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2022-2023学年山西省三重教育高一（下）期末数学试卷（含解析）
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这是一份2022-2023学年山西省三重教育高一（下）期末数学试卷（含解析），共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年山西省三重教育高一（下）期末数学试卷
一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 下列刻画一组数据离散程度的是( )
A. 平均数 B. 方差 C. 中位数 D. 众数
2. 某同学做立定投篮训练，共做3组，每组投篮次数和命中的次数如下表：
第一组
第二组
第三组
合计
投篮次数
100
200
300
600
命中的次数
68
124
174
366
命中的频率
0.68
0.62
0.58
0.61
根据表中的数据信息，用频率估计一次投篮命中的概率，则使误差较小、可能性大的估计值是( )
A. 0.58 B. 0.61 C. 0.62 D. 0.627
3. 已知直线a与平面α满足a//α，直线b⊂α，下列结论正确的是( )
A. a与b无公点 B. a与b异面 C. a//b D. a⊥b
4. 抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件A=“第一枚正面向上”，事件B=“第二枚反面向上”，则事件A与B的关系是( )
A. A⊆B B. A=B C. 相互独立 D. 互斥
5. 在正方体ABCD−A1B1C1D1中，O是A1C1的中点，则异面直线AO与BC1的夹角为( )
A. 30° B. 45° C. 60° D. 90°
6. 已知数据x1，x2，…，xn的平均数和方差分别为5和4，则数据2x1−1，2x2−1，…，2xn−1的平均数和方差分别为( )
A. 9，8 B. 9，16 C. 19，15 D. 20，16
7. 中国古典乐器一般按“八音”分类，这是我国最早按乐器的制造材料来对乐器分类的方法，最早见于《周礼⋅春宫⋅大师》，分为“金、石、土、革、丝、木、匏、竹”八类，其中“金、石、木、革”为打击乐器，“土、匏、竹”为吹奏乐器，“丝”为弹拨乐器，现从“金、石、木、土、竹、丝”中任取“两音”，则这“两音”同为打击乐器的概率为( )
A. 15 B. 310 C. 25 D. 35
8. 四名同学各掷一枚骰子5次，分别记录每次骰子出现的点数，根据下列四名同学的统计结果，可以判断出一定没有出现点数6的是( )
A. 平均数为2，方差为4 B. 平均数为3，众数为2
C. 平均数为3，中位数为2 D. 中位数为3，方差为0.16
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）
9. 有一组样本数据x1，x2，⋯，x6，其中x1是最小值，x6是最大值，则( )
A. x2，x3，x4，x5的平均数等于x1，x2，⋯，x6的平均数
B. x2，x3，x4，x5的中位数等于x1，x2，⋯，x6的中位数
C. x2，x3，x4，x5的标准差不小于x1，x2，⋯，x6的标准差
D. x2，x3，x4，x5的极差不大于x1，x2，⋯，x6的极差
10. 已知m，n为两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列结论正确的是( )
A. 若m⊂α，n⊂α，m//β，n//β，则α//β
B. 若m⊥α，m⊥β，则α//β
C. 若m//α，n//β，α⊥β，则m⊥n
D. 若m⊥α，n⊥β，α⊥β，则m⊥n
11. 下列结论正确是( )
A. 已知一次试验事件A发生的概率为0.9，则重复做10次试验，事件A可能一次也没发生
B. 抛掷一枚质地均匀的骰子一次，事件A=“出现偶数点”，B=“出现1点或2点”，则事件A与B相互独立
C. 小明在上学的路上要经过4个路口，假设每个路口是否遇到红灯相互独立，且每个路口遇到红灯的概率都是23，则小明在第3个路口首次遇到红灯的概率为23
D. 已知A，B是一个随机试验中的两个事件，且P(A)>0，P(B)>0，若A与B不独立，则P(A∪B)≠P(A)+P(B)
12. 如图，四棱锥P−ABCD的底面ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD，PA=AB，E是线段PB的中点，F是线段BC上的动点，则以下结论正确的是( )
A. 平面AEF⊥平面PBC
B. 直线EF与平面PAB所成角正切值的最大值为 2
C. 二面角B−AE−F余弦值的最小值为 33
D. 线段BC上不存在点F，使得PD//平面AEF
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13. 总体由编号为01，02，…，19，20的20个个体组成.利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是从随机数表第1行的第1列和第2列的数字开始，由左到右依次选取两个数字(作为个体的编号)，如果选取的两个数字不在总体内，则将它去掉，继续向右选取两个数字，那么选出来的第4个个体的编号为______ ．
7816
6572
0802
6314
0702
4369
9728
0198
3204
9234
4935
8200
3623
4869
6938
7481
14. 向一个目标射击两次，用y表示“命中目标”，n表示“没有命中目标”，则该试验的样本空间W= ______ ；若每次命中目标的概率都为0.6，且每次射击结果互不影响，则事件“恰有一次命中目标”的概率为______ ．
15. 某校高一年级的学生有300人，其中男生180人，女生120人.为了解该校高一年级学生的身高信息，采用样本量按比例分配的分层随机抽样抽取样本，计算得男生样本的平均数为x−=170(单位：cm)，方差为s12=14，女生样本的平均数为y−=160(单位：cm)，方差为s22=24，根据上述数据，估计该校高一年级学生身高的平均数为______ ；方差为______ ．
16. 在三棱锥P−ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥AC，PA=2，三棱锥P−ABC外接球的表面积为16π，则二面角P−BC−A正切值的最小值为______ ．
四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. (本小题10.0分)
甲、乙两台机床同时生产某种零件，科研部门随机抽取了它们10天中生产的产品，统计其每天生产的次品数分别为：
甲
0
2
1
0
3
0
2
1
2
4
乙
2
1
1
2
1
0
2
1
3
2
(1)计算这10天中甲、乙机床次品数的平均数和方差；
(2)从计算结果看，哪台机床的性能更好？
18. (本小题12.0分)
已知不透明的袋中装有3个红球、2个白球，这些球除颜色外没有其他差异，从中不放回地依次随机摸出2个球.(1)求摸出的两球都是红球的概率；
(2)求摸出的两球至少有一个红球的概率．
19. (本小题12.0分)
如图，在直三棱柱ABC−A1B1C1中，∠ABC=90°，AA1=AB，D，E分别是AB1，A1C的中点．
(1)求证：DE//平面ABC；
(2)求证：AB1⊥A1C.
20. (本小题12.0分)
甲、乙两名篮球运动员进行投篮比赛，每轮投篮由甲、乙两人各投篮一次，已知每轮甲投中的概率为45，乙投中的概率为34，每轮甲和乙投中与否互不影响，且各轮结果也互不影响．
(1)求在一轮投篮中甲、乙都投中的概率；
(2)求在两轮投篮中甲、乙两人投中3个球的概率．
21. (本小题12.0分)
2017年国家发展改革委、住房城乡建设部发布了《生活垃圾分类制度实施方案》，方案要求生活垃圾要进行分类管理.某市在实施垃圾分类管理之前，对人口数量在1万左右的社区一天产生的垃圾量(单位：吨)进行了调查.已知该市这样的社区有240个，如图是某天从中随机抽取50个社区所产生的垃圾量绘制的频率分布直方图.现将垃圾量超过14吨/天的社区称为“超标”社区．
(1)根据所给频率分布直方图，估计当天这50个社区垃圾量的第75%分位数；
(2)若以上述样本的频率近似代替总体的概率，请估计这240个社区中“超标”社区的个数；
(3)市环保部门要对样本中“超标”社区的垃圾来源进行调查，按垃圾量采用样本量比例分配的分层随机抽样从中抽取5个，再从这5个社区随机抽取2个进行重点监控，求其中至少有1个垃圾量为[16,18]的社区的概率．
22. (本小题12.0分)
如图，矩形ABCD中，AB=9，AD=6，将△BCD沿直线BD折起至△PBD，点E在线段AB上．
(1)若PE⊥平面ABD，求BE的长；
(2)过点P作平面ABD的垂线，垂足为O，在△BCD折起过程中，点O在△ABD内部(包含边界)，求直线AB与平面PBD所成角正弦值的取值范围．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】
【分析】
利用平均数、方差、中位数、众数的定义直接求解．
本题考查平均数、方差、中位数、众数的定义的应用，是基础题，解题时要熟练掌握基本概念．
【解答】
解：在A中，平均数是表示一组数据集中趋势的量，它不能刻画一组数据离散程度，故A不正确；
在B中，方差是衡量随机变量或一组数据时离散程度的度量，它能刻画一组数据离散程度，故B正确；
在C中，中数是按顺序排列在一起的一组数据中居于中间位置的数，它不能刻画一组数据离散程度，故C不正确；
在D中，众数是一组数据中，出现次数最多的数，它不能刻画一组数据离散程度，故D不正确．
故选：B．
2.【答案】B
【解析】解：由题可知，试验次数越多，频率越接近概率，对可能性的估计误差越小，可能性越大，
所以合计列对应的频率最为合适，即0.61．
故选：B．
利用频率和概率的关系求解即可．
本题考查概率的应用，属于基础题．
3.【答案】A
【解析】解：因为a//α，所以直线a与面α无交点，又因为直线b⊂α，所以直线a，b无交点．
故选：A．
由题意可知直线a与面α无交点，进而可得a，b无交点．
本题考查线面的位置关系，判断线线的位置关系，属于基础题．
4.【答案】C
【解析】解：A={正正，正反}，B={正反，反反}，
故A不是B的子集，故A错误；
事件A=“第一枚硬币正面向上”，事件B=“第二枚硬币反面向上”，
则A≠B，B错误；
P(AB)=14，P(A)=P(B)=12，则P(AB)=P(A)P(B)，
故A与B为相互独立事件，故C正确；
AB可以同时发生，A与B不为互斥事件，故D错误．
故选：C．
根据已知条件，结合互斥事件，相互独立事件的定义，即可依次求解．
本题主要考查互斥事件，相互独立事件的定义，属于基础题．
5.【答案】A
【解析】解：连接AD1，D1O，
因为正方体ABCD−A1B1C1D1中，AB//C1D1，AB=C1D，
所以四边形ABC1D1是平行四边形，则AD1//BC1，
所以∠D1AO是异面直线AO与BC1的夹角，
不妨设正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为2，
则AD1=2 2，D1O= 2，AO= A1A2+A1O2= 6，
故AD12=D1O2+AO2，即D1O⊥AO，则0°<∠D1AO<90°，
所以sin∠D1AO=D1OAD1=12，则∠D1AO=30°．
故选：A．
先利用线线平行推得∠D1AO是异面直线AO与BC1的夹角，再利用勾股定理依次求得AD1，D1O，AO从而得解．
本题考查异面直线所成的角的求法，属基础题．
6.【答案】B
【解析】解：数据x1，x2，…，xn的平均数和方差分别为5和4，
则数据2x1−1，2x2−1，…，2xn−1的平均数和方差分别为2×5−1=9，22×4=16．
故选：B．
根据平均数和方差的性质公式计算即可．
本题考查平均数，方差的应用，属于基础题．
7.【答案】A
【解析】解：记“金、石、木”为a，b，c，“土、竹、丝”为m，n，l，则a，b，c为打击乐器，
从“金、石、木、土、竹、丝”中任取“两音”，
组成的基本事件包含：ab，ac，am，an，al，bc，bm，bn，bl，cm，cn，cl，mm，ml，nl共15种情况，
其中“两音”同为打击乐器的有ab，ac，bc，共包含3种情况，
则“两音”同为打击乐器的概率P=315=15．
故选：A．
由条件列举从“金、石、木、土、竹、丝”中任取“两音”的所有基本事件的个数，再计算“两音”同为打击乐器所包含的所有基本事件个数，最后求其概率即可．
本题主要考查了古典概型的概率公式，属于基础题．
8.【答案】D
【解析】解：对于A，当投掷骰子出现结果为1，1，1，1，6时，满足平均数为2，
其方差s2=15[4×(1−2)2+(6−2)2]=4，可以出现点数6，所以A错误；
对于B，当投掷骰子出现结果为2，2，2，3，6时，满足平均数为3，众数为2，可以出现点数6，所以B错误；
对于C，当投掷骰子出现结果为2，2，2，3，6时，满足平均数为3，中位数为2，可以出现点数6，所以C错误；
对于D，假设当投掷骰子出现的结果为a，b，3，c，6时，满足中位数为3，方差为0.16，且出现点数6，
假设其平均数为x−，则[15(a−x−)2+(b−x−)2+(3−x−)2+(c−x−)2+(6−x)2]=0.16，
即(a−x−)2+(b−x−)2+(3−x−)2+(c−x−)2+(6−x−)2=0.8，
因为x−=a+b+3+c+65≥1+1+3+3+65=145，
x−=a+b+3+c+65≤3+3+3+6+65=215，
即145≤x−≤215，所以95≤6−x−≤165，则(6−x−)2≥8125>0.8，
显然方差不成立，即一定没有出现点数6，所以D正确．
故选：D．
利用特例法可判断ABC；利用反证法，结合中位数和方差的计算公式，可判定D正确，由此得解．
本题考查数据的数字特征，属于基础题．
9.【答案】BD
【解析】解：A选项，x2，x3，x4，x5的平均数不一定等于x1，x2，⋯，x6的平均数，A错误；
B选项，x2，x3，x4，x5的中位数等于x3+x42，x1，x2，⋯，x6的中位数等于x3+x42，B正确；
C选项，设样本数据x1，x2，⋯，x6为0，1，2，8，9，10，可知x1，x2，⋯，x6的平均数是5，x2，x3，x4，x5的平均数是5，
x1，x2，⋯，x6的方差s12=15×[(0−5)2+(1−5)2+(2−5)2+(8−5)2+(9−5)2+(10−5)2]=20，
x2，x3，x4，x5的方差s22=15×[(1−5)2+(2−5)2+(8−5)2+(9−5)2]=10，
s12>s22，∴s1>s2，C错误．
D选项，x6>x5，x2>x1，∴x6−x1>x5−x2，D正确．
故选：BD．
根据平均数，中位数，标准差，极差的概念逐一判定即可．
本题考查平均数、中位数、标准差、极差的计算，是基础题．
10.【答案】BD
【解析】解：若m⊂α，n⊂α，m//β，n//β，则当m与n相交时，α//β，否则，α与β不一定平行，故A错误；
若m⊥α，m⊥β，则α//β，故B正确；
若m//α，n//β，α⊥β，则m与n的位置关系有三种：平行、相交或异面，故C错误；
若m⊥α，α⊥β，则m⊂β或m//β，又n⊥β，∴m⊥n，故D正确．
故选：BD．
由空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系逐一分析四个选项得答案．
本题考查空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面位置关系的判定，考查空间想象能力与思维能力，是基础题．
11.【答案】AB
【解析】解：对于选项A：对于重复做10次试验，事件A发生的次数为0，1，2，…10，
所以可能一次也没发生，故A正确；
对于选项B：事件A=“出现偶数点”，B=“出现2点或4点或6点”，事件AB=“出现2点”，
可得P(A)=36=12，P(B)=26=13，P(AB)=16，
因为P(AB)=P(A)P(B)，则事件A与B相互独立，故B正确；
对于选项C：小明在第3个路口首次遇到红灯的概率为(1−23)×(1−23)×23=227，故C错误；
对于选项D：因为P(A∪B)=P(A)+P(B)−P(AB)，
若A与B互斥(满足A与B不独立)，则P(AB)=0，
此时P(A∪B)=P(A)+P(B)，故D错误．
故选：AB．
根据随机事件的概率，结合独立事件和互斥事件逐项分析判断．
本题考查概率的应用，属于中档题．
12.【答案】ABC
【解析】解：对于A，因PA=AB，E为PB中点，则AE⊥PB，
又PA⊥底面ABCD，而BC⊂底面ABCD，则有PA⊥BC，
又因BC⊥AB，AB∩PA=A，AB，PA⊂平面PAB，于是得BC⊥平面PAB，
而AE⊂平面PAB，因此BC⊥AE，
又BC∩PB=B，BC，PB⊂平面PBC，从而得AE⊥平面PBC，
AE⊂平面AEF，所以平面AEF⊥平面PBC．
对于B，由选项A可知BC平面PAB，所以∠FEB为直线EF与平面PAB所成角，则0<∠FEB<π2，
不妨设PA=BA=2，则在Rt△PAB中，PB=2 2，BE= 2，
在Rt△EFB中，tan∠FEB=BFBE=BF 2，
因为F是线段BC上的动点，故BF≤BC=2，则tan∠FEB=BF 2≤ 2，
所以直线ET与平面PAB所成角正切值的最大值为 2，故B正确；
对于C，由选项A可知AE平面PBC，BE，EF⊂平面PBC，
所以AE⊥BE，AE⊥EF，则∠FEB为二面角B−AE−F的平面角，
因为cos∠FEB=BEEF= 2 4+2= 33，
所以二面角B−AE−F余弦值的最小值为 33，故C正确；
对于D，当F与C重合时，连接AC交BD于O，连接EO，如图，
因为底面ABCD是正方形，所以O是BD的中点，
又E为线段PB的中点，所以EO//PD，
又OE⊂平面AEF，PD⊄平面AEF，所以PD//平面AEF，
即线段BC上存在点F，使得PD//平面AEF，故D错误．
故选：ABC．
对于A，由PA⊥平面ABCD，知PA⊥BC，而AB⊥BC，于是有BC⊥平面PAB，故BC⊥AE，再结合AE⊥PB，即可得证；
对于BC，利用线面角与面面角的定义，结合BF的取值范围求解即可；对于D，找特殊点F与C重合时，证得PD//平面AEF，由此得解．
本题考查了空间线面位置关系，考查了空间角的求解，属于中档题．
13.【答案】14
【解析】解：从随机数表第1行的第1列和第2列的数字开始，由左到右依次选取两个数字，
得78，16，65，72，08，02，63，14，…
其中满足要求的编号依次是16，08，02，14，…
所以选出来的第4个个体的编号为14．
故答案为：14．
利用随机数表的使用方法求解即可．
本题考查简单的随机抽样的应用，属于基础题．
14.【答案】{yy,yn,ny,nn} 0.48
【解析】解：第一空，由题意可知该试验的样本空间W={yy,yn,ny,nn}，
第二空，因为每次命中目标的概率都为0.6，且每次射击结果互不影响，
所以事件“恰有一次命中目标”的概率为2×0.6×(1−0.6)=0.48．
故答案为：{yy,yn,ny,nn}；0.48．
利用样本空间的定义与独立事件的概率公式求解即可．
本题主要考查了样本空间的概念，考查了独立事件的概率乘法公式，属于基础题．
15.【答案】166 42
【解析】解：依题意，知学生总数为300，其中男生人数180，女生人数为120，
设该校高一年级学生身高的平均数为z−，方差为s2，
则z−=180300×x−+120300×y−=35×170+25×160=166，
s2=180300[s12+(x−−z−)2]+120300[s22+(y−−z−)2]=35×[14+(170−166)2]+25×[24+(160−166)2]=42．
故答案为：166；42．
利用分层抽样的平均数与方差公式求解即可．
本题考查平均数，方差的应用，属于基础题．
16.【答案】2 33
【解析】解：依题意，设△ABC的外接圆的半径为r，三棱锥P−ABC外接球的半径为R，
则4πR2=16π，则R=2(负值舍去)，
因为PA⊥平面ABC，PA=2，所以R2=(12PA)2+r2，即4=1+r2，则r= 2(负值舍去)，
因为AB⊥AC，所以BC为△ABC的外接圆的直径，即BC=2 3，
过A作AD⊥BC交BC于D，连接PD，如图，
则∠PDA二面角P−BC−A的平面角，
设AB=m，AC=n，则由m2+n2=12，即mm≤m2+n22=6
故AD=mm2 3≤62 3= 3，当且仅当m=n= 6时等号成立，
故tan∠PDA=PAAD≥2 3=2 33，即二面角P−BC−A正切值的最小值为2 33．
故答案为：2 33．
先由球的表面积求得其半径，再利用球的截面性质求得△ABC的外接圆的半径，从而求得AD的取值范围，进而求得二面角P−BC−A正切值的取值范围，由此得解．
本题解决的关键是利用基本不等式求得ad的取值范围，再推得∠PAD为二面角P−BC−A的平面角，从而得解，考查了空间想象能力，属于中档题．
17.【答案】解：(1)由题意可得：甲机床生产某种零件次品的平均数x−=110i=110xi=1.5，方差s12=110i=110(xi−x−)2=1.65，
乙机床生产某种零件次品的平均数y−=110i=110yi=1.5，方差s22=110i=110(yi−y−)2=0.65，
所以这10天中甲、乙机床次品数的平均数均为1.5，方差分别为1.65，0.65．
(2)由(1)可知：x−=y−且s12>s23，
即两机床的平均水平相同，但乙机床相对稳定所以乙机床的性能更好．
【解析】(1)根据平均数，方差的计算公式运算求解；
(2)根据平均数，方差的数字特征分析判断即可．
本题考查平均数，方差的应用，属于基础题．
18.【答案】解：(1)依题意，记3个红球为a，b，c，2个白球为m，n，
则从中不放回地依次随机摸出2个球的基本事件为ab，ac，am，an，ba，bc，bm，bn，ca，cb，cm，cn，ma，mb，mc，mn，na，nb，nc，mn，共20件，其中“摸出的两球都是红球”(记为事件A)的基本事件为ab，ac，ba，bc，ca，cb，共6件，
故P(A)=620=310；
(2)结合(1)中结论，记为事件B=“摸出的两球至少有一个红球”，则B−=“摸出的两球都是白球”，
故B包含的基本事件为mn，nm，共2件，
所以P(B)=1−P(B−)=1−220=910．
【解析】(1)(2)利用列举法，结合古典概型与对立事件的概率公式计算即可．
本题主要考查了古典概型的概率公式，属于基础题．
19.【答案】证明：(1)连接AC1，由题意可得E为AC1的中点，在△AB1C1中，D是AB1的中点，所以DE//B1C1，
在直棱柱中，BC//B1C1，所以DE//BC，而DE⊄面ABC，BC⊂面ABC，
可证得DE//面ABC；
(2)因为AA1=AB，即四边形ABB1A1为正方形，
连接A1B，所以AB1⊥A1B，
在直棱柱中，∠ABC=90°，
所以A1B为A1C在面A1B内的投影，
可证得AB1⊥A1C.
【解析】(1)连接AC1，由题意可得DE为△AB1C1的中位线，可证得DE//B1C1，再由直棱柱的性质可证得DE//BC，再由线面平行的条件可证得结论；
(2)由题意可得A1B为A1C在面A1B内的投影，由投影的性质可证得结论．
本题考查线面平行的证法及投影的性质的应用，属于基础题．
20.【答案】解：(1)依题意，每轮甲投中的概率为45，乙投中的概率为34，
所以在一轮投篮中甲、乙都投中的概率为45×34=35．
(2)依题意，“在两轮投篮中甲、乙两人投中3个球”(记为事件A)的情况有两个：
在两轮投篮中甲投中1个球，乙投中2个球；
在两轮投篮中甲投中2个球，乙投中1个球．
记A1=“在两轮投篮中甲投中1个球”，A2=“在两轮投篮中甲投中2个球”，
B1=“在两轮投篮中乙投中1个球”，B2=“在两轮投篮中乙投中2个球”，
P(A1)=2×45×15=825，P(A2)=45×45=1625，
P(B1)=2×34×14=38，P(B2)=34×34=916，
P(A)=P(A1B2)+P(A2B1)=P(A1)P(B2)+P(A2)P(B1)=825×916+1625×38=2150．
【解析】(1)利用独立事件的概率公式即可得解；
(2)列出在两轮投篮中甲、乙两人投中3个球的情况，再利用互斥事件与独立事件的概率公式求解即可．
本题考查概率的应用，属于基础题．
21.【答案】解：(1)由频率分布直方图得该样本中垃圾量为：
[4,6)，[6,8)，[8,10)，[10,12)，[12,14)，[14,16)，[16,18)的频率分别为：
0.08，0.1，0.2，0.24，0.18，0.12，0.08，
而0.08+0.1+0.2+0.24=0.62，0.62+0.18=0.8，
故这50个社区垃圾量的第75%分位数在[12,14]内，
设为x，则(x−12)⋅0.09=0.75−0.64，解得：x≈13.2．
(2)由(1)得该样本中“超标”社区的频率为0.12+0.08=0.2，
∴这240个社区中“超标”社区的概率为0.2，
∴这240个“超标”社区的个数为240×0.2=48．
(3)由题意得样本中“超标”社区共有50×(0.12+0.08)=10个，
其中垃圾量为[14,16)的社区有50×0.12=6个，
垃圾量为[16,18)的社区有50×0.08=4个，
按垃圾量用分层抽样抽取的5个社区中，垃圾量为[14,16)的社区有3个，分别记为a，b，c，
按垃圾量为[16,18)的社区有2个，分别记为d，e，
从中选取2个基本事件为：
(a,b)，(a,c)，(a,d)，(a,e)，(b,c)，(b,d)，(b,e)，(c,d)，(c,e)，(d,e)，共10个，
其中所求事件“至少有1个垃圾量为[16,18]的社区”为：
(a,d)，(a,e)，(b,d)，(b,e)，(c,d)，(c,e)，(d,e)，共7个，
∴重点监控社区中至少有1个垃圾量为[16,18]的社区的概率为：
P=710=0.7．
【解析】(1)由频率分布直方图以及分位数的定义计算即可；
(2)由频率分布直方图求出该样本中“超标”社区的频率，由此能求出这240个“超标”社区的个数．
(3)先求出样本中“超标”社区共有10个，其中垃圾量为[14,16)的社区有6个，垃圾量为[16,18)的社区有4个，按垃圾量用分层抽样抽取的5个社区中，垃圾量为[14,16)的社区有3个，分别记为a，b，c，按垃圾量为[16,18)的社区有2个，分别记为d，e，从中选取2个，利用列举法能求出重点监控社区中至少有1个垃圾量为[16,18]的社区的概率．
本题考查了频数、概率的求法，考查频率分布直方图、分层抽样、古典概型、列举法等基础知识，考查运算求解能力等核心数学素养，是中档题．
22.【答案】解：(1)如图，连接DE，
因为PE⊥面ABD，DE⊂面ABD，BE⊂面ABD，
所以PE⊥DE，PE⊥BE，
在△ADE中，DE2=AD2+AE2=AD2+(AB−BE)2=117−18BE+BE2，
在△PDE中，PD=AB=9，PE2=PD2−DE2=18BE−BE2−36，
在△PBE中，PB=AD=6，PE2=PB2−BE2=36−BE2，
因为18BE−BE2−36=36−BE2，
解得BE=4．
(2)如图，连接AP，设点A到平面PBD的距离为d，
则直线AB与平面PBD所成角的正弦值为dAB=d9，
因为VP−ABD=VA−PBD，
所以13S△ABD⋅OP=13S△PBD⋅d，
所以d=OP，
当点O在AB上时，由(1)可知点O与点E重合，
此时OP取最小值为PE= PB2−BE2=2 5，
当平面PBD⊥平面ABD时，点O在BD上，
此时OP取最大值，
因为S△PBD=12PB⋅PD=12BD⋅OP，
所以OP=PB⋅PDBD=9×6 92+62=18 1313，
因为2 5≤OP≤18 1313，
所以2 59≤d9=OP9≤2 1313，
所以直线AB与平面PBD所成角正弦值的取值范围为[2 59,2 1313].
【解析】(1)连接DE，由PE⊥面ABD，推出PE⊥DE，PE⊥BE，又勾股定理得18BE−BE2−36=36−BE2，解得BE．
(2)连接AP，设点A到平面PBD的距离为d，则直线AB与平面PBD所成角的正弦值为dAB=d9，由VP−ABD=VA−PBD，得13S△ABD⋅OP=13S△PBD⋅d，即d=OP，计算OP的取值范围，即可得出答案．
本题考查直线与平面的位置关系，解题中需要具备运算求解能力，属于中档题．
2022-2023学年山西省三重教育高一（下）期末数学试卷
一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 下列刻画一组数据离散程度的是( )
A. 平均数 B. 方差 C. 中位数 D. 众数
2. 某同学做立定投篮训练，共做3组，每组投篮次数和命中的次数如下表：
第一组
第二组
第三组
合计
投篮次数
100
200
300
600
命中的次数
68
124
174
366
命中的频率
0.68
0.62
0.58
0.61
根据表中的数据信息，用频率估计一次投篮命中的概率，则使误差较小、可能性大的估计值是( )
A. 0.58 B. 0.61 C. 0.62 D. 0.627
3. 已知直线a与平面α满足a//α，直线b⊂α，下列结论正确的是( )
A. a与b无公点 B. a与b异面 C. a//b D. a⊥b
4. 抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件A=“第一枚正面向上”，事件B=“第二枚反面向上”，则事件A与B的关系是( )
A. A⊆B B. A=B C. 相互独立 D. 互斥
5. 在正方体ABCD−A1B1C1D1中，O是A1C1的中点，则异面直线AO与BC1的夹角为( )
A. 30° B. 45° C. 60° D. 90°
6. 已知数据x1，x2，…，xn的平均数和方差分别为5和4，则数据2x1−1，2x2−1，…，2xn−1的平均数和方差分别为( )
A. 9，8 B. 9，16 C. 19，15 D. 20，16
7. 中国古典乐器一般按“八音”分类，这是我国最早按乐器的制造材料来对乐器分类的方法，最早见于《周礼⋅春宫⋅大师》，分为“金、石、土、革、丝、木、匏、竹”八类，其中“金、石、木、革”为打击乐器，“土、匏、竹”为吹奏乐器，“丝”为弹拨乐器，现从“金、石、木、土、竹、丝”中任取“两音”，则这“两音”同为打击乐器的概率为( )
A. 15 B. 310 C. 25 D. 35
8. 四名同学各掷一枚骰子5次，分别记录每次骰子出现的点数，根据下列四名同学的统计结果，可以判断出一定没有出现点数6的是( )
A. 平均数为2，方差为4 B. 平均数为3，众数为2
C. 平均数为3，中位数为2 D. 中位数为3，方差为0.16
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）
9. 有一组样本数据x1，x2，⋯，x6，其中x1是最小值，x6是最大值，则( )
A. x2，x3，x4，x5的平均数等于x1，x2，⋯，x6的平均数
B. x2，x3，x4，x5的中位数等于x1，x2，⋯，x6的中位数
C. x2，x3，x4，x5的标准差不小于x1，x2，⋯，x6的标准差
D. x2，x3，x4，x5的极差不大于x1，x2，⋯，x6的极差
10. 已知m，n为两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列结论正确的是( )
A. 若m⊂α，n⊂α，m//β，n//β，则α//β
B. 若m⊥α，m⊥β，则α//β
C. 若m//α，n//β，α⊥β，则m⊥n
D. 若m⊥α，n⊥β，α⊥β，则m⊥n
11. 下列结论正确是( )
A. 已知一次试验事件A发生的概率为0.9，则重复做10次试验，事件A可能一次也没发生
B. 抛掷一枚质地均匀的骰子一次，事件A=“出现偶数点”，B=“出现1点或2点”，则事件A与B相互独立
C. 小明在上学的路上要经过4个路口，假设每个路口是否遇到红灯相互独立，且每个路口遇到红灯的概率都是23，则小明在第3个路口首次遇到红灯的概率为23
D. 已知A，B是一个随机试验中的两个事件，且P(A)>0，P(B)>0，若A与B不独立，则P(A∪B)≠P(A)+P(B)
12. 如图，四棱锥P−ABCD的底面ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD，PA=AB，E是线段PB的中点，F是线段BC上的动点，则以下结论正确的是( )
A. 平面AEF⊥平面PBC
B. 直线EF与平面PAB所成角正切值的最大值为 2
C. 二面角B−AE−F余弦值的最小值为 33
D. 线段BC上不存在点F，使得PD//平面AEF
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13. 总体由编号为01，02，…，19，20的20个个体组成.利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是从随机数表第1行的第1列和第2列的数字开始，由左到右依次选取两个数字(作为个体的编号)，如果选取的两个数字不在总体内，则将它去掉，继续向右选取两个数字，那么选出来的第4个个体的编号为______ ．
7816
6572
0802
6314
0702
4369
9728
0198
3204
9234
4935
8200
3623
4869
6938
7481
14. 向一个目标射击两次，用y表示“命中目标”，n表示“没有命中目标”，则该试验的样本空间W= ______ ；若每次命中目标的概率都为0.6，且每次射击结果互不影响，则事件“恰有一次命中目标”的概率为______ ．
15. 某校高一年级的学生有300人，其中男生180人，女生120人.为了解该校高一年级学生的身高信息，采用样本量按比例分配的分层随机抽样抽取样本，计算得男生样本的平均数为x−=170(单位：cm)，方差为s12=14，女生样本的平均数为y−=160(单位：cm)，方差为s22=24，根据上述数据，估计该校高一年级学生身高的平均数为______ ；方差为______ ．
16. 在三棱锥P−ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥AC，PA=2，三棱锥P−ABC外接球的表面积为16π，则二面角P−BC−A正切值的最小值为______ ．
四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. (本小题10.0分)
甲、乙两台机床同时生产某种零件，科研部门随机抽取了它们10天中生产的产品，统计其每天生产的次品数分别为：
甲
0
2
1
0
3
0
2
1
2
4
乙
2
1
1
2
1
0
2
1
3
2
(1)计算这10天中甲、乙机床次品数的平均数和方差；
(2)从计算结果看，哪台机床的性能更好？
18. (本小题12.0分)
已知不透明的袋中装有3个红球、2个白球，这些球除颜色外没有其他差异，从中不放回地依次随机摸出2个球.(1)求摸出的两球都是红球的概率；
(2)求摸出的两球至少有一个红球的概率．
19. (本小题12.0分)
如图，在直三棱柱ABC−A1B1C1中，∠ABC=90°，AA1=AB，D，E分别是AB1，A1C的中点．
(1)求证：DE//平面ABC；
(2)求证：AB1⊥A1C.
20. (本小题12.0分)
甲、乙两名篮球运动员进行投篮比赛，每轮投篮由甲、乙两人各投篮一次，已知每轮甲投中的概率为45，乙投中的概率为34，每轮甲和乙投中与否互不影响，且各轮结果也互不影响．
(1)求在一轮投篮中甲、乙都投中的概率；
(2)求在两轮投篮中甲、乙两人投中3个球的概率．
21. (本小题12.0分)
2017年国家发展改革委、住房城乡建设部发布了《生活垃圾分类制度实施方案》，方案要求生活垃圾要进行分类管理.某市在实施垃圾分类管理之前，对人口数量在1万左右的社区一天产生的垃圾量(单位：吨)进行了调查.已知该市这样的社区有240个，如图是某天从中随机抽取50个社区所产生的垃圾量绘制的频率分布直方图.现将垃圾量超过14吨/天的社区称为“超标”社区．
(1)根据所给频率分布直方图，估计当天这50个社区垃圾量的第75%分位数；
(2)若以上述样本的频率近似代替总体的概率，请估计这240个社区中“超标”社区的个数；
(3)市环保部门要对样本中“超标”社区的垃圾来源进行调查，按垃圾量采用样本量比例分配的分层随机抽样从中抽取5个，再从这5个社区随机抽取2个进行重点监控，求其中至少有1个垃圾量为[16,18]的社区的概率．
22. (本小题12.0分)
如图，矩形ABCD中，AB=9，AD=6，将△BCD沿直线BD折起至△PBD，点E在线段AB上．
(1)若PE⊥平面ABD，求BE的长；
(2)过点P作平面ABD的垂线，垂足为O，在△BCD折起过程中，点O在△ABD内部(包含边界)，求直线AB与平面PBD所成角正弦值的取值范围．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】
【分析】
利用平均数、方差、中位数、众数的定义直接求解．
本题考查平均数、方差、中位数、众数的定义的应用，是基础题，解题时要熟练掌握基本概念．
【解答】
解：在A中，平均数是表示一组数据集中趋势的量，它不能刻画一组数据离散程度，故A不正确；
在B中，方差是衡量随机变量或一组数据时离散程度的度量，它能刻画一组数据离散程度，故B正确；
在C中，中数是按顺序排列在一起的一组数据中居于中间位置的数，它不能刻画一组数据离散程度，故C不正确；
在D中，众数是一组数据中，出现次数最多的数，它不能刻画一组数据离散程度，故D不正确．
故选：B．
2.【答案】B
【解析】解：由题可知，试验次数越多，频率越接近概率，对可能性的估计误差越小，可能性越大，
所以合计列对应的频率最为合适，即0.61．
故选：B．
利用频率和概率的关系求解即可．
本题考查概率的应用，属于基础题．
3.【答案】A
【解析】解：因为a//α，所以直线a与面α无交点，又因为直线b⊂α，所以直线a，b无交点．
故选：A．
由题意可知直线a与面α无交点，进而可得a，b无交点．
本题考查线面的位置关系，判断线线的位置关系，属于基础题．
4.【答案】C
【解析】解：A={正正，正反}，B={正反，反反}，
故A不是B的子集，故A错误；
事件A=“第一枚硬币正面向上”，事件B=“第二枚硬币反面向上”，
则A≠B，B错误；
P(AB)=14，P(A)=P(B)=12，则P(AB)=P(A)P(B)，
故A与B为相互独立事件，故C正确；
AB可以同时发生，A与B不为互斥事件，故D错误．
故选：C．
根据已知条件，结合互斥事件，相互独立事件的定义，即可依次求解．
本题主要考查互斥事件，相互独立事件的定义，属于基础题．
5.【答案】A
【解析】解：连接AD1，D1O，
因为正方体ABCD−A1B1C1D1中，AB//C1D1，AB=C1D，
所以四边形ABC1D1是平行四边形，则AD1//BC1，
所以∠D1AO是异面直线AO与BC1的夹角，
不妨设正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为2，
则AD1=2 2，D1O= 2，AO= A1A2+A1O2= 6，
故AD12=D1O2+AO2，即D1O⊥AO，则0°<∠D1AO<90°，
所以sin∠D1AO=D1OAD1=12，则∠D1AO=30°．
故选：A．
先利用线线平行推得∠D1AO是异面直线AO与BC1的夹角，再利用勾股定理依次求得AD1，D1O，AO从而得解．
本题考查异面直线所成的角的求法，属基础题．
6.【答案】B
【解析】解：数据x1，x2，…，xn的平均数和方差分别为5和4，
则数据2x1−1，2x2−1，…，2xn−1的平均数和方差分别为2×5−1=9，22×4=16．
故选：B．
根据平均数和方差的性质公式计算即可．
本题考查平均数，方差的应用，属于基础题．
7.【答案】A
【解析】解：记“金、石、木”为a，b，c，“土、竹、丝”为m，n，l，则a，b，c为打击乐器，
从“金、石、木、土、竹、丝”中任取“两音”，
组成的基本事件包含：ab，ac，am，an，al，bc，bm，bn，bl，cm，cn，cl，mm，ml，nl共15种情况，
其中“两音”同为打击乐器的有ab，ac，bc，共包含3种情况，
则“两音”同为打击乐器的概率P=315=15．
故选：A．
由条件列举从“金、石、木、土、竹、丝”中任取“两音”的所有基本事件的个数，再计算“两音”同为打击乐器所包含的所有基本事件个数，最后求其概率即可．
本题主要考查了古典概型的概率公式，属于基础题．
8.【答案】D
【解析】解：对于A，当投掷骰子出现结果为1，1，1，1，6时，满足平均数为2，
其方差s2=15[4×(1−2)2+(6−2)2]=4，可以出现点数6，所以A错误；
对于B，当投掷骰子出现结果为2，2，2，3，6时，满足平均数为3，众数为2，可以出现点数6，所以B错误；
对于C，当投掷骰子出现结果为2，2，2，3，6时，满足平均数为3，中位数为2，可以出现点数6，所以C错误；
对于D，假设当投掷骰子出现的结果为a，b，3，c，6时，满足中位数为3，方差为0.16，且出现点数6，
假设其平均数为x−，则[15(a−x−)2+(b−x−)2+(3−x−)2+(c−x−)2+(6−x)2]=0.16，
即(a−x−)2+(b−x−)2+(3−x−)2+(c−x−)2+(6−x−)2=0.8，
因为x−=a+b+3+c+65≥1+1+3+3+65=145，
x−=a+b+3+c+65≤3+3+3+6+65=215，
即145≤x−≤215，所以95≤6−x−≤165，则(6−x−)2≥8125>0.8，
显然方差不成立，即一定没有出现点数6，所以D正确．
故选：D．
利用特例法可判断ABC；利用反证法，结合中位数和方差的计算公式，可判定D正确，由此得解．
本题考查数据的数字特征，属于基础题．
9.【答案】BD
【解析】解：A选项，x2，x3，x4，x5的平均数不一定等于x1，x2，⋯，x6的平均数，A错误；
B选项，x2，x3，x4，x5的中位数等于x3+x42，x1，x2，⋯，x6的中位数等于x3+x42，B正确；
C选项，设样本数据x1，x2，⋯，x6为0，1，2，8，9，10，可知x1，x2，⋯，x6的平均数是5，x2，x3，x4，x5的平均数是5，
x1，x2，⋯，x6的方差s12=15×[(0−5)2+(1−5)2+(2−5)2+(8−5)2+(9−5)2+(10−5)2]=20，
x2，x3，x4，x5的方差s22=15×[(1−5)2+(2−5)2+(8−5)2+(9−5)2]=10，
s12>s22，∴s1>s2，C错误．
D选项，x6>x5，x2>x1，∴x6−x1>x5−x2，D正确．
故选：BD．
根据平均数，中位数，标准差，极差的概念逐一判定即可．
本题考查平均数、中位数、标准差、极差的计算，是基础题．
10.【答案】BD
【解析】解：若m⊂α，n⊂α，m//β，n//β，则当m与n相交时，α//β，否则，α与β不一定平行，故A错误；
若m⊥α，m⊥β，则α//β，故B正确；
若m//α，n//β，α⊥β，则m与n的位置关系有三种：平行、相交或异面，故C错误；
若m⊥α，α⊥β，则m⊂β或m//β，又n⊥β，∴m⊥n，故D正确．
故选：BD．
由空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系逐一分析四个选项得答案．
本题考查空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面位置关系的判定，考查空间想象能力与思维能力，是基础题．
11.【答案】AB
【解析】解：对于选项A：对于重复做10次试验，事件A发生的次数为0，1，2，…10，
所以可能一次也没发生，故A正确；
对于选项B：事件A=“出现偶数点”，B=“出现2点或4点或6点”，事件AB=“出现2点”，
可得P(A)=36=12，P(B)=26=13，P(AB)=16，
因为P(AB)=P(A)P(B)，则事件A与B相互独立，故B正确；
对于选项C：小明在第3个路口首次遇到红灯的概率为(1−23)×(1−23)×23=227，故C错误；
对于选项D：因为P(A∪B)=P(A)+P(B)−P(AB)，
若A与B互斥(满足A与B不独立)，则P(AB)=0，
此时P(A∪B)=P(A)+P(B)，故D错误．
故选：AB．
根据随机事件的概率，结合独立事件和互斥事件逐项分析判断．
本题考查概率的应用，属于中档题．
12.【答案】ABC
【解析】解：对于A，因PA=AB，E为PB中点，则AE⊥PB，
又PA⊥底面ABCD，而BC⊂底面ABCD，则有PA⊥BC，
又因BC⊥AB，AB∩PA=A，AB，PA⊂平面PAB，于是得BC⊥平面PAB，
而AE⊂平面PAB，因此BC⊥AE，
又BC∩PB=B，BC，PB⊂平面PBC，从而得AE⊥平面PBC，
AE⊂平面AEF，所以平面AEF⊥平面PBC．
对于B，由选项A可知BC平面PAB，所以∠FEB为直线EF与平面PAB所成角，则0<∠FEB<π2，
不妨设PA=BA=2，则在Rt△PAB中，PB=2 2，BE= 2，
在Rt△EFB中，tan∠FEB=BFBE=BF 2，
因为F是线段BC上的动点，故BF≤BC=2，则tan∠FEB=BF 2≤ 2，
所以直线ET与平面PAB所成角正切值的最大值为 2，故B正确；
对于C，由选项A可知AE平面PBC，BE，EF⊂平面PBC，
所以AE⊥BE，AE⊥EF，则∠FEB为二面角B−AE−F的平面角，
因为cos∠FEB=BEEF= 2 4+2= 33，
所以二面角B−AE−F余弦值的最小值为 33，故C正确；
对于D，当F与C重合时，连接AC交BD于O，连接EO，如图，
因为底面ABCD是正方形，所以O是BD的中点，
又E为线段PB的中点，所以EO//PD，
又OE⊂平面AEF，PD⊄平面AEF，所以PD//平面AEF，
即线段BC上存在点F，使得PD//平面AEF，故D错误．
故选：ABC．
对于A，由PA⊥平面ABCD，知PA⊥BC，而AB⊥BC，于是有BC⊥平面PAB，故BC⊥AE，再结合AE⊥PB，即可得证；
对于BC，利用线面角与面面角的定义，结合BF的取值范围求解即可；对于D，找特殊点F与C重合时，证得PD//平面AEF，由此得解．
本题考查了空间线面位置关系，考查了空间角的求解，属于中档题．
13.【答案】14
【解析】解：从随机数表第1行的第1列和第2列的数字开始，由左到右依次选取两个数字，
得78，16，65，72，08，02，63，14，…
其中满足要求的编号依次是16，08，02，14，…
所以选出来的第4个个体的编号为14．
故答案为：14．
利用随机数表的使用方法求解即可．
本题考查简单的随机抽样的应用，属于基础题．
14.【答案】{yy,yn,ny,nn} 0.48
【解析】解：第一空，由题意可知该试验的样本空间W={yy,yn,ny,nn}，
第二空，因为每次命中目标的概率都为0.6，且每次射击结果互不影响，
所以事件“恰有一次命中目标”的概率为2×0.6×(1−0.6)=0.48．
故答案为：{yy,yn,ny,nn}；0.48．
利用样本空间的定义与独立事件的概率公式求解即可．
本题主要考查了样本空间的概念，考查了独立事件的概率乘法公式，属于基础题．
15.【答案】166 42
【解析】解：依题意，知学生总数为300，其中男生人数180，女生人数为120，
设该校高一年级学生身高的平均数为z−，方差为s2，
则z−=180300×x−+120300×y−=35×170+25×160=166，
s2=180300[s12+(x−−z−)2]+120300[s22+(y−−z−)2]=35×[14+(170−166)2]+25×[24+(160−166)2]=42．
故答案为：166；42．
利用分层抽样的平均数与方差公式求解即可．
本题考查平均数，方差的应用，属于基础题．
16.【答案】2 33
【解析】解：依题意，设△ABC的外接圆的半径为r，三棱锥P−ABC外接球的半径为R，
则4πR2=16π，则R=2(负值舍去)，
因为PA⊥平面ABC，PA=2，所以R2=(12PA)2+r2，即4=1+r2，则r= 2(负值舍去)，
因为AB⊥AC，所以BC为△ABC的外接圆的直径，即BC=2 3，
过A作AD⊥BC交BC于D，连接PD，如图，
则∠PDA二面角P−BC−A的平面角，
设AB=m，AC=n，则由m2+n2=12，即mm≤m2+n22=6
故AD=mm2 3≤62 3= 3，当且仅当m=n= 6时等号成立，
故tan∠PDA=PAAD≥2 3=2 33，即二面角P−BC−A正切值的最小值为2 33．
故答案为：2 33．
先由球的表面积求得其半径，再利用球的截面性质求得△ABC的外接圆的半径，从而求得AD的取值范围，进而求得二面角P−BC−A正切值的取值范围，由此得解．
本题解决的关键是利用基本不等式求得ad的取值范围，再推得∠PAD为二面角P−BC−A的平面角，从而得解，考查了空间想象能力，属于中档题．
17.【答案】解：(1)由题意可得：甲机床生产某种零件次品的平均数x−=110i=110xi=1.5，方差s12=110i=110(xi−x−)2=1.65，
乙机床生产某种零件次品的平均数y−=110i=110yi=1.5，方差s22=110i=110(yi−y−)2=0.65，
所以这10天中甲、乙机床次品数的平均数均为1.5，方差分别为1.65，0.65．
(2)由(1)可知：x−=y−且s12>s23，
即两机床的平均水平相同，但乙机床相对稳定所以乙机床的性能更好．
【解析】(1)根据平均数，方差的计算公式运算求解；
(2)根据平均数，方差的数字特征分析判断即可．
本题考查平均数，方差的应用，属于基础题．
18.【答案】解：(1)依题意，记3个红球为a，b，c，2个白球为m，n，
则从中不放回地依次随机摸出2个球的基本事件为ab，ac，am，an，ba，bc，bm，bn，ca，cb，cm，cn，ma，mb，mc，mn，na，nb，nc，mn，共20件，其中“摸出的两球都是红球”(记为事件A)的基本事件为ab，ac，ba，bc，ca，cb，共6件，
故P(A)=620=310；
(2)结合(1)中结论，记为事件B=“摸出的两球至少有一个红球”，则B−=“摸出的两球都是白球”，
故B包含的基本事件为mn，nm，共2件，
所以P(B)=1−P(B−)=1−220=910．
【解析】(1)(2)利用列举法，结合古典概型与对立事件的概率公式计算即可．
本题主要考查了古典概型的概率公式，属于基础题．
19.【答案】证明：(1)连接AC1，由题意可得E为AC1的中点，在△AB1C1中，D是AB1的中点，所以DE//B1C1，
在直棱柱中，BC//B1C1，所以DE//BC，而DE⊄面ABC，BC⊂面ABC，
可证得DE//面ABC；
(2)因为AA1=AB，即四边形ABB1A1为正方形，
连接A1B，所以AB1⊥A1B，
在直棱柱中，∠ABC=90°，
所以A1B为A1C在面A1B内的投影，
可证得AB1⊥A1C.
【解析】(1)连接AC1，由题意可得DE为△AB1C1的中位线，可证得DE//B1C1，再由直棱柱的性质可证得DE//BC，再由线面平行的条件可证得结论；
(2)由题意可得A1B为A1C在面A1B内的投影，由投影的性质可证得结论．
本题考查线面平行的证法及投影的性质的应用，属于基础题．
20.【答案】解：(1)依题意，每轮甲投中的概率为45，乙投中的概率为34，
所以在一轮投篮中甲、乙都投中的概率为45×34=35．
(2)依题意，“在两轮投篮中甲、乙两人投中3个球”(记为事件A)的情况有两个：
在两轮投篮中甲投中1个球，乙投中2个球；
在两轮投篮中甲投中2个球，乙投中1个球．
记A1=“在两轮投篮中甲投中1个球”，A2=“在两轮投篮中甲投中2个球”，
B1=“在两轮投篮中乙投中1个球”，B2=“在两轮投篮中乙投中2个球”，
P(A1)=2×45×15=825，P(A2)=45×45=1625，
P(B1)=2×34×14=38，P(B2)=34×34=916，
P(A)=P(A1B2)+P(A2B1)=P(A1)P(B2)+P(A2)P(B1)=825×916+1625×38=2150．
【解析】(1)利用独立事件的概率公式即可得解；
(2)列出在两轮投篮中甲、乙两人投中3个球的情况，再利用互斥事件与独立事件的概率公式求解即可．
本题考查概率的应用，属于基础题．
21.【答案】解：(1)由频率分布直方图得该样本中垃圾量为：
[4,6)，[6,8)，[8,10)，[10,12)，[12,14)，[14,16)，[16,18)的频率分别为：
0.08，0.1，0.2，0.24，0.18，0.12，0.08，
而0.08+0.1+0.2+0.24=0.62，0.62+0.18=0.8，
故这50个社区垃圾量的第75%分位数在[12,14]内，
设为x，则(x−12)⋅0.09=0.75−0.64，解得：x≈13.2．
(2)由(1)得该样本中“超标”社区的频率为0.12+0.08=0.2，
∴这240个社区中“超标”社区的概率为0.2，
∴这240个“超标”社区的个数为240×0.2=48．
(3)由题意得样本中“超标”社区共有50×(0.12+0.08)=10个，
其中垃圾量为[14,16)的社区有50×0.12=6个，
垃圾量为[16,18)的社区有50×0.08=4个，
按垃圾量用分层抽样抽取的5个社区中，垃圾量为[14,16)的社区有3个，分别记为a，b，c，
按垃圾量为[16,18)的社区有2个，分别记为d，e，
从中选取2个基本事件为：
(a,b)，(a,c)，(a,d)，(a,e)，(b,c)，(b,d)，(b,e)，(c,d)，(c,e)，(d,e)，共10个，
其中所求事件“至少有1个垃圾量为[16,18]的社区”为：
(a,d)，(a,e)，(b,d)，(b,e)，(c,d)，(c,e)，(d,e)，共7个，
∴重点监控社区中至少有1个垃圾量为[16,18]的社区的概率为：
P=710=0.7．
【解析】(1)由频率分布直方图以及分位数的定义计算即可；
(2)由频率分布直方图求出该样本中“超标”社区的频率，由此能求出这240个“超标”社区的个数．
(3)先求出样本中“超标”社区共有10个，其中垃圾量为[14,16)的社区有6个，垃圾量为[16,18)的社区有4个，按垃圾量用分层抽样抽取的5个社区中，垃圾量为[14,16)的社区有3个，分别记为a，b，c，按垃圾量为[16,18)的社区有2个，分别记为d，e，从中选取2个，利用列举法能求出重点监控社区中至少有1个垃圾量为[16,18]的社区的概率．
本题考查了频数、概率的求法，考查频率分布直方图、分层抽样、古典概型、列举法等基础知识，考查运算求解能力等核心数学素养，是中档题．
22.【答案】解：(1)如图，连接DE，
因为PE⊥面ABD，DE⊂面ABD，BE⊂面ABD，
所以PE⊥DE，PE⊥BE，
在△ADE中，DE2=AD2+AE2=AD2+(AB−BE)2=117−18BE+BE2，
在△PDE中，PD=AB=9，PE2=PD2−DE2=18BE−BE2−36，
在△PBE中，PB=AD=6，PE2=PB2−BE2=36−BE2，
因为18BE−BE2−36=36−BE2，
解得BE=4．
(2)如图，连接AP，设点A到平面PBD的距离为d，
则直线AB与平面PBD所成角的正弦值为dAB=d9，
因为VP−ABD=VA−PBD，
所以13S△ABD⋅OP=13S△PBD⋅d，
所以d=OP，
当点O在AB上时，由(1)可知点O与点E重合，
此时OP取最小值为PE= PB2−BE2=2 5，
当平面PBD⊥平面ABD时，点O在BD上，
此时OP取最大值，
因为S△PBD=12PB⋅PD=12BD⋅OP，
所以OP=PB⋅PDBD=9×6 92+62=18 1313，
因为2 5≤OP≤18 1313，
所以2 59≤d9=OP9≤2 1313，
所以直线AB与平面PBD所成角正弦值的取值范围为[2 59,2 1313].
【解析】(1)连接DE，由PE⊥面ABD，推出PE⊥DE，PE⊥BE，又勾股定理得18BE−BE2−36=36−BE2，解得BE．
(2)连接AP，设点A到平面PBD的距离为d，则直线AB与平面PBD所成角的正弦值为dAB=d9，由VP−ABD=VA−PBD，得13S△ABD⋅OP=13S△PBD⋅d，即d=OP，计算OP的取值范围，即可得出答案．
本题考查直线与平面的位置关系，解题中需要具备运算求解能力，属于中档题．
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