与PC相遇后，则：
15t+5t＝105+5，
解得：t＝5.5，
∴当t为秒5或5.5秒时，∠BPC＝5°；
②∵∠APB＝45°，∠CPD＝30°，
∴当PB与PC重合时，∠APD＝45°+30°＝75°，
当PA与PD重合时，即PA与PD共旋转了75°，
∴15t+5t＝75，
∴t＝，
故答案为：．
20．（2021秋•雨花区校级期末）已知，如图，∠AOB：∠BOC＝3：2，OD是∠BOC的平分线，OE是∠AOC的平分线，且∠BOE＝16°．
（1）求∠DOE的度数；
（2）求∠AOC的度数．
解：（1）设∠AOB＝3x，∠BOC＝2x．
则∠AOC＝∠AOB+∠BOC＝5x．
∵OE是∠AOC的平分线，
∴∠AOE＝∠AOC＝x，
∴∠BOE＝∠AOB﹣∠AOE＝3x−x＝x，
∵∠BOE＝16°，
∴x＝16°，
解得，x＝32°，
∵OD是∠BOC的平分线，
∴∠BOD＝∠BOC＝x＝32°，
∴∠DOE＝∠DOB+∠BOE＝32°+16°＝48°．
（2）∠AOC＝∠AOB+∠BOC＝5x＝160°
21．（2022春•广饶县期末）直线AB外有一定点C，O是直线AB上的一个动点．
（1）如图1所示，当点O从左向右运动时，观察∠α的变化情况，正确的是 B ．
A．逐渐变大
B．逐渐变小
C．大小不变
D．无法确定
（2）当点O运动到∠α＝140°时，点O运动停止，然后将射线OB绕着点O顺时针旋转到如图2位置，且∠AOC：∠BOC＝1：2．
①求图2中∠AOC，∠BOC的度数；
②在图2的基础上，作射线OM平分∠AOC，在∠BOC内作射线ON，使得∠CON：∠BON＝1：3，如图3，求∠MON的度数．
解：（1）由图可知，当点O从左向右运动时，∠α逐渐变小，
故选：B；
（2）①当∠α＝140°时，∠AOC＝180°﹣140°＝40°，
∵∠AOC：∠BOC＝1：2，
∴∠BOC＝2∠AOC＝80°，
答：∠AOC＝40°，∠BOC＝80°；
②由①得，∠BOC＝80°，
∵∠CON：∠BON＝1：3，
∴∠CON＝∠BOC＝20°，
∵OM平分∠AOC，
∴∠MOC＝AOC＝20°，
∴∠MON＝20°+20°＝40°．
22．（2021秋•滨海县期末）【阅读理解】
射线OC是∠AOB内部的一条射线，若∠COA＝∠AOB，则我们称射线OC是射线OA的“友好线”．例如，如图1，∠AOB＝60°，∠AOC＝∠COD＝∠BOD＝20°，则∠AOC＝∠AOB，称射线OC是射线OA的友好线；同时，由于∠BOD＝∠AOB，称射线OD是射线OB的友好线．
【知识运用】
（1）如图2，∠AOB＝120°，射线OM是射线OA的友好线，则∠AOM＝ 40 °；
（2）如图3，∠AOB＝180°，射线OC与射线OA重合，并绕点O以每秒2°的速度逆时针旋转，射线OD与射线OB重合，并绕点O以每秒3°的速度顺时针旋转，当射线OD与射线OA重合时，运动停止；
①是否存在某个时刻t（秒），使得∠COD的度数是40°，若存在，求出t的值，若不存在，请说明理由；
②当t为多少秒时，射线OC、OD、OA中恰好有一条射线是另一条射线的友好线．（直接写出答案）
解：（1）∵射线OM是射线OA的友好线，
∴∠AOM＝∠AOB＝40°，
故答案为：40°；
（2）射线OD与射线OA重合时，t＝60（秒），
①存在某个时刻t（秒），使得∠COD的度数是40°，有两种情况：
在OC、OD相遇前，180°﹣3t°﹣2t°＝40°，
∴t＝28；
在OC、OD相遇后，3t°+2t°﹣180°＝40°，
∴t＝44，
综上所述，当t为28秒或44秒时，∠COD的度数是40°；
②相遇之前，
（Ⅰ）如图：
OC是OA的友好线时，
∠AOC＝∠AOD，即2t°＝（180°﹣3t°），
∴t＝20；
（Ⅱ）如图：
OC是OD的友好线时，
∠DOC＝∠AOD，即180°﹣3t°﹣2t°＝（180°﹣3t°），
∴t＝30；
相遇之后：
（Ⅲ）
OD是OC的友好点
∠COD＝∠AOC，即3t°+2t°﹣180°＝×2t°，
∴t＝，
（Ⅳ）
OD是OA的友好点，
∠AOD＝∠AOC，即180°﹣3t°＝×2t°，
∴t＝，
综上所述，当t为20秒或30秒或秒或秒时，射线OC、OD、OA中恰好有一条射线是另一条射线的友好线．
考点04：作图—基本作图
24．（2021秋•信都区期末）数学课上，老师提出一个问题：经过已知角一边上的点，做一个角等于已知角．如图，用尺规过∠AOB的边OB上一点C（图①）作∠DCB＝∠AOB（图②）．我们可以通过以下步骤作图：
①作射线CD；
②以点O为圆心，小于OC的长为半径作弧，分别交OAOB于点N，M；
③以点P为圆心，MN的长为半径作弧，交上一段弧于点Q；
④以点C为圆心，OM的长为半径作弧，交OB于点P．
下列排序正确的是（ ）
A．①②③④ B．④③①② C．③②④① D．②④③①
解：正确的排序是：②以O为圆心，以任意定长为半径作弧，分别交OA、OB于N、M；
④以点C为圆心，OM的长为半径作弧，交OB于点P．
③以点P为圆心，MN的长为半径作弧，交上一段弧于点Q；
①作射线CD；
故选：D．
25．（2022春•沂源县期末）如图，点C在∠AOB的OB边上，用尺规作出了∠AOB＝∠NCB，作图痕迹中，弧FG是（ ）
A．以点C为圆心，OD为半径的弧
B．以点C为圆心，DM为半径的弧
C．以点E为圆心，OD为半径的弧
D．以点E为圆心，DM为半径的弧
解：作图痕迹中，弧FG是以点E为圆心，DM为半径的弧，
故选：D．
26．（2021秋•青山湖区校级月考）如图，小莹利用圆规在线段CE上截取线段CD，使CD＝AB．若点D恰好为CE的中点，则下列结论中正确的是（ ）
A． B．CE＝2DE C．AB＝CE D．
解：∵点D为CE的中点，
∴CE＝2CD＝2DE，故A不符合题意；B符合题意；
∵点D为CE的中点，
∴CD＝DE，
∵CD＝AB，
∴AB＝CD＝DE，故C，D不符合题意；
故选：B．
27．（2017秋•房山区期末）阅读下面材料：
在数学课上，老师提出如下问题：
小丽设计的方案如下：
老师说：“小丽的画法正确”
请回答：小丽的画图依据是 两点之间线段最短；直线外一点到这条直线上所有点连接的线段中，垂线段最短．（或垂线段最短） ．
解：小丽的画图依据是两点之间线段最短；直线外一点到这条直线上所有点连接的线段中，垂线段最短．（或垂线段最短）；
故答案为两点之间线段最短；直线外一点到这条直线上所有点连接的线段中，垂线段最短（或垂线段最短）；
28．（2021秋•漳州期末）已知线段a，b，点A，P位置如图所示．
（1）画射线AP，请用圆规在射线AP上依次截取AB＝a，BC＝b；（保留作图痕迹，不写作法）
（2）在（1）所作图形中，若M，N分别为AB，BC的中点，在图形中标出点M，N的位置，再求出当a＝4，b＝2时，线段MN的长．
解：（1）如图所示，线段AB、BC即为所求．
（2）∵a＝4，b＝2，即AB＝4，BC＝2，且M，N分别为AB，BC的中点，
∴MB＝AB＝2，BN＝BC＝1，
∴MN＝MB+BN＝2+1＝3．
29．（2021秋•罗源县期末）如图，点C是线段AB外一点．按下列语句画图：
（1）画射线CB；
（2）反向延长线段AB；
（3）连接AC；
（4）延长AC至点D，使CD＝AC．
解：如图所示．
考点05：扇形面积的计算
30．（2018秋•漳浦县期末）如图，把一个直径为12的半圆分成三个大小相同的扇形，则每个扇形的面积是（ ）
A．24π B．18π C．12π D．6π
解：由题意每个扇形的面积＝＝6π，
故选：D．
31．（2018秋•鲤城区校级期末）如图，在正方形ABCD的边长为3，以A为圆心，2为半径作圆弧，以D为圆心，3为径作圆弧．若图中阴影部分的面积分为S1、S2则S1﹣S2为（ ）
A．9 B．9﹣π C．﹣9 D．
解：∵S正方形ABCD＝3×3＝9，
S扇形ADC＝，
S扇形EAF＝，
∵S扇形EAF﹣（S正方形﹣S扇形ADC）＝（S1+S3）﹣[（S1+S2+S3+S4）﹣（S1+S4）]
＝S1﹣S2，
∴S1﹣S2＝S扇形EAF﹣（S正方形﹣S扇形ADC）＝π﹣（9﹣）＝﹣9．
故选：C．
32．（2020秋•枣庄月考）如图，△ABC中，D为BC的中点，以D为圆心，BD长为半径画一弧，交AC于点E，若∠EDC＝140°，BC＝4，则扇形BDE的面积为 （结果保留π）．
解：∵∠EDC＝140°，
∴∠BDE＝180°﹣∠EDC＝40°，
又∵D为BC的中点，
∴BD＝DC＝BC＝＝2，
∴扇形BDE的面积＝＝，
故答案为：．
33．（2020秋•九龙坡区校级期中）如图，在长方形ABCD中连接AC，并以CD为直径画半圆，则阴影部分的面积为 （结果用含π的式子表示）．
解：设CD的中点为O，半圆与AB相切于点E，AC交OE于J．
∵S△AEJ＝S△COJ，
∴S阴＝S阴＝＝，
故答案为：．
34．（2013•长汀县一模）如图扇形纸扇完全打开后，外侧两竹条AB、AC的夹角为120°，AB长为30cm，贴纸部分BD长为20cm，求贴纸部分的面积．
解：设AB＝R，AD＝r，则有S贴纸＝πR2﹣πr2
＝π（R2﹣r2）＝π（R+r）（R﹣r）＝（30+10）×（30﹣10）π＝π（cm2）；
答：贴纸部分的面积为πcm2．
35．（2022秋•锡山区校级月考）底边和高都是6厘米的等腰三角形，分别以高的长为直径画圆，以底的一半长为直径画两个半圆，求阴影部分的面积．
解：如图，
阴影部分面积＝S⊙O﹣S△ADE﹣S△ADF+S半圆BD﹣S△BDE+S半圆DC﹣S△CDF
＝S⊙O+S半圆BD+S半圆DC﹣S△ABC
＝π•32+π•（）2+π•（）2﹣×6×6
＝（π﹣18）cm2．
36．（2021秋•庐阳区校级期中）如图是一个零件的截面图，它是由一个梯形和一个半圆组成的，已知梯形上底为m，下底为n，高为h．
（1）用代数式表示图中阴影部分面积．
（2）当m＝2厘米，n＝4厘米，h＝3厘米时，求阴影面积（结果含π）．
解：（1）根据题意得，
阴影部分的面积为：﹣＝，
即阴影部分的面积为；
（2）当m＝2，n＝4，h＝3时，
＝
＝9﹣．
故阴影部分的面积为（9﹣）cm2．
考点06：多边形的对角线
37．（2022春•莘县期末）一个多边形从一个顶点出发，最多可以作2条对角线，则这个多边形是（ ）
A．四边形 B．五边形 C．六边形 D．七边形
解：设这个多边形的边数是n，由题意得
n﹣3＝2，解得n＝5．
故选：B．
38．（2021秋•商河县期末）从六边形的一个顶点出发，可以画出m条对角线，它们将六边形分成n个三角形．则m、n的值分别为（ ）
A．4，3 B．3，3 C．3，4 D．4，4
解：对角线的数量m＝6﹣3＝3条；
分成的三角形的数量为n＝6﹣2＝4个．
故选：C．
39．（2020秋•邛崃市期末）从n边形的一个顶点出发，连接其余各顶点，可以将这个n边形分割成17个三角形，则n＝ 19 ．
解：从n边形的一个顶点出发，分别连接这个顶点与其余各顶点，可以把这个n边形分割成（n﹣2）个三角形．
所以n﹣2＝17，
所以n＝19．
故答案为：19．
40．（2019秋•舞钢市期末）从多边形的一个顶点可以作出6条多边形的对角线，则该多边形的边数是 9 ．
解：设这个多边形是n边形．
依题意，得n﹣3＝6，
解得n＝9．
故该多边形的边数是9．
故答案为：9．
41．（1）从n边形任意一个顶点出发，分别连接这个顶点与其余各顶点（相邻顶点除外），得到 n﹣3 条线段，可把这个n边形分割成 n﹣2 个三角形；
（2）从n边形的一条边上任意一个点出发（顶点除外），分别连接这个点与其余各顶点（左右两个相邻顶点除外），得到 n﹣2 条线段，可把这个n边形分割成 n﹣1 个三角形；
（3）从n边形的内部任意一个点出发，分别连接这个点与其余各顶点，得到 n 条线段，可把这个n边形分割成 n 个三角形．
解：（1）从n边形任意一个顶点出发，分别连接这个顶点与其余各顶点（相邻顶点除外），得到（n﹣3）条线段，可把这个n边形分割成（n﹣2）个三角形；
（2）从n边形的一条边上任意一个点出发（顶点除外），分别连接这个点与其余各顶点（左右两个相邻顶点除外），得到（n﹣2）条线段，可把这个n边形分割成（n﹣1）个三角形；
（3）从n边形的内部任意一个点出发，分别连接这个点与其余各顶点，得到n条线段，可把这个n边形分割成n个三角形．
故答案为：（1）n﹣3，n﹣2；（2）n﹣2，n﹣1；（3）n，n．
42．（2020春•白云区期末）多边形上或内部的一点与多边形各顶点的连线，可以将多边形分割成若干个小三角形．如图，给出了四边形的三种具体分割方法，分别将四边形分割成了2个、3个、4个小三角形，这样我们就可以借助研究三角形的经验研究四边形了．
图①被分割成2个小三角形
图②被分割成3个小三角形
图③被分割成4个小三角形
（1）请按照上述三种方法分别将图中的六边形进行分割，并写出每种方法所得到的小三角形的个数：
图①被分割成 4 个小三角形、图②被分割成 5 个小三角形、图③被分割成 6 个小三角形
（2）如果按照上述三种分割方法分别分割n边形，请写出每种方法所得到的小三角形的个数（用含n的代数式写出结论即可，不必画图）；
按照上述图①、图②、图③的分割方法，n边形分别可以被分割成 （n﹣2） 、 （n﹣1） 、 n 个小三角形．
解：（1）如图所示：
可以发现所分割成的三角形的个数分别是4个，5个，6个；
故答案为：4；5；6；
（2）结合两个特殊图形，可以发现：
第一种分割法把n边形分割成了（n﹣2）个三角形；
第二种分割法把n边形分割成了（n﹣1）个三角形；
第三种分割法把n边形分割成了n个三角形．
故答案为：（1）4，5，6；（2）（n﹣2）；（n﹣1）；n
2022-2023学年北师大版数学七年级上册章节考点精讲精练
第4章《基本平面图形》
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知识点01:线段、射线、直线
1.直线，射线与线段的区别与联系
2.基本性质
(1)直线的性质:两点确定一条直线． (2)线段的性质:两点之间，线段最短．
细节剖析：①本知识点可用来解释很多生活中的现象. 如：要在墙上固定一个木条，只要两个钉子就可以了，因为如果把木条看作一条直线，那么两点可确定一条直线.
②连接两点间的线段的长度，叫做两点的距离.
3.画一条线段等于已知线段
（1）度量法：可用直尺先量出线段的长度,再画一条等于这个长度的线段.
（2）用尺规作图法：用圆规在射线AC上截取AB=ａ，如下图：
4.线段的比较与运算
（1）线段的比较：
比较两条线段的长短，常用两种方法，一种是度量法；一种是叠合法.
（2）线段的和与差：
如下图，有AB+BC=AC，或AC=a+b；AD=AB-BD。
（3）线段的中点：
把一条线段分成两条相等线段的点，叫做线段的中点．如下图，有：
细节剖析：①线段中点的等价表述：如上图，点M在线段AB上，且有，则点M为线段AB的中点.
②除线段的中点（即二等分点）外，类似的还有线段的三等分点、四等分点等.如下图，点M,N,P均为线段AB的四等分点.
知识点02:角
1.角的度量
（1）角的定义：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边；此外，角也可以看作由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形.
(2)角的表示方法：角通常有三种表示方法：一是用三个大写英文字母表示，二是用角的顶点的一个大写英文字母表示，三是用一个小写希腊字母或一个数字表示.例如下图：
细节剖析：①角的两种定义是从不同角度对角进行的定义；
②当一个角的顶点有多个角的时候，不能用顶点的一个大写字母来表示.
（3）角度制及角度的换算
1周角=360°，1平角=180°，1°=60′，1′=60″，以度、分、秒为单位的角的度量制，叫做角度制.
细节剖析：①度、分、秒的换算是60进制，与时间中的小时分钟秒的换算相同.
②度分秒之间的转化方法：由度化为度分秒的形式(即从高级单位向低级单位转化)时用乘法逐级进行；由度分秒的形式化成度(即低级单位向高级单位转化)时用除法逐级进行.
③同种形式相加减：度加（减）度，分加（减）分，秒加（减）秒；超60进一，减一
成60.
（4）角的分类：
∠β
锐角
直角
钝角
平角
周角
范围
0＜∠β＜90°
∠β=90°
90°＜∠β<180°
∠β=180°
∠β=360°
（5）画一个角等于已知角
（1）借助三角尺能画出15°的倍数的角，在0～180°之间共能画出11个角.
（2）借助量角器能画出给定度数的角.
（3）用尺规作图法.
2.角的比较与运算
（1）角的比较方法: ①度量法；②叠合法.
（2）角的平分线：
从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫做这个角的平分线，例如：如下图，因为OC是∠AOB的平分线，所以∠1=∠2=∠AOB，或∠AOB=2∠1=2∠2.
类似地，还有角的三等分线等.
3.方位角
以正北、正南方向为基准，描述物体运动的方向，这种表示方向的角叫做方位角.
细节剖析：（1）方位角还可以看成是将正北或正南的射线旋转一定角度而形成的.所以在应用中一要确定其始边是正北还是正南.二要确定其旋转方向是向东还是向西，三要确定旋转角度的大小.
（2）北偏东45°通常叫做东北方向，北偏西45°通常叫做西北方向，南偏东45°通常叫做东南方向，南偏西45°通常叫做西南方向.
（3）方位角在航行、测绘等实际生活中的应用十分广泛.
知识点03:多边形和圆的初步认识
1.多边形及正多边形：多边形是由一些不在同一条直线上的线段依次首尾相连组成的封闭平面图形．其中，各边相等、各角也相等的多边形叫做正多边形．如下图：
细节剖析：（1）n边形有n个顶点、n条边，对角线的条数为．
（2）多边形按边数的不同可分为三角形、四边形、五边形、六边形等．
2. 圆及扇形：
（1）圆：如图，在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆，固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径. 以点O为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”．
细节剖析：圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小.
（2）扇形：由一条弧AB和经过这条弧的端点的两条半径OA，OB所组成的图形叫做扇形.如下图：
细节剖析：扇形OAB的面积公式：；扇形OAB的弧长公式：.知识点01:
考点提优练
考点01：直线、射线、线段
1．（2021秋•花溪区期末）如图棋盘上有黑、白两色棋子若干，找出所有使三颗颜色相同的棋在同一直线上的直线，满足这种条件的直线共有（ ）
A．5条 B．4条 C．3条 D．2条
解：如下图所示：
则所有三颗颜色相同的棋并且在同一直线上的直线共有五条：①竖直的三颗黑色的，②竖直的三颗白色的，③斜着三颗黑色的，④斜着三颗白色的，⑤斜着的三颗白色的．
故选：A．
2．（2021秋•金水区校级期末）下列几何图形与相应语言描述相符的是（ ）
A．如图1所示，延长线段BA到点C
B．如图2所示，射线BC经过点A
C．如图3所示，直线a和直线b相交于点A
D．如图4所示，射线CD和线段AB没有交点
解：A．如图1所示，延长线段BA到点C，几何图形与相应语言描述不相符；
B．如图2所示，射线BC不经过点A，几何图形与相应语言描述不相符；
C．如图3所示，直线a和直线b相交于点A，几何图形与相应语言描述相符；
D．如图4所示，因为射线CD可以延伸，会有交点，几何图形与相应语言描述不相符；
故选：C．
3．（2022春•宁阳县期末）甲、乙两地开通了高铁，中途有三个站停靠，如果站与站之间的路程及站点与甲、乙两地的路程都不相等，那么高铁公司需要在这段路上准备几种不同的高铁票（ ）
A．5种 B．10种 C．20种 D．40种
解：根据线段的定义：可知图中共有线段有AC，AD，AE，AB，CD、CE、CB、DE、DB、EB共10条，
因车票需要考虑方向性，如，“A→C”与“C→A”票价相同，但车票不同，故需要准备20种车票．
故选：C．
4．（2021秋•泗洪县期末）如图，在直线l上有A，B，C三点，则图中的线段共有 3 条．
解：图中线段有AB、AC、BC这3条，
故答案为：3．
5．（2021秋•云梦县校级期末）往返于A、B两地的客车，中途停靠四个站，共有 15 种不同的票价，要准备 30 种车票．
解：如图，记中途四个车站分别为C、D、E、F：
则共有AC，AD，AE，AF，AB，CD，CE，CF，CB，DE，DF，DB，EF，EB，FB，15种不同的票价，
又题中是往返列车，往返的车票都不相同，
所以共有15×2＝30票，
故答案为：15，30．
6．（2021秋•东台市期末）对于数轴上的点M，线段AB，给出如下定义：
P为线段AB上任意一点，我们把M、P两点间距离的最小值称为点M关于线段AB的“靠近距离”，记作d1（点M，线段AB）；把M、P两点间的距离的最大值称为点M关于线段AB的“远离距离”，记作d2（点M，线段AB）．
特别的，若点M与点P重合，则M，P两点间的距离为0．
已知点A表示的数为﹣5，点B表示的数为2．
如图，若点C表示的数为3，则d1（点C，线段AB）＝1，d2（点C，线段AB）＝8．
（1）若点D表示的数为﹣7，则
d1（点D，线段AB）＝ 2 ，d2（点D，线段AB）＝ 9 ；
（2）若点M表示的数为m，d1（点M，线段AB）＝3，则m的值为 ﹣8或5 ；若点N表示的数为n，d2（点N，线段AB）＝12，则n的值为 ﹣10或7 ．
（3）若点E表示的数为x，点F表示的数为x+2，d2（点F，线段AB）是d1（点E，线段AB）的3倍．求x的值．
解：（1）∵点D表示的数为﹣7，
∴d1（点D，线段AB）＝DA＝﹣5﹣（﹣7）＝2，
d2（点D，线段AB）＝DB＝2﹣（﹣7）＝9，
故答案为：2，9．
（2）①当点M在点A的左侧：
有AM＝3，
∴m＝﹣8；
当点M在点B的右侧：
有BM＝3，
∴m＝5，
∴m的值为﹣8或5．
②当点N在点A的左侧：
有BN＝12，
∴n＝﹣10；
当点N在点B的右侧：
有AN＝12，
∴n＝7，
∴n的值为﹣10或7．
（3）分两种情况：
当点E在点A的左侧，
d2（点F，线段AB）＝BF＝2﹣（x+2）＝﹣x，
d1（点E，线段AB）＝AE＝﹣5﹣x，
∵d2（点F，线段AB）是d1（点E，线段AB）的3倍，
∴﹣x＝3（﹣5﹣x），
∴x＝﹣7.5，
当点E在点B的右侧，
d2（点F，线段AB）＝AF＝x+2﹣（﹣5）＝x+7，
d1（点E，线段AB）＝EB＝x﹣2，
∵d2（点F，线段AB）是d1（点E，线段AB）的3倍，
∴x+7＝3（x﹣2），
∴x＝6.5，
综上所述：x的值为：﹣7.5或6.5．
7．（2021秋•金华期末）如图，数轴上点A，B分别表示数﹣6，12，C为AB中点．
（1）求点C表示的数．
（2）若点P为线段AB上一点，PC＝2，求点P表示的数．
（3）若点D为线段AB上一点，在线段AB上有两个动点M，N，分别同时从点A，D出发，沿数轴正方向运动，点M的速度为4个单位每秒，点N的速度为3个单位每秒，当MN＝1，NC＝2时，求点D表示的数．
解：（1）点C表示的数为：＝3；
（2）点C所表示的数为3，设点P所表示的数为p，则|p﹣3|＝2，
解得p＝5或p＝1，
答：点P所表示的数为1或5；
（3）设点D在数轴上所表示的数为d，运动的时间为ts，
则点M所表示的数为﹣6+4t，点N所表示的数为d+3t，
①当点M在点N的左侧，点N在点C的左侧，
MN＝d+3t﹣（﹣6+4t）＝d﹣t+6＝1，
即d﹣t＝﹣5，
NC＝3﹣d﹣3t＝2，
即d+3t＝1，
由可解得d＝﹣；
②当点M在点N的左侧，点N在点C的右侧，
MN＝d+3t﹣（﹣6+4t）＝d﹣t+6＝1，
即d﹣t＝﹣5，
NC＝d+3t﹣3＝2，
即d+3t＝5，
由可解得d＝﹣；
③当点M在点N的右侧，点N在点C的左侧，
MN＝﹣6+4t﹣（d+3t）＝﹣6+t﹣d＝1，
即d﹣t＝﹣7，
NC＝3﹣d﹣3t＝2，
即d+3t＝1，
由可解得d＝﹣5；
④当点M在点N的右侧，点N在点C的右侧，
MN＝﹣6+4t﹣（d+3t）＝﹣6+t﹣d＝1，
即d﹣t＝﹣7，
NC＝d+3t﹣3＝2，
即d+3t＝5，
由可解得d＝﹣4；
综上所述，点D所表示的数为﹣或﹣或﹣5或﹣4．
考点02：钟面角
9．（2021秋•长沙期末）12月21日16：15，我校七年级SuperSound英语趣配音比赛在学校千人报告厅举行．为了保证比赛准时开始，年级组长张老师组织同学16：00出发前往千人报告厅，此时时针与分针的夹角为（ ）
A．37.5° B．75° C．120° D．135°
解：16：00，此时时针与分针相距4份，
此时时针与分针所成的角度30°×4＝120°，
故选：C．
10．（2021秋•惠民县期末）2点半时，时针与分针所成的夹角为（ ）
A．120° B．115° C．110° D．105°
解：由题意得：
3×30°+×30°＝105°，
∴2点半时，时针与分针所成的夹角为105°，
故选：D．
11．（2021秋•长安区期末）钟表在12时15分时刻的时针与分针所成的角的度数是 82.5° ．
解：12时15分时刻的时针与分针相距的份数是3﹣＝，
12时15分时刻的时针与分针所成的角的度数是30×＝82.5°，
故答案为：82.5°．
12．（2020秋•秦都区校级月考）时钟显示为10：50时，时针与分针所夹锐角的大小是 25° ．
解：如图，由钟面角的定义可知，
∠AOC＝×360°＝30°，
由时针、分针旋转过程中所形成角的关系可知，
∠AOB＝30°×＝25°，
故答案为：25°．
13．（2017秋•兴化市期末）钟面角是指时钟的时针与分针所成的角．如图，在钟面上，点O为钟面的圆心，图中的圆我们称之为钟面圆．为便于研究，我们规定：钟面圆的半径OA表示时针，半径OB表示分针，它们所成的钟面角为∠AOB；本题中所提到的角都不小于0°，且不大于180°；本题中所指的时刻都介于0点整到12点整之间．
（1）时针每分钟转动的角度为 0.5 °，分针每分钟转动的角度为 6 °；
（2）8点整，钟面角∠AOB＝ 120 °，钟面角与此相等的整点还有： 4 点；
（3）如图，设半径OC指向12点方向，在图中画出6点15分时半径OA、OB的大概位置，并求出此时∠AOB的度数．
解：（1）时针每分钟转动的角度为0.5°，分针每分钟转动的角度为6°；
故答案为：0.5，6；
（2）0.5×60×4＝120°，4点时0.5×60×4＝120°，
故答案为：120，4；
（3）如图，
∠AOB＝6×30+15×0.5﹣15×6＝97.5°．
考点03：角的计算
14．（2021秋•天元区校级期末）已知：O为直线AB上一点，一个三角形COD的直角顶点放在点O上，OE平分∠AOC，OF平分∠BOD，当三角形COD绕O点旋转到如图所示时，对于下列结论：
①∠AOD﹣∠EOC＝90°；②∠AOC﹣∠BOD＝90°；③∠AOE﹣∠BOF＝45°；④∠EOF＝135°．其中正确的是（ ）
A．②③④ B．①②③ C．①③④ D．①②④
解：延长CO到G，
∴∠AOG＝∠BOC，
∵∠COD＝90°，
∴∠DOG＝90°，
∴∠AOD＝∠DOG+∠AOG＝90°+∠BOC，
∴∠AOD﹣∠BOC＝90°，
∵∠COE≠∠BOC，故①错误；
∵∠BOC＝180°﹣∠AOC，∠BOC＝90°﹣∠BOD，
∴180°﹣∠AOC＝90°﹣∠BOD，
∴∠AOC﹣∠BOD＝90°；故②正确；
∵OE平分∠AOC，OF平分∠BOD，
∴∠AOE＝∠AOC，∠BOF＝∠BOD，
∴∠AOE﹣∠BOF＝（∠AOC﹣∠BOD）＝45°，故③正确；
∵∠COE＝∠AOE，
∴∠EOF＝∠COE+∠BOC+∠BOF＝∠AOC+∠BOC+∠BOD＝（90°+∠BOD）+∠BOC+∠BOD＝45°+∠BOC+∠BOD＝45°+90°＝135°，故④正确；
故选：A．
15．（2021秋•广水市期末）将一副学生用的三角板（一个锐角为30°的直角三角形，一个锐角为45°的直角三角形）如图叠放，则下列4个结论中正确的个数有（ ）
①∠AOC+∠BOD＝90°
②∠AOC＝∠BOD
③∠AOC﹣∠CEA＝15°
④如果OB平分∠DOC，则OC平分∠AOB
A．0 B．1 C．2 D．3
解：∵∠DOC＝∠AOB＝90°，
∴∠DOC﹣∠BOC＝∠AOB﹣∠COB，
即∠AOC＝∠BOD，故②正确．
∠AOC＝∠BOD，但并不确定度数，故①不正确．
如图，AB与OC交于点P，
∵∠CPE＝∠APO，∠C＝45°，∠A＝30°，
∠CEA+∠CPE+∠C＝∠AOC+∠APO+∠A＝180°．
∴∠AOC﹣∠CEA＝15°，故③正确．
OB平分∠DOC，则，
∵∠DOC＝∠AOB，
∴∠COB＝．
∴OC平分∠AOB，故④正确．
∴正确的有②③④三个．
故选：D．
16．（2021秋•莲湖区期末）如图，将三个边长相同的正方形的一个顶点重合放置，已知∠1＝34°，∠2＝32°，则∠3＝ 24 °．
解：由图象可知：∠1+∠2+90°＝（90°﹣∠3）+（90°﹣∠3）+∠3，
∵∠1＝34°，∠2＝32°，
∴34°+32°+90°＝180°﹣∠3，
∴∠3＝24°，
故答案为：24．
17．（2021秋•江岸区期末）如图，射线OB、OC为锐角∠AOD的三等分线，若图中所有锐角度数之和为200°，则∠AOD的度数为 60° ．
解：∵OB、OC为锐角∠AOD的三等分线，
∴∠AOB＝∠BOC＝∠COD，
设∠AOB＝∠BOC＝∠COD的度数为x，
∴∠AOB+∠BOC+∠COD+∠AOC+∠AOD+∠BOD＝x+x+x+2x+3x+2x＝10x＝200°，
∴x＝20°，
∴∠AOD＝∠AOB+∠BOC+∠COD＝3x＝60°，
故答案为：60°．
18．（2021秋•市中区期末）点O为直线l上一点，射线OA、OB均与直线l重合，将射线OB绕点O逆时针旋转α（0≤α≤90°），过点O作射线OC、OD、OM、OM，使得∠BOC＝90°，∠COD＝2α，∠COM＝∠AOC，∠CON＝∠COD（OM在∠AOC内部，ON在∠COD内部），当∠MON＝α时，则α＝ 20° ．
解：由题意可得：∠AOC＝180°﹣∠BOC﹣α＝90°﹣α，
∵∠COD＝2α，∠COM＝∠AOC，∠CON＝∠COD，
∴∠CON＝，∠COM＝（90°﹣α）＝30°﹣，
∵∠COM＝∠MON+∠CON，∠MON＝α
∴30°﹣＝α+，
解得：α＝20°．
故答案为：20°．
19．（2021秋•樊城区期末）一副三角尺（分别含45°，45°，90°和30°，60°，90°）按如图1所示摆放在量角器上，边PD与量角器0°刻度线重合，边AP与量角器180°刻度线重合（∠APB＝45°，∠DPC＝30°），将三角尺ABP绕量角器中心点P以每秒15°的速度顺时针旋转，当边PB与0°刻度线重合时停止运动，设三角尺ABP的运动时间为t．
（1）当t＝3时，边PB经过的量角器刻度线对应的度数是 90 度；
（2）如图2，若在三角尺ABP开始旋转的同时，三角尺PCD也绕点P以每秒5°的速度逆时针旋转，当三角尺ABP停止旋转时，三角尺PCD也停止旋转，∠MPN＝180°．
①用含t的代数式表示：∠NPD＝ （5t）° ；∠MPB＝ （15t+45）° ；当t为何值时，∠BPC＝5°？
②从三角尺ABP与三角尺PCD第一对直角边和斜边重叠开始起到另一对直角边和斜边重叠结束止，经过的时间t为 秒．
解：（1）当t＝3秒时，由旋转可知：
边BP旋转的角度为：15°×3＝45°，
∴边PB经过的量角器刻度线对应的度数为：180°﹣（45°+3×15°）＝90°，
故答案为：90°；
（2）①∵三角尺PCD也绕点P以每秒5°的速度逆时针旋转，
∴∠NPD＝（5t）°，
∵∠APB＝45°，
∴∠MPB＝∠MPA+∠APB＝（15t）°+45°＝（15t+45）°，
故答案为：（5t）°，（15t+45）°，
在三角尺ABP和三角尺PCD旋转前，∠BPC＝180°﹣45°﹣30°＝105°，
现在∠BPC＝5°，分两种情况：
PB与PC相遇前，则：
15t+5t＝105﹣5，
解得：t＝5，
PB与PC相遇后，则：
15t+5t＝105+5，
解得：t＝5.5，
∴当t为秒5或5.5秒时，∠BPC＝5°；
②∵∠APB＝45°，∠CPD＝30°，
∴当PB与PC重合时，∠APD＝45°+30°＝75°，
当PA与PD重合时，即PA与PD共旋转了75°，
∴15t+5t＝75，
∴t＝，
故答案为：．
20．（2021秋•雨花区校级期末）已知，如图，∠AOB：∠BOC＝3：2，OD是∠BOC的平分线，OE是∠AOC的平分线，且∠BOE＝16°．
（1）求∠DOE的度数；
（2）求∠AOC的度数．
解：（1）设∠AOB＝3x，∠BOC＝2x．
则∠AOC＝∠AOB+∠BOC＝5x．
∵OE是∠AOC的平分线，
∴∠AOE＝∠AOC＝x，
∴∠BOE＝∠AOB﹣∠AOE＝3x−x＝x，
∵∠BOE＝16°，
∴x＝16°，
解得，x＝32°，
∵OD是∠BOC的平分线，
∴∠BOD＝∠BOC＝x＝32°，
∴∠DOE＝∠DOB+∠BOE＝32°+16°＝48°．
（2）∠AOC＝∠AOB+∠BOC＝5x＝160°
21．（2022春•广饶县期末）直线AB外有一定点C，O是直线AB上的一个动点．
（1）如图1所示，当点O从左向右运动时，观察∠α的变化情况，正确的是 B ．
A．逐渐变大
B．逐渐变小
C．大小不变
D．无法确定
（2）当点O运动到∠α＝140°时，点O运动停止，然后将射线OB绕着点O顺时针旋转到如图2位置，且∠AOC：∠BOC＝1：2．
①求图2中∠AOC，∠BOC的度数；
②在图2的基础上，作射线OM平分∠AOC，在∠BOC内作射线ON，使得∠CON：∠BON＝1：3，如图3，求∠MON的度数．
解：（1）由图可知，当点O从左向右运动时，∠α逐渐变小，
故选：B；
（2）①当∠α＝140°时，∠AOC＝180°﹣140°＝40°，
∵∠AOC：∠BOC＝1：2，
∴∠BOC＝2∠AOC＝80°，
答：∠AOC＝40°，∠BOC＝80°；
②由①得，∠BOC＝80°，
∵∠CON：∠BON＝1：3，
∴∠CON＝∠BOC＝20°，
∵OM平分∠AOC，
∴∠MOC＝AOC＝20°，
∴∠MON＝20°+20°＝40°．
22．（2021秋•滨海县期末）【阅读理解】
射线OC是∠AOB内部的一条射线，若∠COA＝∠AOB，则我们称射线OC是射线OA的“友好线”．例如，如图1，∠AOB＝60°，∠AOC＝∠COD＝∠BOD＝20°，则∠AOC＝∠AOB，称射线OC是射线OA的友好线；同时，由于∠BOD＝∠AOB，称射线OD是射线OB的友好线．
【知识运用】
（1）如图2，∠AOB＝120°，射线OM是射线OA的友好线，则∠AOM＝ 40 °；
（2）如图3，∠AOB＝180°，射线OC与射线OA重合，并绕点O以每秒2°的速度逆时针旋转，射线OD与射线OB重合，并绕点O以每秒3°的速度顺时针旋转，当射线OD与射线OA重合时，运动停止；
①是否存在某个时刻t（秒），使得∠COD的度数是40°，若存在，求出t的值，若不存在，请说明理由；
②当t为多少秒时，射线OC、OD、OA中恰好有一条射线是另一条射线的友好线．（直接写出答案）
解：（1）∵射线OM是射线OA的友好线，
∴∠AOM＝∠AOB＝40°，
故答案为：40°；
（2）射线OD与射线OA重合时，t＝60（秒），
①存在某个时刻t（秒），使得∠COD的度数是40°，有两种情况：
在OC、OD相遇前，180°﹣3t°﹣2t°＝40°，
∴t＝28；
在OC、OD相遇后，3t°+2t°﹣180°＝40°，
∴t＝44，
综上所述，当t为28秒或44秒时，∠COD的度数是40°；
②相遇之前，
（Ⅰ）如图：
OC是OA的友好线时，
∠AOC＝∠AOD，即2t°＝（180°﹣3t°），
∴t＝20；
（Ⅱ）如图：
OC是OD的友好线时，
∠DOC＝∠AOD，即180°﹣3t°﹣2t°＝（180°﹣3t°），
∴t＝30；
相遇之后：
（Ⅲ）
OD是OC的友好点
∠COD＝∠AOC，即3t°+2t°﹣180°＝×2t°，
∴t＝，
（Ⅳ）
OD是OA的友好点，
∠AOD＝∠AOC，即180°﹣3t°＝×2t°，
∴t＝，
综上所述，当t为20秒或30秒或秒或秒时，射线OC、OD、OA中恰好有一条射线是另一条射线的友好线．
考点04：作图—基本作图
24．（2021秋•信都区期末）数学课上，老师提出一个问题：经过已知角一边上的点，做一个角等于已知角．如图，用尺规过∠AOB的边OB上一点C（图①）作∠DCB＝∠AOB（图②）．我们可以通过以下步骤作图：
①作射线CD；
②以点O为圆心，小于OC的长为半径作弧，分别交OAOB于点N，M；
③以点P为圆心，MN的长为半径作弧，交上一段弧于点Q；
④以点C为圆心，OM的长为半径作弧，交OB于点P．
下列排序正确的是（ ）
A．①②③④ B．④③①② C．③②④① D．②④③①
解：正确的排序是：②以O为圆心，以任意定长为半径作弧，分别交OA、OB于N、M；
④以点C为圆心，OM的长为半径作弧，交OB于点P．
③以点P为圆心，MN的长为半径作弧，交上一段弧于点Q；
①作射线CD；
故选：D．
25．（2022春•沂源县期末）如图，点C在∠AOB的OB边上，用尺规作出了∠AOB＝∠NCB，作图痕迹中，弧FG是（ ）
A．以点C为圆心，OD为半径的弧
B．以点C为圆心，DM为半径的弧
C．以点E为圆心，OD为半径的弧
D．以点E为圆心，DM为半径的弧
解：作图痕迹中，弧FG是以点E为圆心，DM为半径的弧，
故选：D．
26．（2021秋•青山湖区校级月考）如图，小莹利用圆规在线段CE上截取线段CD，使CD＝AB．若点D恰好为CE的中点，则下列结论中正确的是（ ）
A． B．CE＝2DE C．AB＝CE D．
解：∵点D为CE的中点，
∴CE＝2CD＝2DE，故A不符合题意；B符合题意；
∵点D为CE的中点，
∴CD＝DE，
∵CD＝AB，
∴AB＝CD＝DE，故C，D不符合题意；
故选：B．
27．（2017秋•房山区期末）阅读下面材料：
在数学课上，老师提出如下问题：
小丽设计的方案如下：
老师说：“小丽的画法正确”
请回答：小丽的画图依据是 两点之间线段最短；直线外一点到这条直线上所有点连接的线段中，垂线段最短．（或垂线段最短） ．
解：小丽的画图依据是两点之间线段最短；直线外一点到这条直线上所有点连接的线段中，垂线段最短．（或垂线段最短）；
故答案为两点之间线段最短；直线外一点到这条直线上所有点连接的线段中，垂线段最短（或垂线段最短）；
28．（2021秋•漳州期末）已知线段a，b，点A，P位置如图所示．
（1）画射线AP，请用圆规在射线AP上依次截取AB＝a，BC＝b；（保留作图痕迹，不写作法）
（2）在（1）所作图形中，若M，N分别为AB，BC的中点，在图形中标出点M，N的位置，再求出当a＝4，b＝2时，线段MN的长．
解：（1）如图所示，线段AB、BC即为所求．
（2）∵a＝4，b＝2，即AB＝4，BC＝2，且M，N分别为AB，BC的中点，
∴MB＝AB＝2，BN＝BC＝1，
∴MN＝MB+BN＝2+1＝3．
29．（2021秋•罗源县期末）如图，点C是线段AB外一点．按下列语句画图：
（1）画射线CB；
（2）反向延长线段AB；
（3）连接AC；
（4）延长AC至点D，使CD＝AC．
解：如图所示．
考点05：扇形面积的计算
30．（2018秋•漳浦县期末）如图，把一个直径为12的半圆分成三个大小相同的扇形，则每个扇形的面积是（ ）
A．24π B．18π C．12π D．6π
解：由题意每个扇形的面积＝＝6π，
故选：D．
31．（2018秋•鲤城区校级期末）如图，在正方形ABCD的边长为3，以A为圆心，2为半径作圆弧，以D为圆心，3为径作圆弧．若图中阴影部分的面积分为S1、S2则S1﹣S2为（ ）
A．9 B．9﹣π C．﹣9 D．
解：∵S正方形ABCD＝3×3＝9，
S扇形ADC＝，
S扇形EAF＝，
∵S扇形EAF﹣（S正方形﹣S扇形ADC）＝（S1+S3）﹣[（S1+S2+S3+S4）﹣（S1+S4）]
＝S1﹣S2，
∴S1﹣S2＝S扇形EAF﹣（S正方形﹣S扇形ADC）＝π﹣（9﹣）＝﹣9．
故选：C．
32．（2020秋•枣庄月考）如图，△ABC中，D为BC的中点，以D为圆心，BD长为半径画一弧，交AC于点E，若∠EDC＝140°，BC＝4，则扇形BDE的面积为 （结果保留π）．
解：∵∠EDC＝140°，
∴∠BDE＝180°﹣∠EDC＝40°，
又∵D为BC的中点，
∴BD＝DC＝BC＝＝2，
∴扇形BDE的面积＝＝，
故答案为：．
33．（2020秋•九龙坡区校级期中）如图，在长方形ABCD中连接AC，并以CD为直径画半圆，则阴影部分的面积为 （结果用含π的式子表示）．
解：设CD的中点为O，半圆与AB相切于点E，AC交OE于J．
∵S△AEJ＝S△COJ，
∴S阴＝S阴＝＝，
故答案为：．
34．（2013•长汀县一模）如图扇形纸扇完全打开后，外侧两竹条AB、AC的夹角为120°，AB长为30cm，贴纸部分BD长为20cm，求贴纸部分的面积．
解：设AB＝R，AD＝r，则有S贴纸＝πR2﹣πr2
＝π（R2﹣r2）＝π（R+r）（R﹣r）＝（30+10）×（30﹣10）π＝π（cm2）；
答：贴纸部分的面积为πcm2．
35．（2022秋•锡山区校级月考）底边和高都是6厘米的等腰三角形，分别以高的长为直径画圆，以底的一半长为直径画两个半圆，求阴影部分的面积．
解：如图，
阴影部分面积＝S⊙O﹣S△ADE﹣S△ADF+S半圆BD﹣S△BDE+S半圆DC﹣S△CDF
＝S⊙O+S半圆BD+S半圆DC﹣S△ABC
＝π•32+π•（）2+π•（）2﹣×6×6
＝（π﹣18）cm2．
36．（2021秋•庐阳区校级期中）如图是一个零件的截面图，它是由一个梯形和一个半圆组成的，已知梯形上底为m，下底为n，高为h．
（1）用代数式表示图中阴影部分面积．
（2）当m＝2厘米，n＝4厘米，h＝3厘米时，求阴影面积（结果含π）．
解：（1）根据题意得，
阴影部分的面积为：﹣＝，
即阴影部分的面积为；
（2）当m＝2，n＝4，h＝3时，
＝
＝9﹣．
故阴影部分的面积为（9﹣）cm2．
考点06：多边形的对角线
37．（2022春•莘县期末）一个多边形从一个顶点出发，最多可以作2条对角线，则这个多边形是（ ）
A．四边形 B．五边形 C．六边形 D．七边形
解：设这个多边形的边数是n，由题意得
n﹣3＝2，解得n＝5．
故选：B．
38．（2021秋•商河县期末）从六边形的一个顶点出发，可以画出m条对角线，它们将六边形分成n个三角形．则m、n的值分别为（ ）
A．4，3 B．3，3 C．3，4 D．4，4
解：对角线的数量m＝6﹣3＝3条；
分成的三角形的数量为n＝6﹣2＝4个．
故选：C．
39．（2020秋•邛崃市期末）从n边形的一个顶点出发，连接其余各顶点，可以将这个n边形分割成17个三角形，则n＝ 19 ．
解：从n边形的一个顶点出发，分别连接这个顶点与其余各顶点，可以把这个n边形分割成（n﹣2）个三角形．
所以n﹣2＝17，
所以n＝19．
故答案为：19．
40．（2019秋•舞钢市期末）从多边形的一个顶点可以作出6条多边形的对角线，则该多边形的边数是 9 ．
解：设这个多边形是n边形．
依题意，得n﹣3＝6，
解得n＝9．
故该多边形的边数是9．
故答案为：9．
41．（1）从n边形任意一个顶点出发，分别连接这个顶点与其余各顶点（相邻顶点除外），得到 n﹣3 条线段，可把这个n边形分割成 n﹣2 个三角形；
（2）从n边形的一条边上任意一个点出发（顶点除外），分别连接这个点与其余各顶点（左右两个相邻顶点除外），得到 n﹣2 条线段，可把这个n边形分割成 n﹣1 个三角形；
（3）从n边形的内部任意一个点出发，分别连接这个点与其余各顶点，得到 n 条线段，可把这个n边形分割成 n 个三角形．
解：（1）从n边形任意一个顶点出发，分别连接这个顶点与其余各顶点（相邻顶点除外），得到（n﹣3）条线段，可把这个n边形分割成（n﹣2）个三角形；
（2）从n边形的一条边上任意一个点出发（顶点除外），分别连接这个点与其余各顶点（左右两个相邻顶点除外），得到（n﹣2）条线段，可把这个n边形分割成（n﹣1）个三角形；
（3）从n边形的内部任意一个点出发，分别连接这个点与其余各顶点，得到n条线段，可把这个n边形分割成n个三角形．
故答案为：（1）n﹣3，n﹣2；（2）n﹣2，n﹣1；（3）n，n．
42．（2020春•白云区期末）多边形上或内部的一点与多边形各顶点的连线，可以将多边形分割成若干个小三角形．如图，给出了四边形的三种具体分割方法，分别将四边形分割成了2个、3个、4个小三角形，这样我们就可以借助研究三角形的经验研究四边形了．
图①被分割成2个小三角形
图②被分割成3个小三角形
图③被分割成4个小三角形
（1）请按照上述三种方法分别将图中的六边形进行分割，并写出每种方法所得到的小三角形的个数：
图①被分割成 4 个小三角形、图②被分割成 5 个小三角形、图③被分割成 6 个小三角形
（2）如果按照上述三种分割方法分别分割n边形，请写出每种方法所得到的小三角形的个数（用含n的代数式写出结论即可，不必画图）；
按照上述图①、图②、图③的分割方法，n边形分别可以被分割成 （n﹣2） 、 （n﹣1） 、 n 个小三角形．
解：（1）如图所示：
可以发现所分割成的三角形的个数分别是4个，5个，6个；
故答案为：4；5；6；
（2）结合两个特殊图形，可以发现：
第一种分割法把n边形分割成了（n﹣2）个三角形；
第二种分割法把n边形分割成了（n﹣1）个三角形；
第三种分割法把n边形分割成了n个三角形．
故答案为：（1）4，5，6；（2）（n﹣2）；（n﹣1）；n
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