安徽省六安第一中学2022-2023学年高一下学期期末考试数学试卷

这是一份安徽省六安第一中学2022-2023学年高一下学期期末考试数学试卷，共9页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
六安一中2023年春学期高一年级期末考试
数学试卷
满分：150分 时间：120分钟
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．
1．已知复数z满足，则复数z的虚部为（ ）．
A． B．1 C． D．i
2．已知向量，，若，则（ ）．
A． B． C．1 D．2
3．某地一年之内12个月的降水量从小到大分别为：46，48，51，53，53，56，56，56，58，64，66，71，则该地区的月降水量75％分位数为（ ）．
A．58 B．60 C．61 D．62
4．下列结论中正确是（ ）．
A．若直线a，b为异面直线，则过直线a与直线b平行的平面有无数多个
B．若直线m与平面内无数条直线平行，则直线m与平面平行
C．若平面平面，直线，点，则过点M有且只有一条直线与a平行
D．若直线平面，则过直线l与平面垂直的平面有且只有一个
5．在正四棱台中，，，则该四棱台的体积为（ ）．
A． B． C． D．
6．如图，在四棱锥中，平面，四边形为平行四边形，且，E为的中点，则异面直线与所成的角的余弦值为（ ）．

A． B． C． D．
7．在6月6日第27个全国“爱眼日”即将到来之际，教育部印发《关于做好教育系统2022年全国“爱眼日”宣传教育工作通知》，呼吁青年学生爱护眼睛，保护视力．众所周知，长时间玩手机可能影响视力，据调查，某校学生大约40％的人近视，而该校大约有30％的学生每天玩手机超过，这些人的近视率约为50％，现从每天玩手机不超过的学生中任意调查一名学生，则该名学生近视的概率为（ ）．
A． B． C． D．
8．在如图所示的试验装置中，两个正方形框架，的边长都是2，且它们所在的平面互相垂直，活动弹子M，N分别在正方形对角线和上移动，且和的长度保持相等，记，其中．则的长的最小值为（ ）．

A． B． C． D．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．已知甲、乙两个水果店在“十一黄金周”七天的水果销售量统计如图所示．则下列说法正确的是（ ）．

A．甲组数据的极差大于乙组数据的极差
B．甲组数据的平均数大于乙组数据的平均数
C．甲组数据的方差大于乙组数据的方差
D．甲组数据的中位数大于乙组数据的中位数
10．在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，则下列结论正确的是（ ）．
A．若，则是锐角三角形
B．若，则是钝角三角形
C．若，则
D．若，，，则此三角形有一个解
11．一个装有8个球的口袋中，有标号分别为1，2的2个红球和标号分别为1，2，3，4，5，6的6个蓝球，除颜色和标号外没有其他差异．从中任意摸1个球，设事件A＝“摸出的球是红球”，事件B＝“摸出的球标号为偶数”，事件C＝“摸出的球标号为3的倍数”，则（ ）．
A．事件A与事件C互斥 B．事件B与事件C互斥
C．事件A与事件B相互独立 D．事件B与事件C相互独立
12．在四棱锥中，底面，，，，且二面角为，则（ ）．
A． B．
C．三棱锥的外接球的表面积为 D．二面角的大小为
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．空间中任意四个点A，B，C，D，则__________．（请写出最简结果）
14．某高中针对学生发展要求，开设了富有地方特色的“泥塑”与“剪纸”两个社团，已知报名参加这两个社团的学生共有800人，按照要求每人只能参加一个社团，各年级参加社团的人数情况如下表：
社团
高一年级
高二年级
高三年级
泥塑
a
b
c
剪纸
x
y
z
其中，且“泥塑”社团的人数占两个社团总人数的，为了了解学生对两个社团活动的满意程度，按比例从中抽取一个50人的样本进行调查，则从高二年级“剪纸”社团的学生中应抽取__________人．
15．如图，在正三棱柱中，，，D，F分别是棱，的中点，E为棱上的动点，则周长的最小值为__________．

16．平行六面体中，，，，动点P在直线上运动，则的最小值为__________．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（本小题满分10分）
甲、乙两人参加普法知识竞赛，共有4道不同的题目，其中选择题2道，判断题2道，甲、乙两人各抽一道（不重复）．
（1）求甲抽到选择题且乙抽到判断题的概率；
（2）求甲乙二人中至少有一人抽到选择题的概率．
18．（本小题满分12分）
在中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，．
（1）求角A；
（2）若，的面积为，求的周长．
19．（本小题满分12分）
如图，在正三棱柱中，E为上的点，F为上的点，M，N分别为，的中点，平面．

（1）证明：M，N，F，C四点共面；
（2）证明：平面平面．
20．（本小题满分12分）
第33届夏季奥林匹克运动会于2024年7月27日至8月12日在法国巴黎举办，我国男子乒乓球队为备战本届奥运会，在河北正定国家乒乓球训练基地进行封闭式训练．为了提高训练效果，甲、乙两位队员进行对抗赛，每局依次轮流发球，连续赢2个球者获胜，比赛结束．通过分析甲、乙过去对抗赛的数据知，甲发球甲赢的概率为，乙发球甲赢的概率为，不同球的结果互不影响，已知某局甲先发球．
（1）求该局打4个球甲获胜的概率；
（2）求该局打5个球结束的概率．
21．（本小题满分12分）
在正三角形中，E，F，P分别是、、边上的点，满足（如图1）．将沿折起到的位置，使平面平面，连结，（如图2）．

（1）求证：平面；
（2）求直线与平面所成角的大小．
22．（本小题满分12分）
某市大力推广纯电动汽车，对购买用户依照车辆出厂续驶里程R的行业标准，予以地方财政补贴．其补贴标准如下表：
出厂续驶里程R（公里）
补贴（万元/辆）

3

4

4.5

2018年底随机调查该市1000辆纯电动汽车，统计其出厂续驶里程R，得到频率分布直方图如上图所示．用样本估计总体，频率估计概率，解决如下问题：
（1）求该市每辆纯电动汽车2018年地方财政补贴的均值；
（2）某企业统计2018年其充电站100天中各天充电车辆数，得如下的频数分布表：
辆数




天数
20
30
40
10
（同一组数据用该区间的中点值作代表）
2019年2月，国家出台政策，将纯电动汽车财政补贴逐步转移到充电基础设施建设上来．该企业拟将转移补贴资金用于添置新型充电设备．现有直流、交流两种充电桩可供购置．直流充电桩5万元/台，每台每天最多可以充电30辆车，每天维护费用500元/台；交流充电桩1万元/台，每台每天最多可以充电4辆车，每天维护费用80元/台．
该企业现有两种购置方案：
方案一：购买100台直流充电桩和900台交流充电桩；
方案二：购买200台直流充电桩和400台交流充电桩．
假设车辆充电时优先使用新设备，且充电一辆车产生25元的收入，用2018年的统计数据，分别估计该企业在两种方案下新设备产生的日利润．（日利润＝日收入－日维护费用）．




六安一中2023年春学期高一年级期末考试
数学试卷参考答案
选择题：
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
B
B
C
C
D
B
B
A
BD
BC
ACD
BCD
填空题：
13． 14．6 15． 16．
解答题：
17．（1）解：记“甲抽到选择题，乙抽到判断题”为事件A，
记两道选择题分别为、，两道判断题分别为、，
所有的基本事件有：、、、、、、、、、、、，共12种，
其中事件A包含的基本事件有：、、、，共4种，
由古典概型的概率公式可得．
（2）解：记事件B：甲、乙二人中至少有一人抽到选择题，
则事件B包含的基本事件有：、、、、、、、、、，共10种，
由古典概型的概率公式可得．
18．（1）在中，由及正弦定理得：，
则，
即，
整理得：，而，，因此，
又，所以．
（2）由（1）知，，
因为的面积为，则，解得，
由余弦定理得，
即，
解得，所以的周长是24．
19．（1）证明：∵在正三棱柱中，
M、N分别为、的中点，

∴．
∵为正三棱柱，∴，
∴，∴M、N、F、C四点共面．
（2）∵为正三棱柱，∴为等边三角形，
又M为的中点，∴，
在正三棱柱中，有平面平面，
而平面∩平面，
∴平面，
∵平面平面，平面，面，
∴，∴平面，
又∵平面，∴平面平面．
20．解：（1）设甲发球甲赢为事件A，乙发球甲赢为事件B，
该局打4个球甲赢为事件C，
由题知，，，∴，
∴，
∴该局打4个球甲赢的概率为．
（2）设该局打5个球结束时甲赢为事件D，乙贏为事件E，打5个球结束为事件F，
易知D，E为互斥事件，，，，
∴，
，
∴，
∴该局打5个球结束的概率为．
21．（1）∵，∴，
∵平面，平面，∴平面：．
（2）（法一）（等体积法）解：E到面距离为h，
设，则，则，
∴，∴，
经与面所成角为，则，∴．

（法二）在图2中，∵平面，∴，
设在平面内的射影为，且交于点Q，
则可得平面，
又平面，∴，
则就是与平面所成的角，
设，在中，∵，，
∴是等边三角形，∴，
又平面，∴，∴Q为的中点，且，
又，在，，∴，
所以直线与平面所成的角为．
22．解：（1）依题意得纯电动汽车地方财政补贴的分布列为：
补贴（万元/辆）
3
4
4.5
概率
0.2
0.5
0.3
纯电动汽车2018年地方财政补贴的平均数为：（万元）．
（2）由充电车辆天数的频数分布表得每天需要充电车辆数的分布列为：
辆数
6000
7000
8000
9000
概率
0.2
0.3
0.4
0.1
若采用方案一，100台直流充电桩和900台交流充电桩每天可充电车辆数为：
（辆），
可得实际充电车辆数的分布列如下表：
实际充电辆数
6000
6600
概率
0.2
0.8
于是方案一下新设备产生的日利润均值为：
（元）．
若采用方案二，200台直流充电桩和400台交流充电桩每天可充电车辆数为：
（辆），
可得实际充电车辆数的分布列为：
实际充电车辆数
6000
7000
7600
概率
0.2
0.3
0.5
于是方案二下新设备产生的日利润利润均值为：
（元）．