2022-2023学年广东省东莞市雅正学校九年级（下）期中数学试卷（含解析）

这是一份2022-2023学年广东省东莞市雅正学校九年级（下）期中数学试卷（含解析），共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2022-2023学年广东省东莞市雅正学校九年级（下）期中数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 下列各数中，5的相反数是(    )
A. −5 B. 5 C. −15 D. 15
2. 下列所给图形是中心对称图形但不是轴对称图形的是(    )
A. B. C. D.
3. 下列运算正确的是(    )
A. a2+a3=a5 B. (a2)3=a8
C. a3÷a2=a D. (a−b)2=a2−b2
4. 人体血液中红细胞的直径为0.0000077米，0.0000077用科学记数法表示为(    )
A. 0.77×105 B. 7.7×10−6 C. 7.7×10−7 D. 0.77×10−6
5. 若一个多边形的内角和是720°，则该多边形是(    )
A. 四边形 B. 五边形 C. 六边形 D. 八边形
6. 在一个不透明的口袋中，有大小、形状完全相同，颜色不同的球15个，从中摸出红球的概率为13，则袋中红球的个数为(    )
A. 10 B. 15 C. 5 D. 3
7. 如图，梯形ABCD中AD//BC，对角线AC、BD相交于点O，若AO：CO=2：3，AD=4，则BC等于(    )


A. 12 B. 8 C. 7 D. 6
8. 已知等腰三角形的一个内角是30°，那么这个等腰三角形顶角的度数是(    )
A. 75° B. 120° C. 30° D. 30°或120°
9. 已知二次函数y=ax2+x+a(a−2)的图象经过原点，则a的值为(    )
A. 0或2 B. 0 C. 2 D. 无法确定
10. 如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=4，动点P从A点出发，按A→B→C的方向在AB和BC上移动，记PA=x，点D到直线PA的距离为y，则y关于x的函数图象大致是(    )


A. B. C. D.
二、填空题（本大题共5小题，共20.0分）
11. 分解因式：2x3−8x=______．
12. 不等式组x+8<4x−112x≥4−32x的解集是______．
13. 如图，⊙O的弦AB垂直于AC，AB=6cm，AC=4cm，则⊙O的半径等于______cm．


14. 用同样规格的黑白两种颜色的正方形瓷砖按下图方式铺地板，则第(3)个图形中有黑色瓷砖______ 块，第n个图形中需要黑色瓷砖______ 块(用含n的代数式表示)．


15. 如图，四边形ABCD中，对角线AC⊥BD，且AC=2，BD=2，各边中点分别为A1、B1、C1、D1，顺次连接得到四边形A1B1C1D1，再各取各边中点A2、B2、C2、D2，顺次连接得到四边形A2B2C2D2，…，以此类推，这样得到四边形AnBnCnDn，则四边形AnBnCnDn的面积为______ ．


三、解答题（本大题共8小题，共75.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16. (本小题8.0分)
计算：|−8|+(−2011)0−2cos60°+(12)−1．
17. (本小题8.0分)
先化简，再求值：(2x−1+1x+1)⋅(x2−1)，其中x= 3−13．
18. (本小题8.0分)
如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°．

(1)用尺规在边BC上求作一点P，使PA=PB(不写作法，保留作图痕迹)；
(2)在(1)条件下，连结AP，若AC=4，BC=8时，试求BP的长．


19. (本小题9.0分)
某高校学生会发现同学们就餐时剩余饭菜较多，浪费严重，于是准备在校内倡导“光盘行动”，让同学们珍惜粮食，为了让同学们理解这次活动的重要性，校学生会在某天午餐后，随机调查了部分同学这餐饭菜的剩余情况，并将结果统计后绘制成了如图所示的不完整的统计图． 

(1)这次被调查的同学共有______名；
(2)把条形统计图补充完整；
(3)校学生会通过数据分析，估计这次被调查的所有学生一餐浪费的食物可以供200人用一餐．据此估算，该校18 000名学生一餐浪费的食物可供多少人食用一餐？
20. (本小题9.0分)
某校九年级(2)班的师生步行到距离10千米的山区植树，出发1.5小时后，李明同学骑自行车从学校按原路追赶队伍，结果他们同时到达植树地点.如果李明同学骑车速度是队伍步行速度的2.5倍．
(1)求骑车与步行的速度各是多少？
(2)如果李明同学要提前10分钟到达植树地点，那么他骑车的速度应比原速度快多少？
21. (本小题9.0分)
如图，已知顶点为C(0,−3)的抛物线y=ax2+b(a≠0)与x轴交于A，B两点，直线y=x+m过顶点C和点B．
(1)求m的值；
(2)求函数y=ax2+b(a≠0)的解析式．

22. (本小题12.0分)
如图，四边形ABCD中，AB=AD=CD，以AB为直径的⊙O经过点C，连接AC、OD交于点E．
(1)证明：OD//BC；
(2)若tan∠ABC=2，证明：DA与⊙O相切；
(3)在(2)条件下，连接BD交⊙O于点F，连接EF，若BC=1，求EF的长．





23. (本小题12.0分)
已知Rt△OAB，∠OAB=90°，∠ABO=30°，斜边OB=4，将Rt△OAB绕点O顺时针旋转60°，如图1，连接BC．
(1)填空：∠OBC=______°；
(2)如图1，连接AC，作OP⊥AC，垂足为P，求OP的长度；
(3)如图2，点M，N同时从点O出发，在△OCB边上运动，M沿O→C→B路径匀速运动，N沿O→B→C路径匀速运动，当两点相遇时运动停止，已知点M的运动速度为1.5单位/秒，点N的运动速度为1单位/秒，设运动时间为x秒，△OMN的面积为y，求当x为何值时y取得最大值？最大值为多少？


答案和解析

1.【答案】A 
【解析】解：只有符号不同的两个数叫做互为相反数，互为相反数的两个数，它们分别在原点两旁且到原点距离相等．
所以5的相反数是−5．
故选：A．
根据相反数的概念可以直接得到答案．
本题主要考查相反数的概念：只有符号不同的两个数叫做互为相反数，互为相反数的两个数，它们分别在原点两旁且到原点距离相等．

2.【答案】D 
【解析】解：A、此图形不是中心对称图形，不是轴对称图形，不符合题意；
B、此图形是中心对称图形，也是轴对称图形，不符合题意；
C、此图形不是中心对称图形，是轴对称图形，不符合题意；
D、此图形是中心对称图形，不是轴对称图形，符合题意．
故选：D．
根据中心对称图形的定义旋转180°后能够与原图形完全重合即是中心对称图形，以及轴对称图形的定义：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，即可判断出答案．
此题主要考查了中心对称图形与轴对称的定义，关键是找出图形的对称中心与对称轴．

3.【答案】C 
【解析】解：A、a2和a3不是同类项，不能合并，故此选项运算错误，不符合题意；
B、(a2)3=a6，故此选项运算错误，不符合题意；
C、a3÷a2=a，故此选项运算正确，符合题意；
D、(a−b)2=a2−2ab+b2，故此选项运算错误，不符合题意．
故选：C．
分别根据合并同类项、幂的乘方、同底数幂的除法运算法则以及完全平方公式逐项运算判断即可．
本题考查合并同类项、幂的乘方、同底数幂的除法以及完全平方公式，熟练掌握运算法则是解答的关键．

4.【答案】B 
【解析】解：0.0000077=7.7×10−6，
故选：B．
绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10−n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10−n，其中1≤|a|<10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．

5.【答案】C 
【解析】
【分析】
利用n边形的内角和可以表示成(n−2)⋅180°，结合方程即可求出答案．
本题主要考查多边形的内角和公式，比较容易，熟记n边形的内角和为(n−2)⋅180°是解题的关键
【解答】
解：设这个多边形的边数为n，由题意，得
(n−2)×180°=720°，
解得：n=6，
故这个多边形是六边形．
故选：C．  
6.【答案】C 
【解析】解：设红球有x个，根据题意得：x15=13，
解得：x=5．
故选C．
等量关系为：红球数：总球数=13，把相关数值代入即可求解．
用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．

7.【答案】D 
【解析】解：∵梯形ABCD中AD//BC，
∴∠ADO=∠OBC，∠AOD=∠BOC，
∴△AOD∽△COB，
∵AO：CO=2：3，AD=4，
∴ADBC=AOCO=23，4BC=23，
解得BC=6．
故选：D．
先根据相似三角形的判定定理得出△AOD∽△COB，再由相似三角形的对应边成比例即可得出BC的长．
本题考查的是相似三角形的判定与性质，先根据相似三角形的判定定理得出△AOD∽△COB是解答此题的关键．

8.【答案】D 
【解析】解：分两种情况：
当30°的角是底角时候，则顶角度数为120°；
当30°的角是顶角时候，则顶角为30°．
故选D．
等腰三角形的一个内角是30°，则该角可能是底角，也可能是顶角，注意分开计算．
在解决此类问题的时候，要注意将问题的所有可能的情况找出，分别进行计算．

9.【答案】C 
【解析】解：∵二次函数y=ax2+x+a(a−2)的图象经过原点，
∴0=a×02+0+a(a−2)且a≠0，
解得，a=2，
故选：C．
根据二次函数y=ax2+x+a(a−2)的图象经过原点，可以求得a的值，本题得以解决．
本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．注意不要漏掉了a≠0．

10.【答案】B 
【解析】解：①点P在AB上时，0≤x≤3，点D到AP的距离为AD的长度，是定值4；
②点P在BC上时，3 ∵∠APB+∠BAP=90°，
∠PAD+∠BAP=90°，
∴∠APB=∠PAD，
又∵∠B=∠DEA=90°，
∴△ABP∽△DEA，
∴ABDE=APAD，
即3y=x4，
∴y=12x，
纵观各选项，只有B选项图形符合．
故选：B．
①点P在AB上时，点D到AP的距离为AD的长度，②点P在BC上时，根据同角的余角相等求出∠APB=∠PAD，再利用相似三角形的对应边成比例的性质列出比例式整理得到y与x的关系式，从而得解．
本题考查了动点问题函数图象，主要利用了相似三角形的判定与性质，难点在于根据点P的位置分两种情况讨论．

11.【答案】2x(x+2)(x−2) 
【解析】
【分析】
本题考查因式分解，因式分解的步骤为：一提公因式；二看公式．运用平方差公式进行因式分解的多项式的特征：(1)二项式；(2)两项的符号相反；(3)每项都能化成平方的形式．先提取公因式2x，再对余下的项利用平方差公式分解因式．
【解答】
解：2x3−8x，
=2x(x2−4)，
=2x(x+2)(x−2)．
故答案为2x(x+2)(x−2)．  
12.【答案】x>3 
【解析】解：由(1)式得x>3，
由(2)得x≥2，
所以x≥4．
故填x>3．
首先把两条不等式的解集分别解出来，再根据大大取大，小小取小，比大的小比小的大取中间，比大的大比小的小无解的原则，把不等式的解集用一条式子表示出来．
本题考查不等式组的解法，一定要把每条不等式的解集正确解出来，然后用一条不等式表示出解集．

13.【答案】 13 
【解析】解：连接BC，
∵AB⊥AC，
∴∠BAC=90°，
∴BC是⊙O的直径，
∵AB=6cm，AC=4cm，
∴BC= AB2+AC2=2 13(cm)，
∴⊙O的半径为： 13cm．
故答案为： 13．
首先连接BC，由⊙O的弦AB垂直于AC，即可得BC是直径，又由AB=6cm，AC=4cm，根据勾股定理即可求得BC的长，则可求得⊙O的半径．
此题考查了圆周角定理与勾股定理．此题难度不大，解题的关键是掌握90°的圆周角所对的弦是直径定理的应用．

14.【答案】10；3n+1 
【解析】解：本题考查的是规律探究问题．从图形观察每增加一个图形，黑色正方形瓷砖就增加3块，
第一个黑色瓷砖有3块，
则第3个图形黑色瓷砖有10块，
第N个图形瓷砖有4+3(n−1)=3n+1(块)．
故答案为：10；3n+1．
分析几何模型，进行合理的运算，图形的变换作出正确解答．
本题考查学生能够在实际情景中有效的使用代数模型．

15.【答案】21−n 
【解析】解：∵四边形ABCD中，AC=2，BD=2，且AC丄BD，
∴S四边形ABCD=12AC⋅BD=2；
由三角形的中位线的性质可以推知，每得到一次四边形，它的面积变为原来的一半，
四边形AnBnCnDn的面积是42n+1=21−n．
故答案为：21−n．
根据四边形AnBnCnDn的面积与四边形ABCD的面积间的数量关系来求其面积．
本题主要考查了菱形的判定与性质、矩形的判定与性质及三角形的中位线定理(三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半).解答此题时，需理清菱形、矩形与平行四边形的关系．

16.【答案】解：原式=8+1−2×12+2=8+1−1+2=10． 
【解析】原式第一项利用绝对值的代数意义化简，第二项利用零指数幂法则计算，第三项利用特殊角的三角函数值计算，最后一项利用负指数幂法则计算即可得到结果．
此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．

17.【答案】解：原式=[2(x+1)(x+1)(x−1)+x−1(x+1)(x−1)]⋅(x+1)(x−1)
=2x+2+x−1(x+1)(x−1)⋅(x+1)(x−1)
=3x+1，
当x= 3−13时，
原式=3x+1=3× 3−13+1= 3−1+1= 3． 
【解析】首先将括号里面的分式进行通分，然后根据分式的乘法法则进行计算．
本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解题的关键．

18.【答案】解：(1)如图，作AB的垂直平分线交BC于P点，则点P为所作；

(2)设BP=x，则AP=x，CP=BC−PB=8−x，
在Rt△ACP中，∵PC2+AC2=AP2，
∴(8−x)2+42=x2，解得x=5，
即BP的长为5． 
【解析】本题考查了作图−复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．
(1)作AB的垂直平分线交BC于P点，则PA=PB；
(2)设BP=x，则AP=x，CP=BC−PB=8−x，然后在Rt△ACP中根据勾股定理得到(8−x)2+42=x2，再解方程即可．

19.【答案】(1)1000
(2)剩少量的人数是；1000−400−250−150=200，
补图如下；

(3)18000×2001000=3600(人)．
答：该校18000名学生一餐浪费的食物可供3600人食用一餐． 
【解析】
解：(1)这次被调查的同学共有400÷40%=1000(名)；
故答案为：1000；
(2)见答案
(3)见答案
【分析】
(1)用没有剩的人数除以其所占的百分比即可；
(2)用抽查的总人数减去其他三类的人数，再画出图形即可；
(3)根据这次被调查的所有学生一餐浪费的食物可以供200人用一餐，再根据全校的总人数是18000人，列式计算即可．
本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．  
20.【答案】解：(1)设步行的速度为x千米/时，则骑车的速度是2.5x千米/时，
根据题意得10x−102.5x=32．
解得x=4，
检验x=4都是原方程的解，
当x=4时，2.5x=10．
答：队伍步行的速度是每小时4千米，张锦骑车的速度是每小时10千米．
(2)由(1)可得李明骑车用时：102.5x=1(小时)，
若提前10分钟，即用时56小时．
则骑车速度为：1056=12(千米/时)，12−10=2(千米/时)．
答：如果李明提前10分钟到达，那么骑车速度应比原速度每小时快2千米． 
【解析】(1)求的是速度，路程明显，一定是根据时间来列等量关系，等量关系为：步行所用时间−骑车所用时间=1.5；
(2)应算出原先骑车所用时间，然后算出新时间，让原速度−路程÷新时间即可．
本题考查分式方程的应用，分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键．

21.【答案】解：(1)∵直线y=x+m过顶点C，C(0,−3)，
∴m=−3；
(2)由m=−3得直线解析式为y=x−3，
当y=0时，x=3，则B(3,0)，
将B(3,0)、C(0,−3)代入y=ax2+b(a≠0)中，得9a+b=0b=−3，解得a=13b=−3，
∴抛物线的解析式为y=13x2−3． 
【解析】(1)将C(0,−3)代入y=x+m中求解m即可；
(2)先求得点B坐标，再将B、C坐标代入y=ax2+b(a≠0)中求解即可．
本题考查待定系数法求一次函数和二次函数解析式，熟练掌握待定系数法求函数解析式的方法步骤是解答的关键．

22.【答案】解：(1)连接OC，

在△OAD和△OCD中，
∵OA=OCAD=CDOD=OD，
∴△OAD≌△OCD(SSS)，
∴∠ADO=∠CDO，
又AD=CD，
∴DE⊥AC，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，即BC⊥AC，
∴OD//BC；
(2)∵tan∠ABC=ACBC=2，
∴设BC=a、则AC=2a，
∴AD=AB= AC2+BC2= 5a，
∵OE//BC，且AO=BO，
∴OE=12BC=12a，OA=12AB= 5a2，AE=CE=12AC=a，
在△AED中，DE= AD2−AE2=2a，
在△AOD中，AO2+AD2=( 5a2)2+( 5a)2=254a2，
OD2=(OE+DE)2=(12a+2a)2=254a2，
∴AO2+AD2=OD2，
∴∠OAD=90°，
则DA与⊙O相切；
(3)连接AF，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠AFD=∠BAD=90°，
∵∠ADF=∠BDA，
∴△AFD∽△BAD，
∴DFAD=ADBD，即DF⋅BD=AD2  ①，
又∵∠AED=∠OAD=90°，∠ADE=∠ODA，
∴△AED∽△OAD，
∴ADOD=DEAD，即OD⋅DE=AD2②，
由①②可得DF⋅BD=OD⋅DE，
即DFOD=DEBD，
又∵∠EDF=∠BDO，
∴△EDF∽△BDO，
∵BC=1，
∴AB=AD= 5、OD=52、ED=2、BD= 10、OB= 52，
∴EFOB=DEBD，即EF 52=2 10，
解得：EF= 22． 
【解析】本题主要考查圆的综合问题，解题的关键是掌握等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质及勾股定理逆定理等知识点．
(1)连接OC，证△OAD≌△OCD得∠ADO=∠CDO，由AD=CD知DE⊥AC，再由AB为直径知BC⊥AC，从而得OD//BC；
(2)根据tan∠ABC=2可设BC=a、则AC=2a、AD=AB= AC2+BC2= 5a，证OE为中位线知OE=12a、OA=12AB= 5a2、AE=CE=12AC=a，进一步求得DE= AD2−AE2=2a，再在△AOD中利用勾股定理逆定理证∠OAD=90°即可得；
(3)先证△AFD∽△BAD得DF⋅BD=AD2 ①，再证△AED∽△OAD得OD⋅DE=AD2②，由①②得DF⋅BD=OD⋅DE，即DFOD=DEBD，结合∠EDF=∠BDO知△EDF∽△BDO，据此可得EFOB=DEBD，结合(2)可得相关线段的长，代入计算可得．

23.【答案】(1)60；
(2)如图1中，

∵OB=4，∠ABO=30°，
∴OA=12OB=2，AB= 3OA=2 3，
∴S△AOC=12⋅OA⋅AB=12×2×2 3=2 3，
由(1)可得△BOC是等边三角形，
∴∠OBC=60°，BC=OB=4，
∴∠ABC=∠ABO+∠OBC=90°，
∴AC= AB2+BC2=2 7，
∴OP=2S△AOCAC=4 32 7=2 217．
(3)①当0⩽x≤83时，M在OC上运动，N在OB上运动，此时过点N作NE⊥OC且交OC于点E．
则NE=ON⋅sin60°= 32x，

∴S△OMN=12⋅OM⋅NE=12×1.5x× 32x，
∴y=3 38x2，
∴x=83时，y有最大值，最大值=8 33．

②当83
作MH⊥OB于H.则BM=8−1.5x，MH=BM⋅sin60°= 32(8−1.5x)，
∴y=12×ON×MH=−3 38x2+2 3x=−3 38x−832+8 33，
由83
③当4⩽x<4.8时，M、N都在BC上运动，作OG⊥BC于G．

MN=12−2.5x，OG=AB=2 3，
∴y=12⋅MN⋅OG=12 3−5 32x，
∴当x=4，y最大=2 3<8 33，
④当x=4.8时，M、N重合；
综上所述，当x=83时，y取最大值，最大值=8 33． 
【解析】
【分析】
本题考查30度的直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质，三角形的面积等知识，属于中考压轴题．
(1)只要证明△OBC是等边三角形，即可得解；
(2)求出△AOC的面积，进行求解即可；
(3)分情形讨论求解，即可解决问题．
【解答】
解：(1)由旋转性质可知：OB=OC，∠BOC=60°，
∴△OBC是等边三角形，
∴∠OBC=60°．
故答案为60．
(2)见答案；
(3)见答案．