2022-2023学年湖南省张家界市永定区七年级（下）期中数学试卷（含解析）

这是一份2022-2023学年湖南省张家界市永定区七年级（下）期中数学试卷（含解析），共13页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年湖南省张家界市永定区七年级（下）期中数学试卷
一、选择题（本大题共8小题，共24.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 下列方程组中是二元一次方程组的是(    )
A. x2+3y=12x−y=4 B. xy=2x+2y=5 C. m+3n=105m−2n=1 D. a−b=6b+c=3
2. 下列四个等式从左到右的变形是因式分解的是(    )
A. (a+3)(a−3)=a2−9 B. a(a−b)=a2−ab
C. x2−x=x(x−1) D. x2−2x+1=x(x−2)+1
3. 下列运算错误的是(    )
A. 4a2−a2=3a2 B. a3⋅a6=a9 C. (a2)3=a5 D. (2a2)2=4a4
4. 方程组3x−y=34x+y=11的解是(    )
A. x=3y=6 B. x=2y=3 C. x=1y=7 D. x=0y=5
5. 已知a+b=3，ab=2，计算a2b+ab2等于(    )
A. 5 B. 6 C. 9 D. 10
6. 使(x2+px+8)(x2−3x+q)乘积中不含x2与x3项的p、q的值是(    )
A. p=0，q=0 B. p=3，q=1
C. p=−3，q=−9 D. p=−3，q=1
7. 《九章算术》是中国传统数学的重要著作，方程术是它的最高成就．其中记载：今有共买物，人出八，盈三：人出七，不足四，问人数、物价各几何？译文：今有人合伙购物，每人出8钱，会多3钱；每人出7钱，又会差4钱，问人数、物价各是多少？设合伙人数为x人，物价为y钱，以下列出的方程组正确的是(    )
A. 8x−y=3y−7x=4 B. 8x−y=37x−y=4 C. y−8x=3y−7x=4 D. y−8x=37x−y=4
8. 已知(x−2015)2+(x−2017)2=34，则(x−2016)2的值是(    )
A. 4 B. 8 C. 12 D. 16
二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）
9. 因式分解：x3−9xy2= ______ ．
10. 已知xm=2，xn=5，则x3m+n=______．
11. 若4x2−mx+9是完全平方式，则m的值是______．
12. 如果x=2y=2是方程组x+y=a2x−y=b+1的解，则a−b=______．
13. 对于X、Y定义一种新运算“*”：X*Y=aX+bY，其中a、b为常数，等式右边是通常的加法和乘法的运算．已知：3*5=15，4*7=28，那么1*2=______
14. 已知a=12+32+52+…+252，b=22+42+62+…+242，则a−b的值为______ ．
三、计算题（本大题共1小题，共8.0分）
15. 解方程组：
(1)y=2x−33x+2y=8；
(2)5x+2y=253x+4y=15．
四、解答题（本大题共7小题，共50.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16. (本小题8.0分)
计算：
(1)(2x−1)2−x(4x−1)；
(2)(−xy)2⋅x4y+(−2x2y)3．
17. (本小题8.0分)
因式分解：
(1)x3+2x2+x；
(2)a2(x−y)+16(y−x)．
18. (本小题5.0分)
已知x2+x−10=0，求代数式(x−1)2+(x+2)(x−2)−x(x−3)的值．
19. (本小题6.0分)
已知有理数m，n满足(m+n)2=9，(m−n)2=1，求下列各式的值．
(1)mn；
(2)m2+n2−mn．
20. (本小题6.0分)
小鑫、小童两人同时解方程组12ax−by=1ax−y=17时，小鑫看错了方程②中的a，解得x=4y=1，小童看错了①中的b，解得x=5y=−7．
(1)求正确的a，b的值；
(2)求原方程组的正确解．
21. (本小题9.0分)
已知(a−b)(a+b)=a2−b2．
(1)(2−1)(2+1)(22+1)= ______ ；
(2)求(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1)的值；
(3)求2(3+1)(32+1)(34+1)(38+1)(316+1)(332+1)结果的个位数字．
22. (本小题8.0分)
某校七年级为了开展球类兴趣小组，需要购买一批足球和篮球，若购买2个足球和3个篮球需220元；若购买4个足球和2个篮球需280元．
(1)求出足球和篮球的单价分别是多少？
(2)已知该年级决定用800元购进两种球，若两种球都要有，请问有几种购买方案，并请加以说明．
答案和解析

1.【答案】C 
【解析】解：A.该方程组中第一个方程的未知数x的次数是2次，故不是二元一次方程组，故本选项不符合题意；
B.方程xy=2是二元二次方程，故不是二元一次方程组，故本选项不符合题意；
C.该方程组是二元一次方程组，故本选项符合题意；
D.该方程组含有三个未知数，故不是二元一次方程组，故本选项不符合题意．
故选：C．
根据二元一次方程组的定义对每个选项进行分析，即可得出答案．
本题考查了二元一次方程组的定义，掌握“共含有两个未知数的两个一次方程所组成的一组方程，叫二元一次方程组”是解决问题的关键．

2.【答案】C 
【解析】解：A.它是整式乘法运算，不是因式分解，
则A不符合题意；
B.它是整式乘法运算，不是因式分解，
则B不符合题意；
C.它符合因式分解的定义，
则C符合题意；
D.等号右边不是积的形式，它不是因式分解，
则D不符合题意；
故选：C．
因式分解就是将一个多项式化成几个整式积的形式，据此进行判断即可．
本题考查因式分解的定义，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握．

3.【答案】C 
【解析】解：4a2−a2=3a2，运算正确，故A不符合题意；
a3⋅a6=a9，运算正确，故B不符合题意；
(a2)3=a6，运算错误，故C符合题意；
(2a2)2=4a4，运算正确，故D不符合题意；
故选：C．
由合并同类项可判断A，由同底数幂的乘法运算可判断B，由幂的乘方运算可判断C，由积的乘方运算可判断D，从而可得答案．
本题考查的是合并同类项，同底数幂的乘法，幂的乘方运算，积的乘方运算，掌握以上基础运算的运算法则是解本题的关键．

4.【答案】B 
【解析】解：3x−y=3①4x+y=11②，
①+②得：7x=14，
解得：x=2，
把x=2代入①得：y=3，
则方程组的解为x=2y=3．
故选：B．
方程组利用加减消元法求出解即可．
此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．

5.【答案】B 
【解析】解：∵a+b=3，ab=2，
∴a2b+ab2
=ab(a+b)
=2×3
=6．
故选：B．
首先提取公因式ab，进而分解因式将已知代入求出即可．
此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键．

6.【答案】B 
【解析】
【分析】
本题考查多项式乘多项式，灵活掌握多项式乘以多项式的法则，注意各项符号的处理是解题的关键．
把式子展开，找到所有x2和x3项的系数，令它们的系数分别为0，列式求解即可．
解：∵(x2+px+8)(x2−3x+q)，
=x4−3x3+qx2+px3−3px2+pqx+8x2−24x+8q，
=x4+(p−3)x3+(q−3p+8)x2+(pq−24)x+8q．
∵乘积中不含x2与x3项，
∴p−3=0，q−3p+8=0，
∴p=3，q=1．
故选：B．  
7.【答案】A 
【解析】解：设合伙人数为x人，物价为y钱，
依题意，得：8x−y=3y−7x=4．
故选：A．
根据“每人出8钱，会多3钱；每人出7钱，又会差4钱”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．

8.【答案】D 
【解析】
【分析】
本题考查完全平方公式．
先把(x−2015)2+(x−2017)2=34变形为(x−2016+1)2+(x−2016−1)2=34，把(x−2016)看作一个整体，根据完全平方公式展开，得到关于(x−2016)2的方程，解方程即可求解．
【解答】
解：∵(x−2015)2+(x−2017)2=34，
∴(x−2016+1)2+(x−2016−1)2=34，
(x−2016)2+2(x−2016)+1+(x−2016)2−2(x−2016)+1=34，
2(x−2016)2+2=34，
2(x−2016)2=32，
(x−2016)2=16，
故选D．  
9.【答案】x(x+3y)(x−3y) 
【解析】解：利用提公因式法、公式法因式分解得：
x3−9xy2=x(x2−9y2)=x(x+3y)(x−3y)．
故答案为：x(x+3y)(x−3y)．
观察发现原式含有公因式x，故可将其变形为x(x2−9y2)；接下来结合平方差公式对其进一步分解即可．
本题考查提取公因式以及平方差公式，本题属于基础题型．

10.【答案】40 
【解析】解：因为xm=2，xn=5，
所以x3m+n
=x3m·xn
=(xm)3·xn
=23×5
=8×5
=40．
故答案为：40．
逆用同底数幂的乘法法则以及幂的乘方的法则对所求式子进行整理，再代入相应值运算即可．
本题主要考查幂的乘方与同底数幂的乘法，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．

11.【答案】±12 
【解析】本题考查完全平方公式，这里根据首末两项是2x和3的平方可得，中间一项为加上或减去它们乘积的2倍，即：mx=±2·2x·3，由此得m=±12．
解：∵(2x±3)2=4x2±12x+9，
∴在4x2−mx+9中，m=±12．
故答案为：±12．
本题是根据完全平方公式的结构特征进行分析，对此类题要真正理解完全平方公式，并熟记公式，这样才能灵活应用，本题易错点在于：是加上或减去两数乘积的2倍，在此有两种情况，要全面分析，避免漏解．

12.【答案】3 
【解析】解：∵x=2y=2是方程组x+y=a2x−y=b+1的解，
∴2+2=a4−2=b+1，
解得a=4b=1，
∴a−b=4−1=3，
故答案为：3．
先根据x=2y=2是方程组x+y=a2x−y=b+1的解，得到2+2=a4−2=b+1，进而得到a=4b=1，据此可得结论．
本题主要考查了二元一次方程组的解，解题时注意：当遇到有关二元一次方程组的解的问题时，通常采用代入法，即将解代入原方程组，这种方法主要用在求方程中的字母系数．

13.【答案】13 
【解析】解：根据题中的新定义得：3a+5b=15 ①4a+7b=28 ②，
①×4−②×3得：−b=−24，
解得：b=24，
把b=24代入①得：a=−35，
则X*Y=−35X+24Y
则1*2=(−35)×1+24×2
=−35+48
=13，
故答案为：13
已知等式利用题中的新定义化简，列出方程组，求出方程组的解得到a与b的值，即可求出所求．
此题考查了解二元一次方程组，以及有理数的混合运算，弄清题中的新定义是解本题的关键．

14.【答案】325 
【解析】解：a−b=12−22+32−42+52−62+…232−242+252
=1+(32−22)+( 52−42)+…+(252−242)
=1+(3+2)+(5+4)+…+(25+24)
=1+2+3+4+5+…+24+25
=25(25+1)2
=25×13
=325，
或a−b=12−22+32−42+52−62+…232−242+252
=(12−22)+( 32−42)+( 32−42)+…+(232−242)+252
=−1−2−3−4−…−23−24+252
=−24(24+1)2+252
=−25×12+252
=25(−12+25)
=25×13
=325．
故答案为：325．
列式a−b，先把12单独列出，然后两个数一组逆运用平方差公式进行计算，再根据求和公式求出1到25的和；
或把252，单独列出然后两个数一组逆运用平方差公式进行计算，再根据求和公式求出−1到−24的和，然后再加上252即可．
本题考查了利用平方差公式进行简便运算，以及求和公式的运用，熟记平方差公式并灵活运用是解题的关键，此题灵活性较强．

15.【答案】解：(1)y=2x−3①3x+2y=8②，
把①代入②，得：3x+2(2x−3)=8，
解得：x=2，
把x=2代入①，得：y=1，
∴方程组的解为x=2y=1；
(2)5x+2y=25①3x+4y=15②，
①×2，得：10x+4y=50③，
③−②，得：7x=35，
解得：x=5，
把x=5代入①，得：25+2y=25，
解得：y=0，
∴方程组的解为x=5y=0． 
【解析】本题查看消元法解二元一次方程组，掌握解方程组的步骤是解题关键．
(1)用代入消元法解二元一次方程组；
(2)用加减消元法解二元一次方程组．

16.【答案】解：(1)(2x−1)2−x(4x−1)
=4x2+1−4x−4x2+x
=−3x+1；
(2)(−xy)2⋅x4y+(−2x2y)3
=x2y2⋅x4y−8x6y3
=x6y3−8x6y3
=−7x6y3． 
【解析】(1)利用完全平方公式和单项式乘多项式法则展开，再合并同类项；
(2)利用幂的乘方和积的乘方法则计算，再合并．
本题考查了整式的运算，解题的关键是掌握涉及到的运算法则．

17.【答案】解：(1)x3+2x2+x
=x(x2+2x+1)
=x(x+1)2．
(2)a2(x−y)+16(y−x)
=a2(x−y)−16(x−y)
=(x−y)(a2−16)
=(x−y)(a+4)(a−4)． 
【解析】(1)先提公因式，再用完全平方公式进行分解；
(2)先提公因式，再用平方差公式进行分解．
本题考查因式分解，熟练使用提公因式，完全平方公式，平方差公式是解题的关键．

18.【答案】解：原式=x2−2x+1+x2−4−x2+3x
=x2+x−3，
∵x2+x−10=0，
∵x2+x−10=0，
∴x2+x=10，
∴原式=10−3=7． 
【解析】原式第一项利用完全平方公式展开，第二项利用平方差公式化简，最后一项利用单项式乘多项式法则计算，去括号合并得到最简结果，将已知等式变形代入代入计算即可求出值．
此题考查了整式的混合运算−化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．

19.【答案】解：(m+n)2=m2+n2+2mn=9①，(m−n)2=m2+n2−2mn=1②，
(1)①−②得：4mn=8，
则mn=2；
(2)①+②得：2(m2+n2)=10，
则m2+n2=5．
所以m2+n2−mn=5−2=3． 
【解析】(1)已知等式利用完全平方公式化简，相减即可求出mn的值；
(2)已知等式利用完全平方公式化简，相加即可求出m2+n2的值．
此题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．

20.【答案】解：(1)根据题意，可得12⋅4a−b=15a−(−7)=17，
整理得：2a−b=15a+7=17，
解得：a=2b=3；
(2)将a，b代入原方程组，得x−3y=1①2x−y=17②，
由②可得y=2x−17③，
将③代入①，可得x−3(2x−17)=1，
解得：x=10，
把x=10代入③，解得：y=3．
故原方程组的正确解是x=10y=3． 
【解析】(1)把小鑫的结果代入第一个方程，小童的结果代入第二个方程，求出正确a与b的值即可；
(2)把a与b的值代入方程组，求出正确解即可．
此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．

21.【答案】15 
【解析】解：(1)(2−1)(2+1)(22+1)=(22−1)(22+1)=24−1=15；
故答案为：15；
(2)原式=(2−1)(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1)
=(22−1)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1)
=(24−1)(24+1)(28+1)(216+1)
=(28−1)(28+1)(216+1)
=(216−1)(216+1)
=232−1；
(3)原式=(3−1)(3+1)(32+1)(34+1)(38+1)(316+1)(332+1)
=(32−1)(32+1)(34+1)(38+1)(316+1)(332+1)
=(34−1)(34+1)(38+1)(316+1)(332+1)
=(38−1)(38+1)(316+1)(332+1)
=(316−1)(316+1)(332+1)
=(332−1)(332+1)
=364−1．
因为31=3，32=9，33=27，34=81，35=243，…
可知3n的个位数呈3、9、7、1循环，64÷4=16，
所以364的个位数是1，
所以364−1的个位数是0，
即2(3+1)(32+1)(34+1)(38+1)(316+1)(332+1)结果的个位数字是0．
(1)根据平方差公式求出即可；
(2)添加上(2−1)，重复根据平方差公式依次求出，即可得出答案；
(3)根据(2)的规律，多次逆用平方差公式即可得出答案．
本题考查了平方差公式的应用，解此题的关键是重复运用平方差公式，根据结果得出规律，题目比较好，有一定的难度．

22.【答案】解：(1)设足球的单价为x元，篮球的单价为y元，
依题意，得：2x+3y=2204x+2y=280，
解得：x=50y=40，
答：足球的单价为50元，篮球的单价为40元；
(2)设购买m个足球，n个篮球，
依题意，得：50m+40n=800，
解得：n=20−5m4
∵m，n均为正整数，
∴当m=4时，n=15；当m=8时，n=10；当m=12时，n=5；
∴有三种购买方案，
方案1：购进4个足球，15个篮球；
方案2：购进8个足球，10个篮球；
方案3：购进12个足球，5个篮球． 
【解析】(1)设足球的单价为x元，篮球的单价为y元，根据“若购买2个足球和3个篮球需220元；若购买4个足球和2个篮球需280元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
(2)设购买m个足球，n个篮球，根据总价=单价×数量，即可得出关于m，n的二元一次方程，再结合m，n均为正整数，即可得出各购买方案．
本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：(1)找准等量关系，正确列出二元一次方程组；(2)找准等量关系，正确列出二元一次方程．