湖北省高中名校2022-2023学年高一下学期5月联合测评数学试卷（含答案）

这是一份湖北省高中名校2022-2023学年高一下学期5月联合测评数学试卷（含答案），共13页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
湖北省高中名校2022-2023学年高一下学期5月联合测评数学试卷
学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、选择题
1、已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2、已知i为虚数单位，复数的虚部与实部互为相反数，则实数( )
A.-1 B.-2 C.1 D.2
3、立体几何中的四个基本事实是学习立体几何的基础，下列四个命题中不是立体几何中的基本事实的是( )
A.过不在一条直线上的三点，有且仅有一个平面
B.如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上的所有点都在这个平面内
C.平行于同一条直线的两条直线平行
D.垂直于同一条直线的两条直线平行
4、已知向量，满足，，，则( )
A. B.1 C.5 D.
5、点P在以坐标原点为圆心，半径为1的圆O上逆时针作匀速圆周运动，起点为圆O与x轴正半轴的交点，点Q为与圆O的交点，记点P运动到点R，使得（点R在第二象限），则点R的坐标为( )
A. B.
C. D.
6、将函数向右平移个单位长度后得到一个偶函数，则实数的最小值为( )
A. B. C. D.
7、在直三棱柱中，，，过点A作直线l与和所成的角均为，则的最小值为( )
A. B. C. D.
8、在中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，的面积为，，则的取值范围为( )
A. B. C. D.
二、多项选择题
9、已知i为虚数单位，则( )
A.复数在复平面内对应的点位于第四象限
B.
C.
D.，则
10、已知向量，，则( )
A.若，则 B.的最小值为
C.可能成立 D.的最大值为3
11、已知正方体的棱长为1，点P为线段上的动点，则( )
A.平面
B.的最小值为
C.直线DP与平面ABCD、平面、平面所成的角分别为，，，则
D.点C关于平面的对称点为M，则M到平面ABCD的距离为
12、在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，，O为的外心，则( )
A.若有两个解，则
B.的取值范围为
C.的最大值为9
D.若B，C为平面上的定点，则A点的轨迹长度为
三、填空题
13、在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若，，，则______________.
14、已知点，，，，则在上的投影向量为______________.（用坐标表示）
15、已知函数满足为奇函数，则函数的解析式可能为______________（写出一个即可）.
16、已知正三棱锥的侧棱长为3，.过顶点A作底面BCD的垂线，垂足为E，过点E作侧面ABC的垂线，垂足为F，过点F作平面ABD的垂线，垂足为G，连接相关线段形成四面体AEFG，则四面体AEFG的外接球的表面积为______________.
四、解答题
17、已知，，向量，的夹角为，，，其中.
（1）若，求实数m的值；
（2）若，求实数m的值.
18、在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.，.
（1）求B的大小；
（2）若B为锐角，求的取值范围.
19、意大利数学家卡瓦里在《不可分量几何学》中讲解了通过平面图形旋转计算体积的方法.如图，AB为半圆的直径，C，D为半圆弧上的点，，，阴影部分为弦BC，CD，DA与半圆弧所形成的弓形.将该几何图形绕着直径AB所在直线旋转一周，阴影部分旋转后会形成一个几何体.

（1）写出该几何体的主要结构特征（至少两条）；
（2）计算该几何体的体积.
20、某地政府为了解决停车难问题，在一块空地上规划建设一个四边形停车场.如图，经过测量，，，，中间AC是一条道路，其面积忽略不计.

（1）求的值；
（2），的面积分别记为，，求的最大值.
21、如图，在正四棱锥中，，，M，N分别为PA，PC的中点.

（1）证明：平面平面BMN；
（2）求直线PB与平面BMN所成角的正弦值；
（3）求该四棱锥被平面BMN所截得的两部分体积之比，其中.
22、（1）已知函数，指出函数的单调性.（不需要证明过程）；
（2）若关于的方程在有实数解，求实数k的最大值.
参考答案
1、答案：D
解析：，，.
2、答案：B
解析：且，.
3、答案：D
解析：根据四个基本事实可知前三个都是立体几何中的基本事实.
4、答案：A
解析：由.
5、答案：B
解析：，且，，.
6、答案：C
解析：将函数向右平移个单位长度得到函数，由函数是偶函数得到，又，.
7、答案：C
解析：，为异面直线和所成的角，又，，过点C作直线l的平行线，则与的角平分线重合时，取得最小值.
8、答案：B
解析：由.
，
从而，
，
.
9、答案：ACD
解析：A对，对应的点坐标为在第四象限；
B错，；
C对，，故；
D对，.
10、答案：BC
解析：A错，若，则.又，.
B对，，当时，；
C对，由选项B可知，当时，，则；
D错，，
当时，.
11、答案：ACD
解析：A对，平面平面平面；
B错，将平面和平面展开到同一个平面，连接即为所求最小值.用余弦定理或者过作延长线的垂线，再用勾股定理均可得出；
C对，当P为B或时，易求得；当P为线段中间的点时，过P作与平面ABCD、平面、平面平行的平面，构成一个新长方体，其长、宽、高分别设为a，b，c，则；
D对，因为平面，且垂足为上靠近的三等分点，则C关于平面的对称点M为把延长倍，于是M到平面ABCD的距离为.
12、答案：ABD
解析：A对，有两解的情形为；
B对，由正弦定理，得外接圆半径，
于是；
C错，法一：用投影向量求解：当在上的投影向量模最大且与之同向，取得的最大值，此时，最大值为；
法二：转化到圆心：；
D对，由正弦定理知A点在半径为的优弧上运动，但是由两段优弧拼接成葫芦状，所以长度为.
13、答案：
解析：在中，由正弦定理可解出，又，故.
14、答案：
解析：，，由投影向量公式可得.
15、答案：
解析：取，则符合题意.
16、答案：
解析：正三棱锥为正方体的一个墙角，E为等边的中心.
因为平面平面ABD，平面ABD，则G在AB上.
知四面体AEFG为鳖臑模型，则AE即为外接球的直径，即，，.
17、答案：（1）
（2）
解析：
（1）与不共线，∴由.
（2）.
18、答案：（1）或
（2）
解析：
（1）由.
又，.
，则，又或.
（2）∵角B是锐角，由（1）得，.
.
，，，.
的取值范围是.
19、答案：（1）答案见解析
（2）
解析：
（1）该几何体中间空心部分为一个圆柱和两个等高的圆锥拼接而成的组合体，且圆柱的上下底面分别为两个圆锥的底面.该旋转体为球体挖去上述组合体而形成的几何体.（写出“圆柱”、“圆锥”、“球”中一项给，两项给）
（2）连接BD，则.分别过C，D作AB的垂线，垂足分别为E，F.
，，则，，.
同理，，，，即.
体积为球的体积，碱去两个圆锥的体积，减去圆柱的体积.

20、答案：（1）1
（2）98
解析：
（1）在，中，，，，根据余弦定理，.
同理，在中，.
所以，化简得.
（2）由（1）有.
由题意，
同理可得，的面积，.
令，则
，
所以，当时，取得最大值，最大值为98.
21、答案：（1）证明见解析
（2）
（3）
解析：
（1）连AC，并取AC中点O，连PO.
.
.

（2）设PO与MN相交于点F，则F为PO的中点，延长BF交PD于点E，连接EM，EN.
由，则，则为等边三角形.
因为平面平面BMN，所以P到平面BMN的距离等于P到直线BE的距离.
，，.
在中，用余弦定理，得.
则.
则P到直线BE的距离.
直线PB与平面BMN所成角的正弦值.
（此问若直接说明为所求的角，从而计算也可给；或者用等体积法求距离均可.）
（3）过E作于H，设，则，，，，
由，得，解出.
即E点为PD上靠近P点的三等分点.
在中，.
四棱锥的高，则.
四边形BMEN的对角线垂直，则，
下方几何体体积，
所以.

22、答案：（1）答案见解析
（2）
解析：
（1）当时，在上单调递增；
当时，在上单调递增；
当时，在上单调递减，在上单调递增.
（2），令，
则，.
则原方程化简为.
因为，则方程进一步转化为.
令，由（1）及知.
则，由（1）知关于t的函数在单调递减，
所以当时，k的最大值为.