2022-2023学年黑龙江省双鸭山市饶河县高二（下）期中数学试卷（含解析）

这是一份2022-2023学年黑龙江省双鸭山市饶河县高二（下）期中数学试卷（含解析），共18页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年黑龙江省双鸭山市饶河县高二（下）期中数学试卷
一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. cos(−510°)的值为(    )
A. 32 B. − 32 C. 12 D. −12
2. 在空间直角坐标系中，a=(−2,m,3),b=(3,1,2),a⊥b，则m的值为(    )
A. 0 B. 1 C. 2 D. −1
3. 已知复数z满足(2+i)z=2−4i，则z的虚部为(    )
A. −2i B. 2i C. −2 D. 2
4. 已知椭圆的方程为x2m+y2n=1(m>0,n>0)，离心率e= 32，则下列选项中不满足条件的为(    )
A. x24+y2=1 B. x28+y22=1 C. x22+y2=1 D. x2+4y2=1
5. 设随机变量ξ服从正态分布，ξ的分布密度曲线如图所示，若P(ξb>0)，c=2，过点(0,b)与(a,0)的直线的斜率为− 33．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)设F为椭圆C的右焦点，P为直线x=3上任意一点，过F作PF的垂线交椭圆C于M，N两点，当|MN||PF|取最大值时，求直线MN的方程．
22. (本小题12.0分)
设函数f(x)=ae2x+(1−x)ex+a(a∈R)．
(1)当a=e−22时，求g(x)=f′(x)e2−x的单调区间；
(2)若f(x)有两个极值点x1，x2(x13．
答案和解析

1.【答案】B 
【解析】解：cos(−510°)=cos510°=cos(360°+150°)
=cos150°=cos(180°−30°)=−cos30°=− 32．
故选B
利用余弦函数为偶函数将所求式子化简，再利用诱导公式及特殊角的三角函数值化简，即可求出值．
此题考查了运用诱导公式化简求值，熟练掌握公式，灵活变换角度是解本题的关键．

2.【答案】A 
【解析】解：在空间直角坐标系中，a=(−2,m,3),b=(3,1,2),a⊥b，
∴a⋅b=−6+m+6=0，
解得m=0．
故选：A．
利用向量垂直的定义直接求解．
本题考查向量垂直的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．

3.【答案】C 
【解析】解：(2+i)z=2−4i，
则z=2−4i2+i=(2−4i)(2−i)(2+i)(2−i)=−2i，其虚部为−2．
故选：C．
根据已知条件，结合复数的四则运算，以及虚部的定义，即可求解．
本题主要考查复数的四则运算，以及虚部的定义，属于基础题．

4.【答案】C 
【解析】解：由x24+y2=1，可得a=2，b=1，∴c= a2−b2= 3，故离心率e= 32，故A正确；
由x28+y22=1，可得a=2 2，b= 2，∴c= a2−b2= 6，故离心率e= 62 2= 32，故B正确；
由x22+y2=1，可得a= 2，b=1，∴c= a2−b2=1，故离心率e=1 2= 22，故C不正确；
由x2+4y2=1，可得x2+y214=1，可得a=1，b=12，c= a2−b2= 32，故离心率e= 32，故D正确．
故选：C．
根据椭圆的几何性质，求解即可判断每个选项的正确性．
本题考查椭圆的离心率，属基础题．

5.【答案】C 
【解析】解：根据题意，且P(ξ2 33，
综上所述|MN||PF|的最大值为 3，此时直线MN的方程为x=±y+2，
即此时直线MN的方程为：x±y−2=0． 
【解析】(1)由直线的斜率及c的值和a，b，c之间的关系，求出a，b的值，进而求出椭圆的标准方程；
(2)分直线PF的斜率为0和不为0两种情况讨论，设直线PF的方程，由题意可得P的坐标，进而求出|PF|的值，由题意设直线MN的方程，与椭圆的方程联立，可得两根之和及两根之积，进而求出|MN|的表达式，再求|MN||PF|的表达式，由均值不等式，可得|MN||PF|的最大值，进而求出此时直线MN的方程．
本题考查椭圆方程的求法及直线与椭圆的综合应用，均值不等式的应用，属于中档题．

22.【答案】解：(1)当a=e−22时，f(x)=e2x−22+(1−x)ex+e−22,f′(x)=e2x−2−xex，
故g(x)=ex−xe2，
所以g′(x)=ex−e2，
当x∈(−∞,2)时，g′(x)0，
所以g(x)的单调递减区间为(−∞,2)，单调递增区间为(2,+∞)．
(2)①f′(x)=ex(2aex−x)，依据题意可知f′(x)=0有两个不等实数根，
即2aex−x=0有两个不等实数根x1，x2．
由2aex−x=0，得a=x2ex，
所以2aex−x=0有两个不等实数根可转化为
函数y=a和y=x2ex的图象有两个不同的交点，
令h(x)=x2ex，则h′(x)=1−x2ex，
由h′(x)>0，解得x0时，h(x)>0，当x3．
令t=x1−x2，则t3等价于tet−1(et+2)>3．
所以只要不等式(3−t)et−2t−3>0在t