2023年全国高考数学真题分类组合第7章《数列》试题及答案

这是一份2023年全国高考数学真题分类组合第7章《数列》试题及答案，共22页。试卷主要包含了已知为等差数列，，记为等差数列的前项和，已知,，设等差数列的公差为，且等内容，欢迎下载使用。
第七章 数列
第一节 数列的通项公式与性质
1.（2023新高考II卷18）已知为等差数列，.记，分别为，的前项和.若，.
（1）求的通项公式；
（2）求证：当时，.
【解析】（1）为等差数列，设公差为.
，所以①,
又，所以可得②,
联立①②解得，所以，.
（2）由（1）得.
当为偶数时，



.
当时，，
即.
当为奇数时，为偶数，
.
当时，，
即.
综上所述，当时，.
第二节 等差数列与等比数列
1.（2023全国甲卷理科5）已知正项等比数列中，，为前项和，，则（ ）
A. B. C. D.
【解析】由题知，
即，即，.
为正项等比数列，，所以解得，
故.故选C.
2.（2023全国甲卷文科5）记为等差数列的前项和．若，，则（ ）
A. B. C. D.
【分析】解法一：根据题意直接求出等差数列的公差和首项，再根据前项和公式即可解出；解法二：根据等差数列的性质求出等差数列的公差，再根据前项和公式的性质即可解出．
【解析】解法一：设等差数列的公差为，首项为，依题意可得，
，即，
又，解得：，
所以．
故选C.
解法二：，，所以，，
从而，于是，
所以．
故选C.
3.（2023全国甲卷文科13）记为等比数列的前项和．若，则的公比为 .
【分析】分或两种情况考虑.当，再由等比数列的前项和公式和平方差公式化简即可求出公比.
【解析】若，则由得，则，不合题意.所以.
当时，因为，所以，
即，即，即，
解得.
故答案为.
4.（2023全国乙卷理科15）已知为等比数列，，，则 .
【分析】根据等比数列公式对化简得，联立求出，最后得.
【解析】 设的公比为，因为，而，所以，因为，则，
则，则，则，
故答案为.
5.（2023全国乙卷文科18）记为等差数列的前项和，已知,.
（1）求的通项公式；
（2）求数列的前项和.
【分析】（1）根据题意列式求解，进而可得结果；
（2）先求，讨论的符号去绝对值，结合运算求解.
【解析】（1）设等差数列的公差为，
由题意可得，即，解得，
所以，.
（2）因为.
令，解得，且，
当时，则，可得；
当时，则，可得

；
综上所述，.
6.（2023新高考I卷7）记为数列的前项和，设甲：为等差数列；乙：为等差数列，则（ ）
A.甲是乙的充分条件但不是必要条件
B.甲是乙的必要条件但不是充分条件
C.甲是乙的充要条件
D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
【解析】为等差数列，设首项为公差为，则，，所以为等差数列，所以甲是乙的充分条件.
为等差数列，即为常数，
设为，即，故，，两式相减得，为常数，对也成立，所以为等差数列，所以甲是乙的必要条件.
所以，甲是乙的充要条件，故选C.
7.（2023新高考I卷20）设等差数列的公差为，且.令，记，分别为数列，的前项和.
（1） 若，，求的通项公式；
（2） 若为等差数列，且，求.
【解析】（1），
则，
则，
故.
（2）若为等差数列，设公差为，
则
故，（）
，
.
① 时，

② 时，
.矛盾.
综上，.
8.（2023新高考II卷8）记为等比数列的前项和，若，，则=（ ）
A.120 B.85 C. D.
【解析】由，得，即，
解得或（舍），则.
因为，所以.故选C.
9.（2023天津卷6）已知为等比数列，为数列的前项和，，则的值为（    ）
A．3 B．18 C．54 D．152
【分析】由得出公比的值，再由题意对所给的递推关系式进行赋值，得到关于首项、公比的方程，求解方程组确定首项的值，然后结合等比数列通项公式即可求得的值.
【解析】因为，所以有，两式相减得，即，所以.又由题意可得：当时，，即，   
解得可得，则.
故选C.
10.（2023北京卷14）我国度量衡的发展有着悠久的历史，战国时期就已经出现了类似于砝码的、用来测量物体质量的“环权”.已知9枚环权的质量（单位：株）从小到大构成项数为9的数列，该数列的前3项成等差数列，后7项成等比数列，，，.则 ；数列所有项的和为 .
【分析】方法一：根据题意结合等差、等比数列的通项公式列式求解，进而可求得结果；方法二：根据等比中项求，再结合等差、等比数列的求和公式运算求解.
【解析】解法一：设前3项的公差为，后7项公比为，
则，且，可得，
则，即，可得，
空1：可得，
空2：.
解法二：空1：因为为等比数列，则，
且，所以；
又因为，则；
空2：设后7项公比为，则，解得，
可得
，
所以.
故答案为：48；384.

第三节 数列求和
1.（2023全国乙卷文科18）记为等差数列的前项和，已知,.
（1）求的通项公式；
（2）求数列的前项和.
【分析】（1）根据题意列式求解，进而可得结果；
（2）先求，讨论的符号去绝对值，结合运算求解.
【解析】（1）设等差数列的公差为，
由题意可得，即，解得，
所以，.
（2）因为.
令，解得，且，
当时，则，可得；
当时，则，可得

；
综上所述，.
2.（2023全国甲卷理科17）已知数列中，，设为前项和，.
（1）求的通项公式.
（2）求数列的前项和.
【解析】（1）因为. 当时，，即.
当时，，即.
当时，，
所以，化简得.
当时，，即.
当时都满足上式，所以，.
（2）因为，所以，
.
两式相减得，

，
即，.

第四节 数列的综合与应用
1.（2023天津卷19）已知是等差数列，．
(1)求的通项公式和．
(2)已知为等比数列，对于任意，若，则，
（i）当时，求证：；
（ii）求的通项公式及其前项和．
【分析】(1)由题意得到关于首项、公差的方程，解方程可得，据此可求得数列的通项公式，然后确定所给的求和公式里面的首项和项数，结合等差数列前项和公式计算.
(2)(i)利用题中的结论分别考查不等式两侧的情况，当时，，
取；当时，，取，即可证得题中的不等式；
(ii)结合(i)中的结论猜想，然后分别排除和两种情况即可确定数列的公比，进而可得数列的通项公式，最后由等比数列前项和公式即可计算其前项和.
【解析】（1）由题意可得，解得，
则数列的通项公式为，
求和得

.
（2）(i)由题意可知，当时，，
取，则，即，
当时，，
取，此时，
据此可得，
综上可得：.
(2)由(i)可知：，
据此猜测，
否则，若数列的公比，则，
注意到，则不恒成立，即不恒成立，
此时无法保证.
若数列的公比，则，
注意到，则不恒成立，即不恒成立，
此时无法保证.
综上，数列的公比为，则数列的通项公式为，
其前项和为：.
【评注】本题的核心在考查数列中基本量的计算和数列中的递推关系式，求解数列通项公式和前项和的核心是确定数列的基本量，第二问涉及到递推关系式的灵活应用，先猜后证是数学中常用的方法之一，它对学生探索新知识很有裨益.
2.（2023北京卷10）数列满足，则（ ）
A.若，则是递减数列，且存在常数，使得恒成立
B.若，则是递增数列，且存在常数，使得恒成立
C.若，则是递减数列，且存在常数，使得恒成立
D.若，则是递增数列，且存在常数，使得恒成立
【分析】思路1：利用数学归纳法可判断ACD正误，利用递推公式可判断数列性质，从而判断B的正误；思路2：构造，利用导数求得的正负情况，再利用数学归纳法判断得各选项所在区间，从而判断的单调性.思路3：利用数形结合，画图分析各选项合理性.
【解析】解法一：因为，故，
对于A ，若，可用数学归纳法证明：即，
证明：当时，，此时不等关系成立；
设当时，成立，
则，故成立，
由数学归纳法可得成立.
而，
，，故，故，
故为减数列，注意
故，结合，
所以，故，故，
若存在常数，使得恒成立，则，
故，故，故恒成立仅对部分成立，
故A不成立.
对于B，若可用数学归纳法证明：即，
证明：当时，，此时不等关系成立；
设当时，成立，
则，故成立即
由数学归纳法可得成立.
而，
，，故，故，故为递增数列，
若，则恒成立，故B正确.
对于C，当时， 可用数学归纳法证明：即，
证明：当时，，此时不等关系成立；
设当时，成立，
则，故成立即，
由数学归纳法可得成立.
而，故，故为递减数列，
又，结合可得：，所以，
若，若存在常数，使得恒成立，
则恒成立，故，的个数有限，矛盾，故C错误.
对于D，当时， 可用数学归纳法证明：即，
证明：当时，，此时不等关系成立；
设当时，成立，
则，故成立.
由数学归纳法可得成立.
而，故，故为递增数列，
又，结合可得：，所以，
若存在常数，使得恒成立，则，
故，故，n的个数有限，与D选项矛盾，故D错误.
故选B.
解法二：因为，
令，则，
令，得或；
令，得；
所以在和上单调递增，在上单调递减，令，则，即，
解得或或，
注意到，，
所以结合的单调性可知在和上，在和上，
对于A，因为，则，
当时，，，则，
假设当时，，
当时，，则，
综上：，即，
因为在上，所以，则为递减数列，
因为，
令，则，
因为开口向上，对称轴为，
所以在上单调递减，故，
所以在上单调递增，故，
故，即，
假设存在常数，使得恒成立，
取，其中，且，
因为，所以，
上式相加得，，
则，与恒成立矛盾，故A错误；
对于B，因为，
当时，，，
假设当时，，
当时，因为，所以，则，
所以，
又当时，，即，
假设当时，，
当时，因为，所以，则，
所以，
综上：，
因为在上，所以，所以为递增数列，
此时，取，满足题意，故B正确；
对于C，因为，则，
注意到当时，，，
猜想当时，，
当与时，与满足，
假设当时，，
当时，所以，
综上，.
易知，则，故，所以，
因为在上，所以，则为递减数列，
假设存在常数，使得恒成立，
记，取，其中，
则，
故，所以，即，
所以，故不恒成立，故C错误；
对于D，因为，
当时，，则，
假设当时，，
当时，，则，
综上，，
因为在上，所以，所以为递增数列，
因为，
令，则，
因为开口向上，对称轴为，
所以在上单调递增，故，
所以，
故，即，
假设存在常数，使得恒成立，
取，其中，且，
因为，所以，
上式相加得，，
则，与恒成立矛盾，故D错误.
故选B.
解法三（蛛网图）：令，则.
故可利用数形结合判断的单调性.
首选关于中心对称，
又由可知在上单调递增.
再令，即，
得，解得，，.
在同一坐标系下画出和的图像如下图所示.

对于选项A，当时，如图（a）所示，
是单调递减数列，且.
当时，，当时，.故不存在，使恒成立.
故A错误.
对于选项B，当时，如图（b）所示，
是单调递增数列，且当时，.故取，可使得恒成立.
B正确.
图（a） 图（b）
对于选项C，当时，如图（c）所示，

图（c）
是单调递减数列.当时，.故不存在使得恒成立，C错误.
对于选项D，当时，如图（d）所示.

图（d）
是单调递增数列，且当时，. 故不存在，使恒成立.
D错误.故选B.
【评注】本题解决的关键是根据首项给出与通项性质相关的相应的命题，再根据所得命题结合放缩法得到通项所满足的不等式关系，从而可判断数列的上界或下界是否成立.
3.（2023北京卷21）已知数列的项数均为，且，的前项和分别为，并规定.对于，定义，其中，表示数集中最大的数.
（1）若，，；，，，求的值；
（2）若，且，求；
（3）证明：存在，满足，
使得．
【分析】（1）先求，根据题意分析求解；
（2）根据题意分析可得，利用反证可得，再结合等差数列运算求解；
（3）讨论的大小，根据题意结合反证法分析证明.
【解析】（1）由题意可知：，
当时，则，故；
当时，则，故；
当时，则故；
当时，则，故；
综上所述：，，，.
（2）由题意可知：，且，
因为，则，当且仅当时，等号成立，
所以，
又因为，则，即，
可得，
反证：假设满足的最小正整数为，，
当时，则；当时，则，
则，
又因为，则，
假设不成立，故，
即数列是以为公差的等差数列，所以.
（3）（i）若，则取即可.
（ii）若，构建，由题意可得：，且为整数，
反证，假设存在正整数，使得，
则，可得，
这与相矛盾，故对任意，均有.
①若存在正整数，使得，即，
可取，使得；
②若不存在正整数，使得，
因为，且，
由抽屉原理，必存在，使得，
即，可得，
可取，使得；
（iii）若，构建，由题意可得：，且为整数，
反证，假设存在正整数，使得，
则，可得，
这与相矛盾，故对任意，均有.
①若存在正整数，使得，即，
可取，使得；
②若不存在正整数，使得，
因为，且，
由抽屉原理，必存在，使得，
即，可得，
可取，使得；
综上所述，存在使得．
【评注】方法点睛：对于一些直接说明比较困难的问题，可以尝试利用反证法分析证明.