2022-2023学年河南省洛阳市强基联盟高一（下）联考数学试卷（5月份）（含解析）

这是一份2022-2023学年河南省洛阳市强基联盟高一（下）联考数学试卷（5月份）（含解析），共18页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年河南省洛阳市强基联盟高一（下）联考数学试卷（5月份）
一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 若复数z满足z(1+i)=2(i为虚数单位)，则在复平面内复数z对应的点位于(    )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
2. 在某中学高一年级的300名学生中，男生有120名，女生有180名.学校想了解学生对选修课程的看法，以便开设有关课程，现准备从高一学生中按性别用分层随机抽样的方法选取60人，则应抽取的女生人数为(    )
A. 24 B. 36 C. 40 D. 48
3. 已知正方体ABCD−A1B1C1D1中，E、F分别为棱BC和棱CC1的中点，则异面直线AC和EF所成的角为(    )
A. 30°
B. 45°
C. 60°
D. 90°
4. “双减”政策实施后，学生的课外阅读增多，某班50名学生到图书馆借书数量统计如下表．
借书数量(单位：本)
5
6
7
8
9
10
频数(单位：人)
5
8
13
11
9
4
则这50名学生的借书数量的第25百分位数是(    )
A. 5 B. 5.5 C. 6 D. 6.5
5. 在△ABC中，AB=AC=5，BC=8，若PA⊥平面ABC，PA=4，则点P到BC的距离是(    )
A. 5 B. 4  2 C. 3  2 D. 5
6. 设l，m是不同的直线，α，β是不同的平面，则下列命题正确的是(    )
A. 若l//α，m//β，α//β，则l//m B. 若l//m，m⊥β，l⊥α，则α//β
C. 若α⊥β，l//α，m//β，则l⊥m D. 若α⊥β，l//α，m//β，则l//m
7. 紫金山位于江苏省南京市玄武区境内，是江南四大名山之一，三峰相连形如巨龙，山、水、城浑然一体，古有“钟山龙蟠，石城虎踞”之称.建筑师在高度接近200米的峰顶测得一建筑物顶部的仰角为30°，底部的俯角为45°，那么该建筑的高度接近
(    )
A. 200(1+ 33)米 B. 200(1+ 3  )米
C. 100( 6+ 2)米 D. 200( 6+ 2)米
8. 已知e1，e2是单位向量，且e1，e2的夹角为θ，若|e1+te2|≥12(t∈R)，则θ的取值范围为(    )
A. [π3,2π3] B. [π4,π2] C. [π6,5π6] D. [0,π6]
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）
9. 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且b=2，A=π3.若△ABC有唯一解，则a的值可以是(    )
A. 1 B. 3 C. 2 D. 5
10. 某学校为了了解本校学生的上学方式，在全校范围内随机抽查部分学生，了解到上学方式主要有：A−结伴步行，B−自行乘车，C−家人接送，D−其他方式.并将收集的数据整理绘制成如图两幅不完整的统计图.根据图中信息，下列说法正确的是(    )


A. 扇形统计图中D的占比最小
B. 条形统计图中A和C一样高
C. 无法计算扇形统计图中A的占比
D. 估计该校一半的学生选择结伴步行或家人接送
11. 从装有2个红球和2个黑球的口袋中任取2个小球，则下列结论正确的是(    )
A. “至少有一个红球”和“至少有一个黑球”是互斥事件
B. “恰有一个黑球”和“都是黑球”是互斥事件
C. “恰有一个红球”和“都是红球”是对立事件
D. “至少一个黑球”和“都是红球”是对立事件
12. 如图所示，在四棱锥P−ABCD中，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD为正方形，PA=AB=1，E，F为线段PD上的点(不包括端点)，则(    )
A. AC⊥EF
B. PB//平面AEC
C. 二面角E−BD−C的大小为定值
D. AE+CE的最小值为 2+ 2
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13. 在△ABC中，DC=2BD，若BC=λDC，则λ= ______ ．
14. 某厂有A，B两条生产线制造同一型号可充电电池.现采用分层随机抽样，从某天两条生产线上的成品中随机抽取20件成品，测试产品可充电次数的均值及方差，结果如下表：
项目
抽取成品数
样本均值
样本方差
A生产线产品
8
210
1
B生产线产品
12
200
1
则20个产品组成的总样本的方差为______ ．
15. 在某次国际围棋比赛中，中国派出包含甲、乙在内的5位棋手参加比赛，他们分成两个小组，其中一个小组有3位，另外一个小组有2位，则甲和乙分在不同小组的概率为______ ．
16. 已知等腰直角三角形ABC的三个顶点都在球O的球面上，AB=BC=4，若球O上的点到平面ABC的最大距离为4，则球O的体积为______ ．
四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. (本小题10.0分)
已知向量a=(1,3)，b=(−2,1)．
(1)求向量a⋅b；
(2)若向量a+b与a−kb互相垂直，求k的值．
18. (本小题12.0分)
已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，且acosB+ 33asinB−c=0．
(1)求A；
(2)若a=2，且△ABC的面积为 3，求b，c．
19. (本小题12.0分)
学校对甲、乙两人的学习态度、考试成绩及活动参与三个方面做了一个初步的评估，成绩(单位：分)如下表所示．

学习态度
考试成绩
活动参与
甲
98
96
95
乙
90
99
98
(1)如果以学习态度、考试成绩及活动参与三个方面的平均分来计算他们的成绩，并以此作为评优的依据，你认为谁会被评为优秀？
(2)如果以20%，60%，20%依次作为三项成绩的比例来计算他们的成绩，结果又会如何？
20. (本小题12.0分)
如图，△ECD所在平面与等腰梯形ABCD所在平面互相垂直，AB=AD=12CD，AB//CD，CE⊥CD，F为ED的中点．
(1)求证：AF//平面EBC；
(2)求证：BD⊥平面EBC．

21. (本小题12.0分)
《青年大学习》是共青团中央组织的，以“学习新思想，争做新青年”为主题的党史团课学习行动，2023年已开展到第7期.某市团市委为了解全市青年每周利用“青年大学习”了解国家动态的情况，从全市随机抽取1000名青年进行调查，统计他们每周利用“青年大学习”进行学习的时长(单位：分钟)，根据调查结果绘制的频率分布直方图如图所示：
(1)求被抽取的青年每周利用“青年大学习”进行学习的时长的中位数；
(2)市宣传部门拟从被抽取青年中选出部分青年参加座谈会.办法是：采用分层抽样的方法从学习时长在[60,70)和[70,80)的青年中共抽取5人，且从参会的5人中又随机抽取2人发言，求学习时长在[60,70)中至少有1人被抽中发言的概率．

22. (本小题12.0分)
如图，四棱锥P−ABCD中，PA⊥底面ABCD，△ABD为等边三角形，BC=CD=1，∠ABC=90°，M是PB上一点，且PB=3MB，N是PC的中点．
(1)求证：PC⊥BD；
(2)若二面角P−BC−A的大小为45°，求三棱锥C−AMN的体积．


答案和解析

1.【答案】D 
【解析】解：∵z(1+i)=2，
∴z=21+i=2(1−i)(1+i)(1−i)=1−i，
∴在复平面内复数z对应的点(1,−1)位于第四象限．
故选：D．
根据已知条件，结合复数的四则运算，以及复数的几何意义，即可求解．
本题主要考查复数的四则运算，以及复数的几何意义，属于基础题．

2.【答案】B 
【解析】解：∵男生有120名，女生有180名．
∴设抽取的女生人数为x，
则 x60=180300，得x=36．
故选：B．
根据分层抽样的定义建立比例关系进行求解即可．
本题主要考查分层抽样的应用，根据条件建立比例关系进行求解是解决本题的关键，是基础题．

3.【答案】C 
【解析】解：连接BC1，A1C1，A1B，如图所示：

根据正方体的结构特征，可得
EF//BC1，AC//A1C1，
则∠A1C1B即为异面直线AC和EF所成的角
BC1=A1C1=A1B，
∴△A1C1B为等边三角形
故∠A1C1B=60°
故选C
连接BC1，A1C1，A1B，根据正方体的几何特征，我们能得到∠A1C1B即为异面直线AC和EF所成的角，判断三角形A1C1B的形状，即可得到异面直线AC和EF所成的角．
本题考查的知识点是异面直线及其所成的角，其中利用平移的方法，构造∠A1C1B为异面直线AC和EF所成的角，是解答本题的关键．

4.【答案】C 
【解析】解：由50×25%=12.5，故第25百分位数在借书数量从小到大排序后的第13人，
又5+8=13，
故第25百分位数是6．
故选：C．
根据百分位数的定义，结合统计表求第25百分位数即可．
本题考查百分位数的应用，属于基础题．

5.【答案】A 
【解析】解：过A作AD⊥BC于D，连接PD，

因为AB=AC=5，BC=8，所以BD=DC=4，
又∵PA⊥平面ABC，PA∩AD=A，
∴BC⊥PD，
∴点P到BC的距离是PD，
在△ADC中，AC=5，DC=3，∴AD= 52−42=3，
在Rt△PAD中，PD= PA2+AD2= 42+32=5．
故选：A．
过A作AD⊥BC于D，连接PD，说明BC⊥PD，点P到BC的距离是PD，在直角三角形PAD中求出PD即可．
本题考查的知识点是空间点、线、面之间的距离，其中利用三角形的性质，作出PD即为点P到BC的垂线段是解答本题的关键，属中档题．

6.【答案】B 
【解析】解：若l//α，m//β，α//β，则l//m或l与m相交或l与m异面，故A错误；
若l//m，m⊥β，则l⊥β，又l⊥α，则α//β，故B正确；
若α⊥β，l//α，m//β，则l与m平行、相交或异面，故CD错误．
故选：B．
由空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面位置关系逐一分析四个选项得答案．
本题考查空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面位置关系的判定，考查空间想象能力与思维能力，是基础题．

7.【答案】A 
【解析】解：作出示意图，过点A作AE⊥CD，

其中AB=200，∠CAE=30°，∠DAE=45°，可得DE=AB=200，
在Rt△ADE中，∵DE=200，∠DAE=45°，∴AE=200，
在Rt△ACE中，∵AE=200，∠CAE=30°，可得CE=AE⋅tan30°=200× 33=200 33，
∴DC=DE+EC=200+200 33=200(1+ 33)米，
∴该建筑的高度接近200(1+ 33)米．
故选：A．
由题意作出示意图，再在Rt△ADE中和Rt△ACE中解三角形求出CE即可．
本题考查解三角形的实际应用问题，属于基础题．

8.【答案】C 
【解析】解：因为|e1+te2|≥12(t∈R)，e1，e2是单位向量，
所以e12+2te1⋅e2+t2e22≥14，即t2+2tcosθ+34≥0，
所以Δ=4cos2θ−3≤0，解得− 32≤cosθ≤ 32，
又θ∈[0,π]，
所以θ的取值范围为[π6,5π6]．
故选：C．
将|e1+te2|≥12(t∈R)平方，结合题意可得Δ=4cos2θ−3≤0，由此可得θ的范围．
本题考查平面向量数量积的运用，考查运算求解能力，属于中档题．

9.【答案】BD 
【解析】解：由正弦定理可得asinA=bsinB，所以asinπ3=2sinB，
∴asinB=2sinπ3=2× 32= 3，
∴sinB= 3a，又△ABC有唯一解，
∴sinB=1或0