2023年全国高考数学真题分类组合第5章《平面向量》试题及答案

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第五章 平面向量
第一节 平面向量的概念及线性运算
1.（2023新高考II卷13）已知向量满足，，则______．
【解析】解法一（向量运算）:因为，所以①
因为，所以，
化简得，代入①得，.
解法二（向量运算加减几何意义）：
如图所示，，，所以，
所以四边形为等腰梯形，则.
即.

第二节 平面向量基本定理及坐标表示
1.（2023新高考I卷3）已知向量，.若，则（ ）
A. B. C. D.
【解析】，
所以.故选D.
第三节 平面向量的数量积及应用
1.（2023北京卷3）已知向量满足，，则（ ）
A. B. C. D.
【分析】利用平面向量数量积的运算律，数量积的坐标表示求解作答.
【解析】向量满足，
所以.
故选B.
2.（2023全国甲卷理科4）向量，且，则（ ）
A. B. C. D.
【分析】作出图形， 根据几何意义求解.
【解析】因为， 所以，
即， 即， 所以.
如图所示， 设，，，

由题知，，，是等腰直角三角形，
边上的高，，所以，
，，
.
故选D.
3.（2023全国甲卷文科3）已知向量，，则（ ）
A. B. C. D.
【分析】利用平面向量模与数量积的坐标表示分别求得，从而利用平面向量余弦的运算公式即可得解.
【解析】因为，所以，
则，，
所以.
故选B.
4.（2023全国乙卷理科12）已知圆的半径为 1，直线与圆相切于点，直线与圆交于两点，为的中点，若，则的最大值为 （ ）
A. B. C. D.
【解析】依题意为等腰直角三角形，，
. 因为要求的最大值，所以一定在同侧，如图所示，
设，，则，.
所以

=
当时等号成立，所以的最大值为.故选A.
5.（2023全国乙卷文科6）正方形的边长是2,是的中点，则（ ）
A. B. C. D.
【分析】解法一：以为基底向量表示，再结合数量积的运算律运算求解；解法二：建系，利用平面向量的坐标运算求解；解法三：利用余弦定理求，进而根据数量积的定义运算求解.
【解析】解法一（基底法）：以为基底向量，可知，
则，
所以.
解法二（建系法）：如图所示，以为坐标原点建立平面直角坐标系，
则，可得，
所以.

解法三（定义法）：由题意可得：，
在中，由余弦定理可得，
所以.
故选B.
6.（2023天津卷14）在中，，，点为的中点，点为的中点，若设，则可用表示为_________；若，则的最大值为_________．
【分析】空1：根据向量的线性运算，结合为的中点进行求解；空2：用表示出，结合上一空答案，于是可由表示，然后根据数量积的运算和基本不等式求解.
【解析】空1：因为为的中点，所以，即，则；
空2：因为，则，由题意可得，
得到，即，即.
于是.
记，
则，
在中，根据余弦定理：，
于是，
由和基本不等式，，
故，当且仅当取得等号，
则时，有最大值.
故答案为：；.