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2023年安徽省六安九中中考数学二模试卷（含解析）
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这是一份2023年安徽省六安九中中考数学二模试卷（含解析），共23页。试卷主要包含了选择题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023年安徽省六安九中中考数学二模试卷
一、选择题（本大题共9小题，共36.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 实数−2的相反数是( )
A. −2 B. 2 C. −12 D. 12
2. 下列计算正确的是( )
A. a2+a3=a5 B. (−a2)3=−a6 C. (−2a)3=−6a3 D. a2⋅a3=a6
3. 春天是花粉过敏的易发期，某种过敏花粉的直径约为0.000054米，数“0.000054”用科学记数法表示正确的是( )
A. 5.4×10−5 B. 5.4×10−6 C. 5.4×105 D. 5.4×10
4. 由立方体切割得到的一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体是( )
A. 三棱柱
B. 圆柱
C. 长方体
D. 三棱锥
5. 不等式组3x+3>1x−4≤8−2x的最小整数解是( )
A. 0 B. 1 C. 2 D. −1
6. 如图，在▱ABCD中，延长CD至点E，使DE=DC，连接BE交AC于点F，则AFFC的值是( )
A. 13 B. 12 C. 25 D. 38
7. 为了解跳水运动员的冬训情况，教练从16名队员中随机选8位队员进行“规定动作跳水”测试，得分如下(满分10分)：10，6，9，9，7，8，9，6，则以下判断正确的是( )
A. 这组数据的众数是9，说明全体队员的平均成绩达到9分
B. 这组数据的方差是2，说明这组数据的波动很小
C. 这组数据的平均数是8，可以估计队内其它队员的平均成绩大约也是8分
D. 这组数据的中位数是8，说明得8分以上的人数占大多数
8. 如图，△ABC内接于⊙O，AB=BC，∠ABC=30°，⊙O的半径为2，则图中阴影部分的面积是( )
A. 53π
B. 52π
C. 43π
D. 2π
9. 在平面直角坐标系xOy中，对于点P(x,y)，如果点Q(x,y′)的纵坐标满足y′=2y−x,(x≥y)2x−y,(x
C. (−3,−1)或(−3,−4) D. (−3,−1)或(−3,−11)
二、多选题（本大题共1小题，共4.0分。在每小题有多项符合题目要求）
10. 若一个平行四边形的四个顶点分别在矩形的四条边上，且一边和矩形的对角线平行，则称这样的平行四边形为该矩形的“反射平行四边形”.已知▱EFGH为矩形ABCD的“反射平行四边形”，点E、F、G、H分别在边AB、BC、CD、AD上，EF//AC，设▱EFGH的周长为l，▱EFGH和矩形ABCD的面积分别为S1，S2，则下列结论正确的有( )
A. ∠AEH=∠CFG B. FG//BD
C. l=2AC D. S1≤12S2
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
11. 已知整数x满足： 13
13. 如图，菱形ABCD的顶点B在y轴的正半轴上，点C在x轴的正半轴上，点A，D在第一象限，且BD//x轴，点E为对角线的交点，OE的延长线交AD于F，反比例函数y=kx(k≠0)的图象经过点F，若菱形的面积为16，则k的值为______ ．
14. Rt△ABC中，点D是斜边AB的中点．
(1)如图1，若DE⊥BC与E，DF⊥AC于F，DE=3，DF=4，则AB= ______ ；
(2)如图2，若点P是CD的中点，且CP=52，则PA2+PB2= ______ ．
四、解答题（本大题共9小题，共90.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
15. (本小题8.0分)
先化简，再求值：(a+2)(a−2)−a(a−2)，其中a=12．
16. (本小题8.0分)
如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别为(−4,3)，(−3,−1)，(0,2)．
(1)以点O为对称中心，画出△ABC关于原点O成中心对称的图形△A1B1C1(其中A与A1，B与B1，C与C1是对应点)；
(2)以点D(−2,1)为位似中心，将△ABC放大2倍得到△A2B2C2(其中A与A2，B与B2，C与C2是对应点)，且写出点A2的坐标．
17. (本小题8.0分)
某药品生产车间引进智能机器人替换人工包装药品，每台机器人每小时包装的速度是人工包装速度的5倍.经过测试，由1台智能机器人包装1600盒药品的时间，比4个工人包装同样数量的药品节省4小时，一台智能机器人每小时可以包装多少盒药品？
18. (本小题8.0分)
某旅游景区走廊的中间部分是用边长为1米的白色正方形地砖和彩色正方形(图中阴影部分)地砖铺成的，图案如图所示，根据图示排列规律，解答以下问题．
(1)第4个图案L(4)有白色地砖______ 块地砖；第n个图案L(n)有白色地砖块______ 地砖(用含n的代数式表示)；
(2)已知L(1)的长度为3米，L(2)的长度为5米，…，L(n)的长度为2023米，求图案L(n)中白色正方形地砖有多少块．
19. (本小题10.0分)
“格物致知，叩问苍穹”，2023年中国航天日活动于4月24日在安徽合肥隆重举行，受活动影响，某校航模社团制作了一种固定翼飞机的机翼模型，形状如图所示，经测量AD=50cm，CD=10cm，∠A=53.3°，∠ABC=111.8°，AB//DC，求AB边的长.(参考数据：sin53°≈0.80，cos53.3°≈0.60，tan53.3°≈1.34，sin68.2°≈0.93，cos68.2°≈0.37，tan68.2°≈2.50)
20. (本小题10.0分)
已知：如图1，AB为⊙O的直径，点C为⊙O外一点，AC=AB，连接BC交⊙O于D．
(1)若AC为⊙O的切线，求证：OD⊥AB；
(2)如图2，若∠BAC>90°时，请用尺规作图在△ABC内部选一点P，使∠APB=45°，以下是部分作图步骤：
第一步：过点O作AB的垂线，交⊙O于点E；
第二步：连接AE、BE；
⋯
问题：
①请完成接下来的作图，并保留作图痕迹；
②在操作中得到∠APB=45°的依据是______ ．
21. (本小题12.0分)
如图所示的转盘，被均分成5等份，分别标记数字1、2、3、4、5，小娟和小丽玩转盘游戏，转动转盘指针停在哪个区域就得相应分数(指针停在分界线，则重转)．
(1)如果转一次，求指针停在偶数区域的概率；
(2)如果约定游戏规则：小娟转一次，指针落在奇数区域就得15分；小丽连续转两次，两次得分之积为偶数就得15分，试问游戏公平吗？若不公平，请修改小娟或小丽的得分使游戏公平．
22. (本小题12.0分)
如图，已知抛物线c：y=ax2+bx+3与x轴交于A(−3,0)，B(1,0)两点，与y轴交于点C，抛物线的顶点为D．
(1)求抛物线c的解析式及D点的坐标；
(2)将抛物线c向右平移m(m>0)个单位，设平移后的抛物线c′中y随x增大而增大的部分记为图象G，若图象G与直线AC只有一个交点，求m的取值范围．
23. (本小题14.0分)
如图1，已知四边形ABCD中，AB=BC，AD=CD，∠ABC=2∠ADC．
(1)求证：AC⊥BD；
(2)求证：AB+BO=OD；
(3)如图2，若BE平分∠ABD交AD于点E，AB⋅BD=6，DE=2，求AE的长．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：−2的相反数是2．
故选：B．
根据相反数的定义解答即可．
本题考查的是实数的性质及相反数的定义，熟知只有符号不同的两个数叫做互为相反数是解题的关键．
2.【答案】B
【解析】解：A、a2与a3不属于同类项，不能合并，故A不符合题意；
B、(−a2)3=−a6，故B符合题意；
C、(−2a)3=−8a3，故C不符合题意；
D、a2⋅a3=a5，故D不符合题意；
故选：B．
利用合并同类项的法则，积的乘方的法则，同底数幂的乘法的法则对各项进行运算即可．
本题主要考查同底数幂的乘法，合并同类项，积的乘方，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
3.【答案】A
【解析】解：0.000054=5.4×10−5．
故选：A．
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值<1时，n是负整数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
4.【答案】D
【解析】解：由立方体切割得到的一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体是三棱锥．
故选：D．
几何体的三视图是三角形，说明这个几何体是锥体．
本题考查了由三视图判断几何体的知识，考查了学生对三视图掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对空间想象能力方面的考查．
5.【答案】A
【解析】解：3x+3>1 ①x−4≤8−2x ②
由①得，x>−23，
由②得，x≤4，
所以不等式的解集为：−23
故选A．
先解不等式组可得：−23
6.【答案】B
【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AB//CD，
∵DE=DC，
∴AB=CD=DE=12CE，
∵AB//CD，
∴△ABF∽△CEF，
∴AFFC=ABCE=12．
故选：B．
在▱ABCD中，AB=CD，AB//CD，根据DE=DC，可得AB=CD=DE=12CE，再由AB//CD得到△ABF∽△CEF，最后根据相似三角形对应边成比例即可求出结论．
本题考查了相似三角形的判定与性质、平行四边形的性质，解决本题的关键是掌握相似三角形的判定与性质．
7.【答案】C
【解析】解：将数据进行排序：6，6，7，8，9，9，9，10；
∴众数为：9；中位数为：12(8+9)=8.5；
平均数为：18(6+6+7+8+9+9+9+10)=8；
方差为：18[(6−8)2+(6−8)2+(7−8)2+(8−8)2+(9−8)2+(9−8)2+(9−8)2+(10−8)2]=2；
A、这组数据的众数是9，但是众数不能说明全体队员的平均成绩达到(9分)，故选项A错误；
B、这组数据的方差是2，不能说明这组数据的波动大小，因为波动大小是相对的，故选项B错误；
C、这组数据的平均数是8，可以估计队内其它队员的平均成绩大约也是(8分)，故选项C正确；
D、这组数据的中位数是8.5，故选项D错误；
故选：C．
根据众数，平均数，方差，中位数的确定方法，逐一进行判断即可．
本题考查众数，平均数，方差，中位数．熟练掌握众数，平均数，方差，中位数的确定方法，是解题的关键．
8.【答案】A
【解析】解：连接BC，
∵AB=BC，∠ABC=30°，
∴∠A=∠ACB=12×(180°−30°)=75°，
∴∠BOC=2∠A=150°，
∴图中阴影部分的面积=150⋅π×22360=53π，
故选：A．
连接BC，根据等腰三角形的性质得到∠A=∠ACB=12×(180°−30°)=75°，根据圆周角定理得到∠BOC=2∠A=150°，根据扇形的面积公式即可得到结论．
本题考查了三角形的外接圆与外心，圆周角定理，扇形的面积的计算，熟练掌握扇形的面积公式是解题的关键．
9.【答案】C
【解析】解：当x≥y，即−3≥y时，2y−(−3)=−5，
解得y=−4，
∴P(−3,−4)；
当x
∴P(−3,−1)，
综上所述，点P的坐标为(−3,−1)或(−3,−4)．
故选：C．
根据“友好点”的定义，可得答案．
本题主要考查了点的坐标，理清“友好点”的定义是解答本题的关键．
10.【答案】BCD
【解析】解：如图，延长AB，GF交于点M，
在平行四边形EFGH中，∵EH//FG，
∴∠1=∠2，
∵∠3=∠4，∠2与∠3不一定相等，
∴∠1=∠4不一定成立，
即∠AEH=∠CFG不一定相等，故A选项不符合题意；
在矩形ABCD中，
∵AB//CD，
∴∠5=∠2，∠BAD=∠BCD=90°，
∴∠5=∠1，
在平行四边形EFGH中，
∵EH=FG，
∴△AEH≌△CGF(AAS)，
∴AE=CG，
∵EF//AC，
∴BEAB=BFBC，
∴AEAB=CFBC，
∵CG=AE，CD=AB，
∴CGCD=CFBC，
∴FG//BD，故B选项正确；
∵EF//AC，FG//BD，
∴EFAC=BFBC，FGBD=CGCD，
∴EFAC+FGBD=BFBC+CGCD，
在矩形ABCD中，
∵AC=BD，
∴EF+FGAC=BFBC+AEAB=BFBC+CFBC=BF+CFBC=BCBC=1，
∴EF+FG=AC，
∴l=2(EF+FG)=2AC，故C选项正确；
∵点O为BD中点，FG//BD，
∴点Q为FG中点，同理可得点P为EF中点，
∴四边形OPFG的面积=14S1，S△BOC=14S2，
设BFBC=x，则CFBC=1−x，
∵PF//OC，FQ//OB，
∴S△BPF+S△CQFS△BOC=S△BPFS△BOC+S△CQFS△BOC=x2+(1−x)2=2(x−12)2+12≥12，
∴四边形OPFQ的面积：三角形BOC的面积≤12，
∴S1：S2=四边形OPFQ的面积：三角形BOC的面积≤12，
∴S1≤12S2
故D选项正确．
故选：BCD．
如图，延长AB，GF交于点M，根据平行线的性质得到∠1=∠2，由于∠3=∠4，∠2与∠3不一定相等，于是得到∠1=∠4不一定成立，即∠AEH=∠CFG不一定相等，故A选项不符合题意；根据平行线的性质得到∠5=∠2，∠BAD=∠BCD=90°，求得∠5=∠1，根据平行四边形的性质得到EH=FG，根据全等三角形的性质得到AE=CG，推出FG//BD，故B选项正确；根据EF//AC，FG//BD，得到EFAC=BFBC，FGBD=CGCD，于是得到EFAC+FGBD=BFBC+CGCD，推出EF+FG=AC，于是得到l=2(EF+FG)=2AC，故C选项正确；根据平行线等分线段定理得到点Q为FG中点，同理可得点P为EF中点，求得四边形OPFG的面积=14S1，S△BOC=14S2，设BFBC=x，则CFBC=1−x，根据三角形的面积公式得到S1≤12S2故D选项正确．
本题是四边形是综合题，考查了全等三角形的判定和性质，矩形的性质，相似三角形的判定和性质，三角形的面积的计算，正确地作出辅助线是解题的关键．
11.【答案】4
【解析】解；∵ 13
故答案为：4．
先由已知确定x的范围，再确定符合条件的整数．
本题主要考查了实数的大小比较，掌握实数大小的比较方法是解决本题的关键．
12.【答案】m<1
【解析】解：∵关于x的一元二次方程x2−2x+m=0有两个不相等的实数根，
∴Δ=(−2)2−4×1×m=4−4m>0，
解得：m<1．
故答案为：m<1．
根据方程的系数结合根的判别式Δ>0，可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围．
本题考查了根的判别式，牢记“当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根”是解题的关键．
13.【答案】18
【解析】解：作FH⊥x轴于H，设OE交BC于M，FH交ED于N，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
∵BD//x轴，
∴∠ECO=90°
∵OB⊥OC，
∴四边形OBEC是矩形，
∴BM=CM，
∵BE=DE，
∴AF=DF，
∵FH//AC，
∴FN为△AED中位线，
∴FN=12AE，
∴FH=34AC，
∵AE⊥DE，F为AD中点，
∴EF=12AD=DF，
∵FN⊥DE，
∴EN=12ED，
∴BN=34BD，
即OH=34BD，
∵12⋅AC⋅BD=16，
∴AC⋅BD=32，
∴FH⋅OH=34AC⋅34BD=916⋅AC⋅BD=18，
即k=18．
故答案为：18．
作FH⊥x轴于H，设OE交BC于M，FH交ED于N，先证出四边形OBEC是矩形，证出M为中点，利用平行线分线段成比例，证出点F为中点，在根据中位线的性质证出FH=34BD，根据直角三角形斜边中线定理证出OH=34BD，根据菱形面积16=12BD⋅AC，求出AC⋅BD即可．
本题考查了反比例函数的几何意义的应用，菱形性质、矩形性质及中位线的性质应用是解题关键．
14.【答案】10 62.5
【解析】解：(1)∵DE⊥BC，DF⊥AC，
∴∠DEF=∠DFC=∠ACB=90°，
∴四边形DECF为矩形，
∴DE=CF=3，
在Rt△DFC中，由勾股定理得，CD=5，
∵点D是斜边AB的中点，
∴AB=2CD=10，
故答案为：10；
(2)如图，过点D作DE⊥BC，DF⊥AC，垂足分别为点E、F，过点P作PG⊥BC，PH⊥AC，垂足分别为点G、H，则四边形CGPH为矩形，
∴PG=CH，CG=PH，
∵点D为Rt△ABC的斜边AB的中点，
∴CD=BD，
∴BE=CE，
∵点P为CD的中点，DE⊥BC，PG⊥BC，
∴点G为CE的中点，即CE=2EG=2CG，
∴BE=CE=2EG，
∴BG=BE+EG=3EG=3CG=3PH，
同理可得AH=3PG，
∴PA2+PB2=BG2+PG2+AH2+PH2=(3PH)2+PG2+(3PG)2+PH2=10×(52)2=62.5，
故答案为：62.5．
(1)首先证明四边形DECF为矩形，得DE=CF=3，在Rt△DFC中，由勾股定理得，CD=5，再利用直角三角形斜边上中线的性质可得答案；
(2)过点D作DE⊥BC，DF⊥AC，垂足分别为点E、F，过点P作PG⊥BC，PH⊥AC，垂足分别为点G、H，则四边形CGPH为矩形，说明BG=BE+EG=3EG=3CG=3PH，同理可得AH=3PG，再利用勾股定理即可．
本题主要考查了直角三角形斜边上中线的性质，等腰三角形的性质，勾股定理等知识，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
15.【答案】解：(a+2)(a−2)−a(a−2)
=a2−4−a2+2a
=2a−4，
当a=12时，
原式=2×12−4=−3．
【解析】利用整式的相应的法则对式子进行化简，再代入相应的值运算即可．
本题主要考查整式的混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
16.【答案】解：(1)如图，△A1B1C1即为所求；
(2)如图，△A2B2C2就是所画的图形；
点A2的坐标为(−6,5)．
【解析】(1)先确定点A，B，C关于原点对称的对应点A1，B1，C1，再连线即可得到△A1B1C1；
(2)根据位似比确定A2，B2，C2的位置，再连线即可得到△A2B2C2，写出点A2的坐标即可．
本题考查作中心对称图形以及位似图形．熟练掌握成中心对称图形的特征，以及位似图形的定义和性质，是解题的关键．
17.【答案】解：设人工每小时包装x盒药品，则每台智能机器人每小时包装5x盒药品，
根据题意得：16004x−16005x=4，
解得：x=20，
经检验，x=20是所列方程的解，且符合题意，
∴5x=5×20=100．
答：一台智能机器人每小时可以包装100盒药品．
【解析】设人工每小时包装x盒药品，则每台智能机器人每小时包装5x盒药品，利用工作时间=工作总量÷工作效率，结合“由1台智能机器人包装1600盒药品的时间，比4个工人包装同样数量的药品节省4小时”，可得出关于x的分式方程，解之经检验后，可得出人工每小时包装药品的盒数，再将其代入5x中，即可求出一台智能机器人每小时包装药品的盒数．
本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
18.【答案】15 (3n+3)
【解析】解：(1)∵第1个图案L(1)的白色地砖块数为：6，
第2个图案L(2)的白色地砖块数为：6+3=6+3×1，
第3个图案L(3)的白色地砖块数为：6+3+3=6+3×2，
第4个图案L(4)的白色地砖块数为：6+3×3=15，
…，
第n个图案L(n)的白色地砖块数为：6+3(n−1)=3n+3，
故答案为：15，(3n+3)；
(2)∵L(1)的长度为3米，L(2)的长度为5米，…，
∴L(n)的长度为：(2n+1)米，
∴当2n+1=2023时，
解得：n=1011，
∴L(1011)中白色地砖的块数为：3n+3=3×1011+3=3036．
(1)不难看出，相邻的两个图案中白色地砖相差3块，据此可求解；
(2)由题意可得L(n)的长度为(2n+1)米，从而可求解，再结合(1)运算即可．
本题主要考查图形的变化规律，解答的关键是分析清楚图形中存在的规律．
19.【答案】解：过点D作DE⊥AB，交AB的延长线于点E，过点C作CF⊥AB，交AB的延长线于点F，
由题意得：EF=CD=10cm，DE=CF，
在Rt△ADE中，∠A=53.3°，AD=50cm，
∴DE=AD⋅sin53.3≈50×0.8=40(cm)，
AE=AD⋅cos53.3°≈50×0.6=30(cm)，
∴CF=DE=40cm，
∵∠ABC=111.8°，
∴∠CBF=180°−∠ABC=68.2°，
在Rt△BCF中，BF=CFtan68.2∘≈402.5=16(cm)，
∴AB=AE+EF−BF=30+10−16=24(cm)，
∴AB边的长约为24cm．
【解析】过点D作DE⊥AB，交AB的延长线于点E，过点C作CF⊥AB，交AB的延长线于点F，根据题意可得：EF=CD=10cm，DE=CF，然后在Rt△ADE中，利用锐角三角函数的定义求出AE，DE的长，再利用平角定义求出∠CBF=68.2°，最后在Rt△BCF中，利用锐角三角函数的定义求BF的长，从而利用线段的和差关系进行计算，即可解答．
本题考查了解直角三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
20.【答案】在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角等于圆心角的一半
【解析】(1)证明：如图1，连接AD，
∵AC为⊙O切线，
∴∠BAC=90°，
∵AB为直径，
∴∠ADB=90°，
∵AB=AC，
∴BD=CD，
∵OB=OA，
∴OD//AC，
∴OD⊥AB；
(2)解：①如图2：
第一步：过点O作AB的垂线，交⊙O于点E；
第二步：连接AE、BE；
第二步：以E为圆心，以AE为半径作⊙E，在⊙E上且在△ABC的内部取一点P连接AP，BP，则∠APB即为所求；
②在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角等于圆心角的一半．
故答案为：在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角等于圆心角的一半．
(1)证明：连接AD，根据切线的性质得到∠BAC=90°，根据圆周角定理得到∠ADB=90°，根据平行线的判定和性质定理即可得到结论；
(2)①如图2：根据题意作出图形即可；
②根据圆周角定理即可得到结论．
本题是圆的综合题，考查了切线的性质，圆周角定理，复杂作图，平行线的判定和性质，正确地作出图形是解题的关键．
21.【答案】解：(1)转一次指针停在偶数的可能性有2个，所有等可能的情况有5种，故指针停在偶
数的概率为：25；
(2)小娟每转一次得15分的概率为0.6；小丽转两次共有25种情形，画树状图如图所示，
共有25种等可能结果，其中积为偶数的共16种等可能的结果，其得15分的概率为
1625=0.64，
∵0.6<0.64，
∴游戏不公平，
修改规则为：小娟转一次，指针落在奇数区域就得16分．
【解析】(1)根据概率公式即可得到结论；
(2)画出树状图，求出两人分别获胜的概率比较大小即可．
本题考查的是游戏公平性．判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
22.【答案】解：(1)把A(−3,0)、B(1,0)代入y=ax2+bx+3得：
0=9a−3b+30=a+b+3，
解得：a=−1b=−2，
∴y=−x2−2x+3=−(x+1)2+4，
即抛物线顶点D的坐标为(−1,4)；
(2)∵抛物线y=−x2−2x+3与y轴交于点C，
当x=0时，y=3，
∴C(0,3)，
设直线AC的解析式为：y=kx+n(k≠0)，
把A(−3,0)、C(0,3)代入得，
0=−3k+n3=0+n，
解k=1n=3，
即yAC=x+3，
由题意设平移后的抛物线的解析式为：yc=−(x+1−m)2+4，
∴顶点D′的坐标为(m−1,4)，
若图象G与直线AC只有一个交点，
①当x=m−1时，y>yAC，
即4>m−1+3，
解得m<2；
②y=yAC，即−(x+1−m)2+4=x+3，
整理得x2+(3−2m)x+m2−2m=0，
Δ=(3−2m)2−4(m2−2m)=0，
解得m=94．
综上所述，若图象G与直线AC只有一个交点，m的取值范围为m<2或m=94．
【解析】(1)将A(−3,0)、B(1,0)两点的坐标代入抛物线y=ax2+bx+3，即可得出抛物线的解析式，由配方法可得出顶点坐标；
(2)求出直线AC的解析式为y=x+3，得出平移后的抛物线c′的顶点D′的坐标为(m−1,4)，分两种情况，由二次函数的性质可得出答案．
本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，抛物线与x轴的交点坐标，熟练掌握二次函数的性质及方程思想是解题的关键．
23.【答案】(1)证明：∵AB=BC，AD=CD，
∴BD为AC的垂直平分线，
∴AC⊥BD；
(2)证明：如图1，在OD上取一点F，使OF=BO，
∵AC⊥BD，
∴AB=AF，∠ABF=∠AFB，
∵AB=BC，AD=CD，BD=BD，
∴△ABD≌△CBD(SSS)，
∴∠ABD=∠CBD，∠ADB=∠CDB，
∴∠ABC=2∠ABD，∠ADC=2∠ADB，
∵∠ABC=2∠ADC，
∴∠ABF=∠AFB=2∠ADF，
∴AF=FD，
∴AB+BO=AF+FO=DF+FO=OD；
(3)解：∵BE平分∠ABD，
∴∠ABE=12∠ABD=∠ADB，
∵∠BAE=∠DAB，
∴△ABE∽△ADB，
∴AB2=AE⋅AD，
由(2)知：AB=AF=FD，OB=OF，
∴AB⋅BD=DF⋅BD=(DO−OF)(DO+BO)=DO2−BO2，
由勾股定理得：AB2=AO2+BO2，AD2=DO2+AO2，
∴DO2−BO2=AD2−AB2，
∴AB⋅BD=AD2−AB2=6，
设AE=x，则AD=x+2，
∴AB2=x(x+2)，
∴(x+2)2−x(x+2)=6，
解得x=1，
∴AE=1．
【解析】(1)根据垂直平分线的判定即可证明结论；
(2)在OD上取一点F，使OF=BO，证明△ABD≌△CBD(SS5)，得∠ABC=2∠ABD，然后证明AF=FD，即可得结论；
(3)证明△ABE∽△ADB，得AB2=AE⋅AD，设AE=x，则AD=x+2，由勾股定理列方程即可求解．
本题属于四边形的综合题，主要考查了线段垂直平分线的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，得到△ABE∽△ADB是解题的关键．
2023年安徽省六安九中中考数学二模试卷
一、选择题（本大题共9小题，共36.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 实数−2的相反数是( )
A. −2 B. 2 C. −12 D. 12
2. 下列计算正确的是( )
A. a2+a3=a5 B. (−a2)3=−a6 C. (−2a)3=−6a3 D. a2⋅a3=a6
3. 春天是花粉过敏的易发期，某种过敏花粉的直径约为0.000054米，数“0.000054”用科学记数法表示正确的是( )
A. 5.4×10−5 B. 5.4×10−6 C. 5.4×105 D. 5.4×10
4. 由立方体切割得到的一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体是( )
A. 三棱柱
B. 圆柱
C. 长方体
D. 三棱锥
5. 不等式组3x+3>1x−4≤8−2x的最小整数解是( )
A. 0 B. 1 C. 2 D. −1
6. 如图，在▱ABCD中，延长CD至点E，使DE=DC，连接BE交AC于点F，则AFFC的值是( )
A. 13 B. 12 C. 25 D. 38
7. 为了解跳水运动员的冬训情况，教练从16名队员中随机选8位队员进行“规定动作跳水”测试，得分如下(满分10分)：10，6，9，9，7，8，9，6，则以下判断正确的是( )
A. 这组数据的众数是9，说明全体队员的平均成绩达到9分
B. 这组数据的方差是2，说明这组数据的波动很小
C. 这组数据的平均数是8，可以估计队内其它队员的平均成绩大约也是8分
D. 这组数据的中位数是8，说明得8分以上的人数占大多数
8. 如图，△ABC内接于⊙O，AB=BC，∠ABC=30°，⊙O的半径为2，则图中阴影部分的面积是( )
A. 53π
B. 52π
C. 43π
D. 2π
9. 在平面直角坐标系xOy中，对于点P(x,y)，如果点Q(x,y′)的纵坐标满足y′=2y−x,(x≥y)2x−y,(x
C. (−3,−1)或(−3,−4) D. (−3,−1)或(−3,−11)
二、多选题（本大题共1小题，共4.0分。在每小题有多项符合题目要求）
10. 若一个平行四边形的四个顶点分别在矩形的四条边上，且一边和矩形的对角线平行，则称这样的平行四边形为该矩形的“反射平行四边形”.已知▱EFGH为矩形ABCD的“反射平行四边形”，点E、F、G、H分别在边AB、BC、CD、AD上，EF//AC，设▱EFGH的周长为l，▱EFGH和矩形ABCD的面积分别为S1，S2，则下列结论正确的有( )
A. ∠AEH=∠CFG B. FG//BD
C. l=2AC D. S1≤12S2
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
11. 已知整数x满足： 13
13. 如图，菱形ABCD的顶点B在y轴的正半轴上，点C在x轴的正半轴上，点A，D在第一象限，且BD//x轴，点E为对角线的交点，OE的延长线交AD于F，反比例函数y=kx(k≠0)的图象经过点F，若菱形的面积为16，则k的值为______ ．
14. Rt△ABC中，点D是斜边AB的中点．
(1)如图1，若DE⊥BC与E，DF⊥AC于F，DE=3，DF=4，则AB= ______ ；
(2)如图2，若点P是CD的中点，且CP=52，则PA2+PB2= ______ ．
四、解答题（本大题共9小题，共90.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
15. (本小题8.0分)
先化简，再求值：(a+2)(a−2)−a(a−2)，其中a=12．
16. (本小题8.0分)
如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别为(−4,3)，(−3,−1)，(0,2)．
(1)以点O为对称中心，画出△ABC关于原点O成中心对称的图形△A1B1C1(其中A与A1，B与B1，C与C1是对应点)；
(2)以点D(−2,1)为位似中心，将△ABC放大2倍得到△A2B2C2(其中A与A2，B与B2，C与C2是对应点)，且写出点A2的坐标．
17. (本小题8.0分)
某药品生产车间引进智能机器人替换人工包装药品，每台机器人每小时包装的速度是人工包装速度的5倍.经过测试，由1台智能机器人包装1600盒药品的时间，比4个工人包装同样数量的药品节省4小时，一台智能机器人每小时可以包装多少盒药品？
18. (本小题8.0分)
某旅游景区走廊的中间部分是用边长为1米的白色正方形地砖和彩色正方形(图中阴影部分)地砖铺成的，图案如图所示，根据图示排列规律，解答以下问题．
(1)第4个图案L(4)有白色地砖______ 块地砖；第n个图案L(n)有白色地砖块______ 地砖(用含n的代数式表示)；
(2)已知L(1)的长度为3米，L(2)的长度为5米，…，L(n)的长度为2023米，求图案L(n)中白色正方形地砖有多少块．
19. (本小题10.0分)
“格物致知，叩问苍穹”，2023年中国航天日活动于4月24日在安徽合肥隆重举行，受活动影响，某校航模社团制作了一种固定翼飞机的机翼模型，形状如图所示，经测量AD=50cm，CD=10cm，∠A=53.3°，∠ABC=111.8°，AB//DC，求AB边的长.(参考数据：sin53°≈0.80，cos53.3°≈0.60，tan53.3°≈1.34，sin68.2°≈0.93，cos68.2°≈0.37，tan68.2°≈2.50)
20. (本小题10.0分)
已知：如图1，AB为⊙O的直径，点C为⊙O外一点，AC=AB，连接BC交⊙O于D．
(1)若AC为⊙O的切线，求证：OD⊥AB；
(2)如图2，若∠BAC>90°时，请用尺规作图在△ABC内部选一点P，使∠APB=45°，以下是部分作图步骤：
第一步：过点O作AB的垂线，交⊙O于点E；
第二步：连接AE、BE；
⋯
问题：
①请完成接下来的作图，并保留作图痕迹；
②在操作中得到∠APB=45°的依据是______ ．
21. (本小题12.0分)
如图所示的转盘，被均分成5等份，分别标记数字1、2、3、4、5，小娟和小丽玩转盘游戏，转动转盘指针停在哪个区域就得相应分数(指针停在分界线，则重转)．
(1)如果转一次，求指针停在偶数区域的概率；
(2)如果约定游戏规则：小娟转一次，指针落在奇数区域就得15分；小丽连续转两次，两次得分之积为偶数就得15分，试问游戏公平吗？若不公平，请修改小娟或小丽的得分使游戏公平．
22. (本小题12.0分)
如图，已知抛物线c：y=ax2+bx+3与x轴交于A(−3,0)，B(1,0)两点，与y轴交于点C，抛物线的顶点为D．
(1)求抛物线c的解析式及D点的坐标；
(2)将抛物线c向右平移m(m>0)个单位，设平移后的抛物线c′中y随x增大而增大的部分记为图象G，若图象G与直线AC只有一个交点，求m的取值范围．
23. (本小题14.0分)
如图1，已知四边形ABCD中，AB=BC，AD=CD，∠ABC=2∠ADC．
(1)求证：AC⊥BD；
(2)求证：AB+BO=OD；
(3)如图2，若BE平分∠ABD交AD于点E，AB⋅BD=6，DE=2，求AE的长．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：−2的相反数是2．
故选：B．
根据相反数的定义解答即可．
本题考查的是实数的性质及相反数的定义，熟知只有符号不同的两个数叫做互为相反数是解题的关键．
2.【答案】B
【解析】解：A、a2与a3不属于同类项，不能合并，故A不符合题意；
B、(−a2)3=−a6，故B符合题意；
C、(−2a)3=−8a3，故C不符合题意；
D、a2⋅a3=a5，故D不符合题意；
故选：B．
利用合并同类项的法则，积的乘方的法则，同底数幂的乘法的法则对各项进行运算即可．
本题主要考查同底数幂的乘法，合并同类项，积的乘方，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
3.【答案】A
【解析】解：0.000054=5.4×10−5．
故选：A．
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值<1时，n是负整数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
4.【答案】D
【解析】解：由立方体切割得到的一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体是三棱锥．
故选：D．
几何体的三视图是三角形，说明这个几何体是锥体．
本题考查了由三视图判断几何体的知识，考查了学生对三视图掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对空间想象能力方面的考查．
5.【答案】A
【解析】解：3x+3>1 ①x−4≤8−2x ②
由①得，x>−23，
由②得，x≤4，
所以不等式的解集为：−23
故选A．
先解不等式组可得：−23
6.【答案】B
【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AB//CD，
∵DE=DC，
∴AB=CD=DE=12CE，
∵AB//CD，
∴△ABF∽△CEF，
∴AFFC=ABCE=12．
故选：B．
在▱ABCD中，AB=CD，AB//CD，根据DE=DC，可得AB=CD=DE=12CE，再由AB//CD得到△ABF∽△CEF，最后根据相似三角形对应边成比例即可求出结论．
本题考查了相似三角形的判定与性质、平行四边形的性质，解决本题的关键是掌握相似三角形的判定与性质．
7.【答案】C
【解析】解：将数据进行排序：6，6，7，8，9，9，9，10；
∴众数为：9；中位数为：12(8+9)=8.5；
平均数为：18(6+6+7+8+9+9+9+10)=8；
方差为：18[(6−8)2+(6−8)2+(7−8)2+(8−8)2+(9−8)2+(9−8)2+(9−8)2+(10−8)2]=2；
A、这组数据的众数是9，但是众数不能说明全体队员的平均成绩达到(9分)，故选项A错误；
B、这组数据的方差是2，不能说明这组数据的波动大小，因为波动大小是相对的，故选项B错误；
C、这组数据的平均数是8，可以估计队内其它队员的平均成绩大约也是(8分)，故选项C正确；
D、这组数据的中位数是8.5，故选项D错误；
故选：C．
根据众数，平均数，方差，中位数的确定方法，逐一进行判断即可．
本题考查众数，平均数，方差，中位数．熟练掌握众数，平均数，方差，中位数的确定方法，是解题的关键．
8.【答案】A
【解析】解：连接BC，
∵AB=BC，∠ABC=30°，
∴∠A=∠ACB=12×(180°−30°)=75°，
∴∠BOC=2∠A=150°，
∴图中阴影部分的面积=150⋅π×22360=53π，
故选：A．
连接BC，根据等腰三角形的性质得到∠A=∠ACB=12×(180°−30°)=75°，根据圆周角定理得到∠BOC=2∠A=150°，根据扇形的面积公式即可得到结论．
本题考查了三角形的外接圆与外心，圆周角定理，扇形的面积的计算，熟练掌握扇形的面积公式是解题的关键．
9.【答案】C
【解析】解：当x≥y，即−3≥y时，2y−(−3)=−5，
解得y=−4，
∴P(−3,−4)；
当x
∴P(−3,−1)，
综上所述，点P的坐标为(−3,−1)或(−3,−4)．
故选：C．
根据“友好点”的定义，可得答案．
本题主要考查了点的坐标，理清“友好点”的定义是解答本题的关键．
10.【答案】BCD
【解析】解：如图，延长AB，GF交于点M，
在平行四边形EFGH中，∵EH//FG，
∴∠1=∠2，
∵∠3=∠4，∠2与∠3不一定相等，
∴∠1=∠4不一定成立，
即∠AEH=∠CFG不一定相等，故A选项不符合题意；
在矩形ABCD中，
∵AB//CD，
∴∠5=∠2，∠BAD=∠BCD=90°，
∴∠5=∠1，
在平行四边形EFGH中，
∵EH=FG，
∴△AEH≌△CGF(AAS)，
∴AE=CG，
∵EF//AC，
∴BEAB=BFBC，
∴AEAB=CFBC，
∵CG=AE，CD=AB，
∴CGCD=CFBC，
∴FG//BD，故B选项正确；
∵EF//AC，FG//BD，
∴EFAC=BFBC，FGBD=CGCD，
∴EFAC+FGBD=BFBC+CGCD，
在矩形ABCD中，
∵AC=BD，
∴EF+FGAC=BFBC+AEAB=BFBC+CFBC=BF+CFBC=BCBC=1，
∴EF+FG=AC，
∴l=2(EF+FG)=2AC，故C选项正确；
∵点O为BD中点，FG//BD，
∴点Q为FG中点，同理可得点P为EF中点，
∴四边形OPFG的面积=14S1，S△BOC=14S2，
设BFBC=x，则CFBC=1−x，
∵PF//OC，FQ//OB，
∴S△BPF+S△CQFS△BOC=S△BPFS△BOC+S△CQFS△BOC=x2+(1−x)2=2(x−12)2+12≥12，
∴四边形OPFQ的面积：三角形BOC的面积≤12，
∴S1：S2=四边形OPFQ的面积：三角形BOC的面积≤12，
∴S1≤12S2
故D选项正确．
故选：BCD．
如图，延长AB，GF交于点M，根据平行线的性质得到∠1=∠2，由于∠3=∠4，∠2与∠3不一定相等，于是得到∠1=∠4不一定成立，即∠AEH=∠CFG不一定相等，故A选项不符合题意；根据平行线的性质得到∠5=∠2，∠BAD=∠BCD=90°，求得∠5=∠1，根据平行四边形的性质得到EH=FG，根据全等三角形的性质得到AE=CG，推出FG//BD，故B选项正确；根据EF//AC，FG//BD，得到EFAC=BFBC，FGBD=CGCD，于是得到EFAC+FGBD=BFBC+CGCD，推出EF+FG=AC，于是得到l=2(EF+FG)=2AC，故C选项正确；根据平行线等分线段定理得到点Q为FG中点，同理可得点P为EF中点，求得四边形OPFG的面积=14S1，S△BOC=14S2，设BFBC=x，则CFBC=1−x，根据三角形的面积公式得到S1≤12S2故D选项正确．
本题是四边形是综合题，考查了全等三角形的判定和性质，矩形的性质，相似三角形的判定和性质，三角形的面积的计算，正确地作出辅助线是解题的关键．
11.【答案】4
【解析】解；∵ 13
故答案为：4．
先由已知确定x的范围，再确定符合条件的整数．
本题主要考查了实数的大小比较，掌握实数大小的比较方法是解决本题的关键．
12.【答案】m<1
【解析】解：∵关于x的一元二次方程x2−2x+m=0有两个不相等的实数根，
∴Δ=(−2)2−4×1×m=4−4m>0，
解得：m<1．
故答案为：m<1．
根据方程的系数结合根的判别式Δ>0，可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围．
本题考查了根的判别式，牢记“当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根”是解题的关键．
13.【答案】18
【解析】解：作FH⊥x轴于H，设OE交BC于M，FH交ED于N，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
∵BD//x轴，
∴∠ECO=90°
∵OB⊥OC，
∴四边形OBEC是矩形，
∴BM=CM，
∵BE=DE，
∴AF=DF，
∵FH//AC，
∴FN为△AED中位线，
∴FN=12AE，
∴FH=34AC，
∵AE⊥DE，F为AD中点，
∴EF=12AD=DF，
∵FN⊥DE，
∴EN=12ED，
∴BN=34BD，
即OH=34BD，
∵12⋅AC⋅BD=16，
∴AC⋅BD=32，
∴FH⋅OH=34AC⋅34BD=916⋅AC⋅BD=18，
即k=18．
故答案为：18．
作FH⊥x轴于H，设OE交BC于M，FH交ED于N，先证出四边形OBEC是矩形，证出M为中点，利用平行线分线段成比例，证出点F为中点，在根据中位线的性质证出FH=34BD，根据直角三角形斜边中线定理证出OH=34BD，根据菱形面积16=12BD⋅AC，求出AC⋅BD即可．
本题考查了反比例函数的几何意义的应用，菱形性质、矩形性质及中位线的性质应用是解题关键．
14.【答案】10 62.5
【解析】解：(1)∵DE⊥BC，DF⊥AC，
∴∠DEF=∠DFC=∠ACB=90°，
∴四边形DECF为矩形，
∴DE=CF=3，
在Rt△DFC中，由勾股定理得，CD=5，
∵点D是斜边AB的中点，
∴AB=2CD=10，
故答案为：10；
(2)如图，过点D作DE⊥BC，DF⊥AC，垂足分别为点E、F，过点P作PG⊥BC，PH⊥AC，垂足分别为点G、H，则四边形CGPH为矩形，
∴PG=CH，CG=PH，
∵点D为Rt△ABC的斜边AB的中点，
∴CD=BD，
∴BE=CE，
∵点P为CD的中点，DE⊥BC，PG⊥BC，
∴点G为CE的中点，即CE=2EG=2CG，
∴BE=CE=2EG，
∴BG=BE+EG=3EG=3CG=3PH，
同理可得AH=3PG，
∴PA2+PB2=BG2+PG2+AH2+PH2=(3PH)2+PG2+(3PG)2+PH2=10×(52)2=62.5，
故答案为：62.5．
(1)首先证明四边形DECF为矩形，得DE=CF=3，在Rt△DFC中，由勾股定理得，CD=5，再利用直角三角形斜边上中线的性质可得答案；
(2)过点D作DE⊥BC，DF⊥AC，垂足分别为点E、F，过点P作PG⊥BC，PH⊥AC，垂足分别为点G、H，则四边形CGPH为矩形，说明BG=BE+EG=3EG=3CG=3PH，同理可得AH=3PG，再利用勾股定理即可．
本题主要考查了直角三角形斜边上中线的性质，等腰三角形的性质，勾股定理等知识，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
15.【答案】解：(a+2)(a−2)−a(a−2)
=a2−4−a2+2a
=2a−4，
当a=12时，
原式=2×12−4=−3．
【解析】利用整式的相应的法则对式子进行化简，再代入相应的值运算即可．
本题主要考查整式的混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
16.【答案】解：(1)如图，△A1B1C1即为所求；
(2)如图，△A2B2C2就是所画的图形；
点A2的坐标为(−6,5)．
【解析】(1)先确定点A，B，C关于原点对称的对应点A1，B1，C1，再连线即可得到△A1B1C1；
(2)根据位似比确定A2，B2，C2的位置，再连线即可得到△A2B2C2，写出点A2的坐标即可．
本题考查作中心对称图形以及位似图形．熟练掌握成中心对称图形的特征，以及位似图形的定义和性质，是解题的关键．
17.【答案】解：设人工每小时包装x盒药品，则每台智能机器人每小时包装5x盒药品，
根据题意得：16004x−16005x=4，
解得：x=20，
经检验，x=20是所列方程的解，且符合题意，
∴5x=5×20=100．
答：一台智能机器人每小时可以包装100盒药品．
【解析】设人工每小时包装x盒药品，则每台智能机器人每小时包装5x盒药品，利用工作时间=工作总量÷工作效率，结合“由1台智能机器人包装1600盒药品的时间，比4个工人包装同样数量的药品节省4小时”，可得出关于x的分式方程，解之经检验后，可得出人工每小时包装药品的盒数，再将其代入5x中，即可求出一台智能机器人每小时包装药品的盒数．
本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
18.【答案】15 (3n+3)
【解析】解：(1)∵第1个图案L(1)的白色地砖块数为：6，
第2个图案L(2)的白色地砖块数为：6+3=6+3×1，
第3个图案L(3)的白色地砖块数为：6+3+3=6+3×2，
第4个图案L(4)的白色地砖块数为：6+3×3=15，
…，
第n个图案L(n)的白色地砖块数为：6+3(n−1)=3n+3，
故答案为：15，(3n+3)；
(2)∵L(1)的长度为3米，L(2)的长度为5米，…，
∴L(n)的长度为：(2n+1)米，
∴当2n+1=2023时，
解得：n=1011，
∴L(1011)中白色地砖的块数为：3n+3=3×1011+3=3036．
(1)不难看出，相邻的两个图案中白色地砖相差3块，据此可求解；
(2)由题意可得L(n)的长度为(2n+1)米，从而可求解，再结合(1)运算即可．
本题主要考查图形的变化规律，解答的关键是分析清楚图形中存在的规律．
19.【答案】解：过点D作DE⊥AB，交AB的延长线于点E，过点C作CF⊥AB，交AB的延长线于点F，
由题意得：EF=CD=10cm，DE=CF，
在Rt△ADE中，∠A=53.3°，AD=50cm，
∴DE=AD⋅sin53.3≈50×0.8=40(cm)，
AE=AD⋅cos53.3°≈50×0.6=30(cm)，
∴CF=DE=40cm，
∵∠ABC=111.8°，
∴∠CBF=180°−∠ABC=68.2°，
在Rt△BCF中，BF=CFtan68.2∘≈402.5=16(cm)，
∴AB=AE+EF−BF=30+10−16=24(cm)，
∴AB边的长约为24cm．
【解析】过点D作DE⊥AB，交AB的延长线于点E，过点C作CF⊥AB，交AB的延长线于点F，根据题意可得：EF=CD=10cm，DE=CF，然后在Rt△ADE中，利用锐角三角函数的定义求出AE，DE的长，再利用平角定义求出∠CBF=68.2°，最后在Rt△BCF中，利用锐角三角函数的定义求BF的长，从而利用线段的和差关系进行计算，即可解答．
本题考查了解直角三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
20.【答案】在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角等于圆心角的一半
【解析】(1)证明：如图1，连接AD，
∵AC为⊙O切线，
∴∠BAC=90°，
∵AB为直径，
∴∠ADB=90°，
∵AB=AC，
∴BD=CD，
∵OB=OA，
∴OD//AC，
∴OD⊥AB；
(2)解：①如图2：
第一步：过点O作AB的垂线，交⊙O于点E；
第二步：连接AE、BE；
第二步：以E为圆心，以AE为半径作⊙E，在⊙E上且在△ABC的内部取一点P连接AP，BP，则∠APB即为所求；
②在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角等于圆心角的一半．
故答案为：在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角等于圆心角的一半．
(1)证明：连接AD，根据切线的性质得到∠BAC=90°，根据圆周角定理得到∠ADB=90°，根据平行线的判定和性质定理即可得到结论；
(2)①如图2：根据题意作出图形即可；
②根据圆周角定理即可得到结论．
本题是圆的综合题，考查了切线的性质，圆周角定理，复杂作图，平行线的判定和性质，正确地作出图形是解题的关键．
21.【答案】解：(1)转一次指针停在偶数的可能性有2个，所有等可能的情况有5种，故指针停在偶
数的概率为：25；
(2)小娟每转一次得15分的概率为0.6；小丽转两次共有25种情形，画树状图如图所示，
共有25种等可能结果，其中积为偶数的共16种等可能的结果，其得15分的概率为
1625=0.64，
∵0.6<0.64，
∴游戏不公平，
修改规则为：小娟转一次，指针落在奇数区域就得16分．
【解析】(1)根据概率公式即可得到结论；
(2)画出树状图，求出两人分别获胜的概率比较大小即可．
本题考查的是游戏公平性．判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
22.【答案】解：(1)把A(−3,0)、B(1,0)代入y=ax2+bx+3得：
0=9a−3b+30=a+b+3，
解得：a=−1b=−2，
∴y=−x2−2x+3=−(x+1)2+4，
即抛物线顶点D的坐标为(−1,4)；
(2)∵抛物线y=−x2−2x+3与y轴交于点C，
当x=0时，y=3，
∴C(0,3)，
设直线AC的解析式为：y=kx+n(k≠0)，
把A(−3,0)、C(0,3)代入得，
0=−3k+n3=0+n，
解k=1n=3，
即yAC=x+3，
由题意设平移后的抛物线的解析式为：yc=−(x+1−m)2+4，
∴顶点D′的坐标为(m−1,4)，
若图象G与直线AC只有一个交点，
①当x=m−1时，y>yAC，
即4>m−1+3，
解得m<2；
②y=yAC，即−(x+1−m)2+4=x+3，
整理得x2+(3−2m)x+m2−2m=0，
Δ=(3−2m)2−4(m2−2m)=0，
解得m=94．
综上所述，若图象G与直线AC只有一个交点，m的取值范围为m<2或m=94．
【解析】(1)将A(−3,0)、B(1,0)两点的坐标代入抛物线y=ax2+bx+3，即可得出抛物线的解析式，由配方法可得出顶点坐标；
(2)求出直线AC的解析式为y=x+3，得出平移后的抛物线c′的顶点D′的坐标为(m−1,4)，分两种情况，由二次函数的性质可得出答案．
本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，抛物线与x轴的交点坐标，熟练掌握二次函数的性质及方程思想是解题的关键．
23.【答案】(1)证明：∵AB=BC，AD=CD，
∴BD为AC的垂直平分线，
∴AC⊥BD；
(2)证明：如图1，在OD上取一点F，使OF=BO，
∵AC⊥BD，
∴AB=AF，∠ABF=∠AFB，
∵AB=BC，AD=CD，BD=BD，
∴△ABD≌△CBD(SSS)，
∴∠ABD=∠CBD，∠ADB=∠CDB，
∴∠ABC=2∠ABD，∠ADC=2∠ADB，
∵∠ABC=2∠ADC，
∴∠ABF=∠AFB=2∠ADF，
∴AF=FD，
∴AB+BO=AF+FO=DF+FO=OD；
(3)解：∵BE平分∠ABD，
∴∠ABE=12∠ABD=∠ADB，
∵∠BAE=∠DAB，
∴△ABE∽△ADB，
∴AB2=AE⋅AD，
由(2)知：AB=AF=FD，OB=OF，
∴AB⋅BD=DF⋅BD=(DO−OF)(DO+BO)=DO2−BO2，
由勾股定理得：AB2=AO2+BO2，AD2=DO2+AO2，
∴DO2−BO2=AD2−AB2，
∴AB⋅BD=AD2−AB2=6，
设AE=x，则AD=x+2，
∴AB2=x(x+2)，
∴(x+2)2−x(x+2)=6，
解得x=1，
∴AE=1．
【解析】(1)根据垂直平分线的判定即可证明结论；
(2)在OD上取一点F，使OF=BO，证明△ABD≌△CBD(SS5)，得∠ABC=2∠ABD，然后证明AF=FD，即可得结论；
(3)证明△ABE∽△ADB，得AB2=AE⋅AD，设AE=x，则AD=x+2，由勾股定理列方程即可求解．
本题属于四边形的综合题，主要考查了线段垂直平分线的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，得到△ABE∽△ADB是解题的关键．
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