2023年上海市中考数学试卷（含答案解析）

这是一份2023年上海市中考数学试卷（含答案解析），共20页。试卷主要包含了 下列运算正确的是， 分解因式， 化简等内容，欢迎下载使用。

A. a5÷a2=a3B. a3+a3=a6C. (a3)2=a5D. a2=a
2. 在分式方程2x−1x2+x22x−1=5中，设2x−1x2=y，可得到关于y的整式方程为( )
A. y2+5y+5=0B. y2−5y+5=0C. y2+5y+1=0D. y2−5y+1=0
3. 下列函数中，函数值y随x的增大而减小的是( )
A. y=6xB. y=−6xC. y=6xD. y=−6x
4. 如图所示，为了调查不同时间段的车流量，某学校的兴趣小组统计了不同时间段的车流量，如图是各时间段的小车与公车的车流量，则下列说法正确的是( )
A. 小车的车流量与公车的车流量稳定
B. 小车的车流量的平均数较大
C. 小车与公车车流量在同一时间段达到最小值
D. 小车与公车车流量的变化趋势相同
5. 在四边形ABCD中，AD//BC，AB=CD.下列说法能使四边形ABCD为矩形的是( )
A. AB//CDB. AD=BCC. ∠A=∠BD. ∠A=∠D
6. 已知在梯形ABCD中，联结AC，BD，且AC⊥BD，设AB=a，CD=b.下列两个说法：①AC= 22(a+b)；②AD= 22 a2+b2，则下列说法正确的是( )
A. ①正确②错误B. ①错误②正确C. ①②均正确D. ①②均错误
7. 分解因式：n2−9=______ .
8. 化简：21−x−2x1−x的结果为______ .
9. 已知关于x的方程 x−14=2，则x=______ .
10. 函数f(x)=1x−23的定义域为______ .
11. 已知关于x的一元二次方程ax2+6x+1=0没有实数根，那么a的取值范围是______ .
12. 在不透明的盒子中装有一个黑球，两个白成，三个红球，四个绿球，这十个球除颜色外完全相同.那么从中随机摸出一个球是绿球的概率为______ .
13. 如果一个正多边形的中心角是20∘，那么这个正多边形的边数为______ .
14. 一个二次函数y=ax2+bx+c的顶点在y轴正半轴上，且其对称轴左侧的部分是上升的，那么这个二次函数的解析式可以是______ .
15. 如图，在△ABC中，点D，E在边AB，AC上，2AD=BD，DE//BC，联结DE，设向量AB=a，AC=b，那么用a，b表示DE=______ .
16. 垃圾分类(Refusesrting)，是指按照垃圾的不同成分、属性、利用价值以及对环境的影响，并根据不同处置方式的要求，分成属性不同的若干种类.某市试点区域的垃圾收集情况如扇形统计图所示，已知可回收垃圾共收集60吨，且全市人口约为试点区域人口的10倍，那么估计全市可收集的干垃圾总量为______ .
17. 如图，在△ABC中，∠C=35∘，将△ABC绕着点A旋转α(0∘<α<180∘)，旋转后的点B落在BC上，点B的对应点为D，联结AD，AD是∠BAC的角平分线，则α=______ .
18. 在△ABC中，AB=7，BC=3，∠C=90∘，点D在边AC上，点E在CA延长线上，且CD=DE，如果⊙B过点A，⊙E过点D，若⊙B与⊙E有公共点，那么⊙E半径r的取值范围是______ .
19. 计算：38+12+ 5−(13)−2+| 5−3|.
20. 解不等式组：3x>x+612x<−x+5.
21. 如图，在⊙O中，弦AB的长为8，点C在BO延长线上，且cs∠ABC=45，OC=12OB.
(1)求⊙O的半径；
(2)求∠BAC的正切值.
22. “中国石化”推出促销活动，一张加油卡的面值是1000元，打九折出售.使用这张加油卡加油，每一升油，油的单价降低0.30元.假设这张加油卡的面值能够一次性全部用完.
(1)他实际花了多少钱购买会员卡？
(2)减价后每升油的单价为y元/升，原价为x元/升，求y关于x的函数解析式(不用写出定义域).
(3)油的原价是7.30元/升，求优惠后油的单价比原价便宜多少元？
23. 如图，在梯形ABCD中AD//BC，点F，E分别在线段BC，AC上，且∠FAC=∠ADE，AC=AD.
(1)求证：DE=AF；
(2)若∠ABC=∠CDE，求证：AF2=BF⋅CE.
24. 在平面直角坐标系xOy中，已知直线y=34x+6与x轴交于点A，y轴交于点B，点C在线段AB上，以点C为顶点的抛物线M：y=ax2+bx+c经过点B.
(1)求点A，B的坐标；
(2)求b，c的值；
(3)平移抛物线M至N，点C，B分别平移至点P，D，联结CD，且CD//x轴，如果点P在x轴上，且新抛物线过点B，求抛物线N的函数解析式.
25. 如图(1)所示，已知在△ABC中，AB=AC，O在边AB上，点F边OB中点，为以O为圆心，BO为半径的圆分别交CB，AC于点D，E，联结EF交OD于点G.
(1)如果OG=DG，求证：四边形CEGD为平行四边形；
(2)如图(2)所示，联结OE，如果∠BAC=90∘，∠OFE=∠DOE，AO=4，求边OB的长；
(3)联结BG，如果△OBG是以OB为腰的等腰三角形，且AO=OF，求OGOD的值.
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：A、a5÷a2=a3，故A符合题意；
B、a3+a3=2a3，故B不符合题意；
C、(a3)2=a6，故C不符合题意；
D、 a2=|a|，故D不符合题意；
故选：A.
根据合并同类项，同底数幂的除法，幂的乘方法则，二次根式的性质进行计算，逐一判断即可解答．
本题考查了合并同类项，同底数幂的除法，幂的乘方与积的乘方，二次根式的性质与化简，准确熟练地进行计算是解题的关键．
2.【答案】D
【解析】解：设2x−1x2=y，则x22x−1=1y，
分式方程2x−1x2+x22x−1=5可变为：y+1y=5，
去分母得：y2+1=5y，
整理得：y2−5y+1=0，
故选：D.
设2x−1x2=y，则x22x−1=1y，原方程可变为：y+1y=5，再去分母得y2+1=5y，即可得出结论．
本题考查换元法解分式方程，熟练掌握换元法是解题的关键．
3.【答案】B
【解析】解：A选项，y=6x的函数值随着x增大而增大，
故A不符合题意；
B选项，y=−6x的函数值随着x增大而减小，
故B符合题意；
C选项，在每一个象限内，y=6x的函数值随着x增大而减小，
故C不符合题意；
D选项，在每一个象限内，y=−6x的函数值随着x增大而增大，
故D不符合题意，
故选：B.
根据反比例函数的性质和正比例函数的性质分别判断即可．
本题考查了反比例函数的性质，正比例函数的性质，熟练掌握这些性质是解题的关键．
4.【答案】B
【解析】解：观察小车与公车的车流量图可知，小车的车流量在每个时段都大于公车的车流量，
∴小车的车流量的平均数较大，选项B正确；
而选项A，C，D都与图象不相符合，
故选：B.
观察图象，再逐项判断各选项即可．
本题考查函数图象的应用，解题的关键是能从图象中获取有用的信息．
5.【答案】C
【解析】解：A、∵AB//CD，AD//BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
由AB=CD，不能判定四边形ABCD为矩形，故选项A不符合题意；
B、∵AD=BC，AD//BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
由AB=CD，不能判定四边形ABCD为矩形，故选项B不符合题意；
C、∵AD//BC，
∴∠A+∠B=180∘，
∵∠A=∠B，
∴∠A=∠B=90∘，
∴AB⊥AD，AB⊥BC，
∴AB的长为AD与BC间的距离，
∵AB=CD，
∴CD⊥AD，CD⊥BC，
∴∠C=∠D=90∘，
∴四边形ABCD是矩形，故选项C符合题意；
D、∵AD//BC，
∴∠A+∠B=180∘，∠D+∠C=180∘，
∵∠A=∠D，
∴∠B=∠C，
∵AB=CD，
∴四边形ABCD是等腰梯形，故选项D不符合题意；
故选：C.
由矩形的判定分别对各个选项进行判断即可．
本题考查了矩形的判定、平行四边形的判定与性质等知识，熟练掌握矩形的判定是解题的关键．
6.【答案】D
【解析】解：过B作BE//CA，交BC延长线于E，如图所示：
若AD=BC，AB//CD，则四边形 ACEB是平行四边形，
∴CE=AB，AC=BE，
∴AB//DC，
∴∠DAB=∠CBA，
∵AB=AB，
∴△DAB≌△CBA(SAS)，
∴AC=BD，即BD=BE，
∵AC⊥BD，
∴BE⊥BD，
在Rt△BDE中，BD=BE，AB=a，CD=b，
∴DE=DC+CE=b+a，
∴AC=BE=DE 2= 22DE= 22(a+b)，此时①正确；
过B作BF⊥DE于F，如图所示：
在Rt△BFC中，BD=BE，AB=a，CD=b，DE=b+a，
∴BF=FE=12DE=12(a+b)，FC=FE−CE=12(a+b)−a=12(b−a)，
∴BC= BF2+FC2= 22 a2+b2，此时②正确；
但已知中，梯形ABCD是否为等腰梯形，并未确定；梯形ABCD是AB//CD还是AD//BC，并未确定，
∴无法保证①②正确，
故选：D.
根据题意，作出图形，若梯形ABCD为等腰梯形，可得①AC= 22(a+b)；②AD= 22 a2+b2，其余情况得不出这样的结论，从而得到答案．
本题考查梯形中求线段长，涉及梯形性质、平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定性质、勾股定理、等腰直角三角形的判定与性质等知识，孰练掌握相关几何判定与性质是解决问题的关键．
7.【答案】(n+3)(n−3)
【解析】解：n2−9=(n+3)(n−3)，
故答案为：(n+3)(n−3).
利用平方差公式分解因式即可得到答案．
本题考查了因式分解，平方差公式，熟练掌握公式法分解因式是解题关键．
8.【答案】2
【解析】解：原式=2−2x1−x
=2(1−x)1−x
=2，
故答案为：2.
根据分式的运算法则进行计算即可．
本题考查分式的运算，其相关运算法则是基础且重要知识点，必须熟练掌握．
9.【答案】18
【解析】解： x−14=2，
方程两边平方得：x−14=4，
解得：x=18，
经检验x=18是原方程的解．
故答案为：18.
方程两边平方得出x−14=4，求出方程的解，再进行检验即可．
本题考查了解无理方程，能把无理方程转化成有理方程是解此题的关键，注意：解无理方程一定要进行检验．
10.【答案】x≠23
【解析】解：函数f(x)=1x−23有意义，则x−23≠0，
解得x≠23，
故答案为：x≠23.
根据函数有意义的条件求解即可．
本题考查了反比例函数的性质，熟练掌握反比例函数有意义的条件是解题的关键．
11.【答案】a>9
【解析】解：∵关于x的一元二次方程ax2+6x+1=0没有实数根，
∴Δ<0，即62−4a<0，
解得：a>9，
故答案为：a>9.
由方程根的情况，根据判别式可得到关于a的不等式，则可求得a的取值范围．
本题主要考查根的判别式，掌握方程根的情况和根的判别式的关系是解题的关键．
12.【答案】25
【解析】解：由题意知，从中随机摸出一个球共有10种等可能结果，其中是绿球的有4种结果，
所以从中随机摸出一个球是绿球的概率为410=25，
故答案为：25.
从中随机摸出一个球共有10种等可能结果，其中是绿球的有4种结果，再根据概率公式求解即可．
本题主要考查概率公式，解题的关键是掌握随机事件A的概率P(A)=事件A可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数．
13.【答案】18
【解析】解：360∘÷20∘=18.
故这个正多边形的边数为18.
故答案为：18.
根据正n边形的中心角的度数为360∘÷n进行计算即可得到答案．
本题考查的是正多边形内角、外角和中心角的知识，掌握中心角的计算公式是解题的关键．
14.【答案】y=−x2+1
【解析】解：由题意得：b=0，a<0，c>0，
∴这个二次函数的解析式可以是：y=−x2+1，
故答案为：y=−x2+1.
根据二次函数的图象与系数的关系求解(答案不唯一).
本题考查了二次函数的图象与系数的关系，掌握数形结合思想是解题的关键．
15.【答案】13b−13a
【解析】解：在△ABC中，AB=a，AC=b，则BC=AC−AB=b−a.
∵2AD=BD，DE//BC，
∴DEBC=ADAD+BD=ADAD+2AD=13.
∴DE=13BC.
∴DE=13BC，即DE=13b−13a.
故答案为：13b−13a.
由三角形法则求得BC的值；然后结合平行线截线段成比例求得线段DE的长度，继而求得向量DE的值．
本题主要考查了平面向量和平行线截线段成比例．注意：平面向量既有大小又有方向．
16.【答案】1500吨
【解析】解：该市试点区域的垃圾总量为60÷(1−50%−29%−1%)=300(吨)，
估计全市可收集的干垃圾总量为300×10×50%=1500(吨).
故答案为：1500吨．
先用60除以可回收垃圾所占百分比，得到该市试点区域的垃圾总量，乘以10得到全市垃圾总量，然后乘以干垃圾所占的百分比即可．
本题考查的是扇形统计图，利用样本估计总体．读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
17.【答案】(1103)∘
【解析】解：如图，
∵AB=AD，∠BAD=α，AD是∠BAC的角平分线，
∴∠CAD=∠BAD=α，
∵∠ADB=∠C+∠CAD=35∘+α，AB=AD，
∴∠B=∠ADB=35∘+α，
在△ABC中，∠C+∠CAB+∠B=180∘，
∴35∘+2α+35∘+α=180∘，
解得：α=(1103)∘；
故答案为：(1103)∘.
由AB=AD，∠BAD=α及角平分线的定义得∠CAD=∠BAD=α，根据三角形外角性质得∠ADB=35∘+α，即有∠B=∠ADB=35∘+α，由三角形的内角和定理求解即可．
本题考查了旋转的性质、等腰三角形的性质、三角形的外角性质及三角形的内角和等知识，孰练掌握相关图形的性质是解题的关键．
18.【答案】 10【解析】解：连接BE，如图：
∵⊙B过点A，且AB=7，
∴⊙B的半径为7，
∵⊙E过点D，它的半径为r，且CD=DE，
∴CE=CD+DE=2r，
∵BC=3，∠C=90∘，
∴BE= BC2+CE2= 9+4r2，AC= AB2−BC2=2 10，
∵D在边AC上，点E在CA延长线上，
∴r≤2 102r>2 10，
∴ 10∵⊙B与⊙E有公共点，
∴AB−DE≤BE≤AB+DE，
∴{9+4r2⩽7+r①7−r⩽9+4r2②，
由①得：3r2−14r−40≤0，
解方程3r2−14r−40=0得：r=−2或r=203，
画出函数y=3r2−14r−40的大致图象如下：
由函数图象可知，当y≤0时，−2≤r≤203，即不等式①的解集为−2≤r≤203，
同理可得：不等式②的解集为r≥2或r≤−203，
∴不等式组的解集为2≤r≤203，
又∵ 10∴⊙E半径r的取值范围是 10故答案为： 10先画出图形，连接BE，利用勾股定理可得BE= 9+4r2，AC=2 10，从而可得 10本题考查了勾股定理、圆与圆的位置关系、二次函数与不等式，根据圆与圆的位置关系正确建立不等式组是解题关键．
19.【答案】解：原式=2+ 5−2( 5+2)( 5−2)−9+3− 5
=2+ 5−2−9+3− 5
=−6.
【解析】根据立方根定义，二次根式的化简，负整数指数幂，绝对值的性质进行计算即可．
本题考查实数的运算，其相关运算法则是基础且重要知识点，必须熟练掌握．
20.【答案】解：{3x>x+6①12x<−x+5②，
解不等式①，得x>3，
解不等式②，得x<103，
所以不等式组的解集是3【解析】先根据不等式的性质求出不等式的解集，再根据求不等式组解集的规律求出不等式组的解集即可．
本题考查了解一元一次不等式组，能根据求不等式组解集的规律求出不等式组的解集是解此题的关键，同大取大，同小取小，大大小小取不了，小大大小取中间．
21.【答案】解：(1)过点O作OD⊥AB，垂足为D，
∵AB=8，
∴AD=BD=12AB=4，
在Rt△OBD中，cs∠ABC=45，
∴OB=BDcs∠ABC=445=5，
∴⊙O的半径为5；
(2)过点C作CE⊥AB，垂足为E，
∵OC=12OB，OB=5，
∴BC=32OB=7.5，
∵OD⊥AB，
∴OD//CE，
∴OBBC=BDBE，
∴23=4BE，
∴BE=6，
∴AE=AB−BE=8−6=2，
在Rt△BCE中，CE= BC2−BE2= 7.52−62=4.5，
在Rt△ACE中，tan∠BAC=CEAE=4.52=94，
∴∠BAC的正切值为94.
【解析】(1)过点O作OD⊥AB，垂足为D，根据垂径定理可得AD=BD=4，然后在Rt△OBD中，利用锐角三角函数的定义求出OB的长，即可解答；
(2)过点C作CE⊥AB，垂足为E，根据已知可得BC=32OB=7.5，再利用平行线分线段成比例可得OBBC=BDBE，从而求出BE的长，进而求出AE的长，然后在Rt△BCE中，利用勾股定理求出CE的长，再在Rt△ACE中，利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答．
本题考查了垂径定理，勾股定理，解直角三角形，平行线分线段成比例，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
22.【答案】解：(1)由题意知，1000×0.9=900(元)，
答：实际花了900元购买会员卡；
(2)由题意知，y=0.9(x−0.30)，
整理得y=0.9x−0.27，
∴y关于x的函数解析式为y=0.9x−0.27；
(3)当x=7.30时，y=0.9×7.30−0.27=6.30，
∵7.30−6.30=1.00，
∴优惠后油的单价比原价便宜1.00元．
【解析】(1)根据打九折列出算式，计算即可；
(2)根据每一升油，油的单价降低0.30元知：y=0.9(x−0.30)；
(3)当x=7.30，可得y=6.30，根据优惠后油的单价比原价便宜(x−y)元，计算求解即可．
本题考查了有理数乘法应用，一次函数解析式，一次函数的应用，解题的关键在于理解题意，正确的列出算式和一次函数解析式．
23.【答案】证明：(1)∵AD//BC，
∴∠ACF=∠DAC
∵∠FAC=∠ADE，AC=AD，
∴△ACF≌△ADE(ASA)，
∴AF=DE；
(2)∵△ACF≌△ADE，
∴∠AFC=∠DEA，
∴∠AFB=∠DEC，
∵∠ABC=∠CDE，
∴△ABF∽△CDE，
∴AFCE=BFDE，
∴AF⋅DE=BF⋅CE，
∵AF=DE，
∴AF2=BF⋅CE.
【解析】(1)证明△ACF≌△ADE(ASA)，即可解决问题；
(2)证明△ABF∽△CDE，得AF⋅DE=BF⋅CE，结合(1)AF=DE，即可解决问题．
本题考查了相似三角形的性质和判定，梯形，勾股定理，熟练运用相似三角形的性质和判定是本题的关键．
24.【答案】解：(1)在y=34x+6中，令x=0得：y=6，
∴B(0,6)，
令y=0得：x=−8，
∴A(−8,0)；
(2)设c(m,34m+6)，设抛物线的解析式为：y=a(x−m)2+34m+6，
∵抛物线M经过点B，
∴将B(0,6)代入得：am2+34m+6=6，
∵m≠0，
∴am=−34，即m=−34a，
将m=−34a代入y=a(x−m)2+3m+6，
整理得：y=ax2+32x+6，
∴b=32，c=6；
(3)如图：
∵CD//x轴，点P在x轴上，
∴设P(p,0)，c(m,34m+6)，
∵点C，B分别平移至点P，D，
∴点B，点C向下平移的距离相同，
∴34m+6=6−(34m+6)，
解得：m=−4，
由(2)知m=−34a，
∴a=316，
∴抛物线N的函数解析式为：y=316(x−p)2，
将B(0,6)代入可得：p=±4 2，
∴抛物线N的函数解析式为：y=316(x−4 2)2或y=316(x+4 2)2.
【解析】(1)根据题意，分别将x=0，y=0代入直线y=34x+6即可求得；
(2)设c(m,34m+6)，得到抛物线的顶点式为y=a(x−m)2+34m+6，将B(0,6)代入可求得m=−34a，进而可得到抛物线解析式为y=ax2+32x+6，即可求得b，c；
(3)根据题意，设P(p,0)，c(m,34m+6)，根据平移的性质可得点B，点C向下平移的距离相同，列式求得m=−4，a=316，然后得到抛物线N解析式为：y=316(x−p)2，将B(0,6)代入可得p=±4 2，即可得到答案．
本题考查了求一次函数与坐标轴的交点坐标，求抛物线的解析式，涉及平移的性质，二次函数的图性质等，解题的关键是根据的平移性质求出 m和a的值．
25.【答案】(1)证明：如图：
∵AC=AB，
∴∠ABC=∠C，
∵OD=OB，
∴∠ODB=∠ABC，
∴∠C=∠ODB，
∴OD//AC，
∵F是OB的中点，OG=DG，
∴FG是△OBD的中位线，
∴FG//BC，即GE//CD，
∴四边形CEDG是平行四边形；
(2)解：如图：
由∠OFE=∠DOE，AO=4，点F边OB中点，设∠OFE=∠DOE=α，OF=FB=a，则OE=OB=2a，
由(1)可得OD//AC，
∴∠AEO=∠DOE=α，
∴∠OFE=∠AEO=α，
∵∠A=∠A，
∴△AEOC∽△AFE，
∴AEAF=AOAE，即AE2=AO⋅AF，
在Rt△AEO中，AE2=EO2−AO2，
∴EO2−AO2=AO×AF，
∴(2a)2−42=4×(4+a)，
解得：a=1+ 332或a=1− 332(舍去)，
∴OB=2a=1+ 33；
(3)解：①当OG=OB时，点G与点D重合，不符合题意，舍去；
②当BG=OB时，延长BG交AC于点P，如图所示，

∵点F是OB的中点，AO=OF，
∴AO=OF=FB，
设AO=OF=FB=a，
∵OG//AC，
∴△BGO∽△BPA，
∴OGAP=OBAB=2a3a=23，
设OG=2k，AP=3k，
∵OG//AE，
∴△FOG∽△FAE，
∴OGAE=OFAF=a2a=12，
∴AE=2OG=4k，
∴PE=AE−AP=k，
设OE交PG于点Q，
∵OG//PE，
∴△QPE∽△QGO，
∴GOPE=QGPQ=OQEQ=2kk=2，
∴PQ=13a，QG=23a，EQ=23a,OQ=43a，
在△PQE与△BQO中，
PQ=13a，BQ=BG+QG=2a+23a=83a，
∴PQOQ=QEBQ=14，
又∠PQE=∠BQO，
∴△PQE∽△OQB，
∴PEOB=14，
∴k2a=14，
∴a=2k，
∵OD=OB=2a，OG=2k，
∴OGOD=2k2a=ka=12，
∴OGOD的值为12.
【解析】(1)由∠ABC=∠C，∠ODB=∠ABC，即得∠C=∠ODB，OD//AC，根据F是OB的中点，OG=DG，知FG是△OBD的中位线，故FG//BC，即可得证；
(2)设∠OFE=∠DOE=α，OF=FB=a，有OE=OB=2a，由(1)可得OD//AC，故∠AEO=∠DOE=α，得出∠OFE=∠AEO=α，进而证明△AEO∽△AFE，AE2=AO−AF，由AE2=EO2−AO2，有EO2−AO2=AO×AF，解方程即可答案；
(3)△OBG是以OB为腰的等腰三角形，①当OG=OB时，②当BG=OB时，证明△BGOCD△BPA，得出OGAP=23，设OG=2k，AP=3k，根据OG//AE，得出△FOG∽△FEE，即得AE=2OG=4k，PE=AE−AP=k，连接OE交PG于点Q，证明△QPE∽△QGO，在△PQE与△BQO中，PQ=13a，BQ=BG+QG=2a+23a=83a，得出PQOQ=QEBQ=14，可得△POE∽△OQB，根据相似三角形的性质得出a=2k，进而即可求得答案．
本题考查了平行四边形的性质，三角形中位线的性质，相似三角形的性质与判定，勾股定理，等腰三角形的定义，圆的性质，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．