2022-2023学年江苏省扬州市高二（下）期末数学试卷（含解析）

这是一份2022-2023学年江苏省扬州市高二（下）期末数学试卷（含解析），共20页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2022-2023学年江苏省扬州市高二（下）期末数学试卷
一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 已知集合A={x|x2−2x−15<0}，B={x|x=3k−2,k∈Z}，则集合A∩B中元素的个数为(    )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
2. 若命题“∃x∈R，x2+1≤m”是假命题，则实数m的取值范围是(    )
A. (−∞,1] B. (−∞,1) C. [1,+∞) D. (1,+∞)
3. 已知直线l的方向向量为e=(2,−1,2)，平面α的法向量为n=(−2,a−b,a+b)(a,b∈R).若l⊥α，则a+3b的值为(    )
A. −5 B. −2 C. 1 D. 4
4. 已知函数f(x)=|x+1|,x≥0,−(12)x,x<0,若f(2a) A. (−2,+∞) B. (−∞,−2) C. (2,+∞) D. (−∞,2)
5. 某小吃店的日盈利y(单位：百元)与当天平均气温x(单位：°C)之间有如下数据：
x/°C
−2
−1
0
1
2
y/百元
5
4
a
2
1
经分析知，y与x之间有较强的线性关系，其线性回归直线方程为y =−x+2.8，则a=(    )
A. 3 B. 2.8 C. 2 D. 1
6. 函数f(x)=x3−sinxx5在x∈[−π,0)∪(0,π]上的图像大致为(    )
A. B.
C. D.
7. 已知(2x−1)10=a0+a1x+a2x2+…+a10x10，则a1+2a2+3a3+…+10a10=(    )
A. 0 B. 1 C. 10 D. 20
8. 已知偶函数f(x)满足f(4+x)=f(4−x)，f(0)=−1，且当x∈(0,4]时，f(x)=lnxx.若关于x的不等式f(x)>a在[−48,48]上有且只有60个整数解，则实数a的取值范围是(    )
A. (−1,0] B. [0,ln22) C. (−1,ln22) D. [ln22,ln33)
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）
9. 已知X～N(90,σ2)(σ>0)，则(    )
A. P(X<90)=0.5
B. P(70 C. P(X<60)=P(X>120)
D. 若σ越大，则P(75 10. 某班准备举行一场小型班会，班会有3个歌唱节目和2个语言类节目，现要排出一个节目单，则下列说法正确的是(    )
A. 若3个歌唱节目排在一起，则有6种不同的排法
B. 若歌唱节目与语言类节目相间排列，则有12种不同的排法
C. 若2个语言类节目不排在一起，则有72种不同的排法
D. 若前2个节目中必须要有语言类节目，则有84种不同的排法
11. 下列命题中正确的是(    )
A. ∀x∈(0,13),(12)x B. 函数y=1−2xx−1在区间(1,+∞)内是减函数
C. 若函数f(x)=|2x−2|−b有两个零点，则实数b的取值范围是0 D. 函数f(x)=xα的图像经过点(4,2)，当0 12. 如图，设正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为2，E为线段A1D1的中点，F为线段CC1上的一个动点，则下列说法正确的是(    )
A. 当F为CC1的中点时，点B1到平面AEF的距离为1029 29
B. 当F为CC1的中点时，记DB1与平面AEF的交点为M，则DM=49DB1
C. 存在F，使得异面直线DB1与BF所成的角为45°
D. 存在F，使得点F到直线AE的距离为125

三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13. 直线y=12x+b是曲线y=lnx的一条切线，则实数b的值为          ．
14. 已知平行六面体ABCD−A1B1C1D1中，以顶点A为端点的三条棱长均为2，且它们彼此的夹角都是60°，则|BD1|= ______ ．
15. 现调查某地区某种野生动物的数量，将该地区分成面积相近的200个地块，从这些地块中简单随机抽样的方法抽取20个作为样本，调查得到样本数据(xi,yi)(i=1,2,…,20)，其中xi、yi分别表示第i个样本的植物覆盖面积(单位：公顷)和这种野生动物的数量，构造向量a=(x1−x−,x2−x−,…,x20−x−),b=(y1−y−,y2−y−,…,y20−y−)，其中x−=x1+x2+…+x2020，y−=y1+y2+…+y2020，并计算得i=120xi=60,i=120yi=1200,i=120xiyi=4400,|a|=9,|b|=100，由选择性必修二教材中的知识，我们知道n对数据的相关系数r=cos〈a,b〉，则上述数据(xi,yi)(i=1,2,…,20)的相关系数r= ______ ．
16. 五一小长假，多地迎来旅游高峰期，各大旅游景点都推出了种种新奇活动以吸引游客，小明去某景点游玩时，发现了一个趣味游戏，游戏规则为：一个会走路的机器人从一数轴上的点出发沿该数轴行走，游客可以设定机器人总共行走的步数n，机器人每一步会随机选择前或向后行走，且每一步的距离均为一个单位，设机器人走完设定的n步后所在位置对应数为随机变量Xn，则P(X6=0)= ______ ，D(Xn)= ______ ．
四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. (本小题10.0分)
已知集合M={x|14≤2x≤16}，N={x||x−2|≤m}，其中m>0．
(1)若m=3，求M∩N；
(2)若“x∈M”是“x∈N”的充分不必要条件，求实数m的取值范围．
18. (本小题12.0分)
在( x2−14x)n(n≥3,n∈N*)的展开式中，_____.给出下列条件：
①若前三项的二项式系数之和为46；
②若所有奇数项的二项式系数之和为256；
③若第7项为常数项．
试在这三个条件中选择一个，补充在上面的横线上，并且完成下列问题：
(1)求n的值；
(2)求展开式中所有的有理项．
19. (本小题12.0分)
在1，2，3，4，5，6，7这7个自然数中．
(1)每次取一个数，取后放回，共取3次，设X为取到奇数的次数，求X的数学期望；
(2)任取3个不同的数，设Y为其中奇数的个数，求Y的概率分布．
20. (本小题12.0分)
如图，在直三棱柱ABC−A1B1C1中，△ABC是以BC为斜边的等腰直角三角形，AA1=AB=3，D，E分别为BC，B1C1上的点，且BDBC=C1EC1B1=t(0 (1)若t=12，求证：AD//平面A1BE；
(2)若t>12，直线A1C与平面A1BE所成角的正弦值为 63，求二面角C1−AD−C的余弦值．

21. (本小题12.0分)
某电影平台为了解观众对某影片的感受，已知所有参评的观众中男、女之比为2：1，现从中随机抽取120名男性和60名女性进行调查，抽取的男观众中有80人给了“点赞”的评价，女观众中有45人给了“一般”的评价．
(1)把下面2×2列联表补充完整，并判断是否有99.9%的把握认为对该影片的评价与性别有关？
性别
评价结果
合计
点赞
一般
男
80


女

45

合计


180
(2)用频率估计概率，在所有参评的观众中按“男”和“女”进行分层抽样，随机抽取6名参评观众．
①若再从这6名参评观众中随机抽取1人进行访谈，求这名观众给出“点赞”评价的概率；
②若再从这6名参评观众中随机抽取2人进行访谈，求在抽取的2人均给出“点赞”的条件下，这2人是1名男性和1名女性的概率．
参考公式：χ2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，其中n=a+b+c+d．
参考数据：
P(χ2≥x0)
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
x0
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828

22. (本小题12.0分)
已知a为实数，函数f(x)=ex−1+alnx．
(1)若函数f(x)在区间(1,2)上存在极值点，求a的取值范围，并说明是极大值点还是极小值点；
(2)若f(x)>(a+1)x−a对x>1恒成立，求a的取值范围．
答案和解析

1.【答案】C 
【解析】解：集合A={x|x2−2x−15<0}={x|−3 B={x|x=3k−2,k∈Z}={⋅⋅⋅,−5,−2,1,4,7,⋅⋅⋅}，
则集合A∩B={−2,1,4}，
∴集合A∩B中元素的个数为3．
故选：C．
求出集合A，B，由此能求出集合A∩B中元素的个数．
本题考查集合的运算，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．

2.【答案】B 
【解析】解：∵命题“∃x∈R，x2+1≤m”是假命题，
∴命题“∀x∈R，x2+1>m恒成立”为真命题，
∵∀x∈R，x2+1≥1，
∴m<1，
即实数m的取值范围是(−∞,1)．
故选：B．
由题意可知，∀x∈R，x2+1>m恒成立，结合二次函数的性质求解即可．
本题主要考查了不等式恒成立问题，考查了二次函数的性质，属于基础题．

3.【答案】A 
【解析】解：直线l的方向向量为e=(2,−1,2)，平面α的法向量为n=(−2,a−b,a+b)，
因为l⊥α，所以e//n，即n=λe，λ∈R；
所以−2=2λa−b=−λa+b=2λ，解得λ=−1，a=−12，b=−32，所以a+3b=−12−92=−5．
故选：A．
根据l⊥α得出e//n，由此列方程组求出a、b，再计算a+3b的值．
本题考查了空间向量的应用问题，是基础题．

4.【答案】D 
【解析】解：由题意知，当x≥0时，f(x)=x+1，此时函数f(x)单调递增；
当x<0时，f(x)=−(12)x，此时函数f(x)单调递增，
且f(0)=1，所以函数f(x)在R上单调递增．
又因为f(2a) 所以2a<6−a，
解得a<2，
所以a的取值范围是(2,+∞)．
故选：D．
判断函数f(x)的单调性，把不等式f(2a) 本题考查了分段函数的单调性判断问题，是基础题．

5.【答案】C 
【解析】解：x−=−2−1+0+1+25=0，y−=5+4+a+2+15=12+a5，
∴样本点的中心的坐标为(0,12+a5)，
代入y =−x+2.8，可得12+a5=2.8，解得a=2．
故选：C．
由已知求得样本点的中心的坐标，代入线性回归方程，即可求得a值．
本题考查线性回归方程，明确线性回归方程恒过样本点的中心是关键，是基础题．

6.【答案】B 
【解析】解：f(−x)=−x3−−sinx−x5=−x3−sinxx5，则f(−x)≠−f(x)且f(−x)≠f(x)，即函数f(x)为非奇非偶函数，图象不是对称函数，排除C，D，
当x=π时，f(x)=π3>0，排除A．
故选：B．
先判断函数为非奇非偶函数，然后利用f(π)的值的符号进行排除即可．
本题主要考查函数图象的识别和判断，利用函数对称性和函数值是否对应，利用排除法进行判断是解决本题的关键，是基础题．

7.【答案】D 
【解析】解：∵(2x−1)10=a0+a1x+a2x2+…+a10x10，
∴20×(2x−1)9=a1x+2a2x+…+10a10x9，
再令x=1，可得a1+2a2+3a3+…+10a10=20．
故选：D．
由题意，通过求导数，给变量赋值，从而得出结论．
本题主要考查二项式定理的应用，是给变量赋值的问题，求函数的导数，属于基础题．

8.【答案】B 
【解析】解：∵偶函数f(x)满足f(4+x)=f(4−x)，
∴f(4+x)=f(4−x)=f(x−4)，
即f(8+x)=f(x)，
即f(x)是周期为8的周期函数，
当x∈(0,4]时，f(x)=lnxx．
则f′(x)=1x⋅x−lnxx2=1−lnxx2，
当00，函数f(x)为增函数，
当e 即当x=e时，f(x)取得极大值f(e)=1e，
f(2)=ln22，f(6)=f(6−8)=f(−2)=f(2)=ln22，
f(4)=ln44=2ln24=ln22，即f(2)=f(4)=f(6)，
f(1)=f(7)=0，
作出函数f(x)在一个周期内的图象如图：
∵f(x)是偶函数，
∴若不等式f(x)>a在[−48,48]上有且只有60个整数解，
等价为f(x)>a在[0,48]上有且只有30个整数解，
等为f(x)>a在一个周期[0,8)上有且只有5个整数解即可．
∵f(0)=−1，∴f(0)=f(8)=−1，
∴若a<−1，则f(x)>a在[0,8)上有且只有8个整数解，不满足条件．
若a=−1，则f(x)>−1在[0,8)上有且只有7个整数解，不满足条件．
当a=0，f(x)>0在[0,8)上有且只有2，3，4，5，6，5个整数解，满足条件．
当a=f(2)=ln22时，f(x)>ln22在[0,8)上有且只有3，5，2个整数解，不满足条件．
则要使f(x)>a在一个周期[0,8)上有且只有5个整数解，
则0≤a 故选：B．
根据函数的奇偶性和对称性，求出函数的周期，根据函数在[−48,48]上有且只有60个整数解，转化为在一个周期[0,8)上有且只有5个整数解即可，作出函数图象，利用不等式与整数解的关系进行求解即可．
本题主要考查函数与方程的应用，根据条件求出函数的周期性，作出函数在一个周期内的图象，利用函数与方程的关系进行转化求解是解决本题的关键，是中档题．

9.【答案】AC 
【解析】解：X～N(90,σ2)(σ>0)，
μ=90，
则P(X<90)=0.5，
P(70 P(X<90−30)=P(X>90+30)，即P(X<60)=P(X>120)，故C正确；
根据正态分布曲线，σ越大，正态分布曲线约扁平，
故P(75 故选：AC．
根据已知条件，结合正态分布的对称性，即可依次求解．
本题主要考查正态分布的对称性，属于基础题．

10.【答案】BCD 
【解析】解：A选项，若3个歌唱节目排在一起，则有A33=6种情况，
将3个歌唱节目看为一个整体，和2个语言类节目进行排列，则有A33=6种情况，
综上，共有6×6=36种情况，A错误；
B选项，歌唱节目与语言类节目相间排列，
则歌唱类节目在两端和最中间，语言类放在歌唱类节目的之间，则有A33A22=12种情况，B正确；
C选项，若2个语言类节目不排在一起，则采用插空法，先安排歌唱类节目，有A33=6种情况，
再将语言类节目插入到3个节目形成的4个空格中，有A42=12种，
综上，共有6×12=72种情况，C正确；
D选项，前2个节目都是语言类节目，此时后3个为歌唱类节目，有A22A33=12种情况，
前2个节目中有1个是语言类，有1个是歌唱类，
则A21A31A22=12种情况，剩余的3个节目进行全排列，则有A33=6种情况
则共有12×6=72种情况，
综上，有12+72=84种不同的排法，D正确．
故选：BCD．
A选项，采用捆绑法进行求解；B选项，利用排列知识进行求解；C选项，采用插空法进行求解；D选项，分两种情况，前2个节目都是语言类节目和前2个节目中有1个是语言类节目，分别求出排法后相加即可．
本题考查排列组合的应用，属于基础题．

11.【答案】ACD 
【解析】解：A.当0log1313=1，即∀x∈(0,13),(12)x B.y=1−2xx−1=−2(x−1)−1x−1=−2−1x−1，
则函数在(1,+∞)内是增函数，故B错误．
C.由f(x)=|2x−2|−b=0，得b=|2x−2|，作出函数y=|2x−2|的图象，
当y=b∈(0,2)时，y=b与y=|2x−2|有两个不同的交点，
即实数b的取值范围是0 D.函数f(x)=xα的图像经过点(4,2)，则4α=2，即22α=2，
得2α=1，得α=12，即f(x)=x12= x，
则满足0 则由y= x的图象知，当x>0时，函数为凸函数，故D正确．
故选：ACD．
A.根据指数函数和对数函数的性质进行求解即可．
B.利用分子常数化，进行化简，利用分式函数的单调性进行判断．
C.利用函数与零点的关系进行转化求解即可．
D.利用凸函数的定义进行判断即可．
本题主要考查命题的真假判断，根据函数的性质，利用数形结合进行判断是解决本题的关键，是中档题．

12.【答案】ABD 
【解析】解：如图，以点D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系．

则D(0,0,0)，A(2,0,)A1(2,0,2)D1(0,0.2)，E(1,0,2)，
C(0,2,0)，B1(2,2,2)，B(2,2,0)C1(0,2,2)，
 当F为CC1的中点时，F(0,2,1)，AE=(−1,0,2)，AF=(−2,2,1)，
设平面AEF的法向量为m=(x,y,z)，
则m⋅AE=−x+2z=0m⋅AF=−2x+2y+z=0，令z=1，得x=2，y=32，
∴平面AEF的法向量为m=(2,32,1)，又AB1=(0,2,2)，
则点B1到平面AEF的距离为d=|m⋅AB1||m|=5 22+(32)2+12=10 2929，故A正确；
对于选项B：设DM=λDB1(0≤λ≤1)，则M(2,2λ,2λ)，
又点M在平面AEF内，则AM=aAE+bAF，所以−1−2b=2λ−22b=2λ2a+b=2λ，解得a=29b=49λ=49，
所以M(89,89,89)，DM=49DB1，所以DM=49DB1，故B正确；
设F(0,2,t)，0≤t≤2，则BF=(−2,0,t)，DB1=(2,2,2)，
若异面直线DB1与BF所成的角为455°，
则|cos|=|DB1⋅BF||DB1|⋅|BF|=|−4+2t|2 3× t2+4= 22，
平方化简得f2+8t+4=0，解得t=−4±2 3，又0≤t≤2，所以方程无解，故点F不存在，故C错误；
AF=(−2,2,t)，0≤t≤2，AE=(−1,0,2)，所以|AF⋅AE||AE|=|2+2t| 5，
则点F到直线AE的距离为 |AF|2−(|2+2t| 5)2=125，平方化简得5t2−40r+36=0，
解得t=4+2 555或t=4−2 555，又0≤t≤2，所以t=4−2 555，故点F存在，故D正确．
故选：ABD．
建立空间直角坐标系，利用点到平面距离的向量公式判断A，利用共线向量与共面向量基本定理判断B，利用异面直线夹角的向量公式判断C，利用点到直线距离的向量公式判断D．
本题考查了正方体中的线线夹角，点到平面的距离，点到直线的距离，意在考查学生的计算能力，空间想象能力和综合应用能力，其中建立空间直角坐标系，将空间中的距离和夹角问题转为向量运算，是解题的关键，属中档题．

13.【答案】ln2−1 
【解析】
【分析】
本题考查导数的运用：求切线的斜率，设出切点、求出导数和运用切线方程是解题的关键，属于基础题．
设切点为P(m,n)，分别代入切线的方程和曲线方程，求出曲线表示函数的导数，可得切线的斜率，再由切线方程，可得m，n，b．
【解答】
解：设切点为P(m,n)，
则n=lnm，n=12m+b，
y=lnx的导数为y′=1x，
即有1m=12，
解得m=2，n=ln2，b=ln2−1．
故答案为：ln2−1．
  
14.【答案】2 2 
【解析】解：平行六面体ABCD−A1B1C1D1，其中，以顶点A为端点的三条棱长均为2，且它们彼此的夹角都是60°，
因为BD1=AD+AA1−AB，
则|BD1|2=(AD+AA1−AB)2=AD2+AA12+AB2+2AD⋅AA1−2AD⋅AB−2AA1⋅AB
=4+4+4+2×2×2×12−2×2×2×12−2×2×2×12−2×2×2×12=8，
∴|BD1|=2 2．
故答案为：2 2．
由BD1=AD+AA1−AB，计算可求|BD1|．
本题考查利用向量的线性运算求两点间的距离，属中档题．

15.【答案】89 
【解析】解：因为i=120xi=60，i=120yi=1200，
所以x−=3，y−=60，
根据夹角公式的定义r=cos(a,b)=a⋅b|a||b|，
可得a⋅b=i=120(xi−x−)(yi−y−)，
所以i=120(xi−x−)(yi−y−)=i=120(xiyi−x−yi−y−xi+x−y−)
=i=120xiyi−x−i=120yi−y−i=120xi+i=120x−y−=i=120xiyi−20x−y−
=4400−20×3×60=800，
所以r=cos(a,b)=a⋅b|a||b|=800900=89．
故答案为：89．
由题意，根据题干中相关系数的定义进行计算即可．
本题考查相关系数，考查了运算能力．

16.【答案】516  n 
【解析】解：设X表示向右移动的次数，则X～B(n,12)，
若运动6步回到原点，则向左，右各移动3次，
所以回到原点的概率P(X6=0)=C63×(12)3×(1−12)3=516．
因为机器人走完设定的n步后所在位置对应数为随机变量Xn，X表示向右移动的次数则n−X表示向左移动的次数，
则Xn=X−(n−X)=2X−n，
X～B(n,12)则D(X)=np(1−p)=n×12×12=n4，
所以D(Xn)=D(2X−n)=4D(X)=4×n4=n．
故答案为：516；n．
X表示向右移动的次数，则X～B(n,12)，再根据二项分布即可得到回到原点的概率，找到Xn与X关系，得到Xn=X−(n−X)=2X−n，由二项分布的方差结合方差性质再计算方差即可．
本题考查离散型随机变量的期望与方差，是中档题．

17.【答案】解：(1)若m=3，则N={x||x−2|≤3}={x|−1≤x≤5}，
又∵集合M={x|14≤2x≤16}={x|−2≤x≤4}，
∴M∩N={x|−1≤x≤4}；
(2)集合M={x|−2≤x≤4}，N={x||x−2|≤m}={x|2−m≤x≤2+m}，
∵“x∈M”是“x∈N”的充分不必要条件，
∴M⫋N，
∴2−m≤−22+m≥4，解得m≥4，
即实数m的取值范围[4,+∞)． 
【解析】(1)先求出集合M，再利用集合的交集运算求解；
(2)由题意可知M⫋N，列出关于m的不等式组，求出m的取值范围．
本题主要考查了集合的基本运算，考查了集合间的包含关系，属于基础题．

18.【答案】解：(1)选①：由前三项的二项式系数之和为46，
可得Cn0+Cn1+Cn2=46，即n2+n−90=0，解得n=9或n=−10(舍去)．
选②：由所有奇数项的二项式系数之和为256，
可得Cn0+Cn2+Cn4+⋯=2n−1=256，解得n=9．
选③：由二项展开式的通项为Tr+1=Cnr(−1)r(12)n−rx2n−3r4，
令2n−3r4=0，则n=32r，
因为展开式中第7项为常数项，所以r=6，所以n=9．
(2)因为Tr+1=C9r(−1)r(12)9−rx18−3r4，其中r=0，1，2，…，9，
所以当r=2或6时，可得18−3r4为整数，
所以有理项为T3=932x3和T7=212． 
【解析】(1)根据题意，分别选择①②③，列出方程，即可求解；
(2)求得展开式的通项，结合题意确定r的值，代入即可求解．
本题考查二项式定理，属于基础题．

19.【答案】解：(1)由题意得，X～B(3,47)，E(X)=3×47=127．
(2)Y的可能取值为0，1，2，3，
P(Y=0)=C33C73=135，
P(Y=1)=C41C32C73=1235，
P(Y=2)=C42C31C73=1835，
P(Y=3)=C43C73=435，
∴Y的分布列为：
Y
 0
1
2
3
 P
 135
 1235
 1835
435
 
【解析】(1)由题意得，X～B(3,47)，利用二项分布的公式计算即可；
(2)求得Y的可能取值及对应概率，完成分布列即可．
本题考查离散型随机变量的分布列和期望，是中档题．

20.【答案】解：(1)证明：当t=12时，BDBC=C1EC1B1=12，即点D，E分别为BC，B1C1的中点，
在直三棱柱ABC−A1B1C1，BC//B1C1，BC=B1C1，B1E//BD，B1E=BD，
所以四边形BB1ED为平行四边形，所以BB1//ED，BB1=ED，
又AA1//BB1，AA1=BB1，所以AA1//ED，AA1=ED，
所以AA1ED为平行四边形，则AD//A1E，
又因为AD⊄平面A1BE，A1E⊂平面A1BE，
所以AD//平面平面A1BE；

 (2)AA1⊥平面ABC，又∠BAC=90°，
以A为坐标原点，AB，AC，AA1所在直线为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系A−xyz，

则点A(0,0,0)，C1(0,3,3)A1(0,0,3)，B(3,0,0)，C(0,3,0)．
由BDBC=C1EC1B1=t(0 所以A1C=0，3，−3)，A1B=(3,0,−3)，A1E=(0,3,−3)，
设平面A1BE的一个法向量m=(a,b,c)，
则m⋅A1B=3a−3c=0m⋅A1E=3ta+(3−3t)b=0，取a=1，则b=tt−1，c=1，
所以平面A1BE的一个法向量m=(1,tt−1,1)，
令直线A1C与平面A1BE所成角为θ，则sinθ=|cos|=|3tt−1−3|3 2⋅ 2+(tt−1)2= 63，
所以得12x2−16+5=0，所以t=12或56，
又因为t>12，所以t=56，
而AC1=(0,3,3)，AB=(3,0,0)，BC=(−3,3,0)，BD=tBC=(−3t,3t,0)，
所以AD=AB+BD=(3−3t,3t,0)=(12,52,0)，
设平面AC1D的一个法向量为n1=(x,y,zn1⋅AC1=3y+3z=0n1⋅AD=3(1−t)+3ty=0,
 取n1=(t,t−1,1−t)=(56,−16,16)，
又平面ADC的一个法向量为n2=(0,0,1)，
得cos=− 39，
观察得二面角C1−AD−C为锐角，所以二面角C1−AD−C的余弦值为 39． 
【解析】(1)BDBC=C1EC1B1=12，即点D，E分别为BC，B1C1的中点，可证四边形BB1ED为平行四边形，进而证AA1ED为平行四边形，则AD//A1E，可证结论；
(2)以A为坐标原点，AB，AC，AA1所在直线为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系A−xyz，求得平面A1BE的一个法向量m，利用向量法可求t，进而求得平面AC1D的一个法向量为n1，平面ADC的一个法向量为n2，利用向量法可求二面角C1−AD−C的余弦值．
本题考查线面平行的证明，考查二面角的余弦值的求法，属中档题．

21.【答案】解：(1)填写2×2列联表如下：
性别
评价结果
合计
点赞
一般
男
80
40
120
女
15
45
60
合计
95
85
180
假设H0：对该影片的评价与性别无关，
根据列联表中的数据可以求得
χ2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)=180(80×45−40×15)295×85×120×60=180×(40×75)295×85×120×60=600×1519×17=9000323≈27.86，
由于χ2≈27.86>10.828，且当H0成立时，P(χ2≥10.828)≈0.001，
所以有99.9%的把握认为对该影片的评价与性别有关．
(2)①由分层抽样知，随机抽取的6名参评观众中，男性有4人，女性有2人．
根据频率估计概率知，男性观众给出“点赞”评价的概率为23，给出“一般”评价的概率为13；
女性观众给出“点赞”评价的概率为14，给出“一般”评价的概率为34．
从这6名参评观众中随机抽取1人进行访谈，记“这名学生给出“点赞”评价”为事件B，
“这名观众是男性观众”为事件A1，“这名观众是女性观众”为事件A2．
则P(A1)=23,P(A2)=13,P(B|A1)=23,P(B|A2)=14，
所以P(B)=P(BA1+BA2)=P(BA1)+P(BA2)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)
=23×23+13×14=49+112=16+336=1936．
②从这6名参评观众中随机抽取2人进行访谈，
记“抽取的2人均给出“点赞”的评价”为事件D，“这两名观众均是男性”为事件C1，
“这两名观众均是女性”为事件C2，“这两名观众是1名男性和1名女性”为事件C3．
则P(C1)=C42C62=25,P(C2)=C22C62=115,P(C3)=C41C21C62=815,P(D|C1)=(23)2=49，
P(D|C2)=(14)2=116,P(D|C3)=23×14=16，
所以P(D)=P(C1)P(D|C1)+P(C2)P(D|C2)+P(C3)P(D|C3)=25×49+115×116+815×16=1348，
所以P(C3|D)=P(C3D)P(D)=P(C3)P(D|C3)P(D)=815×161348=64195，
即在抽取的2人均给出“点赞”的条件下，这2人是1名男性和1名女性的概率为64195． 
【解析】(1)由卡方的计算即可求解，
(2)由分层抽样确定人数，即可由全概率公式以及贝叶斯公式进行求解．
本题考查了独立性检验以及条件概率的应用，属于中档题．

22.【答案】解：(1)已知f(x)=ex−1+alnx，函数定义域为(0,+∞)，
可得f′(x)=ex−1+ax，
①当a≥0时，f′(x)>0，f(x)单调递增，无极值；
②当a<0时，f′(x)在(0,+∞)上单调递增，
若∃x0∈(1,2)，使得f′(x0)=0，
当1 当x00，f(x)单调递增，
即x0是极小值点，
需满足f′(1)=1+a<0f′(2)=e+a2>0，
解得−2e 综上，a的取值范围为(−2e,−1)，为极小值点；
(2)若f(x)>(a+1)x−a对x>1恒成立，
即ex−1+alnx−(a+1)x+a>0对x>1恒成立，
不妨设g(x)=ex−1+alnx−(a+1)x+a，函数定义域为(1,+∞)，
可得g′(x)=ex−1+ax−(a+1)=xex−1−(a+1)x+ax，
不妨设k(x)=xex−1−(a+1)x+a，函数定义域为(1,+∞)，
可得k′(x)=(x+1)ex−1−(a+1)，
不妨设k′(x)=h(x)=(x+1)ex−1−(a+1)，函数定义域为(1,+∞)，
可得h′(x)=(x+2)ex−1>0，h(x)在定义域上单调递增，
又h(1)=1−a，
①当1−a≥0，即a≤1时，h(x)>0，
即k′(x)>0，k(x)在(1,+∞)上单调递增，
又k(1)=1−(a+1)+a=0，
所以k(x)>0，
即g′(x)>0，g(x)在(1,+∞)上单调递增，
又g(1)=0，
所以当x∈(1,+∞)时，g(x)>0恒成立；
②当1−a<0，即a>1时，
h(1+lna)=(2+lna)a−a−1=a−1+alna>0，1+lna>1，
由零点存在性定理可知∃x0∈(1,1+lna)，使得h(x0)=0，
当1 又k(1)=0，
所以当1 又g(1)=0，
所以当1 综上所述，a的取值范围为(−∞,1]． 
【解析】(1)由题意，对f(x)进行求导，结合导数的几何意义分别讨论当a≥0和a<0这两种情况下函数f(x)的单调性，进而即可求解；
(2)将f(x)>(a+1)x−a对x>1恒成立，转化成ex−1+alnx−(a+1)x+a>0对x>1恒成立，构造函数g(x)=ex−1+alnx−(a+1)x+a，对函数g(x)进行求导，构造函数k(x)=xex−1−(a+1)x+a，对函数k(x)进行求导，构造函数k′(x)=h(x)，对h(x)进行求导，利用导数的几何意义得到函数h(x)的单调性和极值，再分别讨论当1−a≥0和1−a<0这两种情况，利用导数的几何意义以及零点存在性定理进行求解即可．
本题考查利用导数研究函数的单调性和极值，考查了逻辑推理、分类讨论和运算能力．