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2023年浙江省台州市中考数学试卷（含答案解析）
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这是一份2023年浙江省台州市中考数学试卷（含答案解析），共17页。试卷主要包含了 下列各数中，最小的是， 下列运算正确的是等内容，欢迎下载使用。
2023年浙江省台州市中考数学试卷
1. 下列各数中，最小的是( )
A. 2 B. 1 C. −1 D. −2
2. 如图是由5个相同的正方体搭成的立体图形，其主视图是( )
A.
B.
C.
D.
3. 下列无理数中，大小在3与4之间的是( )
A. 7 B. 2 2 C. 13 D. 17
4. 下列运算正确的是( )
A. 2(a−1)=2a−2 B. (a+b)2=a2+b2
C. 3a+2a=5a2 D. (ab)2=ab2
5. 不等式x+1≥2的解集在数轴上表示为( )
A. B.
C. D.
6. 如图是中国象棋棋盘的一部分，建立如图所示的平面直角坐标系，已知“車”所在位置的坐标为(−2,2)，则“炮”所在位置的坐标为( )
A. (3,1)
B. (1,3)
C. (4,1)
D. (3,2)
7. 以下调查中，适合全面调查的是( )
A. 了解全国中学生的视力情况 B. 检测“神舟十六号”飞船的零部件
C. 检测台州的城市空气质量 D. 调查某池塘中现有鱼的数量
8. 如图，⊙O的圆心O与正方形的中心重合，已知⊙O的半径和正方形的边长都为4，则圆上任意一点到正方形边上任意一点距离的最小值为( )
A. 2
B. 2
C. 4+2 2
D. 4−2 2
9. 如图，锐角三角形ABC中，AB=AC，点D，E分别在边AB，AC上，连接BE，CD.下列命题中，假命题是( )
A. 若CD=BE，则∠DCB=∠EBC
B. 若∠DCB=∠EBC，则CD=BE
C. 若BD=CE，则∠DCB=∠EBC
D. 若∠DCB=∠EBC，则BD=CE
10. 抛物线y=ax2−a(a≠0)与直线y=kx交于A(x1,y1)，B(x2,y2)两点，若x1+x2<0，则直线y=ax+k一定经过( )
A. 第一、二象限 B. 第二、三象限 C. 第三、四象限 D. 第一、四象限
11. 因式分解：x2−3x=______ .
12. 一个不透明的口袋中有5个除颜色外完全相同的小球，其中2个红球，3个白球.随机摸出一个小球，摸出红球的概率是______ .
13. 用一张等宽的纸条折成如图所示的图案，若∠1=20∘，则∠2的度数为______ .
14. 如图，矩形ABCD中，AB=4，AD=6.在边AD上取一点E，使BE=BC，过点C作CF⊥BE，垂足为点F，则BF的长为______ .
15. 3月12日植树节期间，某校环保小卫士组织植树活动.第一组植树12棵；第二组比第一组多6人，植树36棵；结果两组平均每人植树的棵数相等，则第一组有______ 人.
16. 如图，点C，D在线段AB上(点C在点A，D之间)，分别以AD，BC为边向同侧作等边三角形ADE与等边三角形CBF，边长分别为a，b，CF与DE交于点H，延长AE，BF交于点G，AG长为c.
(1)若四边形EHFG的周长与△CDH的周长相等，则a，b，c之间的等量关系为______ ；
(2)若四边形EHFG的面积与△CDH的面积相等，则a，b，c之间的等量关系为______ .
17. 计算：22+|−3|− 25.
18. 解方程组：x+y=72x−y=2.
19. 教室里的投影仪投影时，可以把投影光线CA，CB及在黑板上的投影图象高度AB抽象成如图所示的△ABC，∠BAC=90∘，黑板上投影图象的高度AB=120cm，CB与AB的夹角∠B=33.7∘，求AC的长.(结果精确到1cm.参考数据：sin33.7∘≈0.55，cos33.7∘≈0.83，tan33.7∘≈0.67)
20. 科学课上，同学用自制密度计测量液体的密度.密度计悬浮在不同的液体中时，浸在液体中的高度h(单位：cm)是液体的密度ρ(单位：g/cm3)的反比例函数，当密度计悬浮在密度为1g/cm3的水中时，h=20cm.
(1)求h关于ρ的函数解析式；
(2)当密度计悬浮在另一种液体中时，h=25cm，求该液体的密度ρ.
21. 如图，四边形ABCD中，AD//BC，∠A=∠C，BD为对角线.
(1)证明：四边形ABCD是平行四边形；
(2)已知AD>AB，请用无刻度的直尺和圆规作菱形BEDF，顶点E，F分别在边BC，AD上(保留作图痕迹，不要求写作法).
22. 为了改进几何教学，张老师选择A，B两班进行教学实验研究，在实验班B实施新的教学方法，在控制班A采用原来的教学方法.在实验开始前，进行一次几何能力测试(前测，总分25分)，经过一段时间的教学后，再用难度、题型、总分相同的试卷进行测试(后测)，得到前测和后测数据并整理成表1和表2.
表1：前测数据
测试分数x
0
28
9
9
3
1
实验班B
25
10
8
2
1
表2：后测数据
测试分数x
0
14
16
12
6
2
实验班B
6
8
11
18
3
(1)A，B两班的学生人数分别是多少？
(2)请选择一种适当的统计量，分析比较A，B两班的后测数据.
(3)通过分析前测、后测数据，请对张老师的教学实验效果进行评价.
23. 我们可以通过中心投影的方法建立圆上的点与直线上点的对应关系，用直线上点的位置刻画圆上点的位置.如图，AB是⊙O的直径，直线l是⊙O的切线，B为切点.P，Q是圆上两点(不与点A重合，且在直径AB的同侧)，分别作射线AP，AQ交直线l于点C，点D.
(1)如图1，当AB=6，BP长为π时，求BC的长；
(2)如图2，当AQAB=34，BP=PQ时，求BCCD的值；
(3)如图3，当sin∠BAQ= 64，BC=CD时，连接BP，PQ，直接写出PQBP的值.
24. 【问题背景】“刻漏”是我国古代的一种利用水流计时的工具.综合实践小组准备用甲、乙两个透明的竖直放置的容器和一根带节流阀(控制水的流速大小)的软管制作简易计时装置.
【实验操作】综合实践小组设计了如下的实验：先在甲容器里加满水，此时水面高度为30cm，开始放水后每隔10min观察一次甲容器中的水面高度，获得的数据如表：
流水时间t/min
0
10
20
30
40
水面高度h/cm(观察值)
30
29
28.1
27
25.8
任务1：分别计算表中每隔10min水面高度观察值的变化量.
【建立模型】小组讨论发现：“t=0，h=30”是初始状态下的准确数据，水面高度值的变化不均匀，但可以用一次函数近似地刻画水面高度h与流水时间t的关系.
任务2：利用t=0时，h=30；t=10时，h=29这两组数据求水面高度h与流水时间t的函数解析式；
【反思优化】经检验，发现有两组表中观察值不满足任务2中求出的函数解析式，存在偏差，小组决定优化函数解析式，减少偏差.通过查阅资料后知道：t为表中数据时，根据解析式求出所对应的函数值，计算这些函数值与对应h的观察值之差的平方和，记为w；w越小，偏差越小.
任务3：(1)计算任务2得到的函数解析式的w值；
(2)请确定经过(0,30)的一次函数解析式，使得w的值最小；
【设计刻度】得到优化的函数解析式后，综合实践小组决定在甲容器外壁设计刻度，通过刻度直接读取时间.
任务4：请你简要写出时间刻度的设计方案.
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：∵|−1|=1，|−2|=2，1<2，
∴−1>−2，
则2>1>−1>−2，
那么最小的数为：−2，
故选：D.
正数>0>负数，两个负数比较大小，绝对值大的反而小；据此进行判断即可．
本题考查有理数的大小比较，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握．
2.【答案】C
【解析】解：从正面看该组合体，其主视图是.
故选：C.
根据主视图的意义，从正面看该组合体所得到的图形进行判断即可．
本题考查简单组合体的三视图，理解视图的意义，掌握三视图的画法是正确判断的前提．
3.【答案】C
【解析】解：∵4<7<8<9<13<16<17，
∴ 4< 7< 8< 9< 13< 16< 17，
即2< 7<2 2<3< 13<4< 17，
那么 13在3和4之间，
故选：C.
一个正数越大，其算术平方根越大；据此进行无理数的估算进行判断即可．
本题考查无理数的估算，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握．
4.【答案】A
【解析】解：A.2(a−1)
=2a−2×1
=2a−2，
则A符合题意；
B.(a+b)2=a2+2ab+b2，
则B不符合题意；
C.3a+2a
=(3+2)a
=5a，
则C不符合题意；
D.(ab)2=a2b2，
则D不符合题意；
故选：A.
根据去括号法则，完全平方公式，合并同类项法则，积的乘方法则将各项计算后进行判断即可．
本题考查整式的运算，其相关运算法则是基础且重要知识点，必须熟练掌握．
5.【答案】B
【解析】解：x+1≥2，
解得：x≥1，
在数轴上表示，如图所示：
.
故选：B.
直接解一元一次不等式，再将解集在数轴上表示即可．
此题主要考查了解一元一次不等式，正确解不等式是解题关键．
6.【答案】A
【解析】解：如图所示：“炮”所在位置的坐标为：(3,1).
故选：A.
直接利用“車”位于点(−2,2)，得出原点的位置，进而得出答案．
此题主要考查了坐标确定位置，正确得出原点的位置是解题关键．
7.【答案】B
【解析】解：A.了解全国中学生的视力情况，适合抽样调查，故本选项不合题意；
B.检测“神舟十六号”飞船的零部件，适合普查，故本选项符合题意；
C.检测台州的城市空气质量，适合抽样调查，故本选项不合题意；
D.调查某池塘中现有鱼的数量，适合抽样调查，故本选项不合题意．
故选：B.
根据普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似进行判断．
本题考查了抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查．
8.【答案】D
【解析】解：如图，点B为⊙O上一点，点D为正方形上一点，连接BD，OC，OA，AB，
由三角形三边关系可得，OB−OD
∴当O、A、B三点共线时，圆上任意一点到正方形边上任意一点距离有最小值，最小值为OB−AB，
由题意可得，AC=4，OB=4，
∵点O为正方形的中心，
∴OA⊥OC，OA=OC，
∴△AOC为等腰直角三角形，
∴OA=AC 2=4 2=2 2，
∴圆上任意一点到正方形边上任意一点距离的最小值为OB−AB=4−2 2.
故选：D.
如图，由三角形三边关系分析可得当O、A、B三点共线时，圆上任意一点到正方形边上任意一点距离有最小值，最小值为OB−AB，以此即可求解．
本题主要考查正方形的性质、利用三角形三边关系求最值问题，利用三角形三边关系分析得出当O、A、B三点共线时，圆上任意一点到正方形边上任意一点距离有最小值是解题关键．
9.【答案】A
【解析】解：∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∵BC=BC，∠DCB=∠EBC，
∴△DCB≌△EBC(ASA)，
∴CD=BE，故选项B是真命题，不符合题意；
BD=CE，故选项D是真命题，不符合题意；
∵BC=BC，∠ABC=∠ACB，BD=CE，
∴△DCB≌△EBC(SAS)，
∴∠DCB=∠EBC，故选项C是真命题，不符合题意；
不能证明CD=BE时，∠DCB=∠EBC，故选项A是假命题，符合题意；
故选：A.
由AB=AC，得∠ABC=∠ACB，而BC=BC，∠DCB=∠EBC，可得△DCB≌△EBC(ASA)，故CD=BE，判断选项B是真命题；BD=CE，判断选项D是真命题；根据BC=BC，∠ABC=∠ACB，BD=CE，得△DCB≌△EBC(SAS)，有∠DCB=∠EBC，判断选项C是真命题；不能证明CD=BE时，∠DCB=∠EBC，可判断选项A是假命题．
本题考查命题与定理，涉及全等三角形的判定与性质，等腰三角形性质及应用，解题的关键是掌握全等三角形判定定理．
10.【答案】D
【解析】解：∵抛物线y=ax2−a(a≠0)与直线y=kx交于A(x1,y1)，B(x2,y2)两点，
∴kx=ax2−a，
∴ax2−kx−a=0，
∴x1+x2=ka，
∴ka<0，
当a>0，k<0时，直线y=ax+k经过第一、三、四象限，
当a<0，k>0时，直线y=ax+k经过第一、二、四象限，
综上，直线y=ax+k一定经过一、四象限．
故选：D.
根据已知条件可得出ax2−kx−a=0，再利用根与系数的关系，分情况讨论即可．
本题考查了二次函数与系数的关系，解题的关键是熟练掌握根与系数的关系．
11.【答案】x(x−3)
【解析】解：原式=x⋅x−x⋅3
=x(x−3)，
故答案为：x(x−3).
提取公因式x即可．
本题考查提公因式法因式分解，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握．
12.【答案】25
【解析】解：∵一个口袋里有5个除颜色外完全相同的小球，其中2个红球，3个白球，
∴摸到红球的概率是25.
故答案为：25.
利用红球的个数÷球的总个数可得红球的概率．
此题主要考查了概率公式，关键是掌握概率=所求情况数与总情况数之比．
13.【答案】140∘
【解析】解：如图，标注三角形的三个顶点A、B、C.
∠2=∠BAC=180∘−∠ABC−∠ACB.
∵图案是由一张等宽的纸条折成的，
∴AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB.
又∵纸条的长边平行，
∴∠ABC=∠1=20∘，
∴∠2=∠BAC=180∘−2∠ABC=180∘−2∠1=180∘−2×20∘=140∘.
故答案为：140∘.
利用平行线的性质和各角之间的关系即可求解．
本题比较简单，主要考查了平行线的性质的运用．
14.【答案】2 5
【解析】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD//BC，∠A=90∘，
∴∠AEB=∠FBC，
∵CF⊥BE，
∴∠CFB=90∘，
∴∠CFB=∠A，
在△ABE和△FCB中，
∠A=∠CFB∠AEB=∠FBCBE=CB，
∴△ABE≌△FCB(AAS)，
∴FC=AB=4，
∵四边形ABCD是矩形，
∴BC=AD=6，
在Rt△FCB中，由勾股定理得BF= BC2−FC2= 62−42=2 5，
故答案为：2 5.
根据矩形的性质可得出∠AEB=∠FBC，结合已知BE=BC，利用AAS证得△ABE和△FCB全等，得出FC=AB=4，再根据矩形的性质得到BC=AD=6，从而在Rt△FCB中利用勾股定理求出BF的长．
本题考查了矩形的性质，三角形全等的性质与判定，勾股定理，熟知矩形的对边平行且相等，四个角都是直角．
15.【答案】3
【解析】解：设第一组有x人，则第二组有(x+6)人，依题意有：
12x=36x+6，
解得x=3，
经检验，x=3是原方程的解．
故第一组有3人．
故答案为：3.
可设第一组有x人，则第二组有(x+6)人，根据两组平均每人植树的棵数相等，列出方程计算即可求解．
本题考查了应用类问题，关键是根据两组平均每人植树的棵数相等找到等量关系．
16.【答案】5a+5b=7ca2+b2=c2
【解析】解：(1)∵△ADE和△CBF是等边三角形，
∴∠A=∠ADE=∠B=∠BCF=60∘，
∴△CDH和△ABG是等边三角形，DE//BG，CF//AG，
∴四边形EHFG是平行四边形，AB=AG=BG=c，CH=DH=CD=AD+BC−AB=a+b−c，
∴EG=AG−AE=c−a，GF=BG−BF=c−b，
∵四边形EHFG的周长与△CDH的周长相等，
∴2[(c−a)+(c−b)]=3(a+b−c)，
整理得：5a+5b=7c，
故答案为：5a+5b=7c；
(2)∵S四边形EHFG=S△ABG−S△BCF−S△ADE+S△CDH，四边形EHFG的面积与△CDH的面积相等，
∴S△ABG−S△BCF−S△ADE+S△CDH=S△CDH，
∴S△ABG=S△BCF+S△ADE，
∵△ABG，△ADE和△CBF是等边三角形，
∴ 34c2= 34a2+ 34b2，
∴c2=a2+b2，
故答案为：a2+b2=c2.
(1)由△ADE和△CBF是等边三角形，可得△CDH和△ABG是等边三角形，DE//BG，CF//AG，即知EG=AG−AE=c−a，GF=BG−BF=c−b，根据四边形EHFG的周长与△CDH的周长相等，有2[(c−a)+(c−b)]=3(a+b−c)，故5a+5b=7c；
(2)由S四边形EHFG=S△ABG−S△BCF−S△ADE+S△CDH，四边形EHFG的面积与△CDH的面积相等，可得S△ABG=S△BCF+S△ADE，即 34c2= 34a2+ 34b2，从而可得a2+b2=c2.
本题考查等边三角形的性质及应用，解题的关键是用含a，b，c的代数式表示相关线段的长度．
17.【答案】解：22+|−3|− 25
=4+3− 52
=4+3−5
=7−5
=2.
【解析】根据有理数的乘方，绝对值的性质，算术平方根进行计算即可．
本题考查实数的运算，实数的相关运算法则是基础且重要知识点，必须熟练掌握．
18.【答案】解：{x+y=7①2x−y=2②，
①+②得3x=9，
解得x=3，
把x=3代入①，得3+y=7，
解得y=4，
∴方程组的解是x=3y=4.
【解析】利用加减消元法求解即可．
本题主要考查解二元一次方程组，解答的关键是熟练掌握解二元一次方程组的方法．
19.【答案】解：在Rt△ABC中，AB=120cm，∠BAC=90∘，∠B=33.7∘，
∴tanB=ACAB，
∴AC=AB⋅tan33.7∘≈120×0.67=80.4≈80(cm)，
∴AC的长约为80cm.
【解析】在Rt△ABC中，利用锐角三角函数的定义进行计算，即可解答．
本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
20.【答案】解：(1)设h关于ρ的函数解析式为h=kρ，
把ρ=1，h=20代入解析式，得k=1×20=20，
∴h关于ρ的函数解析式为h=20ρ；
(2)把h=25代入h=20ρ，得25=20ρ，
解得：ρ=0.8，
答：该液体的密度ρ为0.8g/cm3.
【解析】(1)设h关于ρ的函数解析式为h=kρ，把ρ=1，h=20代入解析式，解方程即可得到结论；
(2)把h=25代入h=20ρ，求得ρ=0.8，于是得到结论．
本题考查了反比例函数的应用，正确地求出反比例函数的解析式是解题的关键．
21.【答案】(1)证明：∵AD//BC，
∴∠ADB=∠CBD，∠A=∠C，
∴180∘−(∠ADB+∠A)=180∘−(∠CBD+∠C)，
即∠ABD=∠CDB，
∴AB//CD，
∴四边形ABCD是平行四边形；
(2)解：如图，四边形BEDF就是所求作的菱形．
【解析】(1)证明AB//CD，可得结论；
(2)桌线段BD的垂直平分线交AD与点F交BC与点E即可．
本题考查作图-复杂作图，平行四边形的判定和性质，菱形的判定等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
22.【答案】解：(1)A班的人数：28+9+9+3+1=50(人)，
B班的人数：25+10+8+2+1=46(人)，
答：A，B两班的学生人数分别是50人，46人．
(2)x−A=14×2.5+16×7.5+12×12.5+6×17.5+2×22.550=9.1，
x−B=6×2.5+8×7.5+11×12.5+18×17.5+3×22.546≈12.9，
从平均数看，B班成绩好于A班成绩．
从中位数看，A班中位数在5
(3)前测结果中：
x−A=28×2.5+9×7.5+9×12.5+3×17.5+1×22.550=6.5，
x−B=25×2.5+10×7.5+8×12.5+2×17.5+1×22.546≈6.4，
从平均数看，两班成绩较前测都有上升，但实验班提升得更明显，因此张老师新的教学方法效果较好．
从中位数看，两班前测中位数均在0
【解析】(1)将表格中A、B班各等级人数分别相加即可得出答案；
(2)分别计算出A、B班级成绩的平均数，再从平均数、中位数和百分率方面求解即可；
(3)计算出前测A、B班级成绩的平均数，再与后测的平均数、中位数及百分率分析求解即可．
本题主要考查统计量的选择，解题的关键是掌握加权平均数、中位数的定义和意义．
23.【答案】解：(1)如图，连接OP，
设∠BOP的度数为n∘，
∵AB=6，BP长为π，
∴nπ×3180=π，
∴n=60，即∠BOP=60∘，
∴∠BAP=30∘，
∵直线l是⊙O的切线，
∴∠ABC=90∘，
∴BC=AB 3=2 3；
(2)如图，连接BQ，过点C作CF⊥AD于点F，
∵AB为⊙O直径，
∴∠BQA=90∘，
∴cos∠BAQ=AQAB=34，
∵BP=PQ，
∴∠BAC=∠DAC，
∵CF⊥AD，AB⊥BC，
∴CF=BC，
∵∠BAQ+∠ADB=90∘，∠FCD+∠ADB=90∘，
∴∠FCD=∠BAQ，
∴cos∠FCD=cos∠BAQ=34，
∴CFCD=34，
∴BCCD=34；
(3)如图，连接BQ，
∵AB⊥BC，BQ⊥AD，
∴∠ABQ=90∘−∠QBD=∠ADC，
∵∠ABQ=∠APQ，
∴∠APQ=∠ADC，
∵∠PAQ=∠DAC，
∴△APQ∽△ADC，
∴PQCD=APAD①，
∵∠ABC=90∘=∠APB，∠BAC=∠PAB，
∴△APB∽△ABC，
∴BPBC=APAB②，
由BC=CD，将①②两式相除得：
PQBP=ABAD，
∵cos∠BAQ=ABAD= 104，
∴PQBP= 104.
【解析】(1)连接OP，设∠BOP的度数为n，可得nπ×3180=π，n=60，即∠BOP=60∘，故∠BAP=30∘，而直线l是⊙O的切线，有∠ABC=90∘，从而BC=AB 3=2 3；
(2)连接BQ，过点C作CF⊥AD于点F，求出cos∠BAQ=AQAB=34，由BP=PQ，得∠BAC=∠DAC，有CF=BC，证明∠FCD=∠BAQ，即得CFCD=34，故BCCD=34；
(3)连接BQ，证明△APQ∽△ADC，得PQCD=APAD①，证明△APB∽△ABC，得 BPBC=APAB②，由BC=CD，将①②两式相除得：PQBP=ABAD，故PQBP= 64.
本题考查圆的综合应用，涉及相似三角形的判定与性质，锐角三角函数，圆的切线等知识，解题的关键是熟练掌握圆的相关性质及应用．
24.【答案】解：任务1：
变化量分别为：29−30=−1(cm)；28.1−29=−0.9(cm)；27−28.1=−1.1(cm)；25.8−27=−1.2(cm)，
∴每隔10min水面高度观察值的变化量为：−1，−0.9，−1.1，−1.2.
任务2：
设水面高度h与流水时间t的函数解析式为h=kt+b，
∵t=0时，h=30；t=10时，h=29；
∴b=3010k+b=29，
解得：k=−0.1b=30，
∴水面高度h与流水时间t的函数解析式为h=−0.1t+30；
任务3：
(1)w=(30−30)²+(29−29)2+(28−28.1)2+(27−27)2+(26−25.8)2
=0.05.
(2)w=(10k+30−30)2+(10k+30−29)2+(10k+30−28.1)2+(10k+30−27)2+(10k+30−25.8)2
=3000(k+0.102)2−0.038，
∴当k=−0.102时，w的最小值为0.038.
任务4：
在容器外壁每隔1.02cm标记一次刻度，这样水面每降低一个刻度，就代表时间经过了10分钟．
【解析】任务1：依表计算即可；
任务2：根据待定系法确定关系式即可；
任务3：(1)根据题意计算即可；(2)设h=kt+30，代入w计算化简，利用二次函数性质求w的最小值即可；
任务4：按照上一问题中的结论设计即可．
本题考查了一次函数的应用，充分理解题意是解题关键．
2023年浙江省台州市中考数学试卷
1. 下列各数中，最小的是( )
A. 2 B. 1 C. −1 D. −2
2. 如图是由5个相同的正方体搭成的立体图形，其主视图是( )
A.
B.
C.
D.
3. 下列无理数中，大小在3与4之间的是( )
A. 7 B. 2 2 C. 13 D. 17
4. 下列运算正确的是( )
A. 2(a−1)=2a−2 B. (a+b)2=a2+b2
C. 3a+2a=5a2 D. (ab)2=ab2
5. 不等式x+1≥2的解集在数轴上表示为( )
A. B.
C. D.
6. 如图是中国象棋棋盘的一部分，建立如图所示的平面直角坐标系，已知“車”所在位置的坐标为(−2,2)，则“炮”所在位置的坐标为( )
A. (3,1)
B. (1,3)
C. (4,1)
D. (3,2)
7. 以下调查中，适合全面调查的是( )
A. 了解全国中学生的视力情况 B. 检测“神舟十六号”飞船的零部件
C. 检测台州的城市空气质量 D. 调查某池塘中现有鱼的数量
8. 如图，⊙O的圆心O与正方形的中心重合，已知⊙O的半径和正方形的边长都为4，则圆上任意一点到正方形边上任意一点距离的最小值为( )
A. 2
B. 2
C. 4+2 2
D. 4−2 2
9. 如图，锐角三角形ABC中，AB=AC，点D，E分别在边AB，AC上，连接BE，CD.下列命题中，假命题是( )
A. 若CD=BE，则∠DCB=∠EBC
B. 若∠DCB=∠EBC，则CD=BE
C. 若BD=CE，则∠DCB=∠EBC
D. 若∠DCB=∠EBC，则BD=CE
10. 抛物线y=ax2−a(a≠0)与直线y=kx交于A(x1,y1)，B(x2,y2)两点，若x1+x2<0，则直线y=ax+k一定经过( )
A. 第一、二象限 B. 第二、三象限 C. 第三、四象限 D. 第一、四象限
11. 因式分解：x2−3x=______ .
12. 一个不透明的口袋中有5个除颜色外完全相同的小球，其中2个红球，3个白球.随机摸出一个小球，摸出红球的概率是______ .
13. 用一张等宽的纸条折成如图所示的图案，若∠1=20∘，则∠2的度数为______ .
14. 如图，矩形ABCD中，AB=4，AD=6.在边AD上取一点E，使BE=BC，过点C作CF⊥BE，垂足为点F，则BF的长为______ .
15. 3月12日植树节期间，某校环保小卫士组织植树活动.第一组植树12棵；第二组比第一组多6人，植树36棵；结果两组平均每人植树的棵数相等，则第一组有______ 人.
16. 如图，点C，D在线段AB上(点C在点A，D之间)，分别以AD，BC为边向同侧作等边三角形ADE与等边三角形CBF，边长分别为a，b，CF与DE交于点H，延长AE，BF交于点G，AG长为c.
(1)若四边形EHFG的周长与△CDH的周长相等，则a，b，c之间的等量关系为______ ；
(2)若四边形EHFG的面积与△CDH的面积相等，则a，b，c之间的等量关系为______ .
17. 计算：22+|−3|− 25.
18. 解方程组：x+y=72x−y=2.
19. 教室里的投影仪投影时，可以把投影光线CA，CB及在黑板上的投影图象高度AB抽象成如图所示的△ABC，∠BAC=90∘，黑板上投影图象的高度AB=120cm，CB与AB的夹角∠B=33.7∘，求AC的长.(结果精确到1cm.参考数据：sin33.7∘≈0.55，cos33.7∘≈0.83，tan33.7∘≈0.67)
20. 科学课上，同学用自制密度计测量液体的密度.密度计悬浮在不同的液体中时，浸在液体中的高度h(单位：cm)是液体的密度ρ(单位：g/cm3)的反比例函数，当密度计悬浮在密度为1g/cm3的水中时，h=20cm.
(1)求h关于ρ的函数解析式；
(2)当密度计悬浮在另一种液体中时，h=25cm，求该液体的密度ρ.
21. 如图，四边形ABCD中，AD//BC，∠A=∠C，BD为对角线.
(1)证明：四边形ABCD是平行四边形；
(2)已知AD>AB，请用无刻度的直尺和圆规作菱形BEDF，顶点E，F分别在边BC，AD上(保留作图痕迹，不要求写作法).
22. 为了改进几何教学，张老师选择A，B两班进行教学实验研究，在实验班B实施新的教学方法，在控制班A采用原来的教学方法.在实验开始前，进行一次几何能力测试(前测，总分25分)，经过一段时间的教学后，再用难度、题型、总分相同的试卷进行测试(后测)，得到前测和后测数据并整理成表1和表2.
表1：前测数据
测试分数x
0
28
9
9
3
1
实验班B
25
10
8
2
1
表2：后测数据
测试分数x
0
14
16
12
6
2
实验班B
6
8
11
18
3
(1)A，B两班的学生人数分别是多少？
(2)请选择一种适当的统计量，分析比较A，B两班的后测数据.
(3)通过分析前测、后测数据，请对张老师的教学实验效果进行评价.
23. 我们可以通过中心投影的方法建立圆上的点与直线上点的对应关系，用直线上点的位置刻画圆上点的位置.如图，AB是⊙O的直径，直线l是⊙O的切线，B为切点.P，Q是圆上两点(不与点A重合，且在直径AB的同侧)，分别作射线AP，AQ交直线l于点C，点D.
(1)如图1，当AB=6，BP长为π时，求BC的长；
(2)如图2，当AQAB=34，BP=PQ时，求BCCD的值；
(3)如图3，当sin∠BAQ= 64，BC=CD时，连接BP，PQ，直接写出PQBP的值.
24. 【问题背景】“刻漏”是我国古代的一种利用水流计时的工具.综合实践小组准备用甲、乙两个透明的竖直放置的容器和一根带节流阀(控制水的流速大小)的软管制作简易计时装置.
【实验操作】综合实践小组设计了如下的实验：先在甲容器里加满水，此时水面高度为30cm，开始放水后每隔10min观察一次甲容器中的水面高度，获得的数据如表：
流水时间t/min
0
10
20
30
40
水面高度h/cm(观察值)
30
29
28.1
27
25.8
任务1：分别计算表中每隔10min水面高度观察值的变化量.
【建立模型】小组讨论发现：“t=0，h=30”是初始状态下的准确数据，水面高度值的变化不均匀，但可以用一次函数近似地刻画水面高度h与流水时间t的关系.
任务2：利用t=0时，h=30；t=10时，h=29这两组数据求水面高度h与流水时间t的函数解析式；
【反思优化】经检验，发现有两组表中观察值不满足任务2中求出的函数解析式，存在偏差，小组决定优化函数解析式，减少偏差.通过查阅资料后知道：t为表中数据时，根据解析式求出所对应的函数值，计算这些函数值与对应h的观察值之差的平方和，记为w；w越小，偏差越小.
任务3：(1)计算任务2得到的函数解析式的w值；
(2)请确定经过(0,30)的一次函数解析式，使得w的值最小；
【设计刻度】得到优化的函数解析式后，综合实践小组决定在甲容器外壁设计刻度，通过刻度直接读取时间.
任务4：请你简要写出时间刻度的设计方案.
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：∵|−1|=1，|−2|=2，1<2，
∴−1>−2，
则2>1>−1>−2，
那么最小的数为：−2，
故选：D.
正数>0>负数，两个负数比较大小，绝对值大的反而小；据此进行判断即可．
本题考查有理数的大小比较，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握．
2.【答案】C
【解析】解：从正面看该组合体，其主视图是.
故选：C.
根据主视图的意义，从正面看该组合体所得到的图形进行判断即可．
本题考查简单组合体的三视图，理解视图的意义，掌握三视图的画法是正确判断的前提．
3.【答案】C
【解析】解：∵4<7<8<9<13<16<17，
∴ 4< 7< 8< 9< 13< 16< 17，
即2< 7<2 2<3< 13<4< 17，
那么 13在3和4之间，
故选：C.
一个正数越大，其算术平方根越大；据此进行无理数的估算进行判断即可．
本题考查无理数的估算，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握．
4.【答案】A
【解析】解：A.2(a−1)
=2a−2×1
=2a−2，
则A符合题意；
B.(a+b)2=a2+2ab+b2，
则B不符合题意；
C.3a+2a
=(3+2)a
=5a，
则C不符合题意；
D.(ab)2=a2b2，
则D不符合题意；
故选：A.
根据去括号法则，完全平方公式，合并同类项法则，积的乘方法则将各项计算后进行判断即可．
本题考查整式的运算，其相关运算法则是基础且重要知识点，必须熟练掌握．
5.【答案】B
【解析】解：x+1≥2，
解得：x≥1，
在数轴上表示，如图所示：
.
故选：B.
直接解一元一次不等式，再将解集在数轴上表示即可．
此题主要考查了解一元一次不等式，正确解不等式是解题关键．
6.【答案】A
【解析】解：如图所示：“炮”所在位置的坐标为：(3,1).
故选：A.
直接利用“車”位于点(−2,2)，得出原点的位置，进而得出答案．
此题主要考查了坐标确定位置，正确得出原点的位置是解题关键．
7.【答案】B
【解析】解：A.了解全国中学生的视力情况，适合抽样调查，故本选项不合题意；
B.检测“神舟十六号”飞船的零部件，适合普查，故本选项符合题意；
C.检测台州的城市空气质量，适合抽样调查，故本选项不合题意；
D.调查某池塘中现有鱼的数量，适合抽样调查，故本选项不合题意．
故选：B.
根据普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似进行判断．
本题考查了抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查．
8.【答案】D
【解析】解：如图，点B为⊙O上一点，点D为正方形上一点，连接BD，OC，OA，AB，
由三角形三边关系可得，OB−OD
∴当O、A、B三点共线时，圆上任意一点到正方形边上任意一点距离有最小值，最小值为OB−AB，
由题意可得，AC=4，OB=4，
∵点O为正方形的中心，
∴OA⊥OC，OA=OC，
∴△AOC为等腰直角三角形，
∴OA=AC 2=4 2=2 2，
∴圆上任意一点到正方形边上任意一点距离的最小值为OB−AB=4−2 2.
故选：D.
如图，由三角形三边关系分析可得当O、A、B三点共线时，圆上任意一点到正方形边上任意一点距离有最小值，最小值为OB−AB，以此即可求解．
本题主要考查正方形的性质、利用三角形三边关系求最值问题，利用三角形三边关系分析得出当O、A、B三点共线时，圆上任意一点到正方形边上任意一点距离有最小值是解题关键．
9.【答案】A
【解析】解：∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∵BC=BC，∠DCB=∠EBC，
∴△DCB≌△EBC(ASA)，
∴CD=BE，故选项B是真命题，不符合题意；
BD=CE，故选项D是真命题，不符合题意；
∵BC=BC，∠ABC=∠ACB，BD=CE，
∴△DCB≌△EBC(SAS)，
∴∠DCB=∠EBC，故选项C是真命题，不符合题意；
不能证明CD=BE时，∠DCB=∠EBC，故选项A是假命题，符合题意；
故选：A.
由AB=AC，得∠ABC=∠ACB，而BC=BC，∠DCB=∠EBC，可得△DCB≌△EBC(ASA)，故CD=BE，判断选项B是真命题；BD=CE，判断选项D是真命题；根据BC=BC，∠ABC=∠ACB，BD=CE，得△DCB≌△EBC(SAS)，有∠DCB=∠EBC，判断选项C是真命题；不能证明CD=BE时，∠DCB=∠EBC，可判断选项A是假命题．
本题考查命题与定理，涉及全等三角形的判定与性质，等腰三角形性质及应用，解题的关键是掌握全等三角形判定定理．
10.【答案】D
【解析】解：∵抛物线y=ax2−a(a≠0)与直线y=kx交于A(x1,y1)，B(x2,y2)两点，
∴kx=ax2−a，
∴ax2−kx−a=0，
∴x1+x2=ka，
∴ka<0，
当a>0，k<0时，直线y=ax+k经过第一、三、四象限，
当a<0，k>0时，直线y=ax+k经过第一、二、四象限，
综上，直线y=ax+k一定经过一、四象限．
故选：D.
根据已知条件可得出ax2−kx−a=0，再利用根与系数的关系，分情况讨论即可．
本题考查了二次函数与系数的关系，解题的关键是熟练掌握根与系数的关系．
11.【答案】x(x−3)
【解析】解：原式=x⋅x−x⋅3
=x(x−3)，
故答案为：x(x−3).
提取公因式x即可．
本题考查提公因式法因式分解，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握．
12.【答案】25
【解析】解：∵一个口袋里有5个除颜色外完全相同的小球，其中2个红球，3个白球，
∴摸到红球的概率是25.
故答案为：25.
利用红球的个数÷球的总个数可得红球的概率．
此题主要考查了概率公式，关键是掌握概率=所求情况数与总情况数之比．
13.【答案】140∘
【解析】解：如图，标注三角形的三个顶点A、B、C.
∠2=∠BAC=180∘−∠ABC−∠ACB.
∵图案是由一张等宽的纸条折成的，
∴AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB.
又∵纸条的长边平行，
∴∠ABC=∠1=20∘，
∴∠2=∠BAC=180∘−2∠ABC=180∘−2∠1=180∘−2×20∘=140∘.
故答案为：140∘.
利用平行线的性质和各角之间的关系即可求解．
本题比较简单，主要考查了平行线的性质的运用．
14.【答案】2 5
【解析】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD//BC，∠A=90∘，
∴∠AEB=∠FBC，
∵CF⊥BE，
∴∠CFB=90∘，
∴∠CFB=∠A，
在△ABE和△FCB中，
∠A=∠CFB∠AEB=∠FBCBE=CB，
∴△ABE≌△FCB(AAS)，
∴FC=AB=4，
∵四边形ABCD是矩形，
∴BC=AD=6，
在Rt△FCB中，由勾股定理得BF= BC2−FC2= 62−42=2 5，
故答案为：2 5.
根据矩形的性质可得出∠AEB=∠FBC，结合已知BE=BC，利用AAS证得△ABE和△FCB全等，得出FC=AB=4，再根据矩形的性质得到BC=AD=6，从而在Rt△FCB中利用勾股定理求出BF的长．
本题考查了矩形的性质，三角形全等的性质与判定，勾股定理，熟知矩形的对边平行且相等，四个角都是直角．
15.【答案】3
【解析】解：设第一组有x人，则第二组有(x+6)人，依题意有：
12x=36x+6，
解得x=3，
经检验，x=3是原方程的解．
故第一组有3人．
故答案为：3.
可设第一组有x人，则第二组有(x+6)人，根据两组平均每人植树的棵数相等，列出方程计算即可求解．
本题考查了应用类问题，关键是根据两组平均每人植树的棵数相等找到等量关系．
16.【答案】5a+5b=7ca2+b2=c2
【解析】解：(1)∵△ADE和△CBF是等边三角形，
∴∠A=∠ADE=∠B=∠BCF=60∘，
∴△CDH和△ABG是等边三角形，DE//BG，CF//AG，
∴四边形EHFG是平行四边形，AB=AG=BG=c，CH=DH=CD=AD+BC−AB=a+b−c，
∴EG=AG−AE=c−a，GF=BG−BF=c−b，
∵四边形EHFG的周长与△CDH的周长相等，
∴2[(c−a)+(c−b)]=3(a+b−c)，
整理得：5a+5b=7c，
故答案为：5a+5b=7c；
(2)∵S四边形EHFG=S△ABG−S△BCF−S△ADE+S△CDH，四边形EHFG的面积与△CDH的面积相等，
∴S△ABG−S△BCF−S△ADE+S△CDH=S△CDH，
∴S△ABG=S△BCF+S△ADE，
∵△ABG，△ADE和△CBF是等边三角形，
∴ 34c2= 34a2+ 34b2，
∴c2=a2+b2，
故答案为：a2+b2=c2.
(1)由△ADE和△CBF是等边三角形，可得△CDH和△ABG是等边三角形，DE//BG，CF//AG，即知EG=AG−AE=c−a，GF=BG−BF=c−b，根据四边形EHFG的周长与△CDH的周长相等，有2[(c−a)+(c−b)]=3(a+b−c)，故5a+5b=7c；
(2)由S四边形EHFG=S△ABG−S△BCF−S△ADE+S△CDH，四边形EHFG的面积与△CDH的面积相等，可得S△ABG=S△BCF+S△ADE，即 34c2= 34a2+ 34b2，从而可得a2+b2=c2.
本题考查等边三角形的性质及应用，解题的关键是用含a，b，c的代数式表示相关线段的长度．
17.【答案】解：22+|−3|− 25
=4+3− 52
=4+3−5
=7−5
=2.
【解析】根据有理数的乘方，绝对值的性质，算术平方根进行计算即可．
本题考查实数的运算，实数的相关运算法则是基础且重要知识点，必须熟练掌握．
18.【答案】解：{x+y=7①2x−y=2②，
①+②得3x=9，
解得x=3，
把x=3代入①，得3+y=7，
解得y=4，
∴方程组的解是x=3y=4.
【解析】利用加减消元法求解即可．
本题主要考查解二元一次方程组，解答的关键是熟练掌握解二元一次方程组的方法．
19.【答案】解：在Rt△ABC中，AB=120cm，∠BAC=90∘，∠B=33.7∘，
∴tanB=ACAB，
∴AC=AB⋅tan33.7∘≈120×0.67=80.4≈80(cm)，
∴AC的长约为80cm.
【解析】在Rt△ABC中，利用锐角三角函数的定义进行计算，即可解答．
本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
20.【答案】解：(1)设h关于ρ的函数解析式为h=kρ，
把ρ=1，h=20代入解析式，得k=1×20=20，
∴h关于ρ的函数解析式为h=20ρ；
(2)把h=25代入h=20ρ，得25=20ρ，
解得：ρ=0.8，
答：该液体的密度ρ为0.8g/cm3.
【解析】(1)设h关于ρ的函数解析式为h=kρ，把ρ=1，h=20代入解析式，解方程即可得到结论；
(2)把h=25代入h=20ρ，求得ρ=0.8，于是得到结论．
本题考查了反比例函数的应用，正确地求出反比例函数的解析式是解题的关键．
21.【答案】(1)证明：∵AD//BC，
∴∠ADB=∠CBD，∠A=∠C，
∴180∘−(∠ADB+∠A)=180∘−(∠CBD+∠C)，
即∠ABD=∠CDB，
∴AB//CD，
∴四边形ABCD是平行四边形；
(2)解：如图，四边形BEDF就是所求作的菱形．
【解析】(1)证明AB//CD，可得结论；
(2)桌线段BD的垂直平分线交AD与点F交BC与点E即可．
本题考查作图-复杂作图，平行四边形的判定和性质，菱形的判定等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
22.【答案】解：(1)A班的人数：28+9+9+3+1=50(人)，
B班的人数：25+10+8+2+1=46(人)，
答：A，B两班的学生人数分别是50人，46人．
(2)x−A=14×2.5+16×7.5+12×12.5+6×17.5+2×22.550=9.1，
x−B=6×2.5+8×7.5+11×12.5+18×17.5+3×22.546≈12.9，
从平均数看，B班成绩好于A班成绩．
从中位数看，A班中位数在5
(3)前测结果中：
x−A=28×2.5+9×7.5+9×12.5+3×17.5+1×22.550=6.5，
x−B=25×2.5+10×7.5+8×12.5+2×17.5+1×22.546≈6.4，
从平均数看，两班成绩较前测都有上升，但实验班提升得更明显，因此张老师新的教学方法效果较好．
从中位数看，两班前测中位数均在0
【解析】(1)将表格中A、B班各等级人数分别相加即可得出答案；
(2)分别计算出A、B班级成绩的平均数，再从平均数、中位数和百分率方面求解即可；
(3)计算出前测A、B班级成绩的平均数，再与后测的平均数、中位数及百分率分析求解即可．
本题主要考查统计量的选择，解题的关键是掌握加权平均数、中位数的定义和意义．
23.【答案】解：(1)如图，连接OP，
设∠BOP的度数为n∘，
∵AB=6，BP长为π，
∴nπ×3180=π，
∴n=60，即∠BOP=60∘，
∴∠BAP=30∘，
∵直线l是⊙O的切线，
∴∠ABC=90∘，
∴BC=AB 3=2 3；
(2)如图，连接BQ，过点C作CF⊥AD于点F，
∵AB为⊙O直径，
∴∠BQA=90∘，
∴cos∠BAQ=AQAB=34，
∵BP=PQ，
∴∠BAC=∠DAC，
∵CF⊥AD，AB⊥BC，
∴CF=BC，
∵∠BAQ+∠ADB=90∘，∠FCD+∠ADB=90∘，
∴∠FCD=∠BAQ，
∴cos∠FCD=cos∠BAQ=34，
∴CFCD=34，
∴BCCD=34；
(3)如图，连接BQ，
∵AB⊥BC，BQ⊥AD，
∴∠ABQ=90∘−∠QBD=∠ADC，
∵∠ABQ=∠APQ，
∴∠APQ=∠ADC，
∵∠PAQ=∠DAC，
∴△APQ∽△ADC，
∴PQCD=APAD①，
∵∠ABC=90∘=∠APB，∠BAC=∠PAB，
∴△APB∽△ABC，
∴BPBC=APAB②，
由BC=CD，将①②两式相除得：
PQBP=ABAD，
∵cos∠BAQ=ABAD= 104，
∴PQBP= 104.
【解析】(1)连接OP，设∠BOP的度数为n，可得nπ×3180=π，n=60，即∠BOP=60∘，故∠BAP=30∘，而直线l是⊙O的切线，有∠ABC=90∘，从而BC=AB 3=2 3；
(2)连接BQ，过点C作CF⊥AD于点F，求出cos∠BAQ=AQAB=34，由BP=PQ，得∠BAC=∠DAC，有CF=BC，证明∠FCD=∠BAQ，即得CFCD=34，故BCCD=34；
(3)连接BQ，证明△APQ∽△ADC，得PQCD=APAD①，证明△APB∽△ABC，得 BPBC=APAB②，由BC=CD，将①②两式相除得：PQBP=ABAD，故PQBP= 64.
本题考查圆的综合应用，涉及相似三角形的判定与性质，锐角三角函数，圆的切线等知识，解题的关键是熟练掌握圆的相关性质及应用．
24.【答案】解：任务1：
变化量分别为：29−30=−1(cm)；28.1−29=−0.9(cm)；27−28.1=−1.1(cm)；25.8−27=−1.2(cm)，
∴每隔10min水面高度观察值的变化量为：−1，−0.9，−1.1，−1.2.
任务2：
设水面高度h与流水时间t的函数解析式为h=kt+b，
∵t=0时，h=30；t=10时，h=29；
∴b=3010k+b=29，
解得：k=−0.1b=30，
∴水面高度h与流水时间t的函数解析式为h=−0.1t+30；
任务3：
(1)w=(30−30)²+(29−29)2+(28−28.1)2+(27−27)2+(26−25.8)2
=0.05.
(2)w=(10k+30−30)2+(10k+30−29)2+(10k+30−28.1)2+(10k+30−27)2+(10k+30−25.8)2
=3000(k+0.102)2−0.038，
∴当k=−0.102时，w的最小值为0.038.
任务4：
在容器外壁每隔1.02cm标记一次刻度，这样水面每降低一个刻度，就代表时间经过了10分钟．
【解析】任务1：依表计算即可；
任务2：根据待定系法确定关系式即可；
任务3：(1)根据题意计算即可；(2)设h=kt+30，代入w计算化简，利用二次函数性质求w的最小值即可；
任务4：按照上一问题中的结论设计即可．
本题考查了一次函数的应用，充分理解题意是解题关键．
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