2023年全国高考数学真题分类组合第11章《圆锥曲线》试题及答案

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第十一章 圆锥曲线
第一节 椭圆
1.（2023全国甲卷理科12）已知椭圆，为两个焦点，为原点，为椭圆上一点，，则（ ）
A. B. C. D.
【解析】解法一（利用焦点三角形面积公式）:设，.
，解得.
由椭圆焦点三角形面积公式得.
，解得.
则代入椭圆方程得，因此.故选B.
解法二（几何性质+定义）:
因为①，
，
即②，
联立①②，解得，.
由中线定理可知，，
而，解得. 故选B.
解法三（向量法）: 由解法二知，.
而，
所以.
故选B.
2.（2023全国甲卷文科7）设为椭圆的两个焦点，点在上，若，则 （ ）
A. B. C. D.
【分析】解法一：根据焦点三角形面积公式求出的面积，即可解出；
解法二：根据椭圆的定义以及勾股定理即可解出．
【解析】解法一：因为，所以，
从而，所以．
故选B.
解法二：因为，所以，
由椭圆方程可知，，
所以，又，平方得：
，所以．
故选B.
3.（2023新高考I卷5）设椭圆，的离心率分别为，.若，则（ ）
A. B. C. D.
【解析】，，由可得，解得.
故选A.
4.（2023新高考II卷5）已知椭圆的左、右焦点分别为，直线与交于两点，若的面积是面积的2倍，则（ ）
A. B. C. D.
【解析】设与轴相交于点，由，得.
又，所以，则有，解得.故选C.

第二节 双曲线
1.（2023新高考I卷16）已知双曲线的左、右焦点分别为，点在上，点在轴上，，，则的离心率为 .
【解析】解法一：建立如图所示的平面直角坐标系，设，
由可得，又且，，
则，所以，
又点在上，则，整理可得，
代入，可得，即，解得或.
故.

解法二：由可得，设，
由对称性可得，，由定义可得，，，
设，则，所以，解得，
所以，，
在中，由余弦定理可得，，
所以.
2.（2023全国甲卷理科8）已知双曲线的离心率为，其中一条渐近线与圆交于两点，则（ ）
A. B. C. D.
【解析】由，则，解得.
所以双曲线的一条渐近线为，则圆心到渐近线的距离，
所以弦长.故选D.
3.（2023全国甲卷文科9）已知双曲线的离心率为，其中一条渐近线与圆交于两点，则（ ）
A. B. C. D.
【解析】由，则，解得.
所以双曲线的一条渐近线为，则圆心到渐近线的距离，
所以弦长.故选D.
4.（2023北京卷12）已知双曲线的焦点为和，离心率为，则的方程为 .
【分析】根据给定条件，求出双曲线的实半轴、虚半轴长，再写出的方程作答.
【解析】令双曲线的实半轴、虚半轴长分别为，显然双曲线的中心为原点，焦点在x轴上，其半焦距，
由双曲线的离心率为，得，解得，则，
所以双曲线的方程为.
故答案为：.
5.（2023天津卷9）双曲线的左、右焦点分别为．过作其中一条渐近线的垂线，垂足为．已知，直线的斜率为，则双曲线的方程为（    ）
A． B．
C． D．
【分析】先由点到直线的距离公式求出，设，由得到，.再由三角形的面积公式得到，从而得到，则可得到，解出，代入双曲线的方程即可得到答案.
【解析】如图所示，
  
因为，不妨设渐近线方程为，即，
所以，所以.
设，则，所以.
因为，所以，所以，所以，
所以，
因为，所以，
所以，解得，所以双曲线的方程为.
故选D.
第三节 抛物线
1.（2023天津卷12）过原点的一条直线与圆相切，交曲线于点，若，则的值为_________．
【分析】根据圆和曲线关于轴对称，不妨设切线方程为，，即可根据直线与圆的位置关系，直线与抛物线的位置关系解出．
【解析】易知圆和曲线关于轴对称，不妨设切线方程为，，所以，解得：，由解得：或，
所以，解得：．
当时，同理可得．
故答案为．
2.（2023全国乙卷理科13，文科13）已知点在抛物线上，则到的准线的距离为 .
【分析】由题意首先求得抛物线的标准方程，然后由抛物线方程可得抛物线的准线方程为，最后利用点的坐标和准线方程计算点到的准线的距离即可.
【解析】 由题意可得：，则，抛物线的方程为，
准线方程为，点到的准线的距离为 .
故答案为：.
3.（2023新高考II卷10）设为坐标原点，直线过抛物线的焦点，且与交于两点，为的准线，则（ ）
A． B．
C．以为直径的圆与相切 D．为等腰三角形
【解析】由题意可得焦点为，所以，，A正确；
联立，消得.
设，由韦达定理得，
所以，B错误；
设的中点为，分别过向作垂线，垂足分别为，
由梯形中位线性质及抛物线定义可得，
，所以以为直径的圆与准线相切，C正确；
由上述解题过程知，，解得，
从而，易得，不是等腰三角形，D错误.
综上，故选AC.


第四节 直线与圆锥曲线的位置关系
1.（2023全国乙卷理科11，文科12）已知是双曲线上两点，下列四个点中，可为线段中点的是（ ）
A. B. C. D.
【分析】设直线的斜率为, 的斜率为，根据点差法分析可得 ，对于A，B，D通过联立方程判断交点个数，逐项分析判断；对于C：结合双曲线的渐近线分析判断.
【解析】设，，则的中点，
设直线的 斜率为, 的斜率为，可得，
因为在双曲线上，则，两式相减得，
所以.
对于选项A：可得，，则，
联立方程，消去得，
此时，
所以直线与双曲线没有交点，故A错误；
对于选项B：可得，，则，
联立方程，消去得，
此时，
所以直线与双曲线没有交点，故B错误；
对于选项C：可得，，则.
由双曲线方程可得，，则为双曲线的渐近线，
所以直线与双曲线没有交点，故C错误；
对于选项D：，，则，
联立方程，消去得，
此时，故直线与双曲线有交两个交点，故D正确.
故选D.
2.（2023新高考I卷22）在直角坐标系中，点到轴的距离等于点到点的距离，记动点的轨迹为.
（1） 求的方程；
（2） 已知矩形有三个顶点在上，证明：矩形的周长大于.
【解析】（1）设，则，故.
（2）解法一：不妨设三个顶点在抛物线上，且，
显然的斜率存在且不为0，
令，则，
，即，即，
本题等价于证明，
令，
则，
（未知数有，通过转化（放缩），将变量归一）
由，即，
不妨设，则






.
令，则，
当时取等号，又取等时必有，因此取不到等号，所以.
解法二：如图所示，先将第一问中的曲线下移个单位，其表达式为.
不妨设三点在抛物线上，再设及的斜率为.
由题意知的斜率为，因为，故而可再使，
直线的方程，即，
与曲线联立可得，由此可知
同理，，由此可知矩形的周长满足


①

②

③
.
当时①处取等号，当同号时②处取等号，当时③处取等号，显然三处不能同时取等号，所以矩形的周长大于.
3.（2023天津卷18）设椭圆的左右顶点分别为，右焦点为，已知，．
(1)求椭圆方程及其离心率；
(2)已知点是椭圆上一动点（不与端点重合），直线交轴于点，若三角形的面积是三角形面积的二倍，求直线的方程．
【分析】（1）由解得，从而求出，代入椭圆方程即可求方程，再代入离心率公式即求离心率.
（2）先设直线的方程，与椭圆方程联立，消去，再由韦达定理可得，从而得到点和点坐标.由得，即可得到关于的方程，解出，代入直线的方程即可得到答案.
【解析】（1）如图所示，
  
由题意得，解得，所以，
所以椭圆的方程为，离心率为.
（2）由题意得，直线斜率存在，由椭圆的方程为可得，
设直线的方程为，
联立方程组，消去整理得：，
由韦达定理得，所以，
所以，.
所以，，，
所以，
所以，即，
解得，所以直线的方程为.
第五节 圆锥曲线综合探究型问题
1.（2023全国甲卷理科20）设抛物线，直线与交于两点，且.
（1）求；
（2）设的焦点为，为抛物线上的两点，，求面积的最小值.
【解析】（1）设，，联立直线与抛物线的方程，
消得，
即，，
，解得，（舍）.所以.
（2）解法一（向量法）：由（1）知，抛物线的方程为，，
设，，
，，
又得，即，
又
，
又，得，
因此，即或，
得或（这一步至关重要），
或.
设
.
又或，
则（当且仅当时，即时取最小值）.
解法二（极坐标法）：如图所示，设与轴正半轴的夹角为，则有，，
从而有
.
其中，显然当且仅当，即时取等号.

2.（2023全国甲卷文科21）设抛物线，直线与交于两点，且.
（1）求；
（2）设的焦点为，为抛物线上的两点，，求面积的最小值.
【解析】设，，联立直线与抛物线的方程，消得，
即，，
，解得，（舍）.所以.
（2）解法一：由（1）知，抛物线的方程为，，
设，，
，，
又得，即.
又
，
又，得，
因此，即或，
得或（这一步至关重要）,
或.
设
.
又或，则（当且仅当时，即时取最小值）.
解法二（极坐标）：
如图所示，设与轴正半轴的夹角为，则有，
从而有
.
其中，显然当且仅当时取等号.

3.（2023全国乙卷理科20，文科21）已知椭圆的离心率为，点在上.
（1）求的方程；
（2）过点的直线交于两点，直线与轴的交点分别为，求证：线段中点为定点.
【解析】（1）依题意，，，则，得，，
曲线的方程为.
（2）设，，直线，
，令，得，
，令，得.
的中点坐标为，
联立直线的方程和椭圆方程得，
消建立关于的一元二次方程，，
即，，
又

.
所以线段过定点.
【评注】本题为2022全国乙卷的变式题，难度有所降低，考查仍为极点、极线的性质，定点为关于椭圆的极线与轴的交点.本题以椭圆中极点极线理论的射影不变性为命题背景，考查椭圆中对称式的计算方法，要求考生具有较强的计算能力.除此之外，如果考生具有先猜再证的解题意识，本题中的定点可以通过极限思想进行猜想.
4.（2023新高考II卷21）已知双曲线的中心为坐标原点，左焦点为，离心率为.
（1） 求的方程；
（2） 记的左、右顶点分别为，，过点的直线与的左支交于，两点，在第二象限，直线与交于点，求证：点在定直线上.
【解析】（1）设双曲线方程为，且.
又，得，因为，所以，
因此双曲线的方程为.
（2）（设点设线）.设，.
由（1）可得，，则,.
联立的方程，消得，
即.
联立的方程与双曲线，得
，消得，
即.
由韦达定理
（非对称结构处理）.
，
则，得.
因此点在定直线上.
5.（2023北京卷19）已知椭圆的离心率为，分别是的上、下顶点，分别是的左、右顶点，.
（1）求椭圆的方程；
（2）点为第一象限内上的动点，直线与直线交于点，直线与直线交于点.求证：.
【分析】（1）结合题意得到，，再结合，解之即可；
（2）依题意求得直线、与的方程，从而求得点的坐标，进而求得，再根据题意求得，得到，由此得解.
【解析】（1）依题意，得，则，
又分别为椭圆上下顶点，，所以，即，
所以，即，则，
所以椭圆的方程为.
（2）因为椭圆的方程为，所以，
因为为第一象限上的动点，设，则，

易得，则直线的方程为，
，则直线的方程为，
联立，解得，即，
而，则直线的方程为，
令，则，解得，即，
又，则，，
所以

，
又，即，
显然，与不重合，所以.
第六节 平面几何性质在圆锥曲线中的应用
1.（2023全国甲卷理科12）已知椭圆，为两个焦点，为原点，为椭圆上一点，，则（ ）
A. B. C. D.
【解析】因为①，
，
即②，
联立①②，解得，.
由中线定理可知，，
而，解得. 故选B.

2.（2023新高考II卷10）设为坐标原点，直线过抛物线的焦点，且与交于两点，为的准线，则（ ）
A． B．
C．以为直径的圆与相切 D．为等腰三角形
【解析】由题意可得焦点为，所以，，A正确；
联立，消得.
设，由韦达定理得，
所以，B错误；
设的中点为，分别过向作垂线，垂足分别为，
由梯形中位线性质及抛物线定义可得，
，所以以为直径的圆与准线相切，C正确；
由上述解题过程知，，解得，
从而，易得，不是等腰三角形，D错误.
综上，故选AC.