2023年全国高考数学真题分类组合第8章《导数》试题及答案

这是一份2023年全国高考数学真题分类组合第8章《导数》试题及答案，共20页。试卷主要包含了已知函数，证明，已知函数．等内容，欢迎下载使用。
第八章 导数
第一节 导数的概念与运算
1.（2023全国甲卷文科8）曲线在点处的切线方程为（ ）
A. B. C. D.
【分析】先由切点设切线方程，再求函数的导数，把切点的横坐标代入导数得到切线的斜率，代入所设方程即可求解.
【解析】设曲线在点处的切线方程为，
因为，所以，
所以，所以，
所以曲线在点处的切线方程为.
故选C.
第二节 函数的单调性、极值与最值
1.（2023全国乙卷理科16）设，若函数在上单调递增，则实数的取值范围是 .
【解析】
因为，所以.所以只需.
即或又因为，所以.
【评注】本题以单调性为载体，考查了不等式恒成立问题.
2.（2023新高考I卷11）已知函数的定义域为，，则（ ）
A. B. C.是偶函数 D.为的极小值点
【解析】选项A，令，则，故A正确；
选项B，令，则，所以，故B正确；
选项C，令，则，因为，所以，
令，则，所以是偶函数，故C正确；
选项D，对式子两边同时除以，得到，
故可以设，
当时，，，
令，解得，令，解得，
故在单调递减，在单调递增.
又是偶函数，所以在单调递增，在单调递减.
的图像如图所示，所以为的极大值点，故D错误.
故选ABC.
3.（2023新高考II卷6）已知函数在区间上单调递增，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【解析】依题意在区间上恒成立，即.
令，，
所以在上单调递增，所以，，
所以，即的最小值为.故选C.
4.（2023新高考II卷11）若函数既有极大值也有极小值，则（ ）
A. B. C. D.
【解析】. 令，
若在上既有极大值也有极小值，
则在上有2个变号零点，即（必要条件）.
令，则，得①, ，得②
因此，得.
综上，故选BCD.
第三节 导数的综合应用
1.（2023北京卷20）设函数，曲线在点处的切线方程为.
（1）求的值；
（2）设，求的单调区间；
（3）求极值点的个数.
【分析】（1）先对求导，利用导数的几何意义得到，，从而得到关于的方程组，解之即可；
（2）由（1）得的解析式，从而求得，利用数轴穿根法求得与的解，由此求得的单调区间；
（3）结合（2）中结论，利用零点存在定理，依次分类讨论区间，，与上的零点的情况，从而利用导数与函数的极值点的关系求得的极值点个数.
【解析】（1）因为，所以，
因为在处的切线方程为，所以，，
则，解得，所以.
（2）由（1）得，
则，
令，解得，不妨设，，则，
易知恒成立，
所以令，解得或；令，解得或；
所以在，上单调递减，在，上单调递增，
即的单调递减区间为和，单调递增区间为和.
（3）由（1）得，，
由（2）知，上单调递减，在，上单调递增，
当时，，，即
所以在上存在唯一零点，不妨设为，则，
此时，当时，，则单调递减；当时，，则单调递增；
所以在上有一个极小值点；
当时，在上单调递减，
则，故，
所以在上存在唯一零点，不妨设为，则，
此时，当时，，则单调递增；当时，，
则单调递减；
所以在上有一个极大值点；
当时，在上单调递增，
则，故，
所以在上存在唯一零点，不妨设为，则，
此时，当时，，则单调递减；当时，，则单调递增；
所以在上有一个极小值点；
当时，，
所以，则单调递增，
所以在上无极值点；
综上，在和上各有一个极小值点，在上有一个极大值点，共有个极值点.
【评注】关键点睛：本题第3小题的解题关键是判断与的正负情况，充分利用的单调性，寻找特殊点判断即可得解.
2.（2023全国甲卷理科21）已知函数.
（1）若，讨论的单调性；
（2）若恒成立，求的取值范围.
【解析】（1）若， ，


.
令得，当时，，在上单调递增；
当时，，在上单调递减.
（2） 即.
令，
，，则.
又，
得（必要条件）.
当时，.
令，，


.
令，由于，所以.
令，，
，

则，单调递减，因此，
所以，在上单调递减，.证毕.
综上，的取值范围是.
【评注】本题的充分性的证明也可以利用巧妙的放缩来进行.
放缩一：当时，.
令，
.
显然此时必有，符合题意.
综上，当时.
放缩二：当时，由逼近知
.


从而有时.
【评注】本题考察了导数与三角函数的综合，对于结构的变形处理有一定的要求，同时还考察到了高考重难点中的含参取点问题.当遇到复杂结构时，要主动关注函数本体的结构及性质，学会从宏观的角度去简化问题.
3.（2023全国甲卷文科20）已知函数.
（1）若，讨论的单调性；
（2）若，求的取值范围.
【分析】（1）代入后，再对求导，同时利用三角函数的平方关系化简，再利用换元法判断得其分子与分母的正负情况，从而得解；
（2）解法一：构造函数，从而得到，注意到，从而得到，进而得到，再分类讨论与两种情况即可得解；
解法二：先化简并判断得恒成立，再分类讨论，与三种情况，利用零点存在定理与隐零点的知识判断得时不满足题意，从而得解.
【解析】（1）因为，所以，
则
，
令，由于，所以，
所以 ，
因为，，，
所以在上恒成立，
所以在上单调递减.
（2）解法一：构造，
则，
若，且，
则，解得.（必要条件）
当时，因为，
又，所以，，则，
所以，满足题意；
当时，由于，显然，
所以，满足题意；
综上所述：若，等价于，
所以的取值范围为.
解法二：因为，
因为，所以，，
故在上恒成立，
所以当时，，满足题意；
当时，由于，显然，
所以，满足题意；
当时，因为，
令，则，
注意到，
若，，则在上单调递增，
注意到，所以，即，不满足题意；
若，，则，
所以在上最靠近处必存在零点，使得，
此时在上有，所以在上单调递增；
则在上有，即，不满足题意；
综上：.
【评注】本题解法二第2小问讨论这种情况的关键是，注意到，从而分类讨论在上的正负情况，得到总存在靠近处的一个区间，使得，从而推得存在，由此得解.
4.（2023全国乙卷理科21）已知函数.
（1）当时，求曲线在点处的切线方程；
（2）是否存在，使得曲线关于直线对称，若存在，求的值，若不存在，说明理由；
（3）若在存在极值，求的取值范围.
【解析】（1）当时，
，，
，，
曲线在点处的切线方程为，即.
（2）由，得，
令，且得，即或.
所以，则，
即，
得，即.
（3）在上存在极值，求的取值范围.
即在上，存在变号零点.
令，
，当时，，得，，
则.
所以当时，，函数在上单调递减，
因此不存在极值点，与题意不符，故舍去.（注：一看原函数的符号）
，
当时，，，，则，
函数在上单调递增，故，
即，在上单调递增，所以在上没有极值点，与题意不符，故舍去.（注：二看导函数的符号）
当时，，
，，，
，，，
则在上单调递增，且，
因此，当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
又，且时，.
（因为，所以）
故得，
因此，据零点存在定理知，，使得，
且当时，，单调递减；当时，，单调递增.
又，当，找一个实数，使得
，
又，
所以
，得.
因此，由零点存在定理知，使得，
且当时，，当时，，
即当时，，单调递减；
当时，，，单调递增.
因此，当时，在上存在唯一极小值点，满足题意.
综上所述，若在上存在极值，则的取值范围是.
【评注】本题第一问比较常规，第二问考查了同学们的基本功，只需注意到定义域关于对称，答案并不难得到.第三问具有一定难度，但是可以通过提取转化对问题进行简化，当然这道题目最重要的还是考查了同学们分类讨论及含参取点的能力.
5.（2023全国乙卷文科8）函数存在 3 个零点，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【分析】写出，并求出极值点，转化为极大值大于0且极小值小于0即可.
【解析】，则，
若要存在3个零点，则要存在极大值和极小值，则，
令，解得或，
且当时，，
当，，
故的极大值为，极小值为，
若要存在3个零点，则，即，
解得.故选B.
6.（2023全国乙卷文科20）已知函数.
（1）当时，求曲线在点处的切线方程；
（2）若函数在单调递增，求的取值范围.
【解析】（1）当时，
，，
，，
曲线在点处的切线方程为，即.
（2）由函数的解析式可得，
满足题意时在区间上恒成立.
令，则，
令，原问题等价于在区间上恒成立，
则。
当时，由于，故，在区间上单调递减，
此时，不合题意;
令，则，
当，时，由于，所以在区间上单调递增，
即在区间上单调递增，
所以，在区间上单调递增，，满足题意.
当时，由可得，
当时，在区间上单调递减，即单调递减，
注意到，故当时，，单调递减，
由于，故当时，，不合题意.
综上可知，实数得取值范围是.
【评注】方法点睛：
（1）求切线方程的核心是利用导函数求切线的斜率，求函数的导数要准确地把函数拆分成基本初等函数的和、差、积、商，再利用运算法则求导，和函数求导，应由外到内逐层求导，必要时要进行换元.
（2）由函数的单调性求参数的取值范围的方法
①函数在区间上单调，实际上就是在该区间上(或)恒成立．
②函数在区间上存在单调区间，实际上就是(或)在该区间上存在解集．
7.（2023新高考I卷19）已知函数.
（1） 讨论的单调性；
（2） 证明：当时，.
【解析】（1），
当时，，在上单调递减；
当时，令，得，即，
函数在上单调递减，在上单调递增.
（2）解法一：由（1）知，当时，
，
要证明，等价于证明，
即，.
设，则，
当时，，函数在上单调递减；
当时，，函数在上单调递增，
则，证毕.
解法二：目标式，
即，
，
，证毕.
【命题背景揭示】凸函数的切线不等式
当时，给出函数其在点处的切线方程为：
，
又，，
，
因此，，该切线与直线平行，
且，
即，得，
由凸函数的切线不等式可知，
即.
【评注】 本题考查函数与导数的单调性分析和函数不等式的证明，考查函数形式依旧是指、对混合形式.
8.（2023年全国新高考II卷第22题）（1）证明：当时，；
（2）已知函数，若是的极大值点，求的取值范围.
【解析】（1）设，，则，
，函数在上单调递减，则，
所以.
设，则，，.
,在上单调递减，则，
所以在上单调递减，因此，所以.
综上，当时，.
本题还可以让学生证明，对于任意，（泰勒展开）.
（2）解法一：由题意，函数的定义域为，且为偶函数.
，是奇函数.
又0是的极大值点，显然成立，
且，当，，单调递增；
当，，单调递减.
又，
得或，
，
，.
若，当时，，则，
则在上单调递增，又，因此，
所以在上单调递增，又，
若，则，恒成立，
则，单调递减，则，
所以当时，单调递减，又为偶函数，则，
单调递增，这说明是的极大值点.
若，，使得，
且当时，，单调递减，
则，则当时，单调递减，
由于是偶函数，则，单调递增，
这说明是的极大值点.
若得，此时.
由（1）知，当时，，
则有当时，，
这说明函数在上单调递增，与题意不符，故舍去，
综上，的取值范围是.
9.（2023天津卷20）已知函数．
(1)求曲线在处切线的斜率；
(2)当时，证明：；
(3)证明：．
【解析】（1），
.
（2）要证明：，等价于证明，即.
构造函数，，
，
在上单调递增，则，即.
（3）设，，
，


.
因此，数列单调递减，则.
不等式的左侧待证明.
由 Pade 逼近知（证明略）
，
从而有
，
从而有当时，，
从而有.
证毕！
说明：命题背景是Pade 逼近！