2023年湖南省株洲市中考数学适应性试卷（含解析）

这是一份2023年湖南省株洲市中考数学适应性试卷（含解析），共25页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023年湖南省株洲市中考数学适应性试卷
一、选择题（本大题共10小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 4的算术平方根是(    )
A. 2 B. ±2 C. 8 D. 16
2. 某种粒子的质量为0.00000081g，将0.00000081用科学记数法表示为(    )
A. 0.81×10−6 B. 0.81×10−7 C. 8.1×10−7 D. 8.1×10−6
3. 2023年3月5日−3月13日，全国两会在首都北京召开.为了让学生更好地了解两会，某学校组织了一次关于“全国两会”的知识比赛.在抢答赛初赛中，某班4个小队的成绩统计结果如下表：

第1队
第2队
第3队
第4队
平均分
97
97
95
95
方差
23
15
15
23
要从4个小队中选出一个小队代表班级参加决赛，应该选哪个队伍参赛比较合理？(    )
A. 第1队 B. 第2队 C. 第3队 D. 第4队
4. 剪纸文化是中国最古老的民间艺术之一，下列剪纸图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是(    )
A. B.
C. D.
5. 如图，菱形ABCD中，EF⊥AC，垂足为点H，分别交AD、AB及CB的延长线交于点E、M、F，且AE：FB=1：2，则AH：AC的值为(    )


A. 14 B. 16 C. 25 D. 15
6. “二十四节气”是中华上古农耕文明的智慧结晶，被国际气象界誉为“中国第五大发明”.小文购买了“二十四节气”主题邮票，他要将“立春”“立夏”“秋分”“大寒”四张邮票中的两张送给好朋友小乐．小文将它们背面朝上放在桌面上(邮票背面完全相同)，让小乐从中随机抽取一张(不放回)，再从中随机抽取一张，则小乐抽到的两张邮票恰好是“立春”和“立夏”的概率是(    )
A. 23 B. 12 C. 16 D. 18
7. 如图，∠AOB=45°，以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA，OB于点D，C；再分别以点C，D为圆心，大于12CD的长为半径画弧，两弧交于点E；作射线OE，过点E分别作EG//OA交OB于点G，EF⊥OA于点F.若EG=1，则EF的长为(    )
A. 2 B. 22 C. 3 D. 32
8. 如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，连接AC，BC，过点O作OD⊥BC于点D，过点C作⊙O的切线交OD的延长线于点E.连接AD，若CE=4 5，BC=8，则AD的长为(    )


A. 2 5 B. 2 7 C. 3 3 D. 4 2
9. 《九章算术》是古代东方数学代表作，书中记载：“五只雀、六只燕，共重1斤(等于16两)，雀重燕轻.互换其中一只，恰好一样重，问：每只雀、燕的重量：各为多少？”若假设每只雀、燕的体重相同，设每只雀的重量为x两，每只燕的重量为y两，则列方程组为(    )
A. 5x+6y=165x+y=x+6y B. 5x+6y=164x+y=x+5y
C. 5x+6y=15x+y=x+6y D. 5x+6y=14x+y=x+5y
10. 已知一次函数y1=ax−3a，二次函数y2=x2−(a2−2)x−3.若x>0时，y1y2≥0恒成立，则a的取值范围是(    )
A. a≤−2或a≥2 B. −2≤a≤2且a≠0
C. a=−2 D. a=2
二、填空题（本大题共8小题，共32.0分）
11. 函数y=3x−4中，自变量x取值范围是______ ．
12. 分解因式：m2−8m+16=______．
13. 如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，已知BC=4，AB=3，则OB的长为______ ．


14. 如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点E，连接AC，AD.若∠D=62°，则∠BAC=            ．






15. 已知关于x的一元二次方程(m−2)x2+2x+1=0有实数根，则m的取值范围是          ．
16. 如图，圆锥的表面展开图由一扇形和一个圆组成，已知圆的面积为100π，扇形的圆心角为120°，这个扇形的面积为______．


17. 如图，等边△A1C1C2的周长为1，作C1D1⊥A1C2于D1，在C1C2的延长线上取点C3，使D1C3=D1C1，连接D1C3，以C2C3为边作等边△A2C2C3；作C2D2⊥A2C3于D2，在C2C3的延长线上取点C4，使D2C4=D2C2，连接D2C4，以C3C4为边作等边△A3C3C4；⋯且点A1，A2，A3，⋯都在直线C1C2同侧，如此下去，则△A1C1C2，△A2C2C3，△A3C3C4，⋯，△AnCnCn+1的周长和为______ .面积之和为______ (n≥2，且n为整数)．


18. 如图，在半径为6cm的⊙O中，点A是劣弧BC的中点，点D是优弧BC上的一点，且∠D=30°，①求扇形AOB的面积为______ ；②若CD⊥BC，则AD的长是______ cm．


三、解答题（本大题共8小题，共78.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
19. (本小题6.0分)
计算：6sin30°−(12)−2+|π−2|0+ 8．
20. (本小题8.0分)
先化简，再求值：(2m−1+1)÷2m+2m2−2m+1，其中m= 2+1．
21. (本小题8.0分)
正方形ABCD对角线AC、BD交于点O，E为线段OD上一点，延长AE到点N，使AE=EN，AN交CD边于点F，连接CN．
(1)求证：△CAN为直角三角形．
(2)若点E为OD中点，正方形的边长为6，求DF的长．

22. (本小题10.0分)
某社区为了加强社区居民对新型冠状病毒肺炎防护知识的了解，通过微信群宣传新型冠状病毒肺炎的防护知识，并鼓励社区居民在线参与作答《2022年新型冠状病毒防治》试卷，社区管理员随机从甲、乙两个小区各抽取20名人员的答卷成绩，并对他们的成绩(单位：分)进行统计、分析，过程如下：
收集数据：
甲小区：85 80 95 100 90 95 85 65 75 85 90 90 70 90 100 80 80 90 95 75
乙小区：80 60 80 95 65 100 90 85 85 80 95 75 80 90 70 80 95 75 100 90
整理数据：
成绩x(分)
60≤x≤70
700，且(3,0)是两函数的交点，
∴0=32−(a2−2)×3−3，
∴a=±2，
∴a=2；
故选：D．
由已知可以确定y1经过点(3,0)，y2经过点(0,−3)，根据x>0时，y1y2≥0恒成立，可以断定(3,0)是两函数的交点，即可求a；
本题考查一次函数与二次函数图象及性质；能够根据两个函数分别经过的顶点，结合已知确定点(3,0)是函数的交点是解题的关键．

11.【答案】x≠4 
【解析】解：依题意，得x−4≠0，即x≠4，
故答案为：x≠4．
根据函数式为分式，分母不为0，求自变量x的取值范围．
本题考查了函数自变量的取值范围：注意分式有意义，分母不为0．

12.【答案】(m−4)2 
【解析】
【分析】
此题主要考查了公式法分解因式，正确应用公式是解题关键．
直接利用完全平方公式进而分解因式得出答案．
【解答】
解：m2−8m+16=(m−4)2．
故答案为：(m−4)2．  
13.【答案】52 
【解析】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC=90°，OB=OD=OA=OC=12AC，
∵BC=4，AB=3，
∴AC= AB2+BC2= 32+42=5，
∴OB=12AC=52，
故答案为：52．
根据矩形的性质和勾股定理得出AC，进而利用矩形的性质解答即可．
本题考查矩形的性质，勾股定理，关键是根据矩形的对角线相等且平分解答．

14.【答案】28° 
【解析】
【分析】
本题考查了圆周角定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
连接BC，根据直径所对的圆周角是直角可得∠ACB=90°，利用同弧所对的圆周角相等可得∠B=62°，利用直角三角形的两个锐角互余即可解答．
【解答】
解：连接BC，

∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∵∠D=62°，
∴∠B=∠D=62°，
∴∠BAC=90°−∠B=28°，
故答案为：28°．  
15.【答案】m≤3且m≠2 
【解析】
【分析】
本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式△=b2−4ac：当△>0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△0)过D点，
∴k=2×1=2；
(2)当k=1时，则反比例函数为y=1x，
①∵点A(a,a)，B(b,b)，BD//AC//y轴，
∴C(a,1a)，D(b,1b)，
∵AC=BD，
∴1a−a=b−1b，
∴1a+1b=a+b，
∴a+bab=a+b，
∴ab=1；
②∵AC=1a−a，BD=b−1b，
又∵AC=2BD，
∴1a−a=2(b−1b)，
两边平方得：a2+1a2−2=4(b2+1b2−2)，即a2+1a2=4(b2+1b2)−6．
∵OC2=a2+1a2，OD2=b2+1b2，
∴4OD2−OC2=4(b2+1b2)−(a2+1a2)=6． 
【解析】(1)利用待定系数法即可求得；
(2)①根据图象上点的坐标特征，则C(a,1a)，D(b,1b)，由AC=BD即可得到1a−a=b−1b，通过变形得到ab=1′
②根据AC=2BD即可得到a，b的关系，然后利用勾股定理，即可用a，b表示出所求的式子从而求解．
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，勾股定理的综合应用，正确表示出C、D的坐标是解题是关键．

25.【答案】(1)证明：连结OA、AD，如图，
∵CD为直径，
∴∠CAD=90°，
∵∠ADC=∠B=60°，
∴∠ACD=30°，
∵AP=AC，
∴∠P=∠ACD=30°，
∵∠AOD=2∠ACD=60°，
∴∠OAP=180°−60°−30°=90°，
∴OA⊥PA，
∴AP与⊙O相切；

(2)证明：∵∠P=∠ACP=∠CAO=30°，
∴△ACO∽△PCA，
∴ACCP=OCAP，
∵AC=AP
∴AC2=CO.CP；

(3)解：连接AD，
∵AO=DO，∠ADC=60°，
∴△AOD是等边三角形，
∴∠OAD=60°，
∴∠PAD=30°，
∴∠P=∠PAD，
∴AD=PD= 3，
∴OD= 3，
∴⊙O的直径CD=2 3． 
【解析】(1)连结OA、AD，如图，利用圆周角定理得到∠CAD=90°，∠ADC=∠B=60°，则∠ACD=30°，再利用AP=AC得到∠P=∠ACD=30°，接着根据圆周角定理得∠AOD=2∠ACD=60°，然后根据三角形内角和定理可计算出∠OAP=90°，于是根据切线的判定定理可判断AP与⊙O相切；
(2)通过△ACO∽△PCA，得到ACCP=OCAP，由于AC=AP于是得到结论；
(3)连接AD，证得△AOD是等边三角形，得到∠OAD=60°，求得AD=PD= 3，得到OD= 3，即可得到结论．
本题考查了相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质和判定，等边三角形的判定和性质，圆周角定理，正确的作出辅助线是解题的关键．

26.【答案】解：(1)将B(4,0)代入y=a(x−1)2+92，
即0=9a+92，
解得：a=−12，
∴y=−12(x−1)2+92，
令x=0，则y=−12+92=4，
令y=0，则−12(x−1)2+92=0，
解得：x1=4，x2=−2，A(−2,0)，C(0,4)；
(2)存在点P，使△BCP是直角三角形，
∵y=−12(x−1)2+92，对称轴为直线x=1，
设P(1,n)，
∵B(4,0)，C(0,4)，
∴BC2=42+42=32，BP2=(4−1)2+n2，PC2=12+(4−n)2，
①当∠BCP=90°时，BP2=BC2+PC2，
∴(4−1)2+n2=32+12+(4−n)2，
解得：n=5；
②当∠CBP=90°时，PC2=BC2+BP2，
∴12+(4−n)2=(4−1)2+n2+32
解得：n=−3；
③当∠BPC=90°时，BC2=BP2+PC2，32=(4−1)2+n2+12+(4−n)2
解得：n=2− 7或n=2+ 7，
综上所述：P(1,5)，(1,−3)，(1,2+ 7)，(1,2− 7)；
(3)存在点M使AM+OM最小，理由如下：
作O点关于BC的对称点Q，连接AQ交BC于点M，连接BQ，

由对称性可知，OM=QM，
∴AM+OM=AM+QM≥AQ，
当A、M、Q三点共线时，AM+OM有最小值，
∵B(4,0)，C(0,4)，
∴OB=OC，
∴∠CBO=45°，
由对称性可知∠QBM=45°，
∴BQ⊥BO，
∴Q(4,4)，
设直线AQ的解析式为y=kx+b，
∴−2k+b=04k+b=4，
解得：k=23b=43，
∴直线AQ的解析式y=23x+43，
设直线BC的解析式为y=mx+4，
∴4m+4=0，
∴m=−1，
∴直线BC的解析式为y=−x+4，
联立方程组y=−x+4y=23x+43，
解得：x=85y=125，
∴M(85,125). 
【解析】(1)将B(4,0)代入y=a(x−1)2+92，待定系数法求解析式，进而分别令x，y=0，解方程即可求解；
(2)根据题意y=−12(x−1)2+92，对称轴为直线x=1，设P(1,n)，根据勾股定理BC2=42+42=32，BP2=(4−1)2+n2，PC2=12+(4−n)2，分①当∠BCP=90°时，②当∠CBP=90°时，③当∠BPC=90°时，根据勾股定理建立方程，解方程即可求解；
(3)存在点M使AM+OM最小，作O点关于BC的对称点Q，连接AQ交BC于点M，连接BQ，求得直线AQ的解析式y=23x+43，直线BC的解析式为y=−x+4，联立方程即可求解．
本题考查了二次函数综合运用，待定系数求解析式，勾股定理，轴对称的性质求线段长的最值问题，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．