重庆市第十八中学2022-2023学年高二下学期5月月考数学试卷（含答案）

这是一份重庆市第十八中学2022-2023学年高二下学期5月月考数学试卷（含答案），共24页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
重庆市第十八中学2022-2023学年高二下学期5月月考数学试卷
学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、选择题
1、计算( )
A. B. C. D.
2、已知随机变量，且，则( )
A. B.12 C. D.24
3、已知，，，则a，b，c之间的大小关系为( )
A. B. C. D.
4、若，则( )
A. B. C. D.
5、若函数在区间上的最小值为2e，则a的取值范围是( )
A. B. C. D.
6、目前国家为进一步优化生育政策，实施一对夫妻可以生育三个子女政策.假定生男孩和生女孩是等可能的，现随机选择一个有三个小孩的家庭，如果已经知道这个家庭有女孩，那么在此条件下该家庭也有男孩的概率是( )
A. B. C. D.
7、已知正数x、y满足，则的最小值为( )
A. B. C. D.
8、已知函数有两个零点，，则下列说法错误的是( )
A. B.
C.有极大值点，且 D.
二、多项选择题
9、有甲、乙、丙等6名同学，则说法正确的是( )
A.6人站成一排，甲、乙两人不相邻，则不同的排法种数为480
B.6人站成一排，甲、乙、丙按从左到右的顺序站位，则不同的站法种数为240
C.6名同学平均分成三组到A、B、C工厂参观（每个工厂都有人），则有90种不同的安排方法
D.6名同学分成三组参加不同的活动，甲、乙、丙在一起，则不同的分组方法有6种
10、有3台车床加工同一型号零件，第1台次品率为6%，第2，3台次品率为5%，加工的零件混在一起，已知第1，2，3台车床加工的零件分别占总数的25%，30%，45%，记事件“任取一个零件为次品”，事件“零件为第i台车床加工”（，2，3），则( )
A. B.
C. D.
11、已知，，下列说法错误是( )
A.若，则 B.若，则
C.恒成立 D.恒成立
12、已知函数的定义域为，则下列说法正确的是( )
A.若函数无极值，则
B.若，为函数的两个不同极值点，则
C.存在，使得函数有两个零点
D.当时，对任意，不等式恒成立
三、填空题
13、某中学为迎接新年到来，筹备“唱响时代强音，放飞青春梦想”为主题的元旦文艺晚会.晚会组委会计划在原定排好的5个学生节目中增加2个教师节目，若保持原来5个节目的出场顺序不变，则增加的2个教师节目有______种不同排法（用数字作答）
14、盒中装有6个乒乓球，其中3个新球，3个旧球，不放回地依次取出3个球，在第二次取到新球的条件下，第一次取到旧球的概率为______.
15、某份资料显示，人群中患肺癌的概率约为0.1%，在人群中有20%是吸烟者，他们患肺癌的概率约为0.4%，则不吸烟者中患肺癌的概率是______.
16、从商业化书店到公益性城市书房，再到“会呼吸的文化森林”——图书馆，建设高水平、现代化、开放式的图书馆一直以来是大众的共同心声.现有一块不规则的地，其平面图形如图1所示，（百米），建立如图2所示的平面直角坐标系，将曲线看成函数图象的一部分，为一次函数图象的一部分，若在此地块上建立一座图书馆，平面图为直角梯形（如图2），则图书馆占地面积（万平方米）的最大值为______.

四、解答题
17、二项式的展开式共9项.
（1）求n的值；
（2）求展开式中的有理项.
18、疫情期间某大型快餐店严格遵守禁止堂食的要求，在做好自身防护的同时，为了实现收益，也为了满足人们餐饮需求，增加打包和外卖配送服务，不仅如此，还提供了一款新套餐，丰富产品种类，该款新套餐每份成本20元，售价30元，保质期为两天，如果两天内无法售出，则过期作废，且两天内的销售情况互不影响，现统计并整理连续10天的日销量（单位：百份），得到统计数据如下表：
日销量（单位：百份）
2
4
天数
6
4
（1）求第一天日销量为4百份且第二天日销量为2百份的概率；
（2）记两天中销售该款新套餐的总份数为X（单位：百份），求X的分布列和数学期望；
（3）方案A：两天共备餐5百份；方案B：两天共备餐7百份，以该款新套餐两天内获得利润较大为决策依据，在这两种方案中应选择哪种？
19、函数，
（1）时，求的单调区间；
（2）若恒成立，求a的范围.
20、为落实体育总局和教育部发布的《关于深化体教融合，促进青少年健康发展的意见》，A市共100000名男学生进行100米短跑训练，在某次短跑测试中，从中抽取100名男生作为样本，统计他们的成绩（单位：秒），整理得到如图所示的频率分布直方图，现规定男生短跑成绩不超过13.5秒为优秀.

（1）估计样本中男生短跑成绩的平均数.（同一组的数据用该组区间的中点值为代表）
（2）根据统计分析，A市男生的短跑成绩X服从正态分布，以（1）中所求的样本平均数作为的估计值，求下列问题：
①若从A市的男生中随机抽取10人，记其中短跑成绩在以外的人数为Y，求；
②在这100名男生中、任意抽取2名成绩优秀的男生的条件下，将该2人成绩纳入全市排名（短跑周时越少、排名越靠前），能进入全市前2275名的人数为x，求x的期望.
附：若，则：，，，
21、函数，
（1）若，求的极值；
（2）若，设的最大值为，求的范围.
22、已知函数，为的导函数，在处的切线是x轴.
（1）求a的值；
（2）若，与有两个不同的交点，且，求证：
（i）
（ii）
参考答案
1、答案：C
解析：.
故选：C.
2、答案：A
解析：由，根据数学期望的性质，可得：，
因为随机变量，根据二项分布的性质公式，可得：，
可得方程：，解得：，则，
故选：A.
3、答案：B
解析：设，
则，
令得，令，得，
所以在上单调递增，在上单调递减，
又，，，
且，
所以，
即，
故选：B.
4、答案：B
解析：因为，
令得，①，
令得，②，
①+②得，，
所以.
故选：B.
5、答案：B
解析：，令，得，
时，，单调递减，
时，，单调递增，
而，所以函数在区间上的最小值为2e，
必有，即.
故选：B.
6、答案：D
解析：根据题意，一个家庭的三个孩子的性别情况共有：（女女女）、（女女男）、（女男女）、（男女女）、（女男男）、（男女男）、（男男女）、（男男男）共8种可能的情况，
设这个家庭有女孩事件记为A事件，这个家庭有男孩事件记为B事件，
则A事件包含：（女女女）、（女女男）、（女男女）、（男女女）、（女男男）、（男女男）、（男男女），共7种基本事件，故，
这个家庭既有女孩又有男孩的基本事件有：（女女男）、（女男女）、（男女女）、（女男男）、（男女男）、（男男女），共6种，故，
所以这个家庭有女孩，那么在此条件下该家庭也有男孩的概率是，
故选：D.
7、答案：D
解析：正数x、y满足，
所以，
即，
因为，
所以，
利用对数恒等式有，
令，，
因为恒成立.
所以函数在上单调递增，
所以，即，则，
构造函数，
则，
当时，
，函数单调递减；
当时，
，函数单调递增.
故当时，
有最小值即，
所以的最小值为.
故选：D.
8、答案：B
解析：由，可得，
当时，，
在上单调递增，与题意不符；
当时，可得当，
解得：，
可得当时，，
当时，，
可得当时，取得极大值点，
且由函数有两个零点，，
可得，
可得，
综合可得：，
故A正确；
由A可得的极大值为，
设，
设，
其中，可得，
可得，
可得， ，
易得当时候，
，当，，
故，，
故，，
由，易得，且，
且时，，
单调递减，故由，
可得，即，
即：有极大值点，且，
故C正确，B不正确；
由函数有两个零点，，
可得，，
可得，，可得，
由前面可得，，
可得，
故D正确，
故选:C.
9、答案：ACD
解析：A选项，6人站成一排，甲、乙两人不相邻，先将除甲、乙外的4人进行全排列，有种排法，
再将甲、乙两人插空，有种排法，则共有种不同的排法，A正确；
B选项，6人站成一排，甲、乙、丙按从左到右的顺序站位，可用倍缩法进行求解，即种不同的站法，B错误；
C选项，6名同学平均分成三组到A、B、C工厂参观（每个工厂都有人），则有种不同的安排方法，C正确；
D选项，6名同学分成三组参加不同的活动，甲、乙、丙在一起，
若还有一位同学与他们一组，共有种分法；
若三组同学分为3人一组，2人一组和1人一组，
先将除甲、乙、丙外的剩余3人分为两组，有种分法；
共有6种分组方法，D正确.
故选：ACD.
10、答案：ABC
解析：根据题意，故C正确；
，，
则，故A正确；
，故B正确；
，故D错误.
故选：ABC.
11、答案：AD
解析：对于A，由，得，设，则，
由，得，
由，得，
当，得，
所以在上递增，在上递减，
所以的图象如图所示，

由图可知，
时，存在，使，
此时，所以A错误，
对于B，设，
则，
所以在R上单调递增，
因为，，，
所以，所以B正确，
对于C，要证，
只需证，
设，
则，
当时，，
当时，，
所以在上递增，在上递减，
所以，
因为，所以，
所以，所以C正确，
对于D，设，则，
当时，，当时，，
所以当时，，
设，则，
当时，，
当时，，
所以当时，，
所以，
当且仅当，时取等号，所以D错误.
故选：AD.
12、答案：BCD
解析：对于A，若函数无极值，，，
则或恒成立，则或，
当，则，
解得：或，故A不正确；
对于B，若，为函数的两个不同极值点，
，
所以，
因，则，
，
故B正确；
对于C，存在，使得函数有两个零点，与有两个交点，

在处的切线平行于x轴，过原点的切线在的左侧稍微旋转后可得两个交点，故C正确；
对于D，当时，对任意，
不等式恒成立，
，
，
，
，
令，
对任意恒成立，
在上单减，，
对任意恒成立，
所以，
在上单减，
，
对任意恒成立，
故D正确.
故选：BCD.
13、答案：42
解析：5个学生节目中增加2个教师节目，共有7个节目，把7个节目看成有顺序的7个位置，
将这7个位置挑出2个位置安排给2个教师节目，共有种安排方法，再将剩下的5个位置安排给5个学生节目，因原来5个学生节目的出场顺序不变，故只有1种安排方法，故共有种不同排法.
故答案为：42.
14、答案：或0.6
解析：不妨设第一次取到旧球的事件为A，第二次取到新球的事件为B，
则，
，
，
.
故答案为：.
15、答案：0.00025或
解析：记“患肺癌”为事件C，“吸烟”为事件A，
由题意得，，，
由全概率公式得：，
将数据代入，得，解得.
故答案为：0.00025.
16、答案：或
解析：由图象可知：图象过点，
即，解得：，
；
由，得：直线方程为：；
设，
则，，
则直角梯形的面积；
令，则，
，
当时，；当时，；
在上单调递增，在上单调递增，
，
即图书馆占地面积（万平方米）的最大值为.
故答案为：.
17、答案：（1）8
（2）有理项为，，.
解析：（1）因为二项式的展开式共9项，
所以，得；
（2）时二项式即为，
展开式通项公式为，.
若为有理项，则为整数，所以k为4的倍数，从而.
所有有理项为，，.
18、答案：（1）
（2）分布列见解析；
（3）选择方案A.
解析：（1）依题意，这10天内有6天日销量为2百份，4天日销量为4百份，
设事件A为“日销量为4百份”，设事件B为“日销量为2百份”，
则A，B相互独立，且，，
故第一天日销量为4百份且第二天日销量为2百份的概率为
.
（2）根据题意可得：X的所有可能取值为4,6,8，
，
，
，
的分布列为：
X
4
6
8
P



X的数学期望为.
（3）在方案A中，两天内获得的利润为
（百元），
在方案B中，两天内获得的利润为
（百元），
因为，所以应选择方案A.
19、答案：（1）的单调增区间为，单调减区间为和；
（2）
解析：（1）当时，，
令，
则，
则，，
解得，，
因为，
令，得，
即在上单调递增，
令，
得，
即在和上单调递减，
故的单调增区间为，单调减区间为和；
（2）在时恒成立，
在时恒成立，
在时恒成立，
令，
则，
令，
时，有，
，
即，在上单调递减，，
即，在上单调递减，，
故.
20、答案：（1）15
（2）①0.3723；②
解析：（1）由频率分布直方图可得，解得，
则样本中男生短跑成绩的平均数为，
（2）①由（1）可知，则X服从正态分布，
所以A市男生的短跑成绩在以外的概率为
，
由题意可得，
所以，
②这100名男生中成绩优秀的有人，
因为，
所以，
所以，
所以全市短跑成绩在12.5秒内的有2275人，这100人中短跑成绩在12.5秒内的有人，所以x可能取0，1，2，
，，，
所以.
21、答案：（1）极大值，无极小值；
（2）.
解析：（1）时，
，
设，
由的单调性知，
故在上单调递减，
又，
可得时，，时，，
即在上单调递增，在上单调递减，
故在时取得极大值，无极小值；
（2）易得
设，
由的单调性知，故在上单调递减，
又，
故存在使得，
可得时，，时，，
即在上单调递增，在上单调递减，
故，
又，
所以，，
设，
显然时在上单调递增，
故，即.
22、答案：（1）.
（2）(i)证明见详解；(ii)证明见详解.
解析：（1）函数.
则.
因为在处的切线是x轴，所以，解得.
（2）（i）因为，所以.
函数在上单调递增.
.
因为函数与函数有两个不同的交点，且.
所以方程有两个不同的正根，且.
令，
则.
当时，，
函数为减函数；
当时，，
函数为增函数.
当时，函数有最小值.
要使方程有两个不同的根，
则且.
因为函数在上递增且，
要证成立.
只需证明即可.
令，
需证函数在上恒成立.
.
令，则.
显然，即函数在上递增，
故.
所以有，即函数在上递增.
故.
即证得函数在上恒成立.
从而.
（ii）由（i）知，
要证明，
即需证明即可.
由（i）知，则.
又由（i）知函数在上递减，要使成立.
则需证明
即可.
令，
则需证明函数在上恒成立.
.
令，则，
令，
显然恒成立，则在上递增.
因为.
所以存在使得.
所以函数在上递减，在上递增.
讨论在和上的正负.
因为函数在上递减，
所以当时，.
因为函数在上递增，
所以当时，
.
即对任意时，总有，
所以函数在上递减.
因为成立，
所以函数在上恒成立.
从而.