福建省泉州市部分学校2022-2023高二下期末数学试卷+答案

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泉州市部分中学2024届高二下期末联考试题
2023.07
数 学

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．展开式中的常数项为
A． B． C． D．
2．等比数列满足，，则
A． B． C． D．
3．平行六面体的所有棱长均为1，，则的长度为
A． B． C． D．
4．下列说法正确的是
A．若事件相互独立，则
B．设随机变量满足，则
C．已知随机变量，且，则
D．在一个列联表中，计算得到的值越接近1，则两个变量的相关性越强
5．记，则
A． B． C． D．
6．空间直角坐标系中，，，，点在平面内，且平面，则
A． B． C． D．
7．已知抛物线的焦点为，过的直线交于点，分别在点处作的两条切线，两条切线交于点，则的取值范围是
A． B． C． D．
8．已知，则的最小值为
A． B． C． D．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．已知等差数列的前项和为，，，则
A． B．
C．的最小值为0 D．的最大值为
10．已知圆与轴相切，且在直线上，圆，若圆与圆相切，则圆的半径长可能是
A． B． C． D．
11．已知数轴上一个质点在外力的作用下，从原点出发，每次受力质点原地停留或向右移动一个单位，质点原地停留的概率为，向右移动的概率为，且每次是否移动互不影响．若该质点共受力7次，到达位置的数字记为，则
A． B．
C． D．
12．平面两两互相垂直且有一个公共点，，，，直线过点，则下列结论正确的是
A．若与所成的角均为，则与平面所成的角为
B．若与平面所成的角相等，则这样的直线有且仅有1条
C． 若与平面所成的角分别为，则与平面所成的角为
D．若点在上，且在的投影分别为，则
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．已知直线是双曲线（）的一条渐近线，则的离心率为 ．
14．数列中，，，则的前10项的和为 ．
15．甲箱中有2个白球和1个黑球，乙箱中有1个白球和2个黑球．现从甲箱中随机取两个球放入乙箱，然后再从乙箱中任意取出两个球，则最后摸出的两球都是白球的概率为 ；若最后摸出的两球都是白球，则这两个白球都来自甲箱的概率为 ．
16．某几何体是由一个圆柱体与两个半球对接而成的组合体，其中圆柱体的底面半径为2，高为4，直观图如图所示．现要将其加工成一个圆柱，使得圆柱的两个底面的圆周落在半球的球面上，则圆柱的最大体积为 ．











四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．（10分）
已知正项数列的前项和为，且满足．
（1）求，；
（2）设，数列的前项和为，求证：．



18．（12分）
已知函数．
（1）求曲线在点处的切线方程；
（2）证明：．



19．（12分）
如图，在四棱台中，，，，，．
（1）证明：平面平面；
（2）若四棱台的体积为，求直线与平面所成角的正弦值．


20．（12分）
学生的学习除了在课堂上认真听讲，还有一个重要环节就是课后自主学习，人们普遍认为课后自主学习时间越多学习效果越好．某权威研究机构抽查了部分高中学生，对学生每天花在数学上的课后自主学习时间（分钟）和他们的数学成绩（分）做出了调查，得到一些数据信息并证实了与正相关．“学霸”小李为了鼓励好朋友小王和小张努力学习，拿到了该机构的一份数据表格如下（其中部分数据被污染看不清），小李据此做出了散点图如下，并计算得到，，的方差为350，的相关系数（）．
编号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18

20
25
30
35
40
45
50
55
60
65
70
75
80
85
90
100
110
120

44
55
65
70
78
82
85
96
99
102
108
110
111
113
114
117
119
119


（1）请根据所给数据求出的线性经验回归方程，并由此预测每天课后自主学习数学时间达到100分钟时的数学成绩；
（2）受到小李的鼓励，小王和小张决定在课后花更多的时间在数学学习上，小张把课后自主学习时间从20分钟增加到60分钟，而小王把课后自主学习时间从60分钟增加到100分钟．经过几个月的坚持，小张的数学成绩从50分提升到90分，但小王的数学成绩却只是从原来的100分提升到了115分．小王觉得很迷惑，课后学习时间每天同样增加了40分钟，为什么自己的成绩仅仅提升了十几分呢，为什么实际成绩跟预测的成绩差别那么大呢？
①请根据你对课后自主学习时间与数学成绩的关系的看法及对一元回归模型的理解，解答小王的疑惑；
②小李为了解答小王的疑惑，想办法拿到了上表中被污染的数据如下．据此，请在上图中补齐散点图，并给出一个合适的经验回归方程类型（不必求出具体方程，不必说明理由）．
编号
14
15
16
17
18
x
85
90
100
110
120
y
113
114
117
119
119
附：回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为．
21．（12分）
已知为坐标原点，点到点的距离与它到直线的距离之比等于，记的轨迹为．点在上，三点共线，为线段的中点．
（1）证明：直线与直线的斜率之积为定值；
（2）直线与相交于点，试问以为直径的圆是否过定点，说明理由．








22．（12分）
已知（），．
（1）求的极值；
（2）若，求实数k的取值范围．
泉州市部分中学2024届高二下期末联考参考答案和评分标准
数 学
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．A 2．B 3．B 4．C 5．B 6．D 7．C 8．C
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．ABD 10．BCD 11．AC 12．AD
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13． 14．4062 15．； 16．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．（1）……① ，……②
由 ②－①得，， 1分
． 2分
又，
所以，
所以， 3分
所以， 4分
代入①得． 5分
（2）， 6分
， 8分
因为， 9分
所以，即． 10分

18．（1）因为，
则， 2分
所以，， 3分
所以曲线在点处的切线方程为， 4分
即． 5分
（2）令（）．
要证，即证． 6分
因为， 7分
所以在单调递增， 8分
又， 9分
所以当时，，； 10分
当时，，； 11分
当时， ．
故，即，得证． 12
19． 解法一：（1）在中，，由余弦定理得，
故， 1分
因为棱台，故交于一点，即共面， 2分
又，即，，所以平面， 3分
所以，又，即，，
所以平面， 4分
所以平面平面； 5分
（2）设梯形与梯形的面积分别为，
， 6分
因为梯形与梯形相似，且，故，所以， 7分
由（1）知，平面，
则，
所以，故， 8分
以为原点，分别为轴建立空间直角坐标系如图，
，由，
得，由，得，
所以， 9分
设平面的法向量为，
则，取， 10分
设直线与平面所成的角为，则
． 12分
解法二：（1）由棱台的定义，把四棱台的侧棱
延长交于点，得到四棱锥，， 1分
同解法一，可得， 2分
以为原点，分别为轴建立空间直角坐标系如图，
则，设， 3分
由，有， 4分
所以，即，所以平面， 5分
故平面平面，即平面平面； 6分
（2）可知四棱锥与四棱锥，
相似比为，故体积比为，故， 7分
所以，又， 8分
所以，故，所以，
故 9分
下同解法一．

20．（1）易得，， 1分
的方差为， 2分
所以 ， 4分
，故， 5分
当时，，
故预测每天课后自主学习数学时间达到100分钟时的数学成绩为140分 6分
（2）①（i）所求的经验回归方程依据的样本数据时间范围在20~80分钟，当时间范围扩大后，之间不一定还符合该方程，所以预测与实际情况可能会有较大的差别；
（ii）事实上，样本数据时间在70分钟以后，对应成绩的增速已有明显减缓的趋势，因此当时间范围扩大后，相关系数会降低，所求经验回归方程模型不一定适合．
（iii）小李所拿到的样本数据的缺失可能使得回归模型不恰当，还应收集更多的样本数据分析，
（iv）如果原来成绩较低，通过增加学习时间可以有效提高成绩，但是当成绩提高到一定程度时（如110分以上），想要通过延长学习时间来提高学习成绩就比较困难了，需要想别的办法．9分
注：本小题的解答中体现出以上几点的意思均可得分，最高得3分．
② 补齐散点图如图：
10分
合适的回归模型如，，，……等， 12分
答案不唯一，只要能体现出增长速度逐渐变缓即可．

21．（1）设，则有， 2分
整理得； 3分
设,，，则，，
由 ，两式相减：， 4分
整理得，，， 5分
即直线与直线的斜率之积为定值． 6分
（2） 显然直线的斜率不为0，设直线方程为，
联立方程组，消去得：， 7分
所以， ， ， 8分
， 直线， 从而点， 9分
根据椭圆的对称性可知，若以为直径的圆过定点，则该定点在轴上，可设为，
以为直径的圆过定点，则，
又，，
从而， 10分
整理得，
故 ，解方程组可得，
即以为直径的圆过定点．. 12分

22．（1）已知，（）， 1分
当时，恒成立，无极值； 2分
当时，，在上单调递增，在单调递减． 3分
当时，有极大值，，无极小值． 4分
综上，当时，无极值；当时，极大值为，无极小值． 5分
（2）若，则在时恒成立，
所以恒成立． 6分
令，则． 7分
令，则，
故在单调递减， 8分
又，
由零点存在定理知，存在唯一零点，使得， 9分
当时，，，此时单调递增；
当时，，，此时单调递减，
故． 10分
由得，，,．
令，则，
因为，故在上单调递增，
所以，即． 11分
故，
所以，即的取值范围为． 12分