辉南县第六中学2022-2023学年高一下学期5月半月考数学试卷（含答案）

这是一份辉南县第六中学2022-2023学年高一下学期5月半月考数学试卷（含答案），共10页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
辉南县第六中学2022-2023学年高一下学期5月半月考数学试卷
学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、选择题
1、某校为了解学生学习数学的情况，采用分层抽样的方法从高一600人、高二680人、高三720人中抽取50人进行问卷调查，则高一、高二、高三抽取的人数分别是( )
A.15,16,19 B.15,17,18 C.14,17,19 D.14,16,20
2、已知复数(i为虚数单位)，则下列说法正确的是( )
A.z的虚部为4 B.复数z在复平面内对应的点位于第三象限
C.z的共轭复数 D.
3、如图，平行四边形是水平放置的一个平面图形的直观图，其中，，，则原图形的面积是( )

A.4 B. C. D.16
4、如图所示，正方体的棱长为1，点O是正方形的中心，则点O到平面的距离是( )

A. B. C. D.
5、已知，，，则,的夹角为( )
A. B. C. D.
6、在中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，其面积为S，若，则一定是( )
A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等边三角形 D.等腰直角三角形
7、为了捍卫国家南海主权，我国海军在南海海域例行巡逻，一艘巡逻舰从海岛A出发，沿南偏东的方向航行了40海里后到达海岛B，然后从海岛B出发，沿北偏东的方向航行了海里后到达海岛C,若巡逻舰从海岛A出发沿直线到达海岛C，则航行的方向和路程分别为( )
A.北偏东，海里 B.北偏东，海里
C.北偏东，海里 D.北偏东，海里
8、在正四面体ABCD中，点E，F分别是AB，BC的中点，则下列结论错误的是( )

A.异面直线AB与CD所成的角为 B.直线AB与平面BCD成的角为
C.直线平面ACD D.平面平面BCD
二、多项选择题
9、已知是边长为2的等边三角形，D，E分别是AC、AB上的两点，且，，BD与CE交于点O，则下列说法正确的是( )
A. B.
C. D.在方向上的投影向量长为
10、四边形ABCD中，，，，将四边形ABCD沿对角线BD折成直二面角，则下列结论正确的是( )

A. B.
C.和平面所成的角为 D.四面体的体积为
三、填空题
11、设，且(i为虚数单位)，则________．
12、已知中角A,B,C所对的边分别为a,b,c，，，，则____________．
四、解答题
13、已知的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c，向量，且．
(1)求角B的大小；
(2)若，，求的面积．
14、如图，四棱锥中，底面ABCD，底面ABCD中，，，又，，E为PC中点．

(1)求证：平面PAD；
(2)求异面直线PA与CB所成角．
参考答案
1、答案：B
解析：分层抽样要求每层中每个个体被抽到的概率均相等，
据题意中每个个体被抽到的概率为，
高一、高二和高三分别被抽取的人数为，
，
2、答案：D
解析：因为，
z的虚部为2，所以A错误；
复数z在复平面内对应的点位于第二象限，所以B错误；
，所以C错误；
，所以D正确．
故选D．
3、答案：C
解析：平行四边形是一个平面图形的直观图，
其中，，，
直观图的面积是，
直观图的面积为原图的面积的，
原图形的面积是，
故选C．
4、答案：D
解析：因为，平面，平面，
所以平面，
因为O是上底面的中心，
所以O到平面的距离就是到平面的距离的一半，
就是到平面的距离的一半，
连接，，相交于点，则，

平面，平面，，
，平面，平面，
平面，为到平面的距离，
棱长为1，，
点O到平面的距离是：．
故选：D
5、答案：B
解析：由题知,，
，，
故，的夹角为．
6、答案：B
解析：由，且，
得，则．
，．
又，
，得或．
当时，代入，得；
当时，代入，得，
是直角三角形，
因为已知，所以的另一个锐角为，
故不可能是等腰三角形．
故选B
7、答案：C
解析：根据题意画出图形，如图所示：

在中，，，，
根据余弦定理得：




，
又，
解得，
又为锐角，
，
此船航行的路程是海里，航行的方向为北偏东．
故答案选：C
8、答案：B
解析：如图，过A作，则G为CD中点，
连接AG，AF，BG，DF，则，，
又，AG,平面ABG，
平面ABG，平面ABG，
则，即异面直线AB与CD所成的角为，故A正确；
设BG和DF的交点为O，O为等边三角形ABC的重心，
由四面体ABCD为正四面体，易知平面BCD，
所以AB与平面BCD所成的角即，
又，所以；故B错误；
正四面体ABCD中，点E，F分别是AB，BC的中点，，
平面ACD，平面ACD，平面ACD，故C正确；
平面BCD，而平面AFD，平面平面BCD，故D正确．
结论错误的是B．
故选：B

9、答案：BCD
解析：因为是边长为2的等边三角形，
E是AB上的点，且，
所以以E为坐标原点，EC、AB所在直线分别为x轴、y轴，建立平面直角坐标系如下图：

则，，．
又因为，即D为边AC上的一个靠近C的三等分点，所以．
设，则，而，
由D,O,B三点共线得，
解得，即，因此O是EC的中点，因此B正确．
又因为，，所以，因此A不正确；
又因为，，，
所以，因此，即C正确；
又因为，，
所以在方向上的投影向量长为，因此D正确．
故选BCD．
10、答案：BC
解析：
11、答案：
解析：，，．
12、答案：4
解析：由，得，
则
，
所以由正弦定理得，
由可知A为锐角，则sinA= 1-cos2A=45，
得，
由余弦定理得，
即，解得．
故答案为4．
13、答案：(1)
(2)
解析：(1)，
，由正弦定理得
，，
，．
(2)由余弦定理得
,，
．
14、答案：(1)见解析
(2)
解析：证明：(1)如图，取PD中点M，连接EM，AM．
E，M分别为PC，PD的中点，
，且，
又由已知，，，
可得，且，
四边形ABEM为平行四边形，
．
平面PAD，平面PAD，平面ADP；
(2)取CD中点G，连接AG,PG，
所以且，
所以四边形ABCG为平行四边形，即．
所以(或其补角)为异面直线PA与CB所成角，
因为底面ABCD，，，
所以DP，DA，DG两两互相垂直，
又，，
所以，所以，异面直线PA与CB所成角为．