青岛版数学九上3.4 直线与圆的位置关系 （课件PPT）

第3章 对圆的进一步认识3 . 4 直线与圆的位置关系 (1) 我们过去曾学习过点与圆的位置关系.回忆一下，在平面内一个点 P与⊙O的位置关系有几种?如果已知⊙O的半径为r，通过怎样的数量关系可以确定点P与⊙O的位置关系? (2) 在纸上画直线l与m，使m⊥l，垂足为点P. 取一张圆形的明纸片记圆心为O. 将⊙O放在纸上，使点O落在直线m上，沿m平移⊙O(图3-36)在平移过程中，观察直线l与⊙O的公共点的个数，你有什么发现? 我发现，直线l与圆的公共点的个数与⊙O与直线l的位置有关，可以有两个，可以只有一个，也可以没有公共点. 当直线l与⊙O有两个公共点时(图3-36①)，叫做直线l与⊙O相交. 直线l叫做⊙O的割线，两个公共点叫做交点. 当直线l与⊙O有唯一的公共点时 (图3-36②)，叫做直线l与⊙O 相切. 直线l叫做⊙O的切线，唯一的公共点叫做切点. 当直线l与⊙O没有公共点时 (图3-36③)，叫做直线l与⊙O相离. (3) 如图3-36，设⊙O的半径为r，圆心O到直线1的距离 OP为d，在平移⊙O的过程中，当直线l与⊙O相交时，d与r有怎样的大小关系?当直线l与⊙O相切或相离时呢?反过来，你能根据r与d的大小关系，判定⊙O与l的位置关系吗? 当直线l与⊙O相交时，d＜r；反之，当d＜r 时，直线l与⊙O相交. 当直线l与⊙O相切时， ________；反之，当d＝r 时，直线l与⊙O________. 当直线l与⊙O相离时，_______；反之，当d＞r时，直线l与⊙O________.d＝r相切d＞r相离例 1 在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3 cm，BC＝4cm. 以点C为圆心，r为半径画圆. 当r分别取下列各值时，斜边AB 所在的直线与⊙C具有怎样的位置关系? (1) r＝2 cm； (2) r＝2.4 cm； (3) r＝3cm . 即圆心C到AB的距离 d ＝ 2.4 cm. (1) 当r ＝ 2cm时，d ＞ r，直线AB与OC相离； (2)当r＝ 2.4 cm时，d＝r，直线AB与OC相切； (3)当r＝3 cm时，d ＜ r，直线AB与OC相交.1. 已知⊙O的半径为5 cm，点P在直线l上，若 OP＝5 cm， 则直线l与⊙O有怎样的位置关系?画图说明.相切或相交2. 已知等腰直角三角形的直角边长为2 cm，以直角顶点 为圆心，以r为半径画圆.当r在什么范围内取值时，所 画的圆与斜边相交? (1) 过⊙O的半径OA的外端点A作与半径OA垂直的直线l(图3-38)，你发现直线l与⊙O有怎样的位置关系?为什么? 因为圆心O到直线l的距离等于⊙O的半径，所以直线l与⊙O相切. 切线的判定定理 过半径的外端并且垂直于半径的直线是圆的切线. (2) 利用上面的定理，过⊙O 上任意一点，你会用三角尺画⊙O的切线吗?试一试 设P是⊙O上的任意一点，将三角尺的直角顶点与P点重合，一条直角边过圆心 O，再沿另外一条直角边画直线，该直线便是⊙O的经过点P的切线.例 2 如图3-39，以△ABC的边AB 为直径作⊙O，如果⊙O经过AC的中点D，然后过D作DE⊥BC，垂足为点E. DE是⊙O的切线吗?说明理由.解：DE是⊙O的切线. 理由如下：连接OD. ∵AB是⊙O的直径， ∴ AO＝OB.又∵AD＝DC， ∴ OD是△ABC的中位线从而OD//BC∵ DE⊥BC，∴ DE⊥OD，∴ DE是⊙O的切线. 连接OD后，把证明DE与⊙O相切转化为证明 DE⊥OD了. 在例2中，你还能由已知探索出哪些结论?说明你的理由，并与同学交流. 已知⊙O和圆上一点 P，你会用尺规过点 P作⊙O的切线吗?说出你的作法和作图的道理. 作法：连接 OP，过点 P作OP 的垂线l. 直线 l 就是所求作的切线. 作图的道理：过半径的外端并且垂直于半径的直线是圆的切线.1. 如图，直线AB经过⊙O上的点 C， 并且OA＝OB，CA＝ CB. AB是 ⊙O的切线吗?为什么?解：AB 是⊙O的切线.2. 如图，△ABC是⊙O的内接三角形， AB为⊙O的直径，∠CAE＝∠B. AE 与⊙O相切吗?为什么? 你能说出切线的判定定理的逆命题吗?这个逆命题是真命题还是假命题?如果是真命题，你能给出证明吗?逆命题是“圆的切线垂直于经过切点的半径”.不好直接证明，用反证法能行吗?已知：如图3-40，直线l与O相切于点A.求证：OA⊥l. 证明：如图3-40，假设l与半径 OA不垂直. 过点O作OB⊥直线l，垂足为点B. 在l上取BA′＝ BA，且使B点在A与A′之间，连接OA'于是OB垂直平分AA′，OA＝OA′. ∵点A是切点，OA是⊙O的半径， ∴ OA′也是⊙O的半径. 这就是说，直线l与⊙O有两个公共点，即l与⊙O相交，这与已知条件“直线l与⊙O相切于点A”矛盾，所以 OA⊥l.由此得到 切线的性质定理 圆的切线垂直于经过切点的半径.例 3 A，B，C是⊙O上的三点，经过点A，点B分别作⊙O的切线，两切线相交于点P，如果∠P ＝42°，求∠ACB的度数.  在解决有关圆的切线问题时，常常需要作出过切点的半径.因为切点 A，B把⊙O分成了一条优弧和一条劣弧，所以本题应分两种情况讨论. 1. 如图，△ABC 内接于⊙O，AB 为 直径，直线 BE切⊙O于点 B. 求证：∠A＝∠CBE .2. 如图，AB是⊙O的弦，A的延长线交过点B的⊙O的切 线于C，如果∠A＝20°，求∠C的度数. 过圆上一点能画且只能画一条圆的切线，过圆外一点能画圆的几条切线? (1) 在透明纸上画出O，在O 上取一点 A过点A 画出⊙O的切线，在过点A的切线上任取一点 P(图3-43). (2) 把你画出的图形沿直线 PO 对折，你发现点A关于PO的对称点 B在⊙O上吗?由此你能发现哪些结论?与同学交流. 点A关于PO的对称点B在⊙O上.连接PB，则PB与⊙O相切，点B是切点，由于PA与PB关于PO成轴对称，可以发现经过圆外一点可以画圆的两条切线PA，PB，并且PA＝PB.(3) 能证明你的结论是正确的吗? 如图 3-43，已知P是⊙O外一点，PA是⊙O的切线. 过切点A作 PO的重线，垂足为点 C，交⊙O于点B，连接PB，OA，OB (图3-44 ).∵ OA＝OB，OP⊥AB，∴ ∠AOP＝∠BOP.∵ OP＝OP，∴ △OPA≌ △OPB (SAS).∵ ∠OAP＝90°，∴ ∠OBP＝∠OAP＝90°.∴ PB是⊙O的切线，且PA ＝ PB. 这就是说，经过圆外一点可以画圆的两条切线，这点与其中一个切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长.这样，就得到了 * 切线长定理 过圆外一点所画的圆的两条切线长相等.例 4 如图3-45，P为⊙O外一点，PA，PB是⊙O的两条切线，A，B是切点，BC是⊙O的直径. (1) 求证：AC//OP； 证明：连接OA，AB，AB交PO于点D. ∵PA，PB分别切O于A，B两点. ∴ OA＝OB，PA＝PB，OP ＝OP，△AOP≌△BOP ∴ ∠OPA＝∠OPB，OP平分∠APB. ∴ PD⊥AB，∠PDA＝90°又∵BC是⊙O的直径， ∴∠CAB＝90° ∴AC // OP.    如图 3-46①，是一个用来测量球形物体直径的V型架，图3-46②是它抽象出的几何图形，其中PA与PB 是经过圆外一点 P的⊙O的两条切线，切点分别是A，B. ∠P ＝60°，如果一个乒乓球放入V型架上，量得 PA＝4.5 cm，怎样求出乒乓球的直径(精确到0.1cm)? 1. 如图，P是⊙O外一点，PA，PB是⊙O的两条切线，A，B为切点，OP交⊙O于点C，PA＝4cm，PC＝2 cm.求∠APB的大小.解：如图所示，连接 OA，OB.∵PA，PB 分别切⊙O于点A，B两点，∴OA⊥AP，OB⊥BP，OA＝OB，PA＝PB，OP＝OP，∴△AOP≌△BOP，∴∠OPA＝∠OPB.设⊙O的半径为x cm，则 OP＝(x＋2)2cm.  2.如图，在直角坐标系中，OM与x轴，y轴分别相切于点A，B，已知点 B的坐标为(0，3)，求点M的坐标及点M到弦AB的距离. 解：如图所示，连接 MB，MA，过点 M作MN⊥AB 于点N· ∵⊙M与轴y轴分别相切于点 A，B， ∴ ∠MBO＝∠MAO＝90°.NN 习题 3.41. 如图，⊙A的半径为2，点A (a，0) 在x轴上移动. (1)当⊙A与y轴相离时，a的取值范围是_____________； (2)当⊙A与y轴相切时，a的取值是___________； (3)当OA与y轴相交时，a的取值范围是_____________.a＞2或a＜－2a＝±2－2＜ a＜2 3. 如图，△ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点， ⊙O与AB相切于点D. ⊙O与AC相切吗?说明理由.E理由如下：如图所示， 连接 OD，过点 O作OE⊥AC 于点E.∵△ABC 为等腰三角形，∴∠B＝∠C.解： ⊙O与 AC 相切.E又∵O是BC 的中点， ∴BO＝CO· ∵⊙O与AB相切于点D. ∴OD⊥AB.又∵OE⊥AC， ∴ ∠BDO＝∠CEO＝90°， ∴ △BOD≌△COE， ∴OD＝OE. ∴⊙O与AC 相切. 解：CD与⊙O相切. 5. 如图， ⊙O的半径OC＝ 5cm，直线l⊥OC，垂足为点 H，且l交⊙O于A，B两点AB ＝ 8cm. 将直线l向下平移 多少时，l能与⊙O相切?解：如图所示，连接 OB. ∵ l ⊥ OC， ∴ AH ＝ BH. ∵ AB ＝ 8 cm，  6. 如图，AB是⊙O的弦，OC ⊥OA交AB于点C，过点B的直线交OC的延长线于点E. 当CE ＝ BE时，直线BE与⊙O有怎样的位置关系? 并说明你的理由.解：直线 BE与⊙O相切.理由如下：如图所示，连接 OB. ∵CE＝BE， ∴∠EBC＝∠ECB.∵∠A＋∠ACO＝90°，∠ACO＝∠ECB，∴∠A＋∠EBC＝90°，∴ OA＝OB，∴∠A＝∠ABO，∴∠OBE＝∠ABO＋∠EBC＝90°，∴ BE与⊙O相切. 7. 如图，AB为⊙O的直径，AD与⊙O相交，∠BAD的平分线交⊙O于点C，经过点C的切线交AD于点E. CE与AD垂直吗? 说明理由.解：CE与AD垂直.如图所示，连接 OC.∵CE与⊙O相切，∴OC⊥EC.∵ OC＝OA，∴∠BAC＝∠ACO.∵AC平分∠BAD，∴∠DAC＝∠BAC，∴∠DAC＝∠ACO，∴ AD//OC，∴ CE⊥AD. 解：∵PA与PB是⊙O的切线， ∴PA＝PB. ∴ DA，DC是⊙O的切线， ∴DA＝DC.同理，EC＝EB.∵△PDE 的周长为12，∴PD＋DC＋CE＋PE＝12.∴PD＋DA＋EB＋PE＝12， 即 PA＋PB＝12，∴ PA＝6. 9. 如图，AB是⊙O的直径，AC为⊙O的切线，BC交⊙O于点P，点Q是AC的中点. 求证：PQ是⊙O的切线.证明：如图所示，连接 OP，AP. ∵AB 是⊙O的直径， ∴∠APB＝90°，∠APC＝90°.∵Q是AC 的中点，∴AQ＝PQ，∴∠APQ＝∠PAQ.∵OA＝OP，∴∠OPA＝∠OAP.∵AC是⊙O的切线，∴∠BAC＝90°，∴∠OAP＋∠PAQ＝90°，∴∠OPA＋∠APQ＝90°，∴∠OPQ＝90°，∴PQ是⊙O的切线. 10. 如图，可以用刻度尺和一个锐角为 30°的三角尺测量计算圆形工件的直径，你能说明其中的道理吗?如果测得AB＝5cm，那么圆形工件的直径是多少?C 解：如图，由刻度尺可知AB 的长度，连接 OA，OB，OC.E ∵BA，BC与⊙O相切， ∴BA＝BC.又∵BO＝BO，AO＝CO， ∴△ABO≌△CBO(SSS)， ∴∠ABO＝∠CBO. ∵∠DBE＝60°， ∴∠ABD ＝ 120°，CE CE11. 如图，PC是⊙O的切线，C是切点，PO交⊙O于点A， 过点A的切线交PC干点D，CD∶DP ＝ 1∶2，AD ＝ 2cm.求⊙O的半径.解：如图所示，连接 OC. ∵DC，DA 是⊙O的切线. ∴OC⊥PC，AD⊥OA，CD＝AD， ∴∠DAP＝∠OCP＝90°.   12. 如图，以Rt△ABC的直角边AC为直径作⊙O，交斜边AB于点D，DE切⊙O于点D，交BC于点E. 已知BC＝10，求DE的长.解：如图所示，连接 CD. ∵AC 是⊙O的直径， ∴∠ADC ＝ 90°，∴∠BDC ＝ 90°.∵CE ⊥ AC，∴CE是⊙O的切线∵ED是⊙O的切线，∴EC＝ED，∴∠ECD＝∠EDC.∵∠ECD＋∠B＝90°， ∠EDC＋∠EDB＝90°，∴∠B＝∠EDB，∴ED＝EB，  13. 如图，CD是⊙O的直径，直线AE切⊙O于点B，DC的延长线交AB于点A，∠A ＝ 20°.请根据题设，写出两个你认为正确的结论，并加以证明，答案不唯一 14. 如图，有一张紧靠墙角 (成直角 )放置的圆桌，有一把长度略小于圆的直径的刻度尺，你能用这把刻度尺测量计算这张圆桌的直径吗? 请设计两种不同的方案，并说明方案的可行性.解：方法一：测量 AB 的长度，则圆桌的直径是 2AB. 如图(1)所示，连接 OC，OB. ∵AC，AB 是⊙O的切线， ∴OC⊥AC，OB⊥AB， ∴∠ABO＝∠ACO＝90°. ∵∠A＝90°，OC＝OB， ∴四边形 ABOC 是正方形， ∴OC＝AB， ∴圆桌的直径为 2OC＝2AB.  15. 如图，在Rt△ABC中，∠C ＝ 90°. (1) 利用尺规按下列要求作图，并在图中标注相应字母(不写作法，保留作图痕迹 )； ①作△ABC的外接圆，圆心为 O； ②以线段AC为一边，在AC的右侧作等边三角形ACD； ③ 连接BD，交O于点E，连接AE.略(2) 在你作的图中，若AB＝4，BC ＝ 2. ① 判断AD与⊙O的位置关系，并证明你的结论；② 求线段AE的长.本课结束This lesson is overTHANKS!