2022-2023学年江西省萍乡市稳派联考高二（下）月考数学试卷（5月份）（含解析）

这是一份2022-2023学年江西省萍乡市稳派联考高二（下）月考数学试卷（5月份）（含解析），共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2022-2023学年江西省萍乡市稳派联考高二（下）月考数学试卷（5月份）
一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 已知集合A={x|0<2x−1<3}，B={−1,0,1,2}，则A∩B=(    )
A. {−1,0,1} B. {1,2} C. {0,1} D. {1}
2. 抛物线y2=14x的焦点到准线的距离为(    )
A. 1 B. 116 C. 12 D. 18
3. 已知数列{an}满足an= 3n+1，则下列各数中属于数列{an}中的项的是(    )
A. 3 B. 2 2 C. 3 3 D. 4
4. 二项式(x−1)7x2的展开式中的常数项为(    )
A. −1 B. −21 C. 21 D. 42
5. 圆O：x2+y2=1与圆C：x2+y2+6y+5=0的位置关系是(    )
A. 相交 B. 相离 C. 外切 D. 内切
6. 半正多面体又称“阿基米德多面体”，它是由边数不全相同的正多边形围成的多面体，体现了数学的对称美.把正四面体的每条棱三等分，截去顶角所在的小正四面体，得到一个有八个面的半正多面体，如图，点P，A，B，C，D为该半正多面体的顶点，若PA=a，PB=b，PC=c，则PD=(    )
A. −12a+b+12c
B. 12a−b−12c
C. a−12b+12c
D. 12a+b−12c
7. 函数f(x)=(x−1)(ex−x−a)有3个不同的零点，则实数a的取值范围是(    )
A. (1,+∞) B. (−∞,−1)
C. (1,e−1)∪(e−1,+∞) D. (−∞,1−e)∪(1−e,+∞)
8. 已知数列{an}为等比数列，函数f(x)=x(x−a1)(x−a3)(x−a5)…(x−a997)(x−a999)的导函数为f′(x)，f′(0)=1，若a1>0，{an}的公比q>1，则当{an}的前n项乘积最小时，n的值为(    )
A. 499 B. 500 C. 498或499 D. 499或500
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）
9. 下列求导运算正确的是(    )
A. (x2−1)′=2x−1 B. (ln3)′=13
C. ( x)′=12 x D. ．[sin(2x−π3)]′=2cos(2x−π3)
10. 下列结论正确的是(    )
A. 已知事件A，B，P(B)>0，则P(B|A)=P(AB)P(B)
B. 椭圆x24+y2=1的离心率为 32
C. 若随机变量X～N(1,4)，则P(X<2)=P(X>2)
D. 已知点O(0,1,0)，A(1,0,0)，B(0,0,1)，则平面OAB的一个法向量的坐标可以是(1,1,1)
11. 已知数列{an}满足a1=1，a2=2，an+2=|an+1−an|，且其前n项和为Sn，则(    )
A. 存在k∈N*，使得ak=0
B. 存在k∈N*，使得Sk=0
C. 存在k1，k2∈N*，且k1≠k2，使得Sk1=Sk2
D. S32=23
12. 已知函数f(x)= xlnx−ax(a∈R)有两个不同的极值点x1，x2(x1 A. a的取值范围是(−∞,1) B. x1是极小值点
C. x∈(x2,+∞)时，f′(x)<0 D. lnx1+2lnx2+2= x1 x2
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13. 若命题“∀x∈R，x2+ax+4>0”为真命题，则实数a的取值范围为______ ．
14. 古镇旅游是近年旅游的热点，某旅游短视频博主准备到江西婺源古村落、瑶里古镇、驿前古镇、河口古镇、密溪古村五个地方去打卡，每个地方打卡一次，则先去婺源古村落打卡，且瑶里古镇不最后去打卡的方法数为______ .(用数字作答)
15. 若定义域为(0,+∞)的函数f(x)满足2f(x)+xf′(x)>0，则不等式f(x+1) 16. 已知数列{an}满足a1=1，an+an+2+an+4=n，则数列{an}的前61项的和为______ ．
四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. (本小题10.0分)
已知等比数列{an}的公比q=3，且a1+a2=89．
(1)求{an}的前n项和Sn；
(2)若等差数列{bn}的前2项分别为a2，12a3，求{bn}的前n项和Tn．
18. (本小题12.0分)
已知函数f(x)=2x3−3x−4．
(1)求曲线y=f(x)在x=1处的切线l1的方程；
(2)求过原点O与曲线y=f(x)相切的直线l2的方程．
19. (本小题12.0分)
已知双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的右焦点为F( 6,0)，且C的一条渐近线经过点D( 2,1)．
(1)求C的标准方程；
(2)是否存在过点P(2,1)的直线l与C交于不同的A，B两点，且线段AB的中点为P.若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．
20. (本小题12.0分)
已知函数f(x)=ln(ex)+1x．
(1)证明：∀x>0，有f(x)≥2；
(2)设g(x)=exx−af(x)(a>1)，讨论g(x)的单调性．
21. (本小题12.0分)
随着用户对生鲜电商行业的信任度加深，生鲜电商行业市场规模迅速扩大，已知2022年中国消费者偏好的生鲜电商平台前三名分别为A，B，C，下图每个圆形区域内数字之和表示中国消费者偏好该平台的用户数占中国生鲜电商平台所有用户数的比例(以下简称占比)，两个圆的公共区域内的数字之和表示中国消费者同时偏好这两个平台的占比，三个圆的公共区域内的数字表示中国消费者同时偏好这因三个平台的占比．
(1)从中国生鲜电商平台所有用户中随机抽取1人，求该用户偏好A平台，也偏好B平台的概率；
(2)从偏好B平台的所有用户中随机抽取3人，求这3人中至少有2人也偏好C平台的概率；
(3)从中国生鲜电商平台所有用户中随机抽取4人，记抽取的4人中偏好B的人数为X，求X的分布列与数学期望．

22. (本小题12.0分)
在①Sn=an+12n，②an≠0,Sn=anan+1+14，这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答下列问题．
已知数列{an}的前n项和为Sn，a2=3，且满足_____．
(1)证明：数列{an}是等差数列，并求{an}的通项公式；
(2)设bn=(2n−3)2nanan+1，数列{bn}的前n项和为Tn．
(i)求Tn；
(ii)判断是否存在互不相等的正整数p，q，r使得p，q，r成等差数列且Tp+2，Tq+2，Tr+2成等比数列，若存在，求出满足条件的所有p，q，r的值；若不存在，请说明理由注：如选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
答案和解析

1.【答案】D 
【解析】解：集合A={x|0<2x−1<3}={x|12 B={−1,0,1,2}，
则A∩B={1}．
故选：D．
求出集合A，利用交集定义能求出A∩B．
本题考查集合的运算，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．

2.【答案】D 
【解析】解：根据题意可知焦点F(116,0)，准线方程x=−116，
∴焦点到准线的距离是116+116=18
故选D．
根据抛物线的方程求得抛物线的焦点坐标和准线的方程，进而利用点到直线的距离求得焦点到准线的距离．
本题主要考查了抛物线的简单性质．考查了学生对抛物线标准方程的理解和运用．属基础题．

3.【答案】D 
【解析】解：根据题意，依次分析选项：
对于A，若 3n+1=3，解可得n=83，无整数解，故3不是数列{an}中的项，
对于B，若 3n+1=2 2，解可得n=73，无整数解，故2 2不是数列{an}中的项，
对于C，若 3n+1=3 3，解可得n=263，无整数解，故3 3不是数列{an}中的项，
对于D，若 3n+1=4，解可得n=5，故5是数列{an}中第5项．
故选：D．
根据题意，由数列的通项公式依次分析选项，综合可得答案．
本题考查数列的表示方法，注意数列的通项公式，属于基础题．

4.【答案】B 
【解析】解：根据二项展开式Tr+1=C7r⋅(−1)r⋅x7−r，当r=5时，展开式为常数项−C75=−21．
故选：B．
直接利用二项展开式和组合数求出结果．
本题考查的知识要点：二项展开式，组合数，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于基础题．

5.【答案】C 
【解析】解：x2+y2+6y+5=0的标准方程为x2+(y+3)2=4，则圆心为C(0,−3)，半径R=2，
圆O的圆心为O(0,0)，半径r=1，
则OC=3=R+r．
即两圆外切．
故选：C．
求出两圆的圆心和半径，计算圆心距离OC与半径的关系进行判断即可．
本题主要考查圆圆位置关系的判断，求出圆心和圆心距，利用圆心距和两圆半径之间的关系进行求解是解决本题的关键，是基础题．

6.【答案】A 
【解析】解：连接PC，PD，PB，如下图所示，

PC=PA+AC=PA+2BD=PA+2PD−2PB，所以PD=−12PA+PB+12PC=−12a+b+12c．
故选：A．
连接PC，PD，PB，利用平面向量基本定理即可求解．
本题考查了平面向量的基本定理，属于中档题．

7.【答案】C 
【解析】解：因为f(x)=(x−1)(ex−x−a)有3个不同的零点，
则g(x)=ex−x−a有2个不等于1，且不相等的零点，
因为g′(x)=ex−1，
当x<0时，g′(x)<0，g(x)单调递减；
当x>0时，g′(x)>0，g(x)单调递增，
所以g(x)≥g(0)=1−a<0
当x→−∞时，g(x)→+∞；当x→+∞时，g(x)→+∞，
又g(1)=e−1−a≠0，
所以实数a的取值范围是(1,e−1)∪(e−1,+∞)，
故选：C．
由题意，结合所给函数解析式，将函数f(x)有三个不同的零点转化成g(x)=ex−x−a有2个不等于1，且不相等的零点，对函数g(x)进行求导，利用导数的几何意义得到函数g(x)的单调性和极值，进而即可求解．
本题考查利用导数研究函数的单调性和极值以及函数零点问题，考查了逻辑推理、转化思想和运算能力．

8.【答案】D 
【解析】解：设g(x)=(x−a1)(x−a3)(x−a5)⋅⋅⋅(x−a997)(x−a999)，
则f(x)=xg(x)，
则f′(x)=g(x)+xg′(x)，
因为数列{an}为等比数列，
所以f′(0)=g(0)=a1a3a5⋅⋅⋅a997a999=a500500=1，
由a1>0，q>1，
可得an+1−an=a1qn−a1qn−1=a1qn−1(q−1)>0，
则an+1>an>0，
所以a500=1，
当n<500时，an<1，
当n>500时，an>1，
所以当{an}的前n项乘积最小时，n的值为499或500．
故选：D．
设g(x)=(x−a1)(x−a3)(x−a5)⋅⋅⋅(x−a997)(x−a999)，根据题意可得f′(0)=g(0)=a500500=1，可求得a500，再分析数列的单调性，即可得出答案．
本题考查数列与函数的综合运用，考查运算求解能力，属于中档题．

9.【答案】CD 
【解析】解：(x2−1)′=2x，(ln3)′=0,( x)′=12 x，[sin(2x−π3)]′=2cos(2x−π3)．
故选：CD．
根据基本初等函数和复合函数的求导公式求导即可．
本题考查了基本初等函数和复合函数的求导公式，考查了计算能力，属于基础题．

10.【答案】BD 
【解析】解：事件A，B，P(A)>0，则P(B|A)=P(AB)P(A)，故A错误；
椭圆x24+y2=1，则a=2，c= 4−1= 3，故该椭圆的离心率为 32，故B正确；
若随机变量X～N(1,4)，则P(X<1)=P(X>1)，故C错误；
已知点O(0,1,0)，A(1,0,0)，B(0,0,1)，
则OA=(1,−1,0)，OB=(0,−1,1)，
设平面OAB的一个法向量为n=(x,y,z)，
则n⋅OA=x−y=0n⋅OB=−y+z=0，令x=1，则y=1，z=1，
故平面OAB的一个法向量的坐标可以是(1,1,1)，故D正确．
故选：BD．
根据条件概率公式即可判断A；根据椭圆的离心率，即可判断B；根据正态分布的对称性，即可判断C；根据平面法向量，即可判断D．
本题考查条件概率，椭圆的离心率，正态分布的应用，平面法向量，属于中档题．

11.【答案】ACD 
【解析】解：由a1=1，a2=2，an+2=|an+1−an|可得，
a3=1，a4=1，a5=0，a6=1，a7=1，a8=0，……
由此可知，数列{an}从第三项起，1，1，0循环出现，
选项A，存在k=5，8，……可得ak=0，故A正确；
选项B，因为an≥0且a1>0，故Sk≠0，故B错误；
选项C，因为a5=0，所以S4=S5，故C正确；
选项D，S32=1+2+2×10=23，故D正确．
故选：ACD．
由题设，可推得数列{an}从第三项起，成周期性变化，根据数据分布规律即可判定各选项．
本题考查数列递推式，属基础题．

12.【答案】BCD 
【解析】解：已知f(x)= xlnx−ax(a∈R)，函数定义域为(0,+∞)，
可得f′(x)=12 xlnx+ xx−a=lnx+2−2a x2 x，
不妨设g(x)=lnx−2a x+2，函数定义域为(0,+∞)，
可得g′(x)=1x−a x= x−axx x，
当a≤0时，g′(x)>0恒成立，
所以f′(x)>0，f(x)单调递增，无极值点；
当a>0时，令g′(x)=0，
解得x=1a2，
当00，g(x)单调递增；
当x>1a2时，g′(x)<0，g(x)单调递减，
所以g(x)在x=1a2处取得极大值，g(1a2)=ln1a2，
要使函数f(x)有两个极值点，
此时g(1a2)=ln1a2>0，
即1a2>1，
解得0 因为x1 所以函数f(x)在(0,x1)上单调递减；在(x1,x2)上单调递增；
在(x2,+∞)上单调递减，
所以x1上为极小值点，故选项B正确；
因为当x∈(x2,+∞)时，函数f(x)单调递减，
所以f′(x)<0，故选项C正确；
易知f′(x1)=f′(x2)=0，
所以lnx1−2a x1+2=lnx2−2a x2+2=0，
即lnx1+2=2a x1，①
lnx2+2=2a x2，②
①②得lnx1+2lnx2+2= x1 x2，故选项D正确．
故选：BCD．
由题意，对函数f(x)进行求导，构造函数g(x)=f′(x)=lnx−2a x+2，对g(x)进行求导，结合导数的几何意义，分别讨论当a≤0和a>0这两种情况下g(x)的单调性即可判断选项B和选项C；利用极值点的定义即可判断选项A，由f′(x1)=f′(x2)=0，列出等式即可判断选项D．
本题考查利用导数研究函数的单调性和极值，考查了分类讨论和逻辑推理能力．

13.【答案】(−4,4) 
【解析】解：命题“∀x∈R，x2+ax+4>0”为真命题，
则判别式Δ=a2−16<0，解得−4 故实数a的取值范围为(−4,4)．
故答案为：(−4,4)．
根据全称命题的定义和性质结合不等式进行求解即可．
本题主要考查全称命题的定义，属于基础题．

14.【答案】18 
【解析】解：先去婺源古村落打卡，则婺源古村落排在第一位，
瑶里古镇不最后去打卡，则瑶里古镇排在第二位或第三位或第四位，共有3种选择，
其余景点全排列，则有A33=6种选择，
根据分步乘法计数原理可知，根据3×6=18种选择．
故答案为：18．
先去婺源古村落打卡，则婺源古村落排在第一位，瑶里古镇不最后去打卡，则瑶里古镇排在第二位或第三位或第四位，共有3种选择，其余景点全排列，计算即可．
本题考查排列组合的应用，属于基础题．

15.【答案】(−1,0) 
【解析】解：由题意设g(x)=x2f(x)，x∈(0,+∞)，则g′(x)=x[2f(x)+xf′(x)]，
∵x>0，2f(x)+xf′(x)>0，
∴g′(x)>0在(0,+∞)上恒成立，即g(x)在(0,+∞)上单调递增，
又不等式f(x+1) ∴g(x+1) ∴0 ∴不等式f(x+1) 故答案为：(−1,0)．
由题意设g(x)=x2f(x)，x∈(0,+∞)，则g′(x)=x[2f(x)+xf′(x)]，结合题意可得g(x)在(0,+∞)上单调递增，不等式f(x+1) 本题考查利用导数研究函数的单调性，考查转化思想和函数思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．

16.【答案】591 
【解析】解：依题意，由an+an+2+an+4=n，
可得an+1+an+3+an+5=n+1，
两式相加，可得an+an+1+an+2+an+3+an+4+an+5=2n+1，
故数列{an}的前61项的和为：
a1+a2+⋅⋅⋅+a61
=a1+(a2+a3+⋅⋅⋅+a7)+(a8+a9+⋅⋅⋅+a13)+⋅⋅⋅+(a56+a57+⋅⋅⋅+a61)
=1+(2×2+1)+(2×8+1)+⋅⋅⋅+(2×56+1)
=1+2×(2+8+⋅⋅⋅+56)+1×10
=1+2×10×(2+56)2+10
=591．
故答案为：591．
先根据题干中递推公式an+an+2+an+4=n可得an+1+an+3+an+5=n+1，两式相加可得an+an+1+an+2+an+3+an+4+an+5=2n+1，再运用分组求和法与等差数列的求和公式即可计算出数列{an}的前61项的和．
本题主要考查根据数列递推公式求前n项和问题．考查了整体思想，转化与化归思想，分组求和法，等差数列求和公式的运用，以及逻辑推理能力和数学运算能力，属中档题．

17.【答案】解：(1)等比数列{an}的公比q=3，且a1+a2=89，
所以a1+3a1=4a1=89，解得a1=29；
故an=29×3n−1=2×3n−3，
所以Sn=29×(3n−1)3−1=3n−19．
(2)等差数列{bn}的前2项分别为b1=a2=2×13=23，b2=12a3=12×2×33−3=1，
所以公差d=1−23=13，所以Tn=23n+13×n(n−1)2=n26+n2． 
【解析】(1)直接利用等比数列的性质求出首项，进一步求出数列的和；
(2)利用等差数列的性质求出首项和公差，进一步求出数列的和．
本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法，数列的求和，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于中档题．

18.【答案】解：由f(x)=2x3−3x−4，得f′(x)=6x2−3．
(1)f′(1)=3，f(1)=−5，
∴曲线y=f(x)在x=1处的切线l1的方程为y=3(x−1)−5，
即3x−y−8=0；
(2)设切点坐标为(t,2t3−3t−4)，
则切点处的切线方程为y=(6t2−3)(x−t)+2t3−3t−4，
把O(0,0)代入，可得t=−1．
∴过原点O与曲线y=f(x)相切的直线l2的方程为3x−y=0． 
【解析】求出原函数的导函数．
(1)求出f′(1)与f(1)的值，再由直线方程的点斜式得答案；
(2)设切点坐标为(t,2t3−3t−4)，利用导数写出过切点的切线方程，代入原点坐标，求解t值，则答案可求．
本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查运算求解能力，是中档题．

19.【答案】解：(1)已知双曲线C的右焦点为F( 6,0)，
所以a2+b2=6，①
又双曲线C的一条渐近线经过点D( 2,1)，
所以ba=1 2，
整理得a2=2b2，②
联立①②，解得a2=4，b2=2，
所以C的标准方程为x24−y22=1；
(2)假设存在符合条件的直线l，
此时直线l的斜率存在，
不妨设直线l的斜率为k，A(x1,y1)，B(x2,y2)，
此时x124−y122=1，x224−y222=1，
两式相减得x12−x22=2(y12−y22)，
因为x1≠x2，x1≠−x2，
所以y1−y2x1−x2⋅y1+y2x1+x2=12，
又线段AB的中点为P(2,1)，
所以x1+x2=4，y1+y2=2，
此时k×24=12，
解得k=1，
则直线l的方程为y−1=x−2，
即y=x−1，
联立y=x−1x24−y22=1，消去y并整理得x2−4x+6=0，
因为Δ=(−4)2−4×1×6<0，
所以方程没有实根，
则假设不成立，
故不存在过点P(2,1)的直线l与C交于A，B两点，使得线段AB的中点为P． 
【解析】(1)由题意，根据双曲线的焦点以及渐近线方程经过点，列出等式即可求出C的标准方程；
(2)假设存在符合条件的直线l，此时直线l的斜率存在，设直线l的斜率为k，A(x1,y1)，B(x2,y2)，整理得x12−x22=2(y12−y22)，根据x1≠x2，x1≠−x2，得到y1−y2x1−x2⋅y1+y2x1+x2=12，因为AB的中点为P(2,1)，解得k=1，进而得到直线l的方程，将直线l的方程与双曲线方程联立，利用根的判别式进行判断即可．
本题考查双曲线的性质和直线与圆锥曲线的综合问题，考查了逻辑推理和运算能力．

20.【答案】解：(1)证明：由题意得f′(x)=1x−1x2=x−1x2，且函数定义域为(0,+∞)，
由f′(x)=0得x=1，由f′(x)>0得x>1，由f′(x)<0得0 ∴f(x)在(0,1)上单调递减，在(1,+∞)上单调递增，
∴当x=1时，f(x)取得极小值也是最小值，
∴f(x)≥f(1)=2，
∴∀x>0，有f(x)≥2；
(2)由题意得g(x)=exx−a(1+lnx+1x)，则g′(x)=(x−1)exx2−a(1x−1x2)=(x−1)(ex−a)x2，
∵a>1，由g′(x)=0得x=1或x=lna，
当lna<1，即10得01；
当lna=1，即a=e时，g′(x)≥0恒成立，即g(x)在(0,+∞)上单调递增；
当lna>1，即a>e时，由g′(x)<0得10得0lna，
综上所述，当1 当a=e时，g(x)在(0,+∞)上单调递增；
当a>e时，g(x)在(0,1)和(lna,+∞)上单调递增，在(1,lna)上单调递减． 
【解析】(1)由题意得f′(x)=1x−1x2=x−1x2，且函数定义域为(0,+∞)，利用导数可得函数的单调性，求出最小值，即可证明结论；
(2)由题意得g(x)=exx−a(1+lnx+1x)，则g′(x)=(x−1)exx2−a(1x−1x2)=(x−1)(ex−a)x2，分类讨论1e，即可得出答案．
本题考查利用导数研究函数的单调性，考查转化思想和分类讨论思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．

21.【答案】解：(1)从中国生鲜电商平台所有用户中随机抽取1人，
则该用户偏好A平台，也偏好B平台的概率为15%+5%=20%；
(2)从偏好B平台的所有用户中随机抽取1人，
则该用户也偏好C平台的概率P=10%40%=14，
所以3人中至少有2人也偏好C平台的概率为C32(14)2×(1−14)+C33(14)3=1064=532；
(3)从中国生鲜电商平台所有用户中随机抽取1人，
则该用户偏好B的概率P=40%=25，
所以X～B(4,25)，
而X的所有取值为0，1，2，3，4，
P(X=0)=C40(25)0×(1−25)4=81625；
P(X=1)=C4125×(1−25)3=216625；
P(X=2)=C42(25)2×(1−25)2=216625；
P(X=3)=C43(25)3×(1−25)1=96625；
P(X=4)=C44(25)4×(1−25)0=16625；
所以X的分布列为：
X
0
1
2
3
4
P
81625
216625
216625
96625
16625
则E(X)=0×81625+1×216625+2×216625+3×96625+4×16625=85． 
【解析】(1)由题意，根据所给图形进行求解即可；
(2)先求出偏好B平台的所有用户中也偏好C平台的概率，再求解即可；
(3)先求该用户偏好B的概率，得到X～B(4,25)，列出分布列，代入均值的计算公式中进行求解即可．
本题考查离散型随机变量的分布列以及数学期望，考查了逻辑推理、数据分析和运算能力．

22.【答案】解：(1)证明：若选①，
由Sn=an+12n，得Sn+1=an+1+12(n+1)，两式相减得an+1=an+1+12(n+1)−an+12n，
整理得(n−1)an+1=nan−1，所以nan+2=2nan+1−1，两式相减得nan+nan+2=2nan+1，
所以{an}是等差数列，又a1=S1=1，a2=3，所以{an}的公差为2，an=1+2(n−1)=2n−1．
若选②，
由an≠0,Sn=anan+1+14得4Sn=anan+1+1，4Sn+1=an+1an+2+1，两式相减得4an+1=an+1an+2−anan+1，
因为an≠0，所以an+1≠0，所以an+2−an=4，又a1=S1=3a1+14，所以a1=1，
所以a2n−1=a1+4(n−1)=1+4(n−1)=2(2n−1)−1，
a2n=a2+4(n−1)=3+4(n−1)=2(2n)−1，所以an=2n−1，
数列{an}是以2为公差的等差数列．
(2)(i)由(1)得an=2n−1，所以bn=(2n−3)2nanan+1=[(4n−2)−(2n+1)]2n(2n−1)(2n+1)=2n+12n+1−2n2n−1，
所以Tn=223−21+235−223+…+2n+12n+1−2n2n−1=2n+12n+1−2．
(ii)不存在，
证明：假设存在互不相等的正整数p，q，r成等差数列且Tp+2，Tq+2，Tr+2成等比数列，
则p+r=2q，且2p+12p+1⋅2r+12r+1=22q+2(2q+1)2，因为2p+1⋅2r+1=2p+r+2=22q+2，所以(2p+1)(2r+1)=(2q+1)2，
所以(2p+1)(2r+1)−(2q+1)2=(2p+1)(2r+1)−(p+r+1)2=−(p−r)2=0，所以p=r，这与p，q，r互不相等矛盾，所以不存在互不相等的正整数p，q，r成等差数列且Tp+2，Tq+2，Tr+2成等比数列． 
【解析】(1)根据所选条件求出数列{an}通项公式即可；(2)(i)结合(1)得到{bn}的通项公式，而后求和即可；(ii)假设存在，反证即可．
本题主要考查递推法求数列的通项公式，属中档题．