浙江省金华市东阳市江北初级中学等四校联考2022-2023学年八年级下学期期末数学试题(含答案)
展开这是一份浙江省金华市东阳市江北初级中学等四校联考2022-2023学年八年级下学期期末数学试题(含答案),共29页。试卷主要包含了选择题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。
2022-2023学年浙江省金华市东阳市江北初级中学等四校联考八年级(下)期末数学试卷
一、选择题(本题有10小题,每小题3分,共30分)
1.(3分)志愿服务,传递爱心,传递文明,下列志愿服务标志为中心对称图形的是( )
A. B.
C. D.
2.(3分)下列函数是反比例函数的是( )
A. B. C. D.
3.(3分)若二次根式在实数范围内有意义,则下列各数中,x可取的值是( )
A.4 B.π C.﹣1 D.3
4.(3分)若样本x1+1,x2+1,…,xn+1的平均数是5,方差是2,则样本2x1+2,2x2+2,…,2xn+2的平均数、方差分别是( )
A.5,2 B.10,2 C.10,4 D.10,8
5.(3分)平面直角坐标系内有点A(0,0),B(2,2),C(6,0)三点,请确定一点D,使以A、B、C、D为顶点的四边形为平行四边形,则的点D的坐标不可以是( )
A.(﹣4,2) B.(4,﹣2) C.(8,2) D.(2,﹣2)
6.(3分)如图,菱形ABCD中,点E,F,G分别为AB,AD,CD的中点,EF=4,FG=3,则菱形ABCD的周长为( )
A.12 B.16 C.18 D.20
7.(3分)利用反证法证明“在三角形的内角中,至少有一个角大于或等于60°”,应先假设( )
A.三角形有一个角小于60°
B.三角形的每个角都小于60°
C.三角形的每个角都大于60°
D.三角形有一个角大于60°
8.(3分)已知方程x2﹣4x+k=0的两个实数根是x1=1,x2=3,则方程(x﹣5)2﹣4(x﹣5)+k=0的两个实数根是( )
A.x1=1,x2=3 B.x1=6,x2=8
C.x1=﹣4,x2=﹣2 D.x1=0,x2=2
9.(3分)如图,点A是反比例函数的图象上的一点,过点A作AB⊥x轴,垂足为B.点C为y轴上的一点,连接AC,BC.若△ABC的面积为3,则k的值是( )
A.3 B.﹣6 C.6 D.﹣3
10.(3分)延时课上,王林用四根长度都为4cm的木条制作了图1所示正方形,而后将正方形的BC边固定,平推成图2的图形,并测得∠B=60°,则在此变化过程中结论错误的是( )
A.AB长度不变,为4cm
B.AC长度变小,减少4
C.BD长度变大,增大4
D.ABCD面积变小,减少
二、填空题(本题共6小题,每小题4分,共24分)
11.(4分)把化为最简二次根式,结果是 .
12.(4分)“除夕夜”用微信发吉祥数额的红包是一种新年祝福的表达方式,小红家9个微信红包的数额如下表:则这9个红包钱数的中位数是 元.
红包钱数(元)
1.78
6.6
8.8
9.9
个数
2
3
3
1
13.(4分)“花影遮墙,峰峦叠窗”,苏州园林空透的窗棂中蕴含着许多的数学元素.图①中的窗棂是冰裂纹窗棂,图②是这种窗棂中的部分图案.若∠1+∠3+∠5=186°,则∠2+∠4+∠6= °.
14.(4分)若点A(﹣1,y1),B(2,y2),C(3,y3)在反比例函数的图象上,则y1,y2,y3的大小关系是 (用“<”连接).
15.(4分)如图,矩形OABC的边OA、OC分别在x轴、y轴的正半轴上,顶点B的坐标为(4,3),点D为对角线OB上一点.若OA=OD,则点D到x轴的距离为 .
16.(4分)如图,正方形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,AE平分∠BAC分别交BC,BD于点E,点M,过点B作BF⊥AE于点P,交AC于点G,交CD于点F,则OM与OG存
在数量关系 ;当OM=1时,则BM= .
三、解答题(共题共8小题,共66分,各小题都必须写出解答过程)
17.(6分)选择合适的方法解下列方程:
(1)x2﹣4x﹣2=0;
(2)2x(x+3)=6(x+3).
18.(6分)某校举办了一次趣味数学竞赛,满分100分,学生得分均为整数,达到成绩60分及以上为合格,达到90分及以上为优秀,这次竞赛中,甲、乙两组学生成绩如下(单位:分)
甲组:30,60,60,60,60,60,70,90,90,100
乙组:50,60,60,60,70,70,70,70,80,90
组别
平均分
中位数
方差
合格率
优秀率
甲组
68分
a
376
90%
30%
乙组
b
c
196
90%
10%
(1)以上成绩统计分析表中a= 分,b= 分,c= 分
(2)小亮同学说:“这次竞赛我得了70分,在我们小组中属中游略偏上!”观察上面表格判断,小亮可能是甲、乙哪个组的学生?并说明理由
(3)如果你是该校数学竞赛的教练员,现在需要你选组同学代表学校参加复赛,你会选择哪一组?并说明理由
19.(6分)在4×4的方格中,选择6个小方格涂上阴影,请仔细观察图1中的六个图案的对称性,按要求回答.
(1)请在六个图案中,选出三个具有相同对称性的图案.
选出的三个图案是 (填写序号);
它们都是 图形(填写“中心对称”或“轴对称”);
(2)请在图2中,将1个小方格涂上阴影,使整个4×4的方格也具有(1)中所选图案相同的对称性.
20.(8分)如图所示,在▱ABCD中,点E,点F分别是AD,BC的中点,连接BE,DF.
(1)求证:四边形BEDF是平行四边形.
(2)若BC=2,∠C=105°,∠CBE=45°,求线段DF的长度.
21.(8分)已知二次根式.
(1)求使得该二次根式有意义的x的取值范围;
(2)已知是最简二次根式,且与可以合并.
①求x的值;
②求与的乘积.
22.(10分)澄泥砚是全国四大名砚之一,其历史可上溯到唐代,为陶砚,以泥沙再造而成,其质细腻,柔中有坚,贮水不涸,历寒不冰,发墨护毫,兼具陶石双重优点,某电商直播销售一款澄泥砚,每块澄泥砚的成本为30元,当每块售价定为48元时,平均每月可售出500块澄泥砚,通过市场调查发现,若售价每上涨1元,其月销售量就减少10块,若想获得销售澄泥砚的月利润恰好为11200元,且每块售价上涨不超过20元,问每块澄泥砚的售价应上涨多少元?
23.(10分)对于平面直角坐标系xOy中的不同两点A(x1,y1),B(x2,y2),给出如下定义:若x1x2=1,y1y2=1,则称点A,B互为“倒数点”,例如:点,B(2,1)互为“倒数点”.
(1)已知点A的坐标为(1,3),则点A的“倒数点”点B的坐标为 ;将线段AB向右平移2个单位得到线段A′B′,则线段A′B′上 (填“存在”或“不存在”)“倒数点”.
(2)如图,在正方形CDEF中,点C坐标为,点D坐标为,请判断该正方形的边上是否存在“倒数点”,并说明理由.
24.(12分)如图1,四边形ABCD为正方形,点A在y轴上,点B在x轴上,且OA=2OB,反比例函数 在第一象限的图象经过正方形的顶点C.
(1)求点C的坐标;
(2)如图2,将正方形ABCD沿x轴向右平移得到正方形 A'B'CD',点 A'恰好落在反比例函数的图象上,求此时点 D'的坐标;
(3)在(2)的条件下,点P为y轴上一动点,平面内是否存在点Q,使以点O、A'、P、Q为顶点的四边形为菱形,若存在,请直接写出点Q的坐标,若不存在,请说明理由.
2022-2023学年浙江省金华市东阳市江北初级中学等四校联考八年级(下)期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题(本题有10小题,每小题3分,共30分)
1.(3分)志愿服务,传递爱心,传递文明,下列志愿服务标志为中心对称图形的是( )
A. B.
C. D.
【分析】根据中心对称图形的定义:把一个图形绕着某一个点旋转180°,如果旋转后的图形能够与原来的图形重合,那么这个图形叫做中心对称图形,这个点就是它的对称中心,进行逐一判断即可.
【解答】解:A.不是中心对称图形,故此选项不符合题意;
B.是中心对称图形,故此选项符合题意;
C.不是中心对称图形,故此选项不符合题意;
D.不是中心对称图形,故此选项不符合题意;
故选:B.
【点评】本题主要考查了中心对称图形的定义,解题的关键在于能够熟练掌握中心对称图形的定义.
2.(3分)下列函数是反比例函数的是( )
A. B. C. D.
【分析】根据反比例函数的定义判断即可.
【解答】解:反比例函数的解析式的形式为:且k为常数,因而可知选项D是反比例函数,其余选项均不是反比例函数.
故选:D.
【点评】本题考查了反比例函数的定义,掌握反比例函数的定义是关键.
3.(3分)若二次根式在实数范围内有意义,则下列各数中,x可取的值是( )
A.4 B.π C.﹣1 D.3
【分析】根据二次根式有意义的条件可求解x的取值范围,进而可求解.
【解答】解:由题意得2﹣x≥0,
解得x≤2,
∴在4,π,﹣1,3中实数x可取的值是﹣1,
故选:C.
【点评】本题主要考查二次根式有意义的条件,掌握二次根式有意义的条件是解题的关键.
4.(3分)若样本x1+1,x2+1,…,xn+1的平均数是5,方差是2,则样本2x1+2,2x2+2,…,2xn+2的平均数、方差分别是( )
A.5,2 B.10,2 C.10,4 D.10,8
【分析】由数据2x1+2,2x2+2,…,2xn+2是将原数据分别乘以2所得,其平均数是原平均数的2倍,方差是原方差的22倍,据此可得答案.
【解答】解:∵样本x1+1,x2+1,…,xn+1⋅的平均数是5,方差是2,
∴2x1+2,2x2+2,…,2xn+2的平均数是2×5=10,方差是22×2=8,
故选:D.
【点评】本题主要考查方差和平均数,解题的关键是熟练掌握方差和平均数的性质.
5.(3分)平面直角坐标系内有点A(0,0),B(2,2),C(6,0)三点,请确定一点D,使以A、B、C、D为顶点的四边形为平行四边形,则的点D的坐标不可以是( )
A.(﹣4,2) B.(4,﹣2) C.(8,2) D.(2,﹣2)
【分析】结合平行四边形性质,利用点的平移分三种情况即可得到答案即可得到答案.
【解答】解:∵平面直角坐标系内有点A(0,0),B(2,2),C(6,0)三点,∴连接A(0,0),B(2,2),C(6,0)构成△ABC,过△ABC的顶点作其对边平行线,分别交于D1、D2、D3,如图所示:
①在平行四边形ACBD1中,CB∥AD1,
∵C(6,0),B(2,2),
∴C(6,0)向左平移4个单位长度、向上平移2个单位长度得到B(2,2),
∵A(0,0),
∴由点的平移可得D1(﹣4,2);
②在平行四边形CABD2中,AB∥CD2,
∵A(0,0),B(2,2),
∴A(0,0)向右平移2个单位长度、向上平移2个单位长度得到B(2,2),
∵C(6,0),
∴由点的平移可得D2(8,2);
③在平行四边形CBAD3中,BA∥CD3,
∵B(2,2),A(0,0),
∴B(2,2)向左平移2个单位长度、向下平移2个单位长度得到A(0,0),
∵C(6,0),
∴由点的平移可得D3(4,﹣2);
综上所述,符合题意的点D1(﹣4,2)、D2(8,2)或D3(4,﹣2)三种情况.
故选:D.
【点评】本题考查利用点的平移求平行四边形顶点坐标,涉及平行四边形性质及点的平移法则,熟练掌握点的平移法则是解决问题的关键.
6.(3分)如图,菱形ABCD中,点E,F,G分别为AB,AD,CD的中点,EF=4,FG=3,则菱形ABCD的周长为( )
A.12 B.16 C.18 D.20
【分析】连接BD,AC,进而利用三角形中位线定理得出BD,AC,进而利用菱形的性质解答即可.
【解答】解:连接BD,AC,
∵点E,F,G分别为AB,AD,CD的中点,
∴EF是△ABD的中位线,FG是△ADC的中位线,
∵EF=4,FG=3,
∴BD=8,AC=6,
∵四边形ABCD是菱形,
∴AC⊥DB,OB=OD,OA=OC,
∴AB=,
∴菱形ABCD的周长=4×5=20,
故选:D.
【点评】此题考查菱形的性质,关键是根据菱形的对角线互相垂直解答.
7.(3分)利用反证法证明“在三角形的内角中,至少有一个角大于或等于60°”,应先假设( )
A.三角形有一个角小于60°
B.三角形的每个角都小于60°
C.三角形的每个角都大于60°
D.三角形有一个角大于60°
【分析】反证法的步骤中,第一步是假设结论不成立,反面成立,可据此进行判断.
【解答】解:一个角大于或等于60°的 反面是:小于60°.
故应假设:三角形的每个角都小于60°.
故选:B.
【点评】本题主要考查了反证法的基本步骤,正确确定大于或等于60°的反面,是解决本题的关键.
8.(3分)已知方程x2﹣4x+k=0的两个实数根是x1=1,x2=3,则方程(x﹣5)2﹣4(x﹣5)+k=0的两个实数根是( )
A.x1=1,x2=3 B.x1=6,x2=8
C.x1=﹣4,x2=﹣2 D.x1=0,x2=2
【分析】把方程(x﹣5)2﹣4(x﹣5)+k=0看作关于(x﹣5)的一元二次方程,根据题意得到x﹣5=1或x﹣5=3,然后解一次方程即可.
【解答】解:把方程(x﹣5)2﹣4(x﹣5)+k=0看作关于(x﹣5)的一元二次方程,
∵方程x2﹣4x+k=0的两个实数根是x1=1,x2=3,
∴x﹣5=1或x﹣5=3,
解得x1=6,x2=8,
即方程(x﹣5)2﹣4(x﹣5)+k=0的两个实数根是x1=6,x2=8.
故选:B.
【点评】本题考查了根与系数的关系,利用换元的思想是解决问题的关键.
9.(3分)如图,点A是反比例函数的图象上的一点,过点A作AB⊥x轴,垂足为B.点C为y轴上的一点,连接AC,BC.若△ABC的面积为3,则k的值是( )
A.3 B.﹣6 C.6 D.﹣3
【分析】连接OA,如图,利用三角形面积公式得到S△OAB=S△CAB=3,再根据反比例函数的比例系数k的几何意义得到=3,然后去绝对值即可得到满足条件的k的值.
【解答】解:连接OA,如图,
∵AB⊥x轴,
∴OC∥AB,
∴S△OAB=S△CAB=3,
而S△OAB=|k|,
∴=3,
∵k<0,
∴k=﹣6.
故选:B.
【点评】本题考查了反比例函数的比例系数k的几何意义:在反比例函数y=图象中任取一点,过这一个点向x轴和y轴分别作垂线,与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|.
10.(3分)延时课上,王林用四根长度都为4cm的木条制作了图1所示正方形,而后将正方形的BC边固定,平推成图2的图形,并测得∠B=60°,则在此变化过程中结论错误的是( )
A.AB长度不变,为4cm
B.AC长度变小,减少4
C.BD长度变大,增大4
D.ABCD面积变小,减少
【分析】根据正方形的性质得∠B=90°,AB=CB,由勾股定理得求得AC,再证明△ABC是等边三角形,则AC=AB,由勾股定理求出AH,BD,进而求出菱形ABCD面积和正方形ABCD面积,于是得到问题的答案.
【解答】解:连接AC,BD,
∵四边形ABCD是正方形,
∴∠B=90°,AB=CB,AB=BC=4cm,AB2+CB2=AC2,
∴AC2=2×42,正方形ABCD面积=42=16(cm2),
∴AC=BD=4(cm),
在菱形ABCD中,连接AC,BD,过A作AH⊥BC于点H,
AB=CB=4,BO=DO,AO=CO,
∵∠B=60°,
∴△ABC是等边三角形,
∴AC=AB=BC=4cm,AO=2,BH=CH=2,
∴BD=2BO=2=4,AH==2,
菱形ABCD面积=×4×2=4(cm2),
故选项A不符合题意;
∵4﹣4=4(﹣1)(cm),
故选项B不符合题意;
∵4﹣4=4(﹣)(cm),
故选项C不符合题意;
∵16﹣4=4(4﹣)(cm2),
故选项D符合题意;
故选:D.
【点评】此题重点考查菱形的性质、正方形的性质、勾股定理、等边三角形的判定与性质等知识,证得菱形中△ABC是等边三角形是解题的关键.
二、填空题(本题共6小题,每小题4分,共24分)
11.(4分)把化为最简二次根式,结果是 .
【分析】原来利用二次根式化简公式计算即可得到结果.
【解答】解:==.
故答案为:.
【点评】此题考查了最简二次根式,熟练掌握二次根式性质是解本题的关键.
12.(4分)“除夕夜”用微信发吉祥数额的红包是一种新年祝福的表达方式,小红家9个微信红包的数额如下表:则这9个红包钱数的中位数是 6.6 元.
红包钱数(元)
1.78
6.6
8.8
9.9
个数
2
3
3
1
【分析】直接根据表格作答即可.
【解答】解:由表格可知第5个数为6.6,
故答案为:6.6.
【点评】本题考查了中位数,如果一组数据有奇数个,那么把这组数据从小到大排列后,排在中间位置的数是这组数据的中位数;如果一组数据有偶数个,那么把这组数据从小到大排列后,排在中间位置的两个数的平均数是这组数据的中位数.
13.(4分)“花影遮墙,峰峦叠窗”,苏州园林空透的窗棂中蕴含着许多的数学元素.图①中的窗棂是冰裂纹窗棂,图②是这种窗棂中的部分图案.若∠1+∠3+∠5=186°,则∠2+∠4+∠6= 366 °.
【分析】根据多边形的外角和等于360度解决此题.
【解答】解:如图.
∵∠1+∠8+∠3+∠9+∠5+∠7=360°,
∴∠8+∠9+∠7=360°﹣(∠1+∠3+∠5)=174°.
∴∠2+∠4+∠6=180°×3﹣(∠8+∠9+∠7)=366°.
故答案为:366.
【点评】本题主要考查多边形的外角和,熟练掌握任意多边形的外角和是360度是解决本题的关键.
14.(4分)若点A(﹣1,y1),B(2,y2),C(3,y3)在反比例函数的图象上,则y1,y2,y3的大小关系是 y1<y3<y2 (用“<”连接).
【分析】将点A(﹣1,y1),B(2,y2),C(3,y3)代入分别求出y1、y2、y3的值,再进行比较即可.
【解答】解:把点A(﹣1,y1)代入得:,
把点B(2,y2)代入得:
,
把点C(3,y3)代入得:
y3==2,
∵﹣6<2<3,
∴y1<y3<y2,
故答案为:y1<y3<y2.
【点评】本题考查的是反比例函数图象的性质,掌握反比例函数的性质是解题的关键.
15.(4分)如图,矩形OABC的边OA、OC分别在x轴、y轴的正半轴上,顶点B的坐标为(4,3),点D为对角线OB上一点.若OA=OD,则点D到x轴的距离为 .
【分析】由点B的坐标为(4,3)可得直线OB的解析式为,设点D到的坐标为,根据两点间距离公式可得解得a的值,进而求得点D的纵坐标即可解答.
【解答】解:∵点B的坐标为(4,3),
∴由待定系数法可得直线OB的解析式为,
设点D到的坐标为,
∴,
解得或(舍弃),
∴点D到x轴的距离为点D的纵坐标.
故答案为:.
【点评】本题主要考查了矩形的性质、一次函数的应用等知识点,正确作出辅助线、构造直角三角形是解答本题的关键.
16.(4分)如图,正方形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,AE平分∠BAC分别交BC,BD于点E,点M,过点B作BF⊥AE于点P,交AC于点G,交CD于点F,则OM与OG存
在数量关系 相等 ;当OM=1时,则BM= .
【分析】由正方形的性质即可证明△AOM≌△BOG解决问题;作MN⊥AB于点N,先证明OM=MN,利用勾股定理即可解决问题.
【解答】 证明:在正方形ABCD中,
∵AC⊥BD,OA=OB=OC,
∴∠AOM=∠BOG=90°,
∴∠MAO+∠AMO=90°,
∵BF⊥AE,
∴∠MBP+∠BMP=90°,
又∵∠BMP=∠AMO,
∴∠MAO=∠MBP,
在△AOM和△BOG中,
,
∴△AOM≌△BOG(ASA),
∴OM=OG;
如图,作MN⊥AB于点N,
∵AC⊥BD,AE平分∠BAC,
∴OM=MN,
又∵∠ABD=45°,
∴BN=MN,
在Rt△BMN中,BM2=BN2+MN2=2MN2=2OM2,
∵OM=1时,
则BM=.
故答案为:相等;.
【点评】本题考查了正方形的性质,全等三角形的判定与性质,解决本题的关键是得到△AOM≌△BOG.
三、解答题(共题共8小题,共66分,各小题都必须写出解答过程)
17.(6分)选择合适的方法解下列方程:
(1)x2﹣4x﹣2=0;
(2)2x(x+3)=6(x+3).
【分析】(1)利用配方法得到(x﹣2)2=6,然后用直接开平方法解方程;
(2)先移项,再利用因式分解法把方程转化为x+3=0或2x﹣6=0,然后解两个一次方程即可.
【解答】解:(1)x2﹣4x﹣2=0,
x2﹣4x=2,
x2﹣4x+4=6,
(x﹣2)2=6,
x﹣2=±,
所以x1=2+,x2=2﹣;
(2)2x(x+3)=6(x+3),
2x(x+3)﹣6(x+3)=0,
(x+3)(2x﹣6)=0,
x+3=0或2x﹣6=0,
所以x1=﹣3,x2=3.
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法:因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法,这种方法简便易用,是解一元二次方程最常用的方法.也考查了配方法.
18.(6分)某校举办了一次趣味数学竞赛,满分100分,学生得分均为整数,达到成绩60分及以上为合格,达到90分及以上为优秀,这次竞赛中,甲、乙两组学生成绩如下(单位:分)
甲组:30,60,60,60,60,60,70,90,90,100
乙组:50,60,60,60,70,70,70,70,80,90
组别
平均分
中位数
方差
合格率
优秀率
甲组
68分
a
376
90%
30%
乙组
b
c
196
90%
10%
(1)以上成绩统计分析表中a= 60 分,b= 68 分,c= 70 分
(2)小亮同学说:“这次竞赛我得了70分,在我们小组中属中游略偏上!”观察上面表格判断,小亮可能是甲、乙哪个组的学生?并说明理由
(3)如果你是该校数学竞赛的教练员,现在需要你选组同学代表学校参加复赛,你会选择哪一组?并说明理由
【分析】(1)计算甲组的中位数,乙组的平均数和中位数,进而得出答案,
(2)根据中位数的意义,可以判断所在的组的中位数小于70,因此得出在甲组,
(3)从优秀率、及格率以及个人单项第一等方面说明理由.
【解答】解:(1)甲组成绩从小到大排列处在第5、6位的两个数都是60,因此中位数是60,即a=60,
(50+60×3+70×4+80+90)÷10=68分,即b=68,
乙组成绩从小到大排列处在第5、6位的两个数都是70,因此中位数是70,即c=70,
故答案为:60,68,70;
(2)小亮得了70分,在小组中属中游略偏上,说明中位数小于70,因此在甲组,
(3)选择甲组,虽然甲组的方差大,数据不稳定,但是甲组的合格率、优秀率都高于乙组,并且有考满分的同学,很有可能获得个人第一名.
【点评】考查众数、中位数、平均数的意义和计算方法,理解各个统计量的意义及各个统计量所反映数据的特点是解决问题的关键.
19.(6分)在4×4的方格中,选择6个小方格涂上阴影,请仔细观察图1中的六个图案的对称性,按要求回答.
(1)请在六个图案中,选出三个具有相同对称性的图案.
选出的三个图案是 ①③⑤ (填写序号);
它们都是 轴对称 图形(填写“中心对称”或“轴对称”);
(2)请在图2中,将1个小方格涂上阴影,使整个4×4的方格也具有(1)中所选图案相同的对称性.
【分析】轴对称图形:如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合,这样的图形叫做轴对称图形;中心对称图形:在同一平面内,如果把一个图形绕某一点旋转180°,旋转后的图形能和原图形完全重合,那么这个图形就叫做中心对称图形.
【解答】解:(1)①③⑤三个图案是轴对称图形,
故答案为:①③⑤;轴对称;
(2)如图所示,
【点评】本题考查了中心对称图形轴对称图形的概念.轴对称图形的关键是寻找对称轴,图形两部分折叠后可重合,中心对称图形是要寻找对称中心,旋转180度后与原图重合.
20.(8分)如图所示,在▱ABCD中,点E,点F分别是AD,BC的中点,连接BE,DF.
(1)求证:四边形BEDF是平行四边形.
(2)若BC=2,∠C=105°,∠CBE=45°,求线段DF的长度.
【分析】(1)由平行四边形的性质和中点的性质得DE=BF,再由平行四边形的判定即可得出结论;
(2)过C作CG⊥DF于点G,由平行四边形的性质得BE∥DF,则∠CFD=∠CBE=45°,再证△CGF是等腰直角三角形,得CG=FG=1,∠GCF=45°,然后证∠CDG=30°,则CD=2CG=2,DG=,即可得出结论.
【解答】(1)证明:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD∥BC,AD=BC,
∵点E,点F分别是AD,BC的中点,
∴AE=DE=AD,BF=CF=BC,
∴DE=BF,
又∵DE∥BF,
∴四边形BEDF是平行四边形;
(2)解:如图,过C作CG⊥DF于点G,
则∠CGF=∠CGD=90°,
由(1)可知,CF=BC=,四边形BEDF是平行四边形,
∴BE∥DF,
∴∠CFD=∠CBE=45°,
∴△CGF是等腰直角三角形,
∴CG=FG=CF=1,∠GCF=45°,
∵∠BCD=105°,
∴∠DCG=∠BCD﹣∠GCF=105°﹣45°=60°,
∴∠CDG=90°﹣∠DCG=90°﹣60°=30°,
∴CD=2CG=2,
∴DG===,
∴DF=DG+FG=+1,
即线段DF的长度为+1.
【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、含30°角的直角三角形的性质以及勾股定理等知识,熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键.
21.(8分)已知二次根式.
(1)求使得该二次根式有意义的x的取值范围;
(2)已知是最简二次根式,且与可以合并.
①求x的值;
②求与的乘积.
【分析】(1)根据二次根式有意义的条件是被开方数大于等于0进行求解即可;
(2)①根据最简根式和同类二次根式的定义可得x+2=10,解方程即可得到答案;②根据①所求利用二次根式的乘法计算法则求解即可.
【解答】解:(1)∵二次根式有意义,
∴x+2≥0,
解得x≥﹣2;
(2)①,
∵与能合并,并且是最简二次根式,
∴x+2=10,
解得x=8;
②由①可得.
【点评】本题主要考查了二次根式有意义的条件,最简二次根式和同类二次根式的定义,二次根式的乘法等等,熟知二次根式的相关知识是解题的关键.
22.(10分)澄泥砚是全国四大名砚之一,其历史可上溯到唐代,为陶砚,以泥沙再造而成,其质细腻,柔中有坚,贮水不涸,历寒不冰,发墨护毫,兼具陶石双重优点,某电商直播销售一款澄泥砚,每块澄泥砚的成本为30元,当每块售价定为48元时,平均每月可售出500块澄泥砚,通过市场调查发现,若售价每上涨1元,其月销售量就减少10块,若想获得销售澄泥砚的月利润恰好为11200元,且每块售价上涨不超过20元,问每块澄泥砚的售价应上涨多少元?
【分析】设每块澄泥砚的售价应上涨x元,则每块的销售利润为(48+x﹣30)元,平均每月可售出(500﹣10x)块,利用总利润=每块的销售利润×月销售量,可得出关于x的一元二次方程,解之取其符合题意的值即可得出结论.
【解答】解:设每块澄泥砚的售价应上涨x元,则每块的销售利润为(48+x﹣30)元,平均每月可售出(500﹣10x)块,
根据题意得:(48+x﹣30)(500﹣10x)=11200,
整理得:x2﹣32x+220=0,
解得:x1=10,x2=22(不符合题意,舍去).
答:每块澄泥砚的售价应上涨10元.
【点评】本题考查了一元二次方程的应用,找准等量关系,正确列出一元二次方程是解题的关键.
23.(10分)对于平面直角坐标系xOy中的不同两点A(x1,y1),B(x2,y2),给出如下定义:若x1x2=1,y1y2=1,则称点A,B互为“倒数点”,例如:点,B(2,1)互为“倒数点”.
(1)已知点A的坐标为(1,3),则点A的“倒数点”点B的坐标为 , ;将线段AB向右平移2个单位得到线段A′B′,则线段A′B′上 不存在 (填“存在”或“不存在”)“倒数点”.
(2)如图,在正方形CDEF中,点C坐标为,点D坐标为,请判断该正方形的边上是否存在“倒数点”,并说明理由.
【分析】(1)设A(x1,y1),B(x2,y2),由题意得出x2=1,,点B的坐标为,由平移的性质得出A′(3,3),,即可得出结论;
(2)①若点M(x1,y1)在线段CF上,则,点N(x2,y2)应当满足x2=2,可知点N不在正方形边上,不符题意;
②若点M(x1,y1)在线段CD上,则,点N(x2,y2)应当满足y2=2,可知点N不在正方形边上,不符题意;
③若点M(x1,y1)在线段EF上,则,点N(x2,y2)应当满足,得出,,此时点,在线段EF上,满足题意.
【解答】解:(1)设A(x1,y1),B(x2,y2),
∵x1x2=1,y1y2=1,A(1,3),
∴x2=1,,点B的坐标为,
将线段AB水平向右平移2个单位得到线段A′B′,
则A′(3,3),,
∵3×3=9,,
∴线段A′B′上不存在“倒数点”,
故答案为:(1,);不存在;
(2)正方形的边上存在“倒数点”M、N,理由如下:
①若点M(x1,y1)在线段CF上,
则,点N(x2,y2)应当满足x2=2,
可知点N不在正方形边上,不符题意;
②若点M(x1,y1)在线段CD上,
则,点N(x2,y2)应当满足y2=2,
可知点N不在正方形边上,不符题意;
③若点M(x1,y1)在线段EF上,
则,点N(x2,y2)应当满足,
∴点N只可能在线段DE上,,,
此时点,在线段EF上,满足题意;
∴该正方形各边上存在“倒数点”,,,.
【点评】本题是四边形综合题目,考查了正方形的性质、新定义“倒数点”、平面直角坐标系、平移的性质等知识;熟练掌握正方形的性质,正确理解新定义“倒数点”是解题的关键.
24.(12分)如图1,四边形ABCD为正方形,点A在y轴上,点B在x轴上,且OA=2OB,反比例函数 在第一象限的图象经过正方形的顶点C.
(1)求点C的坐标;
(2)如图2,将正方形ABCD沿x轴向右平移得到正方形 A'B'CD',点 A'恰好落在反比例函数的图象上,求此时点 D'的坐标;
(3)在(2)的条件下,点P为y轴上一动点,平面内是否存在点Q,使以点O、A'、P、Q为顶点的四边形为菱形,若存在,请直接写出点Q的坐标,若不存在,请说明理由.
【分析】(1)作CH⊥x轴于H,利用AAS证明△AOB≌△BHC,得BH=OA=6,CH=OB=3,可得点C的坐标,再将点C代入反比例函数解析式可得答案;
(2)由(1)同理可得,点D(6,9),根据A'的坐标求出m的值,再利用平移的性质可得D'的坐标;
(3)分OA'=OP,A'O=A'P,PA'=PO三种情形,分别画出菱形,根据菱形的性质可得答案.
【解答】解:(1)作CH⊥x轴于H,
∵四边形ABCD是正方形,
∴AB=BC,∠ABC=90°,
∴∠ABO+∠CBH=90°,
∵∠ABO+∠OAB=90°,
∴∠OAB=∠CBH,
∴△AOB≌△BHC(AAS),
∴BH=OA=6,CH=OB=3,
∴C(9,3);
(2)由(1)同理可得,点D(6,9),
∵点A'恰好落在反比例函数的图象上,
∴当y=6时,x=,
∴m=,
∴D'(6+,9),即D'(,9);
(3)当OA'=OP时,如图,
∵A'(,6),
∴OA'=,
∵四边形OPQA'是菱形,
∴A'Q∥OP,A'Q=OP,
∴Q′(,),
当点Q在第四象限时,Q(,﹣),
当A'O=A'P时,如图,
则点A'与Q关于y轴对称,
∴Q(﹣,6),
当PO=PA'时,如图,设P(0,m),
则PO=PA',
∴m2=(6﹣m)2+()2,
解得m=,
∴OP=A'Q=,
∴Q(,),
综上:Q(,)或(,﹣)或(﹣,6)或(,).
【点评】本题是反比例函数综合题,主要考查了正方形的性质,平移的性质,全等三角形的判定与性质,菱形的性质,等腰三角形的性质等知识,根据△OA'P是等腰三角形进行分类讨论是解题的关键.
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