安徽省马鞍山市2022-2023学年高一数学下学期期末试题（Word版附解析）

这是一份安徽省马鞍山市2022-2023学年高一数学下学期期末试题（Word版附解析），共21页。

马鞍山市2022～2023学年第二学期期末教学质量监测
高一数学试题
注意事项：
1．答卷前，考生务必用将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号等信息填写在答题卡的相应位置上.
2．作答选择题时，请用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.非选择题必须用0.5毫米黑色字迹的签字笔作答，将答案写在答题卡各题目指定区域内相应位置上.不按以上要求作答的答案无效.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 复数（其中为虚数单位）的虚部为（ ）
A. 1 B. －1 C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用复数的乘法法则化简复数，根据虚部的概念求解即可.
【详解】因为，所以复数的虚部为1.
故选：A
2. （ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
根据二倍角公式即可求出．
【详解】．
故选：D．
【点睛】本题主要考查二倍角公式应用，属于容易题．
3. 下列各组向量中，可以作为基底的是（ ）
A. ， B. ，
C. ， D. ，
【答案】C
【解析】
【分析】根据基底需为不共线的非零向量，由此依次判断各个选项即可.
【详解】对于A，，不可以作为基底，A错误；
对于B，，共线，不可以作为基底，B错误；
对于C，与为不共线的非零向量，可以作为一组基底，C正确；
对于D，，共线，不可以作为基底，D错误.
故选：B.
4. 通过抽样调查得到某栋居民楼12户居民的月均用水量数量（单位：吨），如下表格：
4.1
3.2
4.2
5.6
4.3
5.0
6.3
6.2
3.5
3.9
4.5
5.2
则这12户居民的月均用水量的第75百分位数为（ ）
A 5.0 B. 5.2 C. 5.4 D. 5.6
【答案】C
【解析】
【分析】把给定数据由小到大排列，再根据百分位数的定义求解作答.
【详解】依题意，居民的月均用水量由小到大排列为：3.2，3.5，3.9，4.1，4.2，4.3，4.5，5.0，5.2，5.6，6.2，6.3，而，可知第75百分位数为第,9项和第10项数据的平均数，
所以这12户居民的月均用水量的第75百分位数为5.4.
故选：C
5. 已知是空间两个不同的平面，是空间两条不同的直线，则下列命题为真命题的是（ ）
A. 若，则
B. 若，则
C. 若，且，则
D. 若，且，则
【答案】D
【解析】
【分析】根据线面之间的位置关系判定即可.
【详解】
对于A项，可能相交，如图所示正方体中，若分别为直线，为平面，此时符合条件，但结论不成立，故A错误；
对于B项，有的可能，如图所示正方体中，若分别为直线，为平面，此时符合条件，但结论不成立，故B错误；
对于C项，如图所示正方体中，若分别为直线，为平面，为平面，此时符合条件，但结论不成立，故C错误；
对于D项，因为，又，所以，故D正确；
故选：D
6. 将函数的图象上各点的横坐标伸长到原来的倍（纵坐标不变），得到函数的图象，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意，将函数的图象上各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），可以得函数的图象.
【详解】由题意知，将函数的图象上各点的横坐标
缩短到原来的倍（纵坐标不变），就可得函数的图象，
所以.
故选：B
7. 正方形ABCD中，E，F分别是边AD，DC的中点，BE与AF交于点G．则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】如图，以为原点，分别以所在的直线为轴建立平面直角坐标系，设正方形的边长为2，分别利用三点共线和三点共线结合共线向量定理可求出点的坐标，再利用平面向量基本定理可求得结果.
【详解】如图，以为原点，分别以所在的直线为轴建立平面直角坐标系，
设正方形的边长为2，则，
所以，
因为三点共线，所以存在唯一实数，使，
所以，
因为三点共线，所以存在唯一实数，使，
所以，所以，解得，
所以，
设，则，
所以，
所以，
故选：A

8. 在直三棱柱中，，，，且三棱柱的所有顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意，可将棱柱补成长方体，长方体的对角线即为球的直径，从而可求球的表面积．
【详解】三棱柱的侧棱垂直于底面，
，，，
可将棱柱补成长方体，且长方体的长宽高分别为4,4,6.
长方体的对角线，即为球的直径.
球的半径，
球的表面积为.
故选：C．
二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．
9. 若复数z满足（为虚数单位），则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BD
【解析】
【分析】运用复数除法化简可得，分别运用共轭复数的概念、复数模公式、复数乘法运算及乘方运算即可判断各个选项.
【详解】因为，所以，
对于A项，，故A项错误；
对于B项，，故B项正确；
对于C项，，故C项错误；
对于D项，，，故D项正确.
故选：BD.
10. 已知函数的部分图象，则（ ）

A.
B.
C. 点是图象的一个对称中心
D. 的图象向左平移个单位后所对应的函数为偶函数
【答案】ACD
【解析】
【分析】A选项，根据图象得到最小正周期，从而求出；B选项，代入，求出；C选项，得到函数解析式，求出，故C正确；D选项，求出平移后的解析式，利用函数奇偶性定义得到答案.
【详解】A选项，由图象可得到函数最小正周期，故，
因为，所以，解得，A正确；
B选项，将代入解析式得，
因为，解得，B错误；
C选项，，故，
故点是图象的一个对称中心，C正确；
D选项，的图象向左平移个单位后得到，
因为的定义域为R，且，
故为偶函数，D正确.
故选：ACD
11. 在中，下列说法正确的是（ ）
A. 若，则
B. 若，则为锐角三角形
C. 若，则为钝角三角形
D. 存在满足
【答案】AC
【解析】
【分析】对于A，利用正弦定理分析判断，对于B，利用正弦定理转化为边的形式，然后举例判断，对于C，由已知条件可得，再利用正弦函数的性质可得结论，对于D，利用余弦函数的性质分析判断.
【详解】对于A，因为，所以由正弦定理得，
所以由大边对大角可得，所以A正确，
对于B，因为，所以由正弦定理得，
所以由余弦定理得，
因为，所以为锐角，
因为，所以，中有可能有钝角，或直角，
所以不一定是锐角三角形，所以B错误，
对于C，因为，所以，且角为锐角，
当角锐角时，则，所以，所以角为钝角，
当角为钝角时，则，所以，则，此式成立，
综上，为钝角三角形，所以C正确，
对于D，若，则，
因为，在上递减，
所以，所以，这与三角形内角和定理相矛盾，
所以不存在满足，所以D错误，
故选：AC
12. 在正方体中，E，F分别为AB，BC的中点，G为线段上的动点，过E，F，G作正方体的截面记为，则（ ）

A. 当截面为正六边形时，G为中点
B. 当时，截面为五边形
C. 截面可能是等腰梯形
D. 截面不可能与直线垂直
【答案】AC
【解析】
【分析】利用平面的基本性质画出正方体的截面，即可判断A、B、C；利用线面垂直的判定判断D.
【详解】若G为中点，如图：

延长EF交DC于，交DC于，延长交于T，取的中点S，连接交于，
连接，，因为E为AB的中点，F为BC的中点，所以，
又，，所以≌，
所以T为的中点，所以，
又，所以，同理，则，
所以共面，此时正六边形为截面，符合题意，故A正确；
因为四边形为正方形，则，
而平面平面，即有，
又平面，
则平面，而平面，因此，
同理平面，又平面，则有，
又，所以，为相交直线且在内，
所以，
故当G为线段上的中点时，截面与直线垂直，故D错误；
如图：

延长EF交AD于，交DC于，连接交于G，连接交于M，
此时截面为五边形，因为，所以∽，
所以，即，
当时，截面为五边形，当时，截面为六边形，
当时，截面为四边形，所以当时，截面为五边形，故B错误；
当G与重合时，如图：

连接，，，则，且，
又，所以四边形为等腰梯形，即截面是等腰梯形，故C正确；
综上，正确的选项为AC.
故选：AC
【点睛】关键点点睛：对于与几何体相关的截面问题，做出截面是解题关键.我们通常可利用空间几何公理及推论或对平面延申找出共线，共面关系；也利用面面平行的性质做出截面在平行平面上的交线.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．请把答案填在答题卡的相应位置．
13. 已知向量，，且，则______.
【答案】
【解析】
【分析】由向量垂直的坐标表示即可求解.
【详解】因为，，且，
所以，即，解得.
故答案为：
14. 已知某圆锥的侧面积为，其侧面展开图是半圆，则该圆锥的体积为____________．
【答案】
【解析】
【分析】由圆锥的侧面积为，且它的侧面展开图是一个半圆，得到，求出即为母线，从而得到底面半径，求得圆锥的高，继而求得圆锥的体积．
【详解】某圆锥的侧面积为，其侧面展开图是半圆，设半圆的半径为，
所以，所以，因为半径即为圆锥母线长，
设圆锥底面圆半径为，则，
底面半径，
所以圆锥的高为，
故圆锥的体积为．
故答案为：．
15. 计算： __________．
【答案】
【解析】
【详解】由，可得，所以，故答案为.
16. 已知△ABC是钝角三角形，角A，B，C的对边依次是a，b，c，且，，则边c的取值范围是____________．
【答案】
【解析】
【分析】根据余弦定理，结合三角形两边和大于第三边求解即可.
【详解】当角C为最大角时，由题意，，
即，解得，又三角形两边和大于第三边，故，
故；
当角C不是最大角时，则角B为最大角，由题意，，
即，解得，又三角形两边差小于第三边，故，
故；
所以边c的取值范围是.
故答案为：
四、解答题：本题共6题，共70分．解答题应写出文字说明、演算步骤或证明过程．解答写在答题卡上的指定区域内．
17. 某小学对在校学生开展防震减灾教育，进行一段时间的展板学习和网络学习后，学校对全校学生进行问卷测试（满分分）．现随机抽取了部分学生的答卷，得分的频数统计表和对应的频率分布直方图如图所示：

得分




人数






（1）求，的值，并估计全校学生得分的平均数；
（2）根据频率分布直方图，估计样本数据的和分位数．
【答案】（1），，
（2）；．
【解析】
【分析】（1）根据频率分布直方图的性质求解即可.
（2）利用分位数的定义求解即可.
【小问1详解】
由频率分布直方图可知，
得分在的频率为，
故抽取的学生答卷数为，
由，得．
所以，
得分的平均数估计值为：
．
【小问2详解】
由图可知，内的比例为，
内的比例为，内的比例为，
内的比例为．
因此，分位数一定位于．
由，
可以估计样本数据的分位数为．
类似的，由，
可以估计样本数据的分位数为．
18. 在中，角A，B，C的对边依次是a，b，c.若.
（1）求角C；
（2）当，时，求的面积.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用正弦定理化角为边，然后利用余弦定理求出角；
（2）利用正弦定理求出边，然后代入面积公式求解即可.
【小问1详解】
因为，
由正弦定理得，即，
所以，又，所以；
【小问2详解】
由题意，又，所以，
由正弦定理：得，
又，
所以的面积.
19. 如图所示，在直三棱柱中，，D，E分别为棱AB，的中点.

（1）证明：CD∥平面；
（2）求BE与平面所成角的正弦值.
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）利用三角形中位线的性质证得四边形DGEC是平行四边形，进而得，所以可证明CD∥平面；
（2）利用线线垂直证明面，根据线面角的概念得即为所求的线面角，然后在直角三角形中求解即可.
【小问1详解】
连接，取中点为点，连接，
因为G，D分别为，AB的中点，所以且，
又E为中点，所以且，
所以且，则四边形DGEC为平行四边形，
所以，又平面，平面，则平面.
【小问2详解】
连接BG，BE，

因为，D为AB中点，则，
又直三棱柱，面，则，
又，又面，面，所以面，
由（1）知，，所以面，则与平面所成角为，
因为，所以，，
所以，则与平面所成角的正弦值为.
20. 在中，角、、的对边分别为、、，已知.
（1）若的面积为，求的值；
（2）设，，且，求的值.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】（1）利用同角三角函数的基本关系求得的值，利用三角形的面积公式可求得的值，再利用平面向量数量积的定义可求得的值；
（2）由结合二倍角公式可求得，求得和的值，再利用两角差的正弦公式可求得的值.
【详解】（1），，则，
的面积为，.
因此，；
（2），，且，所以，，即，.
，.
，
，
因此，.
【点睛】本题考查解三角形的综合问题，考查三角形面积公式的应用、平面向量数量积的计算、平面向量共线的坐标表示以及利用三角恒等变换思想求值，考查计算能力，属于中等题.
21. 已知函数.
（1）求函数的单调递增区间；
（2）若关于x的方程在区间上恰有一解，求实数m的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据三角恒等变换化简函数解析式，再利用换元法求单调递增区间；
（2）将问题转化为的图象与直线在区间上有一个交点，结合图象求得结果.
【小问1详解】
因为

，由，得，
所以函数的递增区间为；
【小问2详解】
因为，所以，
而在上单调递减，在上单调递增，
而，，，
如图作出函数，的图象：

又方程在区间上恰有一解，
所以的图象与直线在区间上有一个交点，
所以或，解得或
即m的取值范围为.
22. 如图所示，在四棱锥中，底面是边长2的正方形，侧面为等腰三角形，，侧面底面．

（1）在线段上是否存在一点，使得，若存在，请求出的值，若不存在，请说明理由；
（2）求二面角的余弦值．
【答案】（1）存在，
（2）．
【解析】
【分析】（1）由已知面面垂直可得平面，则，而要使，则必有平面，则，然后在等腰三角形中求解即可；
（2）作的中点，连接，取的中点，连接,则可证得是所求二面角的平面角，然后在中求解即可.
【小问1详解】
存在点E满足条件，且
证明：因为底面为正方形，所以，
因为侧面底面，侧面底面，平面，
所以平面，
因为平面，
所以，
而，平面，平面，
要使，则必有平面，
因为平面，
所以
在等腰三角形PAD中，，，计算可得，，
所以，
所以．
【小问2详解】
解：作的中点，连接．
因为，所以．
取的中点，连接,
因为，∥，
所以，
因为，，平面，
所以平面，
因为平面，所以，
所以是所求二面角的平面角．
因为为等腰三角形，且，底面为边长为2的正方形，
所以，．
因为，侧面底面，侧面底面，平面，
所以底面，
因为底面，
所以，
在中，，
所以．
所以
故二面角的余弦值．