2023年全国高考数学真题分类组合第3章《函数》试题及答案

这是一份2023年全国高考数学真题分类组合第3章《函数》试题及答案，共14页。试卷主要包含了若为偶函数，则 ，设，函数，给出下列四个结论等内容，欢迎下载使用。
第三章 函数
第二节 函数的基本性质
1.（2023全国甲卷理科13，文科14）若为偶函数，则 .
【分析】利用偶函数的性质得到，从而求得，再检验即可得解.
【解析】因为为偶函数，定义域为 ，所以，即，
则，故 a = 2，
此时，
所以，
又定义域为，故为偶函数，所以.
故答案为2.
2.（2023全国乙卷理科4，文科5）已知是偶函数，则（ ）
A. B. C. D.
【分析】根据偶函数的定义运算求解.
【解析】因为为偶函数，
则，
又因为不恒为0，可得，即，
则，即，解得.
故选D.
3.（2023新高考I卷11）已知函数的定义域为，，则（ ）
A. B. C.是偶函数 D.为的极小值点
【解析】选项A，令，则，故A正确；
选项B，令，则，所以，故B正确；
选项C，令，则，因为，所以，
令，则，所以是偶函数，故C正确；
选项D，对式子两边同时除以，得到，
故可以设，
当时，，，
令，解得，令，解得，
故在单调递减，在单调递增.
又是偶函数，所以在单调递增，在单调递减.
的图像如图所示，所以为的极大值点，故D错误.
故选ABC.


4.（2023新高考II卷4）若为偶函数，则（ ）
A. B. 0 C. D.
【解析】，
则.
因为为偶函数，所以，
即，
所以有，得.故选B.
5.（2023北京卷4）下列函数中，在区间上单调递增的是（ ）
A. B. C. D.
【分析】利用基本初等函数的单调性，结合复合函数的单调性判断ABC，举反例排除D即可.
【解析】对于A，因为在上单调递增，在上单调递减，
所以在上单调递减，故A错误；
对于B，因为在上单调递增，在上单调递减，
所以在上单调递减，故B错误；
对于C，因为在上单调递减，在上单调递减，
所以在上单调递增，故C正确；
对于D，因为，，
显然在上不单调，D错误.
故选C.
6.（2023北京卷15）设，函数，给出下列四个结论：
①在区间上单调递减；
②当时，存在最大值；
③设，，则；
④设，，若存在最小值，则的取值范围是.
其中所有正确结论的序号是 .
【分析】先分析图像，再逐一分析各结论；对于①，取，结合图像即可判断；对于②，分段讨论的取值范围，从而得以判断；对于③，结合图像可知的范围；对于④，取，结合图像可知此时存在最小值，从而得以判断.
【解析】依题意，，
当时，，易知其图像为一条端点取不到值的单调递增的射线；
当时，，易知其图像是，圆心为，半径为的圆在轴上方的图像（即半圆）；
当时，，易知其图像是一条端点取不到值的单调递减的曲线；
对于①，取，则的图像如下，

显然，当，即时，在上单调递增，故①错误；
对于②，当时，
当时，；
当时，显然取得最大值；
当时，，
综上：取得最大值，故②正确；
对于③，结合图像，易知在，且接近于处，的距离最小，

当时，，当且接近于处，，
此时，，故③正确；
对于④，取，则的图像如下，

因为，
结合图像可知，要使取得最小值，则点在上，点在，
同时的最小值为点到的距离减去半圆的半径，
此时，因为的斜率为，则，
故直线的方程为，
联立，解得，则，
显然在上，满足取得最小值，
即也满足存在最小值，故的取值范围不仅仅是，故④错误.
故答案为：②③.
【评注】本题解决的关键是分析得的图像，特别是当时，的图像为半圆，解决命题④时，可取特殊值进行排除即可.

第三节 幂函数
1.（2023天津卷3）若，则的大小关系为（    ）
A． B．
C． D．
【分析】根据对应幂、指数函数的单调性判断大小关系即可.
【解析】由在上单调递增，则，
由在上单调递增，则.所以.
故选D.
第四节 指数与指数函数
1.（2023天津卷3）若，则的大小关系为（    ）
A． B．
C． D．
【分析】根据对应幂、指数函数的单调性判断大小关系即可.
【解析】由在上单调递增，则，
由在上单调递增，则.所以.
故选D.
2.（2023全国甲卷文科11）已知函数.记， ，，则 （ ）
A. B. C. D.
【分析】利用作差法比较自变量的大小，再根据指数函数的单调性及二次函数的性质判断即可.
【解析】令，则开口向下，对称轴为，
因为，而，
所以
由二次函数性质知，
因为，
而，
即，所以，
综上，，
又为增函数，故，即.
故选A.
3.（2023新高考I卷4）设函数在区间单调递减，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【解析】令，要使得在区间单调递减，需要满足在区间单调递减，所以，所以的取值范围是.故选D.
4.（2023北京卷11）已知函数，则 .
【分析】根据给定条件，把代入，利用指数、对数运算计算作答.
【解析】函数，所以.
故答案为1.

第五节 对数与对数函数
1.（2023北京卷11）已知函数，则 .
【分析】根据给定条件，把代入，利用指数、对数运算计算作答.
【解析】函数，所以.
故答案为1.
2.（2023新高考I卷10）噪声污染问题越来越受到重视，用声压级来度量声音的强弱，定义声压级，其中常数是听觉下限阈值，是实际声压.下表为不同声源的声压级：
声源
与声源的距离/m
声压级/dB
燃油汽车
10
60~90
混合动力汽车
10
50~60
电动汽车
10
40
已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车10m处测得实际声压分别为，，，则（ ）
A. B. C. D.
【解析】选项A，，所以，所以A正确；
选项B，，所以，所以，故B错误；
选项C，，所以，所以，故C正确；
选项D，，所以，所以，故D正确.
故选ACD.

第六节 函数的图像及应用
1.（2023全国甲卷理科10，文科12）已知为函数向左平移个单位所得函数，则与交点个数为（ ）
A. B. C.3 D.4
【解析】因为函数向左平移个单位可得
而过与两点，分别作出与的图像如图所示，
考虑，即处与的大小关系，结合图像可知有3个交点. 故选C.
【评注】本题考查了三角函数的图像与性质，画出图像，不难得到答案.
2.（2023北京卷15）设，函数，给出下列四个结论：
①在区间上单调递减；
②当时，存在最大值；
③设，，则；
④设，，若存在最小值，则的取值范围是.
其中所有正确结论的序号是 .
【分析】先分析图像，再逐一分析各结论；对于①，取，结合图像即可判断；对于②，分段讨论的取值范围，从而得以判断；对于③，结合图像可知的范围；对于④，取，结合图像可知此时存在最小值，从而得以判断.
【解析】依题意，，
当时，，易知其图像为一条端点取不到值的单调递增的射线；
当时，，易知其图像是，圆心为，半径为的圆在轴上方的图像（即半圆）；
当时，，易知其图像是一条端点取不到值的单调递减的曲线；
对于①，取，则的图像如下，

显然，当，即时，在上单调递增，故①错误；
对于②，当时，
当时，；
当时，显然取得最大值；
当时，，
综上：取得最大值，故②正确；
对于③，结合图像，易知在，且接近于处，的距离最小，

当时，，当且接近于处，，
此时，，故③正确；
对于④，取，则的图像如下，

因为，
结合图像可知，要使取得最小值，则点在上，点在，
同时的最小值为点到的距离减去半圆的半径，
此时，因为的斜率为，则，
故直线的方程为，
联立，解得，则，
显然在上，满足取得最小值，
即也满足存在最小值，故的取值范围不仅仅是，故④错误.
故答案为：②③.
【评注】本题解决的关键是分析得的图像，特别是当时，的图像为半圆，解决命题④时，可取特殊值进行排除即可.
3.（2023天津卷4）函数的图象如下图所示，则的解析式可能为（    ）
    
A． B． C． D．
【分析】由图知函数为偶函数，先判断函数的奇偶性排除选项；再判断函数在上的函数符号排除选项，即得答案.
【解析】由图知：函数图象关于y轴对称，其为偶函数，且，
由，，且定义域为，即A，B中函数为奇函数，排除选项A，B；
当时，，即C中上函数值为正，排除选项C；
故选D.
第七节 函数与方程
1.（2023全国甲卷理科10，文科12）已知为函数向左平移个单位所得函数，则与交点个数为（ ）
A. B. C.3 D.4
【解析】因为函数向左平移个单位可得
而过与两点，分别作出与的图像如图所示，
考虑，即处与的大小关系，结合图像可知有3个交点. 故选C.
【评注】本题考查了三角函数的图像与性质，画出图像，不难得到答案.
2.（2023天津卷15）若函数有且仅有两个零点，则的取值范围为_______．
【分析】根据绝对值的意义，去掉绝对值，求出零点，再根据根存在的条件即可判断的取值范围．
【解析】（1）当时，，
即，
若时，，此时成立；
若时，或，
若方程有一根为，则，即且；
若方程有一根为，则，解得：且；
若时，，此时成立．
（2）当时，，
即，
若时，，显然不成立；
若时，或，
若方程有一根为，则，即；
若方程有一根为，则，解得：；
若时，，显然不成立.
综上，当时，零点为，；
当时，零点为，；
当时，只有一个零点；
当时，零点为，；
当时，只有一个零点；7
当时，零点为，；
当时，零点为．
所以，当函数有两个零点时，且．
故答案为：．
【评注】本题的解题关键是根据定义去掉绝对值，求出方程的根，再根据根存在的条件求出对应的范围，然后根据范围讨论根（或零点）的个数，从而解出．