初中数学华师大版八年级上册第12章 整式的乘除12.5 因式分解完美版课件ppt

这是一份初中数学华师大版八年级上册第12章 整式的乘除12.5 因式分解完美版课件ppt，共60页。PPT课件主要包含了x2-1，a+b，因式分解，整式乘法，是互为相反的变形即，最后不是积的运算，是整式乘法，每个因式必须是整式，相同因式p，系数最大公约数等内容，欢迎下载使用。

1.理解因式分解的意义和概念及其与整式乘法的区别和联系.（重点）2.理解并掌握提公因式法并能熟练地运用提公因式法分解因式.（难点）
运用前面所学的知识填空：(1) m(a + b + c) = ； (2) (x + 1)(x - 1) = ；(3) (a + b)2 = .
ma + mb + mc
a2 + 2ab + b2
把下列多项式写成乘积的形式(1) ma + mb + mc = ( )( )(2) x2 - 1 = ( )( ) (3) a2 + 2ab + b2 = ( )2
都是多项式化为几个整式的积的形式
m a + b + c
x + 1 x - 1
定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫做多项式因式分解，也叫做这个多项式分解因式.
想一想：整式乘法与因式分解有什么关系？
x2 - 1 (x + 1)(x - 1)
x2 - 1 = (x + 1)(x - 1)等式的特征：左边是多项式，右边是几个整式的乘积
在下列等式中，从左到右的变形属于因式分解的有______________；不是因式分解的，请说明为什么.
① am + bm + c = m(a + b) + c② 24x2y = 3x ·8xy③(2x + 1)2 = 4x2 + 4x + 1④x2－ 1 = (x + 1)(x－ 1)⑤x2 + x = x2(1 + )⑥2x + 4y + 6z = 2(x + 2y + 3z)
因式分解的对象是多项式
这个多项式有什么特点？
pa + pb + pc
多项式中各项都含有的相同因式，叫做这个多项式的公因式.
因式分解之基本方法 — 提公因式法
如何确定一个多项式的公因式？
找 3 x 2 – 6 xy 的公因式.
指数：相同字母的最低次数
一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提取出来，将多项式写成公因式与另一个因式的乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法.
( a + b + c )
正确找出多项式各项公因式的关键是：1.定系数：公因式的系数是多项式各项系数的最大公约数. 2.定字母： 字母取多项式各项中都含有的相同的字母. 3.定指数：相同字母的指数取各项中最小的一个，即字母最低次幂.
找一找：下列各多项式的公因式是什么？(1) 3x + 6y (2) ab - 2ac(3) a2 - a3 (4) 9m2n - 6mn (5) - 6x2y - 8xy2
(1) 8a3b2 + 12ab3c；
例2 把下列各式分解因式：
分析：提公因式法的步骤 (分两步)： 第一步：找出公因式； 第二步：提取公因式，即将多项式化为两个因式的乘积.
(2) 2a(b + c) - 3(b + c).
整体思想是数学中一种重要而且常用的思想方法.
解：（1） 8a3b2 + 12ab3c= 4ab2 · 2a2 + 4ab2 · 3bc= 4ab2(2a2 + 3bc).
如果提出公因式4ab，另一个因式是否还有公式？
另一个因式将是 2a2b + 3b2c，
（2）2a(b + c) - 3(b + c)= (b + c)(2a - 3).
如何检查因式分解是否正确？
做整式乘法运算去检验.
因式分解：(1)3a3c2＋12ab3c；(2)2a(b＋c)－3(b＋c)；(3)(a＋b)(a－b)－a－b.
(3)原式＝(a＋b)(a－b－1).
解：(1)原式＝3ac(a2c＋4b3).
(2)原式＝(2a－3)(b＋c).
小明的解法有误吗？因式分解：12x2y + 18xy2.
解：原式 = 3xy(4x + 6y).
正确解：原式 = 6xy(2x + 3y).
小亮的解法有误吗？因式分解：3x2 - 6xy + x.
解：原式 = x(3x - 6y).
当多项式的某一项和公因式相同时，提公因式后剩余的项是 1.
注意：某项提出莫漏 1.
正确解：原式 = 3x · x - 6y · x + 1 · x = x(3x - 6y + 1)
小华的解法有误吗？因式分解：- x2 + xy - xz.
解：原式 = - x(x + y - z).
提出负号时括号里的项没变号
注意：首项有负常提负.
正确解：原式 = - (x2 - xy + xz) = - x(x - y + z).
1. 把下列各式分解因式：(1) 8m2n + 2mn =_____________；(2) 12xyz - 9x2y2 =_____________；(3) p(a2 + b2 ) - q(a2 + b2 ) =______________； (4) -x3y3 - x2y2 - xy =_______________；(5) (x - y)2 + y(y - x) =______________.
2mn(4m + 1)
3xy(4z - 3xy)
(a2 + b2)(p - q)
-xy(x2y2 + xy + 1)
(y - x)(2y - x)
2.分解因式：(x - y)2 + y(y - x).
解法1：(x - y)2 + y(y - x) = (x - y)2 - y(x - y) = (x - y)(x - y - y) = (x - y)(x - 2y).
解法2：(x - y)2 + y(y - x) = (y - x)2 - y(y - x) = (y - x)(y - x + y) = (y - x)(2y - x).
3. 简便计算：1.992 + 1.99 × 0.01= 1.99(1.99 + 0.01) = 3.98. (2) 20222 + 2022 – 20232= 2022×(2022 + 1) - 20232= 2022×2023 - 20232 = 2023×(2022 - 2023)= - 2023．
(3) (- 2)101 + (- 2)100.= (-2)100×(-2 + 1) = 2100×(- 1) = - 2100.
4. (1) 已知 2x + y = 4，xy = 3，求代数式 2x2y + xy2 的值；2x2y + xy2 = xy(2x + y) = 3×4 = 12.
(2) 化简求值：(2x + 1)2 - (2x + 1)(2x - 1)，其中 x = .= (2x + 1)[(2x + 1) - (2x - 1)]= (2x + 1)(2x + 1 - 2x + 1) = 2(2x + 1).将 x = 代入上式，得原式 = 4.
1.认识平方差公式、完全平方公式的特点.（重点）2.会运用这两种公式将多项式分解因式.（难点）
1.什么叫多项式的因式分解?把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做多项式的因式分解.
2.下列式子从左到右哪个是因式分解?哪个是整式乘法？它们有什么关系？
1. a(x + y) = ax + ay 2. ax + ay = a(x + y)
它们是互为方向相反的变形
一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提取出来，将多项式写成公因式与另一个因式的乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法.
1.定系数：公因式的系数是多项式各项系数的最大公约数. 2.定字母： 字母取多项式各项中都含有的相同的字母. 3.定指数：相同字母的指数取各项中最小的一个，即字母最低次幂.
正确找出多项式各项公因式的关键是：
还记得前面学过的乘法公式吗？平方差公式：两数和（差）的平方公式：
a2 - b2 = (a + b)(a - b)
(a ± b)2 = a2 ±2ab + b2
运用平方差公式因式分解
想一想：多项式 a2 - b2 有什么特点？你能将它分解因式吗？
是 a，b 两数的平方差的形式
两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的乘积.
辨一辨：下列多项式能否用平方差公式来分解因式，为什么？
（1）x2 + y2（2）x2 - y2（3） - x2 - y2（4） - x2 + y2（5）x2 - 25y2（6）m2 - 1
- ( x2 + y2 )
( x + 5y )( x - 5y )
( m + 1 )( m - 1 )
( x + y )( x - y )
( y + x)( y - x )
= (2x+3)(2x-3).
方法总结：公式中的 a，b 无论表示数，单项式，还是多项式，只要被分解的多项式能转化成平方差的形式，就能用平方差公式因式分解.
………… 一提（公因式）
解：(1)原式 = ( x2 )2 - ( y2 )2
= ( x2 + y2 )( x2 - y2 )
= ( x2 + y2 )( x - y )( x - y ).
三查（多项式的因式分解要分解到不能再分解为止）
两数和(或差)平方公式：两数和(或差)平方公式的特点：1.必须是三项式（或可以看成三项的）2.有两个同号的数或式的平方；3.中间有两底数之积的±2 倍.
运用两数和(或差)平方公式因式分解
凡具备这些特点的三项式，就是两数和(或差)平方公式，将它写成两数和(或差)平方形式，便实现了因式分解.
利用公式把某些具有特殊形式（如平方差式，两数和(或差)平方公式等）的多项式分解因式，这种分解因式的方法叫做公式法.
对照公式 a² ± 2ab + b² = (a ± b)² 进行因式分解，你会吗？1、x² + 4x + 4 = ( )² + 2·( )·( ) + ( )² = ( )²2、m² - 6m + 9 = ( )² - 2·( )·( ) + ( )² = ( )²
3、a² + 4ab + 4b² = ( )² + 2·( )·( ) + ( )² = ( )²
下列各式是不是两数和(或差)平方公式？ （1）a2 - 6a + 9； （2）1 + 4a²； （3）4b2 + 4b - 1； （4）a2 + ab + b2； （5）x2 + x + 0.25.
分析：（2）因为它只有两项.（3）4b² 与 - 1 的符号不统一.（4）中间项缺 2 倍.
例3 分解因式：（1）16x2 + 24x + 9； （2）-x2 + 4xy - 4y2.
分析：(1)中，16x2 = (4x)2， 9 = 3²，24x = 2·4x·3， 所以 16x2 + 24x + 9 是一个两数和平方公式，即 16x2 + 24x + 9 = (4x)2 + 2×4x·3 + 32.
(2)中首项有负号，一般先利用添括号法则，将其变形为 -(x2 - 4xy+ 4y2)，然后再利用公式分解因式.
例3 分解因式：（1）16x2 + 24x + 9； （2）-x2 + 4xy - 4y2.解： (1) 16x2 + 24x + 9 = ( 4x )2 + 2·4x·3 + ( 3 )2= ( 4x + 3 )2.
(2) -x2 + 4xy - 4y2 = -( x2 - 4xy + 4y2 )= -( x - 2y )2.

把下列各式分解因式：（1）3ax2 + 6axy + 3ay2；有公因式 3a，应先提出公因式，再进一步分解因式（2）(a+b)2 - 12(a + b) + 36.中将 a + b 看成一个整体，设 a + b = m，则原式化为 m2 - 12m + 36.
把下列各式分解因式：（1）3ax2 + 6axy + 3ay2；（2）(a+b)2 - 12(a + b) + 36.
例5 利用两数和(或差)平方公式简便计算：(1) 1002 - 2×100×99 + 99²； (2) 342 + 34×32 + 162.
1. 把下列各式分解因式：(1) 16a2 - 9b2 =__________________； (2) ( a + b )2 - ( a - b )2=________； (3) 9xy3 - 36x3y =____________________； (4) - a4 + 16 =_______________________.
( 4a + 3b )( 4a - 3b )
9xy( y + 2x )( y - 2x )
( 4 + a2 )( 2 + a )( 2 - a )
2.把下列多项式因式分解.（1）x2－12x + 36； （2）4a2－4a + 1；
= x2－2·x·6 + 62= (x－6)2.
= (2a)2－2·2a·1 + 12= (2a－1)2.
（3）y2 + 2y + 1 - x2 .
= (y + 1)² - x²= (y + 1 + x)(y + 1 - x).
3.多项式 4a² + ma + 9 是两数和(或差)平方公式，那么 m 的值是 .4. 若 ( 2x )n - 81 可分解成 ( 4x2 + 9 )( 2x + 3)( 2x - 3 )，则 n 的值是______.
5. 已知 4m + n = 40，2m - 3n = 5．求 (m + 2n)2 - (3m - n)2 的值．= (m + 2n + 3m - n)(m + 2n - 3m + n)= (4m + n)(3n - 2m)= -(4m + n)(2m - 3n).当 4m + n = 40，2m - 3n = 5 时，原式 = -40×5 = -200.
am + bm + mc = m(a + b + c)
确定公因式的方法：三定，即定系数；定字母；定指数
分两步：第一步找公因式；第二步提公因式
注意：①分解因式是一种恒等变形；②公因式：要提尽；③不要漏项；④提负号，要注意变号
平方差公式：a2-b2 = (a + b)(a - b)
一提：公因式；二套：公式；三查：多项式的因式分解有没有分解到不能再分解为止.
两数和(或差)平方公式：a2±2ab＋b2 = (a±b)2