精品解析：湖北省荆门市2022-2023学年高二下学期期末数学试题（解析版）

这是一份精品解析：湖北省荆门市2022-2023学年高二下学期期末数学试题（解析版），共21页。
荆门市2022—2023学年度下学期期末
高二年级学业水平检测
数学
本试卷共4页，共22题．满分150分，考试用时120分钟．
注意事项：
1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填在答题卡上．
2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答在试题卷上无效．
3．填空题和解答题答在答题卡上每题对应的答题区域内，答在试题卷上无效．
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的．
1. 已知直线：，若直线与垂直，则的倾斜角是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据直线的斜截式得直线斜率，由垂直关系可得的斜率，进而可求倾斜角.
【详解】直线：转为为斜截式得，故斜率为，
由于与垂直，所以的斜率为，故倾斜角为，
故选：A
2. 已知等差数列的前项和为，若，，则公差为（ ）
A. 3 B. C. 1 D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据等差数列基本量的计算即可求解.
【详解】，，解得，
故选：D
3. 对于数据组，如果由经验回归方程得到的对应自变量的估计值是，那么将称为对应点的残差．某学校利用实践基地开展劳动教育活动，在其中一块土地上栽种某种蔬菜，并指定一位同学观测其中一棵幼苗生长情况，该同学获得前6天的数据如下：
第天
1
2
3
4
5
6
高度（cm）
1
4
7
9
11
13
经这位同学的研究，发现第天幼苗的高度（cm）的经验回归方程为，据此计算样本点处的残差为（ ）
A. 0.1 B. C. 0.9 D.
【答案】B
【解析】
【分析】求出样本中心点，代入经验回归方程求出，求出的估计值，从而可求对应的残差.
【详解】,，
因为经验回归方程过样本中心点,
所以,解得,
所以经验回归方程为.
当时，.
所以样本点处的残差为.
故选:B.
4. 从1，2，3，4，5中随机选取三个不同的数，若这三个数之积为偶数，则它们之和不小于10的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意，由列举法分析“从1，2，3，4，5中随机选取三个不同的数”的取法，进而可得其中“三个数的积为偶数”和“三个数的和大于等于10”的取法数目，由条件概率公式计算可得答案．
【详解】根据题意，从1，2，3，4，5中随机选取三个不同的数，取法有、、、、、、、、、，共10种取法；
其中三个数的积为偶数的有9种，分别为、、、、、、、、，
三个数的和不小于10的有4种，分别为、、、，
若这三个数之积为偶数，则它们之和不小于10的概率．
故选：C
5. 编号为1，2，3，4，5的五位同学分别就坐于编号为1，2，3，4，5的五个座位上，每位座位恰好坐一位同学，则恰有两位同学的编号和座位编号一致的坐法种数为（ ）
A. 20 B. 45 C. 40 D. 90
【答案】A
【解析】
【分析】先人中选人出来，他们的两编号一致，剩下人编号均不一致，有两种坐法，由乘法原理可得．
【详解】由题意人中选人出来，他们的两编号一致，剩下人编号不一致，则有两种坐法，
所以恰有两位同学的编号和座位编号一致的坐法种数为．
故选：A.
6. 正整数1，2，3，…，的倒数的和已经被研究了几百年，但是迄今为止仍然没有得到它的求和公式，只是得到了它的近似公式；当很大．其中称为欧拉—马歇罗尼常数，，至今为止都不确定是有理数还是无理数．设表示不超过的最大整数．用上式计算的值为（ ）（参考数据：，，）
A 7 B. 8 C. 9 D. 10
【答案】B
【解析】
【分析】根据题中定义可得，由，结合对数的运算性质，求得的取值范围，即可得解．
【详解】，
因为，
所以，
而，，
所以，
所以，
所以．
故选：B
7. 过抛物线的焦点作斜率为直线与抛物线交于、两点，与抛物线的准线相交于点．若为的中点，则（ ）
A. B. C. 2 D.
【答案】D
【解析】
【分析】求出直线的方程，与抛物线方程联立，结合已知点的关系求出交点横坐标作答.
【详解】抛物线的焦点，准线方程为，直线的方程为，

由消去y并整理得：，设，
则，而点的横坐标为，又是的中点，则有，
由，，解得，因此，又，解得，
所以.
故选：D
8. 设函数在定义域上满足，若在上是减函数，且，则不等式的解集为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由题意可得为上的奇函数且在上是减函数，由得，再分类求解即可.
【详解】由，可得为上的奇函数，且.
因为在上是减函数，所以在上是减函数.
又，所以.
由，可得或，解得或.
所以不等式的解集为.
故选:D.
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9. 在正方体中，，则（ ）
A.
B. 与平面所成角为
C. 当点在平面内时，
D. 当时，四棱锥的体积为定值
【答案】AC
【解析】
【分析】依题意点在四边形内及边界运动（不含）.对于A，通过证明线面垂直证得线线垂直得出结果；对于B，与平面所成角，即为与平面所成角，根据线面角的定义及余弦定理进行求解；对于C，当点在平面内时，即点在线段上，即可直接判断结果；对于D，通过分析四边形的面积为定值，点到平面的距离不是定值得出结果.
【详解】因为在正方体中，，
所以，所以点在四边形内及边界运动（不含）.
对于A，因为底面，底面，所以.
又，，平面，
所以平面，平面，
所以，故A正确；
对于B，因为平面，设，所以为与平面所成角，即为与平面所成角，设正方体棱长为，，，，
由余弦定理可得，故B错误；
对于C，当点在平面内时，即点在线段上，所以正确，故C正确；
对于D，当时，取的中点，连结，点在线段上运动，
因为四边形的面积为定值，，所以点到平面的距离不是定值，所以四棱锥的体积不是定值，故D错误.

故选：AC.
10. 已知一组个数据：，满足：，中位数是，平均数为，方差为，则（ ）
A.
B.
C. 函数的最小值为
D. 若成等差数列，则
【答案】ACD
【解析】
【分析】由中位数定义即可判断A,特例，2，4，即可判断B,由均值与数据总和关系展开函数式，结合二次函数性质确定最小值即可判断C；利用等差数列前项和公式，及平均数、中位数定义即可判断D．
【详解】对于A, B：由中位数定义知：，故A正确；
对于B，当时，一组数据1，2，4，17，则，不在2，4之间，故B错误；
对于C,，
二次函数的开口向上，对称轴为,
故当时，最小值为，故C正确；
D：若，，，成等差数列，则，故D正确．
故选：ACD．
11. 已知是圆上任意一点，定点在轴上，线段的垂直平分线与直线相交于点，当在圆上运动时，的轨迹可以是（ ）
A 圆 B. 椭圆 C. 双曲线 D. 抛物线
【答案】ABC
【解析】
【分析】分点A在圆外，圆内（非原点），原点，圆上四种情况，结合图形可得答案.
【详解】当点A在圆外，如下图所示：设AP中点为B，过B作AP垂线交直线OP为Q，连接AQ，则，则，又，则此时Q轨迹为以为焦点的双曲线；

当点A在圆内（非原点），如下图所示，此时，又，则此时Q轨迹为以为焦点的椭圆；

当A在坐标原点，如下图所示，此时B，Q重合，则，则此时Q轨迹为以O为原点，半径为2的圆；

当在圆上，由垂径定理，可知Q点与O重合，此时的轨迹为点O.

故选：ABC
12. 若直线与两曲线、分别交于、两点，且曲线在点处的切线为，曲线在点处的切线为，则下列结论正确的有（ ）
A. 存在，使 B. 当时，取得最小值
C. 没有最小值 D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】求出直线、的方程，利用导数的几何意义结合零点存在定理可判断A选项；利用函数的最值与导数的关系以及导数的几何意义可判断BC选项；利用对勾函数的单调性可判断D选项.
详解】对于A选项，由直线与两曲线、分别交于、两点可知．
曲线上点坐标，可求导数，则切线斜率，
曲线上点坐标，可求得导数，则切线斜率．
令，则，令，则，
所以，函数在上为增函数，
因为，，
由零点存在定理，使，即，使，即，故A正确；
对于BC选项，，令，其中，则，
由A选项可知，函数在上为增函数，
且，，
所以，存在使得，即，
当时，，此时函数单调递减，
当时，，此时函数单调递增，
故当时，取最小值，即当时，取得最小值，故B正确，C错；
对于D选项，由可得，则，
令，则函数在上为减函数，
因为，，，且，
又因为函数在上为增函数，所以，，
所以，，D对.
故选：ABD.
【点睛】方法点睛：求函数最值的方法：
（1）求函数在闭区间上的最值：
①求出函数的导数；②解方程，求出使得的所有点；
③计算出在区间上使得的所有点以及端点的函数值；
④比较以上各个函数值，其中最大的为函数的最大值，最小的为函数的最小值.
（2）求函数在开区间或无穷区间上的最值：先求出函数在给定区间上的极值，再结合单调性、极值情况、函数的正负情况作出函数的大致图象，结合图象观察分析得到函数的最值.
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13. 已知随机变量，则________．
【答案】4
【解析】
【分析】利用二项分布的方差公式求出，然后再利用其性质可求出.
【详解】因为随机变量，
所以，
所以.
故答案为：4.
14. 写出一条与直线平行且与圆相切的直线方程___________.
【答案】或
【解析】
【分析】根据题意设出所求直线方程为，且，利用圆心到直线的距离求出即可得直线方程.
【详解】解：设与直线平行的直线为，且
圆整理为，则圆心为，半径
又直线与圆相切
则圆心到直线的距离为，解得或
则直线方程为：或.
故答案：或
15. 已知数列满足，且，为数列的前项和，则________．
【答案】2020
【解析】
【分析】根据递推公式求解数列的周期性，由周期性即可求解.
【详解】由，且可得，…,
故是以周期为3的等差数列，且，
所以，
故答案为：2020
16. 已知椭圆：的离心率为，左顶点是A，左、右焦点分别是，，是在第一象限上的一点，直线与的另一个交点为．若，且的周长为，则直线的斜率为________．
【答案】
【解析】
【分析】由平行关系得出对应线段成比例，结合椭圆定义，表示出长度，利用余弦定理求出，得出结果.
【详解】因为椭圆：的离心率为，则，
又因为，即，
则，可得，
所以，①
又因为，可得，②
又因为，③
由①②③知，，
在中，由余弦定理可得，
可得为锐角，则，
所以，即的斜率为．
故答案为：.

【点睛】方法点睛：1．椭圆离心率(离心率范围)的求法
求椭圆、双曲线的离心率或离心率的范围，关键是根据已知条件确定a，b，c的等量关系或不等关系，然后把b用a，c代换，求e的值．
2．焦点三角形的作用
在焦点三角形中，可以将圆锥曲线的定义，三角形中边角关系，如正余弦定理、勾股定理结合起来．
四、解答题：（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 已知，设．
（1）求的值；
（2）求的展开式中的有理项．
【答案】（1）
（2），，
【解析】
【分析】（1）利用排列数，组合数公式化简即可得的值.
（2）写出的展开式的通项公式，可得可以取到0，3，6即有理项分别是第1项，第4项，第7项，从而可得答案.
【小问1详解】
由已知得：,
解得：．
【小问2详解】
当，展开式的通项为
，
要使之为有理项则为整数，
此时可以取到0，3，6
所以有理项分别是第1项，第4项，第7项，
，，．
18. 如图，三棱柱中，面面，，，．过的平面交线段于点（不与端点重合），交线段于点．

（1）求证：四边形为平行四边形；
（2）若，求直线与平面所成角的正弦值．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）利用线面平行的性质推导出，利用面面平行的性质可推导出，即可证得结论成立；
（2）证明出平面，然后以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴，平面内过点且垂直于的直线为轴，建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得直线与平面所成角的正弦值.
【小问1详解】
证明：在三棱柱中，，
因为平面，平面，所以，平面，
因为平面，平面，所以，，
因为平面平面，平面平面，平面平面，
所以，，因此，四边形为平行四边形．
【小问2详解】
解：因为，平面平面，平面平面，
平面，所以，平面，
以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴，
平面内过点且垂直于的直线为轴，建立如下图所示的空间直角坐标系，

因，，
则，，，，
，，，，
，
设平面的法向量，则，
令，得，
而，设直线与平面所成角为，
于是得，
所以直线与平面所成角的正弦值为．
19. 新能源汽车是中国战略新兴产业之一，政府高度重视新能源产业的发展．某企业为了提高新能源汽车品控水平，需要监控某种型号的汽车零件的生产流水线的生产过程．现从该企业生产的该零件中随机抽取100件，测得该零件的质量差（这里指质量与生产标准的差的绝对值）的样本数据统计如下表．
质量差（单位：mg）
56
67
70
78
86
件数（单位：件）
10
20
48
19
3

（1）求样本平均数值；根据大量的产品检测数据，得到该零件的质量差近似服从正态分布，其中，用样本平均数作为的近似值，求概率的值；
（2）若该企业有两条生产该零件的生产线，其中第1条生产线的生产效率是第2条生产线的生产效率的两倍．若第1条生产线出现废品的概率约为0.015，第2条生产线出现废品的概率约为0.018，将这两条生产线生产出来的零件混放在一起，这两条生产线是否出现废品相互独立．现从该企业生产的该零件中随机抽取一件，求该零件为废品的概率．
参考数据：若随机变量服从正态分布，则，，．
【答案】（1），
（2）
【解析】
【分析】（1）由平均数的计算，即可由正态分布的对称性求解概率，
（2）根据全概率公式即可求解.
【小问1详解】
．
，，得：


【小问2详解】
设“随机抽取一件该企业生产的该零件为废品”，
“随机抽取一件零件为第1条生产线生产”，
“随机抽取一件零件为第2条生产线生产”，
则，，
又，，
于是．
20. 已知各项均为正数的数列满足，．其中是数列的前项和．
（1）求数列的通项公式；
（2）在和中插入个相同的数，构成一个新数列，求的前100项和．
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】（1）由，结合等差数列的通项公式即可求解；
（2）设和插入的个数构成一组数，求出前组的项数，求解，再用分组求和法求解即可.
【小问1详解】
当时，，当时，递推得，
∴，，
因为数列各项均为正数，所以，又∵，
∴数列为等差数列，故．
【小问2详解】
设和插入的个数构成一组数，
则前组共有个数，
令，又，解得：；
当时，，
∴的前100项中包含前12组数和第13组数的前10个，
∴


．
21. 已知双曲线：的实轴长为2，两渐近线的夹角为．
（1）求双曲线的方程：
（2）当时，记双曲线的左、右顶点分别为，，动直线：与双曲线的右支交于，两点（异于），直线，相交于点，证明：点在定直线上，并求出定直线方程．
【答案】（1）：或：
（2）证明见解析，定直线
【解析】
【分析】（1）根据实轴长度确定a的取值，再根据渐近线夹角确定渐近线斜率，从而确定b的取值，写出解析式；
（2）首先联立直线与双曲线方程，根据韦达定理确定，两点坐标关系，联立方程，再利用点斜式表示出直线，的方程，代入列出等式，代入韦达定理求解出即可,
【小问1详解】
由题知，得，
或，得或，
所以双曲线的方程为：或：．
【小问2详解】
由（1）知，当时，：，
设，，
联立直线与双曲线得：，
，方程的两根为，，则，．
，，则：，：，
因为直线，相交于点，
故，，
消去，整理得：，

，
因此，
故点在定直线上．

【点睛】方法点睛：求解双曲线方程的题型一般步骤：（1）判断焦点位置；（2）设方程；（3）列方程组求参数；（4）得结论.
22. 已知函数
（1）当时，求函数的极值；
（2）当时，恒成立，求实数的取值范围．
【答案】（1）极小值为，无极大值
（2）
【解析】
【分析】（1）首先求函数的导数，判断导数的单调性，根据导数的零点，判断函数的单调性，即可求解函数的极值；
（2）由不等式参变分离为在恒成立，构造函数后，利用导数求函数的最值，即可求参数的取值范围.
【小问1详解】
当时，，
则在上单调递增，因为，
所以，，单调递减，
，，单调递增，
所以函数的极小值为，无极大值.
【小问2详解】
令，则即，因为
即在时恒成立，
令，
，故单调递增，
所以，故．