还剩16页未读，
继续阅读
2022-2023学年江西省赣州四中高二（下）期末数学试卷（含解析）
展开
这是一份2022-2023学年江西省赣州四中高二（下）期末数学试卷（含解析），共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年江西省赣州四中高二（下）期末数学试卷
一、选择题（本题共12小题，共60分）
1. 已知等差数列{an}的公差为3，且其前n项和为Sn，若S13=156，则a2=( )
A. -2 B. 3 C. 2 D. -3
2. 在某次数学考试中，学生成绩X服从正态分布(100,δ2).若X在(85,115)内的概率是0.5，则从参加这次考试的学生中任意选取3名学生，恰有2名学生的成绩不低于85的概率是( )
A. 2764 B. 964 C. 34 D. 916
3. 若函数f(x)=x3+ax2+2x(a∈R)在x=-23处取得极小值，则实数a的值为( )
A. 52 B. 113 C. -52 D. 3
4. 曲线f(x)=xlnx在点(e,f(e))(e为自然对数的底数)处的切线方程为( )
A. y=ex-2 B. y=2x+e C. y=ex+2 D. y=2x-e
5. 盒中有a个红球，b个黑球，今随机地从中取出一个，观察其颜色后放回，并加上同色球c个，再从盒中抽取一球，则第二次抽出的是黑球的概率是( )
A. ba+b+c B. ba+c C. ba+b D. b+ca+b+c
6. 数列{an}中，an+1+(-1)nan=2n-1，则数列{an}的前8项和等于( )
A. 32 B. 36 C. 38 D. 40
7. 朱世杰是元代著名数学家，他所著的《算学启蒙》是一部在中国乃至世界最早的科学普及著作．《算学启蒙》中涉及一些“堆垛”问题，主要利用“堆垛”研究数列以及数列的求和问题．现有132根相同的圆形铅笔，小明模仿“堆垛”问题，将它们全部堆放成纵断面为等腰梯形的“垛”，要求层数不小于2，且从最下面一层开始，每一层比上一层多1根，则该“等腰梯形垛”堆放的层数可以是( )
A. 5 B. 6 C. 7 D. 8
8. 已知函数y=f(x-1)的图像关于直线x=1对称，且当x∈(-∞,0)时，f(x)+xf'(x)<0成立，若a=21.5f(21.5)，b=ln3f(ln3)，c=log1214f(log1214)，则( )
A. a>b>c B. b>c>a C. c>a>b D. a>c>b
9. 已知a>0，ab=1，则( )
A. a+b≥2 B. lgalgb>0 C. 1a2+1b2<4a+b D. a3+b3≥2
10. 以下四个命题，其中正确的是( )
A. 由独立性检验可知，有99%的把握认为物理成绩与数学成绩有关，某人数学成绩优秀，则他有99%的可能物理优秀
B. 两个随机变量相关性越强，则相关系数的绝对值越接近于0
C. 在线性回归方程y∧=0.2x+12中，当变量x每增加1个单位时，变量y∧平均增加0.2个单位
D. 线性回归方程对应的直线y∧=b∧x+a∧至少经过其样本数据点中的一个点
11. 设Sn是公比为正数等比数列{an}的前n项和，若a2=12，a3a5=164，则( )
A. a4=18 B. S3=94
C. an+Sn为常数 D. {Sn-2}为等比数列
12. 已知函数f(x)=xex,x<1exx3,x≥1，函数g(x)=xf(x)，下列选项正确的是( )
A. 点(0,0)是函数f(x)的零点
B. ∃x1∈(0,1)，x2∈(1,3)，使f(x1)>f(x2)
C. 函数f(x)的值域为[-e-1,+∞)
D. 若关于x的方程[g(x)]2-2ag(x)=0有两个不相等的实数根，则实数a的取值范围是(2e2,e28]∪(e2,+∞)
二、填空题（本题共4小题，共20分）
13. 函数f(x)=(x-1)ex的单调递减区间是______ ．
14. 甲、乙两人比赛乒乓球，甲先发球.假设甲发球不会失误，乙接甲发球的失误率为0.3，接甲回球的成功率为0.5，若乙回球成功后，甲回球的失误率为0.4，则乙在两个回合中丢分的概率为______ ．
15. 已知数列{an}满足an+1=3an+4，a1=1，则an=______．
16. 已知函数f(x)=2lnx+ax2-3x在x=2处取得极小值，则f(x)在[12,3]上的最大值为______ ．
三、解答题（本题共6小题，共70分）
17. 已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a1+S3=20，S5=50．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)请确定3998是否是数列{an}中的项？
18. 如图，已知PA⊥平面ABCD，底面ABCD为矩形，PA=AD=2，AB=4，M，N分别为AB，PC的中点．
(1)求证：MN//平面PAD；
(2)求点D到平面PMC的距离．
19. 2020年初，新型冠状病毒肺炎(COVID-19)在我国爆发，全国人民团结一心、积极抗疫，为全世界疫情防控争取了宝贵的时间，积累了丰富的经验．某研究小组为了研究某城市肺炎感染人数的增长情况，在官方网站上搜集了7组数据，并依据数据制成如图散点图：
图中x表示日期代号(例如2月1日记为“1”，2月2日记为“2”，以此类推).通过对散点图的分析，结合病毒传播的相关知识，该研究小组决定用指数型函数模型y=ebx+a来拟合，为求出y关于x的回归方程，可令ω=lny，则ω与x线性相关．初步整理后，得到如下数据：ω-≈3.5，i=17(xi-x-)(ωi-ω-)≈15.4．
(1)根据所给数据，求出ω关于x的线性回归方程：
(2)求y关于x的回归方程；若防控不当，请问x为何值时，累计确诊人数的预报值将超过1000人？(参考数据：ln1000≈6.9，结果保留整数)
附：对于一组数据(ui,vi)(i=1,2,3,…,n)，其线性回归方程v =b u+a 的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为b =i=1n(ui-u-)(vi-v-)i=1n(ui-u-)2，a =v--b u-．
20. 已知函数f(x)=lnx+kx+1,x>0．
(1)当k=4时，比较f(x)与2的大小；
(2)求证：23+25+27+⋯+22n+1
(1)求双曲线C的方程；
(2)过点B(1,0)且斜率不为0的直线与C交于M，N两点(与点A不重合)，直线AM，AN分别与直线x=1交于点P，Q，求|PB||QB|的值．
22. 已知函数f(x)=xlnx-aex-x2，f'(x)是函数f(x)的导函数，且f'(x)在(0,+∞)上单调递增．e是自然对数的底数．
(1)当a=0时，求f(x)图像在x=1处的切线方程；
(2)若函数|f(x)|≥x对任意的x∈[1,+∞)恒成立，求实数a的取值范围．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】
【分析】
本题考查考查等差数列的性质，是基础题．
由题意可得S13=13(a1+a13)2=13a7=156，求出a7=12，由此能求出a2．
【解答】
解：∵等差数列{an}的公差为3，且其前n项和为Sn，S13=156，
∴由题意可得S13=13(a1+a13)2=13a7=156，
解得a7=12，
则a2=a7-5d=12-15=-3．
故选：D．
2.【答案】A
【解析】解：由X在(85,115)内的概率是0.5，知P(85
则P(A)=∁32(34)2⋅14=2764．
故选：A．
先根据正态分布的性质，求得P(X≥85)，再由独立重复试验的概率计算公式，得解．
本题考查正态分布的性质，独立重复试验的概率计算公式，考查逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．
3.【答案】A
【解析】解：∵f(x)=x3+ax2+2x，
∴f'(x)=3x2+2ax+2，
由题意可得，f'(-23)=10-4a3=0，
∴a=52，
此时f'(x)=3x2+5x+2=(3x+2)(x+1)，
当x∈(-23,+∞)，(-∞,-1)时，f'(x)>0，函数单调递增，
当x∈(-1,-23)时，f'(x)<0，函数单调递减，
故x=-23时，函数取得极小值．
故选：A．
由题意可得，f'(-23)=0，代入即可求解a的值．
本题主要考查了函数的导数与极值关系的简单应用，属于基础试题．
4.【答案】D
【解析】解：由f(x)=xlnx，得f'(x)=lnx+1，
∴f'(e)=lne+1=2．
即曲线f(x)=xlnx在点(e,f(e))处的切线的斜率为2，
又f(e)=elne=e．
∴曲线f(x)=xlnx在点(e,f(e))处的切线方程为y-e=2(x-e)，
即y=2x-e．
故选：D．
求出原函数的导函数，得到f'(e)，再求出f(e)的值，则由直线方程的点斜式可得切线方程．
本题考查利用导数研究曲线上某点处的切线方程，曲线上过某点的切线的斜率，就是该点处的导数值，是中档题．
5.【答案】C
【解析】解：设事件A=“第一次取出的是黑球”，事件B=“第二次取出的是黑球”，则B=AB+A-B，
由题意P(A)=ba+b，P(B|A)=b+ca+b+c，P(A-)=aa+b，P(B|A-)=ba+b+c，
由全概率公式有P(B)=P(A)P(B|A)+P(A-)P(B|A-)
=ba+b×b+ca+b+c+aa+b×ba+b+c
=ba+b．
故选：C．
由全概率公式，分第一次取出黑球，第二次取出黑球和第一次取出红球，第二次取出黑球两种情况分别求概率，再求和即可．
本题考查全概率公式，属基础题．
6.【答案】B
【解析】解：依题意，由an+1+(-1)nan=2n-1，①
可得an+2+(-1)n+1an+1=2n+1，②
由①×(-1)n+②，可得an+2+an=(-1)n⋅(2n-1)+(2n+1)，
则当n=1时，a1+a3=2，
当n=2时，a2+a4=8，
当n=5时，a5+a7=2，
当n=6时，a6+a8=24，
∴数列{an}的前8项和为：
a1+a2+a3+a4+⋅⋅⋅+a8
=(a1+a3)+(a2+a4)+(a5+a7)+(a6+a8)
=2+8+2+24
=36．
故选：B．
先将题干中的递推公式进行转化可得an+2+an=(-1)n⋅(2n-1)+(2n+1)，然后分别将n=1，2，5，6代入推导出来的递推公式进行计算，最后运用分组求和法即可计算出数列{an}的前8项和．
本题主要考查数列根据递推公式求前n项和问题．考查了整体思想，转化与化归思想，分组求和法，以及逻辑推理能力和数学运算能力，属中档题．
7.【答案】D
【解析】解：设该“等腰梯形垛”每层堆放的铅笔数为{an}，公差为d，
则d=1，
∵有132根相同的圆形铅笔，
∴n[2a1+(n-1)]2=132，即2a1=264n-n+1，
∵a1∈N*，
∴n为264的因数，且264n-n+1为偶数，
将5，6，7，8分别代入，验证可得，n=8，满足题意．
故选：D．
根据已知条件，结合等差数列的前n项和公式，即可求解．
本题主要考查等差数列的前n项和公式，属于基础题．
8.【答案】B
【解析】解：∵y=f(x-1)的图像关于直线x=1对称，∴y=f(x)图像关于y轴对称，
∴f(x)为偶函数，设g(x)=xf(x)，则g(x)为奇函数，
又当x∈(-∞,0)时，g'(x)=f(x)+xf'(x)<0，
∴g(x)在(-∞,0)上单调递减，又g(x)为奇函数，
∴g(x)在(0,+∞)上也单调递减，
又21.5=2 2>2，1
即b>c>a．
故选：B．
先由题意得f(x)为偶函数，构造g(x)=xf(x)，则g(x)为奇函数，再由导数研究g(x)的单调性，接着比较三个自变量的大小关系，最后利用g(x)的单调性即可比较a，b，c的大小关系．
本题考查函数的奇偶性，利用函数的单调性比较大，利用导数研究函数的单调性，属中档题．
9.【答案】AD
【解析】
【分析】
本题主要考查了基本不等式的应用，属于中档题．
利用基本不等式判断A，C，D，结合对数运算判断B．
【解答】
解：∵a>0，ab=1，∴b>0，
对于A，∵a>0，b>0，ab=1，∴a+b≥2 ab=2，当且仅当a=b=1时，等号成立，故A正确，
对于B，∵lgalgb=lgalg1a=-lg2a⩽0，当且仅当a=1时，等号成立，故B错误，
对于C，(1a2+1b2)(a+b)=(1a+1b)+(ba2+ab2)≥2 1a⋅1b+2 ba2⋅ab2=4，
当且仅当a=b=1时，等号成立，
∴1a2+1b2≥4a+b，故C错误，
对于D，a3+b3⩾2 a3·b3=2，当且仅当a=b=1时，等号成立，故D正确，
故选：AD．
10.【答案】C
【解析】
【分析】
本题考查了回归分析与独立性检验的应用问题，是基础题．根据题意，对选项中的命题进行分析、判断正误即可．
【解答】
解：对于A，有99%的把握认为物理成绩与数学成绩有关，是指“不出错的概率”，
不是“数学成绩优秀，物理成绩就有99%的可能优秀”，∴A错误；
对于B，根据随机变量的相关系数知，两个随机变量相关性越强，
则相关系数的绝对值越接近于1，∴B错误；
对于C，根据线性回归方程y∧=0.2x+12中，当变量x每增加1个单位时，
预报变量y∧平均增加0.2个单位，∴C正确；
对于D，线性回归方程对应的直线y∧=b∧x+a∧可能不经过其样本数据点
中的任何一个点，∴D错误．
故选C．
11.【答案】ACD
【解析】解：设等比数列{an}的公比为q，
∵a2=12，a3a5=164，
∴a42=a3a5=164，
∵a4=a2q2=12q2>0，
∴a4=18，故A正确；
∵a2=12，
∴q2=a4a2=14，解得q=12或q=-12(舍去)，
∴S3=a1+a2+a3=a2q+a2+a2q=1+12+12×12=74，故B错误；
∵a1=a2q=1，q=12，
∴an=(12)n-1，Sn=1-(12)n1-12=2-(12)n-1，
∴an+Sn=2，故C正确；
∵Sn-2=2-(12)n-1-2=-(12)n-1，
∴{Sn-2}是首项为-1，公比为12的等比数列，故D正确．
故选：ACD．
根据已知条件，结合等比数列的性质，依次求出首项与公比，即可求解．
本题主要考查等比数列的性质，考查转化能力，属于基础题．
12.【答案】BC
【解析】
【分析】
本题考查函数的导数的应用，函数的单调性以及函数的最值的求法，命题的真假的判断，是难题．
利用函数的零点判断A；导函数，判断函数的单调性判断B；函数的最小值判断C；利用函数的单调性以及函数的极值判断选项D．
【解答】
解：对于选项A，0是函数f(x)的零点，零点不是一个点，所以A错误．
对于选项B，当x<1时，f'(x)=(x+1)ex，可得，
当x<-1时，f(x)单调递减；当-11时，f'(x)=ex(x-3)x4，
当13时，f(x)单调递增；
所以，当1
对于选项D，关于x的方程[g(x)]2-2ag(x)=0有两个不相等的实数根⇔关于x的方程g(x)[g(x)-2a]=0有两个不相等的实数根⇔关于x的方程g(x)-2a=0有一个非零的实数根⇔函数y=g(x)与y=2a有一个交点，且x≠0，
当x<1时，g'(x)=ex(x2+2x)，当x变化时，g'(x)，g(x)的变化情况如下：
x
x<-2
-2
-2
0
+
0
-
0
+
g(x)
↗
极大值
↘
极小值
↗
极大值g(-2)=4e2，极小值g(0)=0，当x≥1时，g'(x)=ex(x-2)x3
当x变化时，g'(x)，g(x)的变化情况如下：
x
1
1
x>2
g'(x)
-
-
0
+
g(x)
e
↘
极小值
↗
极小值g(2)=e24，综上可得，4e2<2ae，a的取值范围是(2e2,e28)∪(e2,+∞)，D不正确．
故选：BC．
13.【答案】(-∞,0)
【解析】解：∵f(x)=(x-1)ex，
∴f'(x)=xex，
由f'(x)=0，得x=0，由f'(x)<0得x<0，
故f(x)在(-∞,0)上单调递减，
故答案为：(-∞,0)．
由题意得f'(x)=xex，求出f'(x)<0，即可得出答案．
本题考查利用导数研究函数的单调性，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．
14.【答案】0.51
【解析】解：设事件B1表示“乙接甲发球成功”，事件A表示“甲第一次回球成功”，
事件B2表示“乙第二次回球成功”，
故乙在两个回合中丢分的概率P=P(B1-)+P(B1AB2-)，易知P(B1-)=0.3，P(A|B1)=0.6，P(B2-|B1A)=0.5，
则P(B1AB2-)=P(B1)P(A|B1)P(B2-|B1A)=0.7×0.6×0.5=0.21，
故P=0.3+0.21=0.51．
故答案为：0.51．
乙失误的情况有两种：①乙在第一次接球时失误；②乙在第二次回球时失误，即甲发球成功后，乙第一次回球成功，然后甲回球成功，乙回球失误．由条件概率和全概率公式分别求出其概率即可得出答案．
本题主要考查条件概率公式，属于基础题．
15.【答案】3n-2
【解析】
【分析】
本题考查数列的递推公式的应用，涉及等比数列的定义和等比数列的通项公式，属于基础题．
根据题意，利用递推关系式推出数列{an+2}为等比数列，再由等比数列的通项公式即可求解．
【解答】
解：根据题意，知数列{an}满足an+1=3an+4，
变形可得：an+1+2=3an+6=3(an+2)，即an+1+2an+2=3，
又a1=1，则a1+2=3，故{an+2}是首项为3，公比为3的等比数列，
则有an+2=3×3n-1=3n，
故an=3n-2；
故答案为：3n-2
16.【答案】2ln3-92
【解析】解：因为f(x)=2lnx+ax2-3x，(x>0)，
所以f'(x)=2x+2ax-3，
由题意可得f'(2)=4a-2=0，解得a=12，
则f(x)=2lnx+12x2-3x，f'(x)=2x+x-3=x2-3x+2x，
令f'(x)=0，可得x=1或x=2，
当x在[12,3]上变化时，f'(x)与f(x)的变化情况如下表：
x
[12,1)
1
(1,2)
2
(2,3]
f'(x)
+
0
-
0
+
f(x)
递增
极大值
递减
极小值
递增
所以函数f(x)的极大值为f(1)=-52，极小值为f(2)=2ln2-4，
又因为f(3)=2ln3-92，
且f(3)-f(1)=2ln3-92+52=2ln3-2=2(ln3-1)>0，
所以f(1)
故答案为：2ln3-92．
根据函数f(x)=2lnx+ax2-3x在x=2处取得极小值可得f'(2)=4a-2=0，求得a的值，继而判断函数在[12,3]上的极值情况，计算端点处函数值并进行比较，可得答案．
本题考查利用导数研究函数的极值及最值，考查运算求解能力，属于基础题．
17.【答案】解：(1)设数列{an}的公差为d．
由题意有a1+(3a1+3d)=205a1+10d=50，
解得a1=2，d=4，
则数列{an}的通项公式为an=2+4(n-1)=4n-2．
(2)假设3998是数列{an}中的项，有4n-2=3998，得n=1000，
故3998是数列{an}中的第1000项．
【解析】(1)利用等差数列前n项和公式列出方程组，求出a1=2，d=4，由此能求出数列{an}的通项公式．
(2)假设3998是数列{an}中的项，有4n-2=3998，由此能求出3998是数列{an}中的第1000项．
本题考查等差数列的通项公式、等差数列中的某一项的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
18.【答案】(1)证明：取PD中点E，连接AE，NE，
∵N为PC中点，∴NE//CD且NE=12CD，
∵四边形ABCD为矩形，且M为AB中点
∴AM//CD且AM=12CD，
∴AM//NE且AM=NE，
∴四边形AMNE为平行四边形．
∴MN//NE，
∵MN⊄平面PAD，AE⊂平面PAD，
∴MN//平面PAD；
(2)解：以A为坐标原点，AB,AD,AP分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
∵M(2,0,0)，C(4,2,0)，P(0,0,2)，D(0,2,0)，
∴MC=(2,2,0),MP=(-2,0,2)，
设平面PMC的法向量为n=(a,b,c)，
∴2a+2b=0-2a+2c=0，令a=1，则b=-1，c=1，
∴n=(1,-1,1)，
∵CD=(-4,0,0)，
∴D到平面PMC的距离d=|CD⋅n||n|=4 3=4 33．
【解析】(1)取PD中点E，连接AE，NE，证明四边形AMNE为平行四边形，进而可得MN//NE，利用线面平行的判定定理即可证明；
(2)根据条件建立空间直角坐标系，利用向量法求解即可．
本题考查了线面平行的证明以及点到平面的距离的计算，属于中档题．
19.【答案】解：(1)x-=17×(1+2+3+4+5+6+7)=4，i=17(xi-x-)2=28，
b =i=17(xi-x-)(ωi-ω-)i=17(xi-x-)2=15.428=0.55，a =ω--b x-=1.3．
故ω关于x的线性回归方程为ω =0.55x+1.3．
(2)把ω =lny 代入ω =0.55x+1.3，
可得y关于x的回归方程为y =e0.55x+1.3．
由e0.55x+13>1000，得0.55x+1.3>ln1000≈6.9，
解得x>10.2，即当x=11时，累计确诊人数将超过1000人．
【解析】(1)求出样本中心，求出回归直线的斜率，求出截距，然后求解回归直线方程．
(2)把ω =lny 代入ω =0.55x+1.3，可得y关于x的回归方程为y =e0.55x+1.3.由e0.55x+13>1000，求出x，即可判断结果．
本题考查回归直线方程的应用，考查转化思想以及计算能力，是中档题．
20.【答案】解：(1)当k=4时，f(x)=lnx+4x+1，(x>0)，
令g(x)=f(x)-2=lnx+4x+1-2，
g'(x)=1x-4(x+1)2=(x+1)2-4xx(x+1)2=(x-1)2x(x+1)2≥0，
所以g(x)在(0,+∞)上单调递增，
又因为g(1)=0，
所以当0
所以当0
(2)证明：由(1)得，当x>1时，f(x)>2，
即当x>1时，lnx>2(x-1)x+1，
令x=1+1n,n∈N*，则ln(1+1n)=ln(n+1n)>22n+1，
所以23+25+⋯+22n+1
(2)由(1)得，当x>1时，lnx>2(x-1)x+1，令x=1+1n,n∈N*，则ln(1+1n)=ln(n+1n)>22n+1，由放缩法，即可得出答案．
本题考查导数的综合应用，不等式的证明，解题中需要理清思路，属于中档题．
21.【答案】解：(1)由题意可知4a2-4b2=1,ba= 2，
解得a= 2,b=2，
所以双曲线的方程为x22-y24=1．
(2)设直线MN的方程为x=my+1，代入x22-y24=1中，
可得(2m2-1)y2+4my-2=0，设M(x1,y1)，N(x2,y2)，
则2m2-1≠0,Δ=32m2-8>0,y1+y2=-4m2m2-1,y1y2=-22m2-1．
直线AM的方程为y=y1-2x1-2(x-2)+2，
令x=1，得点P的纵坐标为yP=2-y1x1-2+2，
直线AN的方程为y=y2-2x2-2(x-2)+2，
令x=1，得点Q的纵坐标为yQ=2-y2x2-2+2，
因为2-y1x1-2+2-y2x2-2=-2my1y2+(2m+1)(y1+y2)-4(my1-1)(my2-1)=-16m2+42m2-14m2-12m2-1=-4，
所以yP+yQ=0，即|PB||BQ|=1．
【解析】(1)由题得4a2-4b2=1,ba= 2，进而即得；
(2)设直线MN的方程为x=my+1，联立双曲线方程，根据直线AM，AN的方程表示出yP，yQ结合韦达定理即得．
本题主要考查直线与双曲线的综合，考查转化能力，属于难题．
22.【答案】解：(1)当a=0时，函数f(x)=xlnx-x2，
所以f'(x)=lnx+1-2x，x>0，所以f'(1)=-1，
所以f(1)=-1，即切点坐标为(1,-1)，
所以f(x)图像在x=1处的切线方程为：y+1=-(x-1)，
即x+y=0．
(2)因为f(x)=xlnx-aex-x2，
所以f'(x)=lnx+1-aex-2x，x>0，
令h(x)=f'(x)=lnx+1-aex-2x，
因为f'(x)在(0,+∞)上单调递增，
所以h'(x)=1x-aex-2≥0对任意的x>0恒成立，
即a≤1-2xxex对任意的x>0恒成立，
令k(x)=1-2xxex，则k'(x)=(2x+1)(x-1)x2ex，
所以当x>1时，k'(x)>0，k(x)单调递增；
当0
所以a≤-1e．
因为f'(x)在(0,+∞)上单调递增，
由f'(1)=-1-ae≥0，
所以x≥1时，f'(x)=lnx+1-aex-2x≥f'(1)≥0，
所以f(x)在[1,+∞)上单调递增，
又因为f(1)=-1-ae≥0，
所以f(x)≥f(1)≥0，
所以|f(x)|=f(x)．
因为|f(x)|≥x对任意的x∈[1,+∞)恒成立，
即a≤xlnx-x2-xex对任意的x∈[1,+∞)恒成立，
令m(x)=xlnx-x2-xex，则m'(x)=(x-1)(x-lnx)e2x≥0，
所以m(x)在[1,+∞)上单调递增，
所以m(x)≥m(1)=-2e，
所以a≤-2e，
综上可得：a的取值范围为(-∞,-2e].
【解析】(1)求出切点坐标与在切点出的导数值，即可求得切线方程；
(2)首先令h(x)=f'(x)=lnx+1-aex-2x，并根据f'(x)在(0,+∞)上单调递增，可得a≤1-2xxex对任意的x>0恒成立，构造函数k(x)=1-2xxex，利用导数判断其单调性和最值，进而得出a的取值范围；再由|f(x)|≥x对任意的x∈[1,+∞)恒成立，即a≤xlnx-x2-xex对任意的x∈[1,+∞)恒成立，构造函数m(x)=xlnx-x2-xex，则m'(x)=(x-1)(x-lnx)e2x≥0，利用导数判断其单调性和最值，进而得出a的另一取值范围，进而得出a的取值范围．
本题考查导数的几何意义、利用导数研究函数的单调性、最值与极值，考查学生的逻辑思维能力和运算能力，属中档题．
2022-2023学年江西省赣州四中高二（下）期末数学试卷
一、选择题（本题共12小题，共60分）
1. 已知等差数列{an}的公差为3，且其前n项和为Sn，若S13=156，则a2=( )
A. -2 B. 3 C. 2 D. -3
2. 在某次数学考试中，学生成绩X服从正态分布(100,δ2).若X在(85,115)内的概率是0.5，则从参加这次考试的学生中任意选取3名学生，恰有2名学生的成绩不低于85的概率是( )
A. 2764 B. 964 C. 34 D. 916
3. 若函数f(x)=x3+ax2+2x(a∈R)在x=-23处取得极小值，则实数a的值为( )
A. 52 B. 113 C. -52 D. 3
4. 曲线f(x)=xlnx在点(e,f(e))(e为自然对数的底数)处的切线方程为( )
A. y=ex-2 B. y=2x+e C. y=ex+2 D. y=2x-e
5. 盒中有a个红球，b个黑球，今随机地从中取出一个，观察其颜色后放回，并加上同色球c个，再从盒中抽取一球，则第二次抽出的是黑球的概率是( )
A. ba+b+c B. ba+c C. ba+b D. b+ca+b+c
6. 数列{an}中，an+1+(-1)nan=2n-1，则数列{an}的前8项和等于( )
A. 32 B. 36 C. 38 D. 40
7. 朱世杰是元代著名数学家，他所著的《算学启蒙》是一部在中国乃至世界最早的科学普及著作．《算学启蒙》中涉及一些“堆垛”问题，主要利用“堆垛”研究数列以及数列的求和问题．现有132根相同的圆形铅笔，小明模仿“堆垛”问题，将它们全部堆放成纵断面为等腰梯形的“垛”，要求层数不小于2，且从最下面一层开始，每一层比上一层多1根，则该“等腰梯形垛”堆放的层数可以是( )
A. 5 B. 6 C. 7 D. 8
8. 已知函数y=f(x-1)的图像关于直线x=1对称，且当x∈(-∞,0)时，f(x)+xf'(x)<0成立，若a=21.5f(21.5)，b=ln3f(ln3)，c=log1214f(log1214)，则( )
A. a>b>c B. b>c>a C. c>a>b D. a>c>b
9. 已知a>0，ab=1，则( )
A. a+b≥2 B. lgalgb>0 C. 1a2+1b2<4a+b D. a3+b3≥2
10. 以下四个命题，其中正确的是( )
A. 由独立性检验可知，有99%的把握认为物理成绩与数学成绩有关，某人数学成绩优秀，则他有99%的可能物理优秀
B. 两个随机变量相关性越强，则相关系数的绝对值越接近于0
C. 在线性回归方程y∧=0.2x+12中，当变量x每增加1个单位时，变量y∧平均增加0.2个单位
D. 线性回归方程对应的直线y∧=b∧x+a∧至少经过其样本数据点中的一个点
11. 设Sn是公比为正数等比数列{an}的前n项和，若a2=12，a3a5=164，则( )
A. a4=18 B. S3=94
C. an+Sn为常数 D. {Sn-2}为等比数列
12. 已知函数f(x)=xex,x<1exx3,x≥1，函数g(x)=xf(x)，下列选项正确的是( )
A. 点(0,0)是函数f(x)的零点
B. ∃x1∈(0,1)，x2∈(1,3)，使f(x1)>f(x2)
C. 函数f(x)的值域为[-e-1,+∞)
D. 若关于x的方程[g(x)]2-2ag(x)=0有两个不相等的实数根，则实数a的取值范围是(2e2,e28]∪(e2,+∞)
二、填空题（本题共4小题，共20分）
13. 函数f(x)=(x-1)ex的单调递减区间是______ ．
14. 甲、乙两人比赛乒乓球，甲先发球.假设甲发球不会失误，乙接甲发球的失误率为0.3，接甲回球的成功率为0.5，若乙回球成功后，甲回球的失误率为0.4，则乙在两个回合中丢分的概率为______ ．
15. 已知数列{an}满足an+1=3an+4，a1=1，则an=______．
16. 已知函数f(x)=2lnx+ax2-3x在x=2处取得极小值，则f(x)在[12,3]上的最大值为______ ．
三、解答题（本题共6小题，共70分）
17. 已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a1+S3=20，S5=50．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)请确定3998是否是数列{an}中的项？
18. 如图，已知PA⊥平面ABCD，底面ABCD为矩形，PA=AD=2，AB=4，M，N分别为AB，PC的中点．
(1)求证：MN//平面PAD；
(2)求点D到平面PMC的距离．
19. 2020年初，新型冠状病毒肺炎(COVID-19)在我国爆发，全国人民团结一心、积极抗疫，为全世界疫情防控争取了宝贵的时间，积累了丰富的经验．某研究小组为了研究某城市肺炎感染人数的增长情况，在官方网站上搜集了7组数据，并依据数据制成如图散点图：
图中x表示日期代号(例如2月1日记为“1”，2月2日记为“2”，以此类推).通过对散点图的分析，结合病毒传播的相关知识，该研究小组决定用指数型函数模型y=ebx+a来拟合，为求出y关于x的回归方程，可令ω=lny，则ω与x线性相关．初步整理后，得到如下数据：ω-≈3.5，i=17(xi-x-)(ωi-ω-)≈15.4．
(1)根据所给数据，求出ω关于x的线性回归方程：
(2)求y关于x的回归方程；若防控不当，请问x为何值时，累计确诊人数的预报值将超过1000人？(参考数据：ln1000≈6.9，结果保留整数)
附：对于一组数据(ui,vi)(i=1,2,3,…,n)，其线性回归方程v =b u+a 的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为b =i=1n(ui-u-)(vi-v-)i=1n(ui-u-)2，a =v--b u-．
20. 已知函数f(x)=lnx+kx+1,x>0．
(1)当k=4时，比较f(x)与2的大小；
(2)求证：23+25+27+⋯+22n+1
(1)求双曲线C的方程；
(2)过点B(1,0)且斜率不为0的直线与C交于M，N两点(与点A不重合)，直线AM，AN分别与直线x=1交于点P，Q，求|PB||QB|的值．
22. 已知函数f(x)=xlnx-aex-x2，f'(x)是函数f(x)的导函数，且f'(x)在(0,+∞)上单调递增．e是自然对数的底数．
(1)当a=0时，求f(x)图像在x=1处的切线方程；
(2)若函数|f(x)|≥x对任意的x∈[1,+∞)恒成立，求实数a的取值范围．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】
【分析】
本题考查考查等差数列的性质，是基础题．
由题意可得S13=13(a1+a13)2=13a7=156，求出a7=12，由此能求出a2．
【解答】
解：∵等差数列{an}的公差为3，且其前n项和为Sn，S13=156，
∴由题意可得S13=13(a1+a13)2=13a7=156，
解得a7=12，
则a2=a7-5d=12-15=-3．
故选：D．
2.【答案】A
【解析】解：由X在(85,115)内的概率是0.5，知P(85
则P(A)=∁32(34)2⋅14=2764．
故选：A．
先根据正态分布的性质，求得P(X≥85)，再由独立重复试验的概率计算公式，得解．
本题考查正态分布的性质，独立重复试验的概率计算公式，考查逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．
3.【答案】A
【解析】解：∵f(x)=x3+ax2+2x，
∴f'(x)=3x2+2ax+2，
由题意可得，f'(-23)=10-4a3=0，
∴a=52，
此时f'(x)=3x2+5x+2=(3x+2)(x+1)，
当x∈(-23,+∞)，(-∞,-1)时，f'(x)>0，函数单调递增，
当x∈(-1,-23)时，f'(x)<0，函数单调递减，
故x=-23时，函数取得极小值．
故选：A．
由题意可得，f'(-23)=0，代入即可求解a的值．
本题主要考查了函数的导数与极值关系的简单应用，属于基础试题．
4.【答案】D
【解析】解：由f(x)=xlnx，得f'(x)=lnx+1，
∴f'(e)=lne+1=2．
即曲线f(x)=xlnx在点(e,f(e))处的切线的斜率为2，
又f(e)=elne=e．
∴曲线f(x)=xlnx在点(e,f(e))处的切线方程为y-e=2(x-e)，
即y=2x-e．
故选：D．
求出原函数的导函数，得到f'(e)，再求出f(e)的值，则由直线方程的点斜式可得切线方程．
本题考查利用导数研究曲线上某点处的切线方程，曲线上过某点的切线的斜率，就是该点处的导数值，是中档题．
5.【答案】C
【解析】解：设事件A=“第一次取出的是黑球”，事件B=“第二次取出的是黑球”，则B=AB+A-B，
由题意P(A)=ba+b，P(B|A)=b+ca+b+c，P(A-)=aa+b，P(B|A-)=ba+b+c，
由全概率公式有P(B)=P(A)P(B|A)+P(A-)P(B|A-)
=ba+b×b+ca+b+c+aa+b×ba+b+c
=ba+b．
故选：C．
由全概率公式，分第一次取出黑球，第二次取出黑球和第一次取出红球，第二次取出黑球两种情况分别求概率，再求和即可．
本题考查全概率公式，属基础题．
6.【答案】B
【解析】解：依题意，由an+1+(-1)nan=2n-1，①
可得an+2+(-1)n+1an+1=2n+1，②
由①×(-1)n+②，可得an+2+an=(-1)n⋅(2n-1)+(2n+1)，
则当n=1时，a1+a3=2，
当n=2时，a2+a4=8，
当n=5时，a5+a7=2，
当n=6时，a6+a8=24，
∴数列{an}的前8项和为：
a1+a2+a3+a4+⋅⋅⋅+a8
=(a1+a3)+(a2+a4)+(a5+a7)+(a6+a8)
=2+8+2+24
=36．
故选：B．
先将题干中的递推公式进行转化可得an+2+an=(-1)n⋅(2n-1)+(2n+1)，然后分别将n=1，2，5，6代入推导出来的递推公式进行计算，最后运用分组求和法即可计算出数列{an}的前8项和．
本题主要考查数列根据递推公式求前n项和问题．考查了整体思想，转化与化归思想，分组求和法，以及逻辑推理能力和数学运算能力，属中档题．
7.【答案】D
【解析】解：设该“等腰梯形垛”每层堆放的铅笔数为{an}，公差为d，
则d=1，
∵有132根相同的圆形铅笔，
∴n[2a1+(n-1)]2=132，即2a1=264n-n+1，
∵a1∈N*，
∴n为264的因数，且264n-n+1为偶数，
将5，6，7，8分别代入，验证可得，n=8，满足题意．
故选：D．
根据已知条件，结合等差数列的前n项和公式，即可求解．
本题主要考查等差数列的前n项和公式，属于基础题．
8.【答案】B
【解析】解：∵y=f(x-1)的图像关于直线x=1对称，∴y=f(x)图像关于y轴对称，
∴f(x)为偶函数，设g(x)=xf(x)，则g(x)为奇函数，
又当x∈(-∞,0)时，g'(x)=f(x)+xf'(x)<0，
∴g(x)在(-∞,0)上单调递减，又g(x)为奇函数，
∴g(x)在(0,+∞)上也单调递减，
又21.5=2 2>2，1
即b>c>a．
故选：B．
先由题意得f(x)为偶函数，构造g(x)=xf(x)，则g(x)为奇函数，再由导数研究g(x)的单调性，接着比较三个自变量的大小关系，最后利用g(x)的单调性即可比较a，b，c的大小关系．
本题考查函数的奇偶性，利用函数的单调性比较大，利用导数研究函数的单调性，属中档题．
9.【答案】AD
【解析】
【分析】
本题主要考查了基本不等式的应用，属于中档题．
利用基本不等式判断A，C，D，结合对数运算判断B．
【解答】
解：∵a>0，ab=1，∴b>0，
对于A，∵a>0，b>0，ab=1，∴a+b≥2 ab=2，当且仅当a=b=1时，等号成立，故A正确，
对于B，∵lgalgb=lgalg1a=-lg2a⩽0，当且仅当a=1时，等号成立，故B错误，
对于C，(1a2+1b2)(a+b)=(1a+1b)+(ba2+ab2)≥2 1a⋅1b+2 ba2⋅ab2=4，
当且仅当a=b=1时，等号成立，
∴1a2+1b2≥4a+b，故C错误，
对于D，a3+b3⩾2 a3·b3=2，当且仅当a=b=1时，等号成立，故D正确，
故选：AD．
10.【答案】C
【解析】
【分析】
本题考查了回归分析与独立性检验的应用问题，是基础题．根据题意，对选项中的命题进行分析、判断正误即可．
【解答】
解：对于A，有99%的把握认为物理成绩与数学成绩有关，是指“不出错的概率”，
不是“数学成绩优秀，物理成绩就有99%的可能优秀”，∴A错误；
对于B，根据随机变量的相关系数知，两个随机变量相关性越强，
则相关系数的绝对值越接近于1，∴B错误；
对于C，根据线性回归方程y∧=0.2x+12中，当变量x每增加1个单位时，
预报变量y∧平均增加0.2个单位，∴C正确；
对于D，线性回归方程对应的直线y∧=b∧x+a∧可能不经过其样本数据点
中的任何一个点，∴D错误．
故选C．
11.【答案】ACD
【解析】解：设等比数列{an}的公比为q，
∵a2=12，a3a5=164，
∴a42=a3a5=164，
∵a4=a2q2=12q2>0，
∴a4=18，故A正确；
∵a2=12，
∴q2=a4a2=14，解得q=12或q=-12(舍去)，
∴S3=a1+a2+a3=a2q+a2+a2q=1+12+12×12=74，故B错误；
∵a1=a2q=1，q=12，
∴an=(12)n-1，Sn=1-(12)n1-12=2-(12)n-1，
∴an+Sn=2，故C正确；
∵Sn-2=2-(12)n-1-2=-(12)n-1，
∴{Sn-2}是首项为-1，公比为12的等比数列，故D正确．
故选：ACD．
根据已知条件，结合等比数列的性质，依次求出首项与公比，即可求解．
本题主要考查等比数列的性质，考查转化能力，属于基础题．
12.【答案】BC
【解析】
【分析】
本题考查函数的导数的应用，函数的单调性以及函数的最值的求法，命题的真假的判断，是难题．
利用函数的零点判断A；导函数，判断函数的单调性判断B；函数的最小值判断C；利用函数的单调性以及函数的极值判断选项D．
【解答】
解：对于选项A，0是函数f(x)的零点，零点不是一个点，所以A错误．
对于选项B，当x<1时，f'(x)=(x+1)ex，可得，
当x<-1时，f(x)单调递减；当-1
当1
所以，当1
对于选项D，关于x的方程[g(x)]2-2ag(x)=0有两个不相等的实数根⇔关于x的方程g(x)[g(x)-2a]=0有两个不相等的实数根⇔关于x的方程g(x)-2a=0有一个非零的实数根⇔函数y=g(x)与y=2a有一个交点，且x≠0，
当x<1时，g'(x)=ex(x2+2x)，当x变化时，g'(x)，g(x)的变化情况如下：
x
x<-2
-2
-2
0
+
0
-
0
+
g(x)
↗
极大值
↘
极小值
↗
极大值g(-2)=4e2，极小值g(0)=0，当x≥1时，g'(x)=ex(x-2)x3
当x变化时，g'(x)，g(x)的变化情况如下：
x
1
1
x>2
g'(x)
-
-
0
+
g(x)
e
↘
极小值
↗
极小值g(2)=e24，综上可得，4e2<2a
故选：BC．
13.【答案】(-∞,0)
【解析】解：∵f(x)=(x-1)ex，
∴f'(x)=xex，
由f'(x)=0，得x=0，由f'(x)<0得x<0，
故f(x)在(-∞,0)上单调递减，
故答案为：(-∞,0)．
由题意得f'(x)=xex，求出f'(x)<0，即可得出答案．
本题考查利用导数研究函数的单调性，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．
14.【答案】0.51
【解析】解：设事件B1表示“乙接甲发球成功”，事件A表示“甲第一次回球成功”，
事件B2表示“乙第二次回球成功”，
故乙在两个回合中丢分的概率P=P(B1-)+P(B1AB2-)，易知P(B1-)=0.3，P(A|B1)=0.6，P(B2-|B1A)=0.5，
则P(B1AB2-)=P(B1)P(A|B1)P(B2-|B1A)=0.7×0.6×0.5=0.21，
故P=0.3+0.21=0.51．
故答案为：0.51．
乙失误的情况有两种：①乙在第一次接球时失误；②乙在第二次回球时失误，即甲发球成功后，乙第一次回球成功，然后甲回球成功，乙回球失误．由条件概率和全概率公式分别求出其概率即可得出答案．
本题主要考查条件概率公式，属于基础题．
15.【答案】3n-2
【解析】
【分析】
本题考查数列的递推公式的应用，涉及等比数列的定义和等比数列的通项公式，属于基础题．
根据题意，利用递推关系式推出数列{an+2}为等比数列，再由等比数列的通项公式即可求解．
【解答】
解：根据题意，知数列{an}满足an+1=3an+4，
变形可得：an+1+2=3an+6=3(an+2)，即an+1+2an+2=3，
又a1=1，则a1+2=3，故{an+2}是首项为3，公比为3的等比数列，
则有an+2=3×3n-1=3n，
故an=3n-2；
故答案为：3n-2
16.【答案】2ln3-92
【解析】解：因为f(x)=2lnx+ax2-3x，(x>0)，
所以f'(x)=2x+2ax-3，
由题意可得f'(2)=4a-2=0，解得a=12，
则f(x)=2lnx+12x2-3x，f'(x)=2x+x-3=x2-3x+2x，
令f'(x)=0，可得x=1或x=2，
当x在[12,3]上变化时，f'(x)与f(x)的变化情况如下表：
x
[12,1)
1
(1,2)
2
(2,3]
f'(x)
+
0
-
0
+
f(x)
递增
极大值
递减
极小值
递增
所以函数f(x)的极大值为f(1)=-52，极小值为f(2)=2ln2-4，
又因为f(3)=2ln3-92，
且f(3)-f(1)=2ln3-92+52=2ln3-2=2(ln3-1)>0，
所以f(1)
故答案为：2ln3-92．
根据函数f(x)=2lnx+ax2-3x在x=2处取得极小值可得f'(2)=4a-2=0，求得a的值，继而判断函数在[12,3]上的极值情况，计算端点处函数值并进行比较，可得答案．
本题考查利用导数研究函数的极值及最值，考查运算求解能力，属于基础题．
17.【答案】解：(1)设数列{an}的公差为d．
由题意有a1+(3a1+3d)=205a1+10d=50，
解得a1=2，d=4，
则数列{an}的通项公式为an=2+4(n-1)=4n-2．
(2)假设3998是数列{an}中的项，有4n-2=3998，得n=1000，
故3998是数列{an}中的第1000项．
【解析】(1)利用等差数列前n项和公式列出方程组，求出a1=2，d=4，由此能求出数列{an}的通项公式．
(2)假设3998是数列{an}中的项，有4n-2=3998，由此能求出3998是数列{an}中的第1000项．
本题考查等差数列的通项公式、等差数列中的某一项的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
18.【答案】(1)证明：取PD中点E，连接AE，NE，
∵N为PC中点，∴NE//CD且NE=12CD，
∵四边形ABCD为矩形，且M为AB中点
∴AM//CD且AM=12CD，
∴AM//NE且AM=NE，
∴四边形AMNE为平行四边形．
∴MN//NE，
∵MN⊄平面PAD，AE⊂平面PAD，
∴MN//平面PAD；
(2)解：以A为坐标原点，AB,AD,AP分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
∵M(2,0,0)，C(4,2,0)，P(0,0,2)，D(0,2,0)，
∴MC=(2,2,0),MP=(-2,0,2)，
设平面PMC的法向量为n=(a,b,c)，
∴2a+2b=0-2a+2c=0，令a=1，则b=-1，c=1，
∴n=(1,-1,1)，
∵CD=(-4,0,0)，
∴D到平面PMC的距离d=|CD⋅n||n|=4 3=4 33．
【解析】(1)取PD中点E，连接AE，NE，证明四边形AMNE为平行四边形，进而可得MN//NE，利用线面平行的判定定理即可证明；
(2)根据条件建立空间直角坐标系，利用向量法求解即可．
本题考查了线面平行的证明以及点到平面的距离的计算，属于中档题．
19.【答案】解：(1)x-=17×(1+2+3+4+5+6+7)=4，i=17(xi-x-)2=28，
b =i=17(xi-x-)(ωi-ω-)i=17(xi-x-)2=15.428=0.55，a =ω--b x-=1.3．
故ω关于x的线性回归方程为ω =0.55x+1.3．
(2)把ω =lny 代入ω =0.55x+1.3，
可得y关于x的回归方程为y =e0.55x+1.3．
由e0.55x+13>1000，得0.55x+1.3>ln1000≈6.9，
解得x>10.2，即当x=11时，累计确诊人数将超过1000人．
【解析】(1)求出样本中心，求出回归直线的斜率，求出截距，然后求解回归直线方程．
(2)把ω =lny 代入ω =0.55x+1.3，可得y关于x的回归方程为y =e0.55x+1.3.由e0.55x+13>1000，求出x，即可判断结果．
本题考查回归直线方程的应用，考查转化思想以及计算能力，是中档题．
20.【答案】解：(1)当k=4时，f(x)=lnx+4x+1，(x>0)，
令g(x)=f(x)-2=lnx+4x+1-2，
g'(x)=1x-4(x+1)2=(x+1)2-4xx(x+1)2=(x-1)2x(x+1)2≥0，
所以g(x)在(0,+∞)上单调递增，
又因为g(1)=0，
所以当0
所以当0
(2)证明：由(1)得，当x>1时，f(x)>2，
即当x>1时，lnx>2(x-1)x+1，
令x=1+1n,n∈N*，则ln(1+1n)=ln(n+1n)>22n+1，
所以23+25+⋯+22n+1
(2)由(1)得，当x>1时，lnx>2(x-1)x+1，令x=1+1n,n∈N*，则ln(1+1n)=ln(n+1n)>22n+1，由放缩法，即可得出答案．
本题考查导数的综合应用，不等式的证明，解题中需要理清思路，属于中档题．
21.【答案】解：(1)由题意可知4a2-4b2=1,ba= 2，
解得a= 2,b=2，
所以双曲线的方程为x22-y24=1．
(2)设直线MN的方程为x=my+1，代入x22-y24=1中，
可得(2m2-1)y2+4my-2=0，设M(x1,y1)，N(x2,y2)，
则2m2-1≠0,Δ=32m2-8>0,y1+y2=-4m2m2-1,y1y2=-22m2-1．
直线AM的方程为y=y1-2x1-2(x-2)+2，
令x=1，得点P的纵坐标为yP=2-y1x1-2+2，
直线AN的方程为y=y2-2x2-2(x-2)+2，
令x=1，得点Q的纵坐标为yQ=2-y2x2-2+2，
因为2-y1x1-2+2-y2x2-2=-2my1y2+(2m+1)(y1+y2)-4(my1-1)(my2-1)=-16m2+42m2-14m2-12m2-1=-4，
所以yP+yQ=0，即|PB||BQ|=1．
【解析】(1)由题得4a2-4b2=1,ba= 2，进而即得；
(2)设直线MN的方程为x=my+1，联立双曲线方程，根据直线AM，AN的方程表示出yP，yQ结合韦达定理即得．
本题主要考查直线与双曲线的综合，考查转化能力，属于难题．
22.【答案】解：(1)当a=0时，函数f(x)=xlnx-x2，
所以f'(x)=lnx+1-2x，x>0，所以f'(1)=-1，
所以f(1)=-1，即切点坐标为(1,-1)，
所以f(x)图像在x=1处的切线方程为：y+1=-(x-1)，
即x+y=0．
(2)因为f(x)=xlnx-aex-x2，
所以f'(x)=lnx+1-aex-2x，x>0，
令h(x)=f'(x)=lnx+1-aex-2x，
因为f'(x)在(0,+∞)上单调递增，
所以h'(x)=1x-aex-2≥0对任意的x>0恒成立，
即a≤1-2xxex对任意的x>0恒成立，
令k(x)=1-2xxex，则k'(x)=(2x+1)(x-1)x2ex，
所以当x>1时，k'(x)>0，k(x)单调递增；
当0
所以a≤-1e．
因为f'(x)在(0,+∞)上单调递增，
由f'(1)=-1-ae≥0，
所以x≥1时，f'(x)=lnx+1-aex-2x≥f'(1)≥0，
所以f(x)在[1,+∞)上单调递增，
又因为f(1)=-1-ae≥0，
所以f(x)≥f(1)≥0，
所以|f(x)|=f(x)．
因为|f(x)|≥x对任意的x∈[1,+∞)恒成立，
即a≤xlnx-x2-xex对任意的x∈[1,+∞)恒成立，
令m(x)=xlnx-x2-xex，则m'(x)=(x-1)(x-lnx)e2x≥0，
所以m(x)在[1,+∞)上单调递增，
所以m(x)≥m(1)=-2e，
所以a≤-2e，
综上可得：a的取值范围为(-∞,-2e].
【解析】(1)求出切点坐标与在切点出的导数值，即可求得切线方程；
(2)首先令h(x)=f'(x)=lnx+1-aex-2x，并根据f'(x)在(0,+∞)上单调递增，可得a≤1-2xxex对任意的x>0恒成立，构造函数k(x)=1-2xxex，利用导数判断其单调性和最值，进而得出a的取值范围；再由|f(x)|≥x对任意的x∈[1,+∞)恒成立，即a≤xlnx-x2-xex对任意的x∈[1,+∞)恒成立，构造函数m(x)=xlnx-x2-xex，则m'(x)=(x-1)(x-lnx)e2x≥0，利用导数判断其单调性和最值，进而得出a的另一取值范围，进而得出a的取值范围．
本题考查导数的几何意义、利用导数研究函数的单调性、最值与极值，考查学生的逻辑思维能力和运算能力，属中档题．
相关试卷
2022-2023学年江西省赣州市上犹中学高二（下）期中数学试卷（含解析）： 这是一份2022-2023学年江西省赣州市上犹中学高二（下）期中数学试卷（含解析），共19页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年江西省赣州四中高二（下）期中数学试卷（含解析）： 这是一份2022-2023学年江西省赣州四中高二（下）期中数学试卷（含解析），共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年江西省赣州市高二（下）期末数学试卷（含详细答案解析）： 这是一份2022-2023学年江西省赣州市高二（下）期末数学试卷（含详细答案解析），共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
