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高中数学上教版(2020)选修第一册第5章 导数及其应用精练
展开这是一份高中数学上教版(2020)选修第一册第5章 导数及其应用精练,共24页。试卷主要包含了单项选择题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。
广东省12市2023届高三模拟考试数学试题分类汇编
导数及其应用
一、单项选择题
1、(佛山市2023届高三二模)若斜率为1的直线与曲线和圆都相切,则实数的值为( )
A. B.0 C.2 D.0或2
2、(广州市2023届高三综合测试(二))已知偶函数与其导函数的定义域均为,且也是偶函数,若,则实数的取值范围是( )
A. B.
C. D.
3、(汕头市2023届高三二模)给出定义:设是函数的导函数,是函数的导函数.若方程有实数解,则称为函数的“拐点”.经研究发现所有的三次函数都有“拐点”,且该“拐点”也是函数的图象的对称中心.若函数,则( )
A. B. C. D.
4、(湛江市2023年普通高考测试(一)已知函数与及其导函数的定义域均为R,且为奇函数,
A、13 B、16 C、25 D、51
二、填空题
1、佛山市2023届高三二模)已知函数有2个极值点,,则______.
2、(深圳市2023届高三二模)已知函数的定义域为,其导函数为,若.,则关于x的不等式的解集为__________.
三、解答题
1、(广东省2023届高考一模)已知函数.
(1)求的极值;
(2)当时,,求实数的取值范围.
2、(潮州市2023届高三二模)已知函数(是自然对数的底数)有两个零点.
(1)求实数的取值范围;
(2)若的两个零点分别为,,证明:.
3、(大湾区(珠海中山等)2023届高三联合模拟(一))已知函数.
(1)讨论的单调性;
(2)设是两个不相等的正数,且,证明:.
4、(佛山市2023届高三二模)已知函数,其中.
(1)若有两个零点,求的取值范围;
(2)若,求的取值范围.
5、(广州市2023届高三综合测试(二))已知函数,.
(1)当时,,求实数的取值范围;
(2)已知,证明:.
6、(惠州市2023届高三下学期一模)已知函数.
(1)当时,求在处的切线方程;
(2)当时,不等式恒成立,求的取值范围.
7、(江门市2023届高三一模)已知函数,其中.
(1)若的图象在处的切线过点,求a的值;
(2)证明:,,其中e的值约为2.718,它是自然对数的底数;
(3)当时,求证:有3个零点,且3个零点之积为定值.
8、(茂名市2023届高三一模)若函数有两个零点,且.
(1)求a的取值范围;
(2)若在和处的切线交于点,求证:.
9、(梅州市2023届高三一模)已知函数.
(1)当时,求函数的单调区间;
(2)若,讨论函数的零点个数.
10、(汕头市2023届高三二模)已知函数,,.
(1)若函数存在极值点,且,其中,求证:;
(2)用表示m,n中的最小值,记函数,,若函数有且仅有三个不同的零点,求实数a的取值范围.
11、(韶关市2023届高三二模)已知,,.
(1)求曲线在点处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积;
(2)若,,设(其中,)为的极值点,若,求m的值.
12、(深圳市2023届高三二模)已知函数.
(1)讨论函数的单调性;
(2)当时,函数恰有两个零点.
(i)求m的取值范围;
(ii)证明:
13、(广州市2023届高三综合测试(一))已知,函数.
(1)若,证明:当时,:
(2)若函数存在极小值点,证明:
参考答案
一、单项选择题
1、D 2、B 3、B 4、C
二、填空题
1、0 2、
三、解答题
1、解:(1)求导得,
所以当时,;当时,,
所以在上单调递减,在上单调递增,
所以有极小值,无极大值.
(2)方法一:由题知不等式在上恒成立,
则原问题等价于不等式在上恒成立,
记,
则,
记,则恒成立,
所以在上单调递增,又,
所以存在,使得,
即当时,,此时;当时,,此时,
所以在上单调递减,在上单调递增,
由,得,
即,
所以,
①当时,
因为,所以不等式恒成立,
所以;
②当时,
因为存在,使得,而,
此时不满足,
所以无解.
综上所述,.
(2)方法二:由题知不等式在上恒成立,
原问题等价于不等式在上恒成立,
即在上恒成立.
记,则,当单调递减,单调递增,
因为即,
①当时,
因为,所以不等式恒成立,所以;
②当时,令,显然单调递增,且,
故存在,使得,即,而,此时不满足,所以无解.
综上所述,.
2、函数 有两个零点,等价于
有两个零点,令
3、解:(1)证明:(1)的定义域为 ………1分
,令,得:, ……… 2分
当变化时的关系如下表:
在,上单调递减;在上单调递增. ………4分
(2)证明:要证,
只需证:
根据,只需证: ………6分
不妨设,由得:;
两边取指数,,化简得: ………7分
令:,,根据(1)得
在,上单调递减;在上单调递增(如下图所示),
由于在上单调递减,在上单调递增,要使且,则必有,即
由得:. ………8分
要证,只需证:,
由于在上单调递增,要证:,
只需证:, …………9分
又,只需证:, …………10分
只需证:,
只需证:,
只需证:,
只需证:,即证,
令,,
只需证:,
,
令
,上单调递减,
所以,
所以
所以上单调递减,所以
所以
所以:. ……12分
4、
5、(1).解:令,则,
当时,,则函数在上单调递增,
当时,,则函数在上单调递减,
所以,,即,
所以,当时,,即,
当时,取,
由于,而,得,
故,不合乎题意.
综上所述,.
(2).证明:当时,由(1)可得,则,
可得,即,即,
令,所以,,所以,,即,
所以,,,
令,则,且不恒为零,
所以,函数上单调递增,故,则,
所以,,,
所以,
.
6、【解析】(1)当时,,.
,
又切点为
切线方程为,化简得.
(2)【解法一】当时,恒成立,故,
也就是,即,
由得,
令,则,
令,则,
可知在单调递增,则,即在恒成立,.
故在单调递增.
所以,故在恒成立.所以在单调递增,而,所以,
故.
【解法二】因为当时,恒成立,故
由,
令,得或,
①当,即时,在上恒成立,
在上单调递减,,
当时合题意,当时不合题意;.
②当,即时,在上单调递增,在上单调递减,
设,则恒成立,在上单调递减,
,即,合题意;..
综上,.
【解法三】因为当时,恒成立,也就是,
即恒成立,
令
恒成立,在上单调递增,.
.
①当,即时,在上单调递增,
,合题意;
②当,即时,存在,使得,即.
在上单调递减,在上单调递增,..
,不合
题意.
综上,.
7、【1】由条件得: ∴,
又 ∴在处的切线为:,
∵的图象在处的切线过点,
∴ ∴.
【2】
令,,则,
令,,
∴在递减 ,
∴,即
∴在递减,
∴,即, ;
【3】的定义域为:,,
时,由得:,,
时,;时,;时,,
∴在,上单调递增,在递减 ,
∴至多有三个零点.
∵,∴,∴,
又,在递减,
∴,又由(2)知,所以,
结合零点存在定理知:使得,
又∴,,
∴,又, ,
∴恰有三个零点:,1,,
∴时,的所有零点之积为(定值).
8、【1】
当,,在上单调递减,不可能两个零点;
当时,令得
,,单调递增,,,单调递减,
∵,;;,
∴有唯一零点且有唯一零点,满足题意,
综上:;
【2】先证右边:令则,
∴,,单调递增,,,单调递减,
∴的最大值为,∴,即,
∴且,
∴,
又∵,∴,
∴;
再证左边:曲线在和处的切线分别是
联立两条切线得,∴,
由题意得,
要证,即证,即证,即证,
令,即证,
令,
,∴在单调递减,∴,
∴得证.
9、解:(1)首先函数的定义域为,当时,,
则. 1分
由,得,, 2分
所以当时,;当时,. 3分
故的增区间为和,减区间为. 4分
(2),,
由,得,, 5分
所以当时,:当时,.
因此在和上单调递增,在上单调递减. 6分
①因为当时,
有.
所以在上不存在零点. 8分
②在上,由单调性知:,分以下三种悄况讨论:
(i)若,在,即在上不存在零点; 9分
(ii)若,有,
此时在有唯一零点; 10分
(iii)若,有,而,,
则在与上各有一个零点. 11分
综上:(i)当时,在止不存在零点;
(ii)当时,在上存在一个零点;
(iii)当时,在上存在两个零点. 12分
10、
11、
12、
13、【1】若,则,设,
,设,
,则在上单调递增,,即,
于是在上单调递增,,即,
所以当时,.
【2】函数,其定义域为,
,
由(1)知在上单调递增,,
当时,,当时,,
则由,解得或,其中且,即且,
否则恒有,则在上单调递增,函数无极值点,不符合题意,
若,即,当时,,
当时,,则上单调递增,
在上单调递减,因此是的极小值点,,
若,即,当时,,
当时,,则在上单调递增,
在单调递减,因此是的极小值点,
,又,于是,
综上所述,函数存在极小值点.
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