2023年湖南省郴州市中考数学试卷(含答案解析)

这是一份2023年湖南省郴州市中考数学试卷(含答案解析)，共21页。试卷主要包含了 −2的倒数是， 下列运算正确的是， 下列问题适合全面调查的是，5x−240x=1B， 计算327=______ 等内容，欢迎下载使用。

2023年湖南省郴州市中考数学试卷
1. −2的倒数是(    )
A. 2 B. −12 C. −2 D. 12
2. 下列图形中，能由图形a通过平移得到的是(    )


A. B. C. D.
3. 下列运算正确的是(    )
A. a4⋅a3=a7 B. (a2)3=a5
C. 3a2−a2=2 D. (a−b)2=a2−b2
4. 下列几何体中，各自的三视图完全一样的是(    )
A. B.
C. D.
5. 下列问题适合全面调查的是(    )
A. 调查市场上某品牌灯泡的使用寿命
B. 了解全市人民对湖南省第二届旅发大会的关注情况
C. 了解郴江河的水质情况
D. 神舟十六号飞船发射前对飞船仪器设备的检查
6. 一元一次不等式组3−x≥0x+1>0的解集在数轴上表示正确的是(    )
A. B.
C. D.
7. 小王从A地开车去B地，两地相距240km.原计划平均速度为xkm/h，实际平均速度提高了50%，结果提前1小时到达.由此可建立方程为(    )
A. 2400.5x−240x=1 B. 240x−2401.5x=1 C. 2401.5x−240x=1 D. x+1.5x=240
8. 第11届中国(湖南)矿物宝石国际博览会在我市举行，小方一家上午9：00开车前往会展中心参观.途中汽车发生故障，原地修车花了一段时间.车修好后，他们继续开车赶往会展中心.以下是他们家出发后离家的距离s与时间的函数图象.分析图中信息，下列说法正确的是(    )

A. 途中修车花了30min
B. 修车之前的平均速度是500m/nin
C. 车修好后的平均速度是80m/min
D. 车修好后的平均速度是修车之前的平均速度的1.5倍
9. 计算327=______ .
10. 在一次函数y=(k−2)x+3中，y随x的增大而增大，则k的值可以是______ (任写一个符合条件的数即可).
11. 在一个不透明的袋子中装有3个白球和7个红球，它们除颜色外，大小、质地都相同.从袋子中随机取出一个球，是红球的概率是______ .
12. 已知抛物线y=x2−6x+m与x轴有且只有一个交点，则m=______ .
13. 为积极响应“助力旅发大会，唱响美丽郴州”的号召，某校在各年级开展合唱比赛，规定每支参赛队伍的最终成绩按歌曲内容占30%，演唱技巧占50%，精神面貌占20%考评.某参赛队歌曲内容获得90分，演唱技巧获得94分，精神面貌获得95分.则该参赛队的最终成绩是______ 分.
14. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90∘，AC=6，BC=8，点M是AB的中点，求CM=______ .


15. 如图，某博览会上有一圆形展示区，在其圆形边缘的点P处安装了一台监视器，它的监控角度是55∘，为了监控整个展区，最少需要在圆形边缘上共安装这样的监视器______ 台.


16. 如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90∘，AB=3cm，∠B=60∘.将△ABC绕点A逆时针旋转，得到△AB′C′，若点B的对应点B′恰好落在线段BC上，则点C的运动路径长是______ cm(结果用含π的式子表示).


17. 计算：(12)−1− 3tan30∘+(π−2023)0+|−2|.
18. 先化简，再求值：x+3x2−2x+1⋅x−1x2+3x+1x，其中x=1+ 3.
19. 某校计划组织学生外出开展研学活动，在选择研学活动地点时，随机抽取了部分学生进行调查，要求被调查的学生从A、B、C、D、E五个研学活动地点中选择自己最喜欢的一个.根据调查结果，编制了如下两幅不完整的统计图.
(1)请把图1中缺失的数据，图形补充完整；
(2)请计算图2中研学活动地点C所在扇形的圆心角的度数；
(3)若该校共有1200名学生，请估计最喜欢去D地研学的学生人数.


20. 如图，四边形ABCD是平行四边形.
(1)尺规作图；作对角线AC的垂直平分线MN(保留作图痕迹)；
(2)若直线MN分别交AD，BC于E，F两点，求证：四边形AFCE是菱形.

21. 某次军事演习中，一艘船以40km/h的速度向正东航行，在出发地A测得小岛C在它的北偏东60∘方向，2小时后到达B处，浏得小岛C在它的北偏西45∘方向，求该船在航行过程中与小岛C的最近距离(参考数据： 2≈1.41， 3≈1.73.结果精确到0.1km).

22. 随旅游旺季的到来，某景区游客人数逐月增加，2月份游客人数为1.6万人，4月份游客人数为2.5万人.
(1)求这两个月中该景区游客人数的月平均增长率；
(2)预计5月份该景区游客人数会继续增长，但增长率不会超过前两个月的月平均增长率.已知该景区5月1日至5月21日已接待游客2.125万人，则5月份后10天日均接待游客人数最多是多少万人？
23. 如图，在⊙O中，AB是直径，点C是圆上一点.在AB的延长线上取一点D，连接CD，使∠BCD=∠A.
(1)求证：直线CD是⊙O的切线；
(2)若∠ACD=120∘，CD=2 3，求图中阴影部分的面积(结果用含π的式子表示).

24. 在实验课上，小明做了一个试验.如图，在仪器左边托盘A(固定)中放置一个物体，在右边托盘B(可左右移动)中放置一个可以装水的容器，容器的质量为5g.在容器中加入一定质量的水，可以使仪器左右平衡.改变托盘B与点C的距离x(cm)(0 托盘B与点C的距离x/cm
30
25
20
15
10
容器与水的总质量y1/g
10
12
15
20
30
加入的水的质量y2/g
5
7
10
15
25
把上表中的x与y1各组对应值作为点的坐标，在平面直角坐标系中描出这些点，并用光滑的曲线连接起来，得到如图所示的y1关于x的函数图象.

(1)请在该平面直角坐标系中作出y2关于x的函数图象；
(2)观察函数图象，并结合表中的数据：
①猜测y1与x之间的函数关系，并求y1关于x的函数表达式；
②求y2关于x的函数表达式；
③当0 (3)若在容器中加入的水的质量y2(g)满足19≤y2≤45，求托盘B与点C的距离x(cm)的取值范围.

25. 已知△ABC是等边三角形，点D是射线AB上的一个动点，延长BC至点E，使CE=AD，连接DE交射线AC于点F.
(1)如图1，当点D在线段AB上时，猜测线段CF与BD的数量关系并说明理由；
(2)如图2，当点D在线段AB的延长线上时，
①线段CF与BD的数量关系是否仍然成立？请说明理由；
②如图3，连接AE.设AB=4，若∠AEB=∠DEB，求四边形BDFC的面积.


26. 已知抛物线y=ax2+bx+4与x轴相交于点A(1,0)，B(4,0)，与y轴相交于点C.

(1)求抛物线的表达式；
(2)如图1，点P是抛物线的对称轴l上的一个动点，当△PAC的周长最小时，求PAPC的值；
(3)如图2，取线段OC的中点D，在抛物线上是否存在点Q，使tan∠QDB=12？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由.
答案和解析

1.【答案】B 
【解析】解：−2的倒数是−12.
故选：B.
根据倒数：乘积是1的两数互为倒数，进而得出答案．
此题主要考查了倒数，正确掌握倒数的定义是解题关键．

2.【答案】B 
【解析】解：由平移定义得，平移只改变图形的位置，
观察图形可知，选项B中图形是由图形a通过平移得到，
A，C，D均不能由图形a通过平移得到，
故选：B.
根据平移的定义逐个判断即可．
本题考查了平移的性质的应用，熟练掌握平移的性质是解题关键．

3.【答案】A 
【解析】解：A选项中，a4⋅a3=a7，结论正确；
B选项中，(a2)3=a6，故B选项结论错误；
C选项中，3a2−a2=2a2，故C选项结论错误；
D选项中，(a−b)2=a2−2ab+b2，故D选项结论错误；
故选：A.
根据完全平方公式及多项式的计算得出结论即可．
本题主要考查完全平方公式及多项式的运算，熟练掌握完全平方公式及多项式的运算方法是解题的关键．

4.【答案】D 
【解析】解：A.三棱柱的主视图和左视图是矩形，俯视图是三角形，故本选项不合题意；
B.圆锥的主视图和左视图是等腰三角形，俯视图是带圆心的圆，故本选项不合题意；
C.圆柱的主视图和左视图是矩形，俯视图是圆，故本选项不合题意；
D.球的主视图、左视图、俯视图分别为三个全等的圆，故本选项符合题意．
故选：D.
主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、侧面和上面看，所得到的图形．
本题考查三视图的有关知识，注意三视图都相同的常见的几何体有球和正方体．

5.【答案】D 
【解析】解：A.调查市场上某品牌灯泡的使用寿命，适合抽样调查，故选项不符合题意；
B.了解全市人民对湖南省第二届旅发大会的关注情况，适合抽样调查，故选项不符合题意；
C.了解郴江河的水质情况，适合抽样调查，故选项不符合题意；
D.神舟十六号飞船发射前对飞船仪器设备的检查，适合全面调查，故选项符合题意；
故选：D.
由全面调查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似．
本题考查了抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查．

6.【答案】C 
【解析】解：解不等式3−x≥0，得：x≤3，
解不等式x+1>0，得：x>−1，
则不等式组的解集为−1 故选：C.
分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．

7.【答案】B 
【解析】解：设原计划平均速度为xkm/h，
由题意得，240x−2401.5x=1，
故选：B.
设原计划平均速度为xkm/h，实际平均速度为(1+50%)x=1.5xkm/h，根据走过相同的距离时间缩短了1小时，列方程即可．
本题考查了由实际问题抽象出分式方程，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程．

8.【答案】D 
【解析】解：由图象可知，途中修车时间是9：10到9：30共花了20min，
故A不符合题意；
修车之前的平均速度是6000÷10=600(m/min)，
故B不符合题意；
车修好后的平均速度是(13200−6000)÷8=900(m/min)，
故C不符合题意；
900÷600=1.5，
∴车修好后的平均速度是修车之前的平均速度的1.5倍，
故D符合题意，
故选：D.
根据图象即可判断A选项，根据“路程÷时间=速度”即可判断B和C选项，进一步可判断D选项．
本题考查了一次函数的应用，理解一次函数图象上各点的含义是解题的关键．

9.【答案】3 
【解析】解：327=3.
故答案为：3.
如果x3=a，那么x叫做a的立方根．记作：3a，由此即可得到答案．
本题考查立方根，关键是掌握立方根的定义．

10.【答案】3(答案不唯一) 
【解析】解：∵在一次函数y=(k−2)x+3的图象中，y随x的增大而增大，
∴k−2>0，
解得：k>2.
∴k值可以为3.
故答案为：3(答案不唯一).
由y随x的增大而增大，利用一次函数的性质可得出k−2>0，解之即可得出k的值，再取其内的任意一值即可得出结论．
本题考查了一次函数的性质，牢记“k>0，y随x的增大而增大；k<0，y随x的增大而减小”是解题的关键．

11.【答案】710 
【解析】解：∵从袋子中随机摸出1个球共有10种等可能结果，其中是红球的有7种结果，
∴从袋子中随机取出一个球，是红球的概率为710.
故选：710.
从袋子中随机摸出1个球共有10种等可能结果，其中是红球的有7种结果，再根据概率公式求解即可．
本题主要考查概率公式，随机事件A的概率P(A)=事件A可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数．

12.【答案】9 
【解析】解：∵抛物线y=x2−6x+m与x轴有且只有一个交点，
∴方程x2−6x+m=0有唯一解．
即Δ=b2−4ac=36−4m=0，
解得：m=9.
故答案为：9.
利用判别式Δ=b2−4ac=0即可得出结论．
本题考查了抛物线与x轴的交点知识，明确Δ=b2−4ac决定抛物线与x轴的交点个数是解题的关键．

13.【答案】93 
【解析】解：根据题意，该参赛队的最终成绩是：30%×90+20%×95+50%×94=93(分).
故答案为：93.
根据加权平均数的计算公式列式计算可得．
本题考查了加权平均数的计算方法，在进行计算时候注意权的分配，另外还应细心，否则很容易出错．

14.【答案】5 
【解析】解：连接CM，
在Rt△ABC中，∠ACB=90∘，AC=6，BC=8，
∴AB= AC2+BC2=10，
∵点M是AB的中点，
∴CM=12AB=5.
故答案为：5.
由勾股定理可求解AB的长，再利用直角三角形斜边上的中线可求解．
本题主要考查由勾股定理，直角三角形斜边上的中线，求解AB的长是解题的关键．

15.【答案】4 
【解析】解：∵∠P=55∘，
∴∠P所对弧所对的圆心角是110∘，
∵360∘÷110∘=3311，
∴最少需要在圆形边缘上共安装这样的监视器4台．
故答案为：4.
根据一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半，得该圆周角所对的弧所对的圆心角是110∘，则共需安装360∘÷110∘=3311≈4台．
此题考查了要圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．注意把实际问题转化为数学问题，能够把数学和生活联系起来．

16.【答案】 3π 
【解析】解：以A为圆心作圆弧CC′，如图所示，在Rt△ABC中，∠B=60∘，
∴∠ACB=30∘，
∴BC=2AB=2×3=6(cm)，
∴AB= BC2−AB2= 62−32=3 3(cm)，
∵将△ABC绕点A逆时针旋转，得到△AB′C′，
∴AB=AB′，
∵∠B=60∘，
∴△ABB′是等边三角形，
∴∠BAB′=60∘，
∵将△ABC绕点A逆时针旋转，得到△AB′C′，
∴∠CAC′=∠BAB′=60∘，
∴点C的运动路径长为60⋅π×3 3180= 3π(cm).
故答案为： 3π.
根据旋转的性质得到点C的运动路径是CC′圆弧的长度，根据弧长公式计算即可．
解：本题考查了轨迹，含30∘角的直角三角形的性质，勾股定理，旋转的性质，弧长的计算，解题的关键是明确点C的运动轨迹．

17.【答案】解：原式=2− 3× 33+1+2
=2−1+1+2
=4. 
【解析】直接利用特殊角的三角函数值、零指数幂的性质、绝对值的性质、负整数指数幂的性质分别化简，进而得出答案．
此题主要考查了实数的运算，正确化简各数是解题关键．

18.【答案】解：原式=x+3(x−1)2⋅x−1x(x+3)+1x
=1x(x−1)+x−1x(x−1)
=xx(x−1)
=1x−1，
当x=1+ 3时，原式=11+ 3−1= 33. 
【解析】根据分式的乘法法则、加法法则把原式化简，把x的值代入计算即可．
本题考查的是分式的化简求值，掌握分式的混合运算法则是解题的关键．

19.【答案】解：(1)本次调查的学生人数为：20÷20%=100(人)，
最喜欢去A地的人数为：100−20−40−25−5=10(人)，
补全条形统计图如下：

(2)研学活动地点C所在扇形的圆心角的度数为：360∘×40100=144∘；
(3)1200×25100=300(名)，
答：估计最喜欢去D地研学的学生人数约300名． 
【解析】(1)用B的人数除以20%求得本次调查的学生总数，进而得出最喜欢去A地的人数；
(2)用360∘乘“C”所占比例可以求得“C”部分所占圆心角的度数；
(3)用1200乘样本中D所占比例即可．
本题考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．

20.【答案】(1)解：如图，直线MN即为所求；

(2)证明：设AC与EF交于点O.由作图可知，EF垂直平分线段AC，
∴OA=OC，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AE//CF，
∴∠OAE=∠OCF，
∵∠AOE=∠COF，
∴△AOE≌△COF(ASA)，
∴AE=CF，
∴四边形AFCE是平行四边形，
∵AC⊥EF，
∴四边形AFCE是平行四边形． 
【解析】(1)根据要求作出图形；
(2)根据对角线垂直的平行四边形是菱形证明即可．
本题考查作图-基本作图，平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，正确寻找全等三角形解决问题．

21.【答案】解：由题意得，AB=40×2=90(海里)，∠CAB=30∘，∠ABC=45∘，
过C作CD⊥AB于D，
∴∠ADC=∠BDC=90∘，
∴AD= 3CD,BD=CD，
∵AB=90海里，
∴ 3CD+CD=90，
解得CD=45 3−45≈22.9，
答：该船在航行过程中与小岛C的最近距离为22.9海里． 
【解析】由题意得，AB=40×2=90(海里)，∠CAB=30∘，∠ABC=45∘，过C作CD⊥AB于D，解直角三角形即可得到结论．
本题考查解直角三角形应用-方向角问题、勾股定理的应用等知识，求三角形的边或高的问题一般可以转化为解直角三角形的问题，解决的方法就是作高线．

22.【答案】解：(1)设这两个月中该景区游客人数的月平均增长率为x，
由题意可得：1.6(1+x)2=2.5，
解得：x=25%，x=−94(不合题意舍去)，
答：这两个月中该景区游客人数的月平均增长率为25%；
(2)设5月份后10天日均接待游客人数是a万人，
由题意可得：2.125+10a≤2.5(1+25%)，
解得：a≤0.1，
答：5月份后10天日均接待游客人数最多是0.1万人． 
【解析】(1)设这两个月中该景区游客人数的月平均增长率为x，由2月份游客人数为1.6万人，4月份游客人数为2.5万人，列出方程可求解；
(2)设5月份后10天日均接待游客人数是a万人，由增长率不会超过前两个月的月平均增长率，列出不等式，即可求解．
本题考查了一元二次方程的应用，一元一次不等式的应用，找到正确的数量关系是解题的关键．

23.【答案】(1)证明：连接OC，

∵AB是直径，
∴∠ACB=∠OCA+∠OCB=90∘，
∵OA=OC，∠BCD=∠A，
∴∠OCA=∠A=∠BCD，
∴∠BCD+∠OCB=∠OCD=90∘，
∴OC⊥CD，
∵OC是⊙O的半径，
∴直线CD是⊙O的切线．
(2)解：∵∠ACD=120∘，∠ACB=90∘，
∴∠A=∠BCD=∠120∘−90∘=30∘，
∴∠AOC=2∠A=60∘，
在Rt△OCD中，tan∠AOC=CDOC=tan60∘，CD=2 3，
∴2 3OC= 3，解得OC=2，
∴阴影部分的面积=S△ACD−S扇形BOC=12×23×2−60×π×2360=23−2π3. 
【解析】(1)连接OC，由AB是直径，可得∠ACB=∠OCA+∠OCB=90∘，再证∠OCA=∠A=∠BCD，从而有∠BCD+∠OCB=∠OCD=90∘，即可证明．
(2)由圆周角定理求得∠AOC=2∠A=60∘，在Rt△OCD中，解直角三角形得OC=2，然后利用三角形的面积公式和扇形的面积公式即可解答．
本题主要考查圆周角定理，切线的判定，扇形的面积公式及解直角三角形，熟练掌握性质是解题关键．

24.【答案】减小  减小  下 
【解析】解：(1)作出y2关于x的函数图象如下：

(2)①观察表格可知，y1是x的反比例函数，
设y1=kx，把(30,10)代入得：10=k30，
∴k=300，
∴y1关于x的函数表达式是y1=300x；
②∵y1=y2+5，
∴y2+5=300x；
∴y2=300x−5；
③观察图象可得，当0 故答案为：减小，减小，下；
(3)∵y2=300x−5，19≤y2≤45，
∴19≤300x−5≤45，
∴24≤300x≤50，
∴6≤x≤12.5.
(1)描点作出图象即可；
(2)①用待定系数法可得y1关于x的函数表达式；
②由y2与y1关系，结合①可得答案；
③观察图象可得答案；
(3)根据19≤y2≤45可得关于x的不等式，可解得x的范围．
本题考查反比例函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出函数关系式．

25.【答案】解：(1)CF=12BD，理由如下：
如图，过点D作DG//BC，交AC于点G，

∵△ABC是等边三角形，
∴AB=AC=BC，∠ABC=∠ACB=∠BAC=60∘，
∵DG//BC，
∴∠ADG=∠ABC=60∘，∠AGD=∠ACB=60∘，∠GDF=∠CEF，
∴△ADG为等边三角形，
∴AD=AG=DG，
∵AD=CE，AB−AD=AC−AG，
∴DG=CE，BD=CG，
又∠DFG=∠CFE，
∴△DGF≌△ECF(AAS)，
∴CF=GF=12CG=12BD；
(2)①成立，理由如下：
如图2，过点D作DG//BC，交AC的延长线于点G，

∵△ABC是等边三角形，
∴AB=AC=BC，∠ABC=∠ACB=∠BAC=60∘，
∵DG//BC，
∴∠ADG=∠ABC=60∘，∠AGD=∠ACB=60∘，∠GDF=∠CEF，
∴△ADG是等边三角形，
∴AD=AG=DG，
∵AD=CE，AD−AB=AG−AC，
∴DG=CE，BD=CG，
又∠DFG=∠CFE，
∴△DGF≌△ECF(AAS)，
∴CF=FG=12CG=12BD；
 ②如图，过点D作DG//BC，交AC的延长线于点G，过点A作AN⊥DG，交BC于点H，交DE于点N，则：AN⊥BC，

由①知：△ADG为等边三角形，△DGF≌△ECF(AAS)，
∴CF=FG=12BD，
∵△ABC为等边三角形，AB=AC=BC=4,BH=CH=12BC=2，AH= AB2−BH2=2 3，
∵∠AEB=∠DEB，EH=EH，∠AHE=∠MEE=90∘，
∴△AEH≌△MEH(ASA)，
∴MH=AH=2 3，AM=2AH=4 3，
∵△DGF≌ECF，
∴∠CEF=∠MDN，DG=CE，
∴∠AEH=∠MDN，
∴tan∠AEH=tan∠MDN，
∴AHEH=MNDN，
设MN=y，DG=CE=x，则：EH=CE+CH=2+x，DN=12DG=12x，
∴2 3x+2=y2①，
∵DG//BC，
∴△ABC∽△ADG，
∴BCDG=AHAN=AHAM+MN，
即：4x=2 34 3+y②，
 联立①②可得：x=4 2+4(负值已舍去)，
经检验x=4 2+4是原方程的根，
∴DG=CE=4 2+4，DN=2 2+2，CF=FG=12(x−4)=2 2，
∴AN=2 6+2 3，
∴S△ACE=12CE⋅AH=12×(4 2+4)×2 3=4 6+4 3，
∴S△ACES△CEF=ACCF=42 2，
∴S△CEF= 22(4 6+4 3)=4 3+2 6，
∴四边形BDFC的面积为=S△ADG−S△ABC−S△DFG=S△ADG−S△ABC−S△CEF=12(4 2+4)(2 6+2 3)−12×4×2 3−4 3−2 6=4 3+6 6. 
【解析】(1)由“AAS”可证△DGF≌△ECF，得到CF=GF=12CG=12BD；
(2)①由“AAS”可证△DGF≌△ECF，得到CF=FG=12CG=12BD；
②根据已知条件推出tan∠AEH=tan∠MDN，得到AHEH=MNDN，证明△ABC∽△ADG，得到BCDG=AHAN=AHAM+MN，可以DG的长，由面积的和差关系可求解．
本题考查等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形．本题的综合性强，难度大，属于中考压轴题，解题的关键是添加辅助线构造特殊三角形，全等和相似三角形．

26.【答案】解：(1)∵抛物线y=ax2+bx+4与x轴相交于点A(1,0)，B(4,0)，
a+b+4=016a+4b+4=0，
解得：a=1b=−5，
∴抛物线的表达式为y=x2−5x+4；
(2)由(1)知y=x2−5x+4，当x=0时，y=4，

∴C(0,4)，抛物线的对称轴为直线x=52，
∵△PAC的周长等于PA+PC+AC，AC为定长，
∴当PA+PC的值最小时，△PAC的周长最小，
∵A，B关于抛物线的对称轴对称，
∴PA+PC=PB+PC≥BC，当P，B，C三点共线时，PA+PC的值最小，为BC的长，此时点P为直线BC与对称轴的交点，
设直线BC的解析式为：y=mx+n，
则：4m+n=0n=4，
解得：m=−1n=4，
∴直线BC的解析式为y=−x+4，
当x=52时，y=−52+4=32，
∴P(52,32)，
∵A(1,0)，C(0,4)，
∴PA= (52−1)2+(32)2=3 22，PC= (52)2+(4−32)2=5 22，
∴PAPC=35；
(2)存在，
∵D为OC的中点，
∴D(0,2)，
∴OD=2，
∵B(4,0)，
∴OB=4，
在Rt△BOD中，tan∠OBD=ODOB=12，
tan∠QDB=12=tan∠OBD，
∴∠QDB=∠OBD；
①当Q点在D点上方时：过点D作DQ//OB，交抛物线于点Q，则：∠QDB=∠OBD，此时Q点纵坐标为2，

设Q点横坐标为t，则：t2−5t+4=2，解得：t=5± 172，
∴Q(5+ 172,2)或(5− 172,2)；
②当点Q在D点下方时：设DQ与x轴交于点E，

则：DE=BE，
设E(p,0)，则：DE2=OE2+OD2=p2+4，BE2=(4−p)2，
∴p2+4=(4−p)2，
解得：p=32，
∴E(32,0)，
设DE的解析式为：y=kx+q，
则：q=232k+q=0，
解得：q=2k=−43，
∴y=−43x+2，
联立y=−43x+2y=x2−5x+4，
解得：x=3y=−2或x=23y=109，
∴Q(3,−2)或Q(23,109)；
综上所述，Q(5+ 172,2)或Q(5− 12,2)或Q(3,−2)或Q(23,109). 
【解析】(1)由待定系数法求出函数解析式即可；
(2)根据△PAC的周长等于PA+PC+AC，以及AC为定长，得到当PA+PC的值最小时，△PAC的周长最小，根据抛物线的对称性，得到A，B关于对称轴对称，则：PA+PC=PB+PC≥BC，得到当P，B，C三点共线时，PA+PC=BC，进而求出P点坐标，即可得解；
(3)求出D点坐标为(0,2)，进而得到tan∠OBD=12，得到∠QDB=∠OBD，分点Q在D点上方和下方，两种情况进行讨论求解即可．
本题是二次函数的综合题，考查了待定系数法，二次函数的性质，勾股定理，轴对称的性质，正确的求出二次函数解析式，利用数形结合，分类讨论的思想进行求解是解题的关键．