2023年山东省菏泽市中考数学真题(含解析)
展开2023年菏泽市初中学业水平考试
一、选择题(本大题共8个小题,每小题3分,共24分,在每小题给出的四个选项中,只有一个选项是正确的,请把正确选项的序号涂在答题卡的相应位置.)
1. 剪纸文化是我国最古老的民间艺术之一,下列剪纸图案中既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行逐一判断即可.
【详解】解:A.既是轴对称图形,也是中心对称图形,故A符合题意;
B.是轴对称图形,不是中心对称图形,故B不符合题意;
C.不是轴对称图形,也不是中心对称图形,故C不符合题意;
D.不是轴对称图形,是中心对称图形,故D不符合题意.
故选:A.
【点睛】本题主要考查了中心对称图形和轴对称图形的定义,如果一个平面图形沿一条直线折叠,直线两旁的部分能够互相重合,这个图形就叫做轴对称图形;中心对称图形的定义:把一个图形绕着某一个点旋转,如果旋转后的图形能够与原来的图形重合,那么这个图形叫做中心对称图形,这个点就是它的对称中心.
2. 下列运算正确的是( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用同底数幂的乘除法、积的乘方与幂的乘方以及完全平方公式分别判断即可.
【详解】解:A、,故选项错误;
B、,故选项正确;
C、,故选项错误;
D、,故选项错误;
故选:B.
【点睛】此题主要考查了整式的混合运算,同底数幂的乘除法、积的乘方、幂的乘方以及完全平方公式,正确掌握相关乘法公式是解题关键.
3. 一把直尺和一个含角的直角三角板按如图方式放置,若,则( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据平行线性质,得出,进而.
【详解】由图知,
∴
故选:B
【点睛】本题考查平行线的性质,特殊角直角三角形,由图形的位置关系推出角之间的数量关系是解题的关键.
4. 实数a,b,c在数轴上对应点的位置如图所示,下列式子正确的是( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据数轴可得,,再根据逐项判定即可.
【详解】由数轴可知,
∴,故A选项错误;
∴,故B选项错误;
∴,故C选项正确;
∴,故D选项错误;
故选:C.
【点睛】本题考查实数与数轴,根据进行判断是解题关键.
5. 如图所示的几何体是由5个大小相同的小正方体组成的,它的主视图是( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据主视图是从正面看到的图形进行求解即可.
【详解】解:从正面看该几何体,有三列,第一列有2层,第二和第三列都只有一层,如图所示:
故选:A.
【点睛】本题主要考查了简单几何组合体的三视图,熟知三视图的定义是解题的关键.
6. 一元二次方程的两根为,则的值为( )
A. B. C. 3 D.
【答案】C
【解析】
【分析】先求得,,再将变形,代入与的值求解即可.
【详解】解:∵一元二次方程的两根为,
∴,
∴
.
故选C.
【点睛】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系,牢记,是解决本题的关键.
7. 的三边长a,b,c满足,则是( )
A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 锐角三角形 D. 等腰直角三角形
【答案】D
【解析】
【分析】由等式可分别得到关于a、b、c的等式,从而分别计算得到a、b、c的值,再由的关系,可推导得到为直角三角形.
【详解】解∵
又∵
∴,
∴
解得 ,
∴,且,
∴为等腰直角三角形,
故选:D.
【点睛】本题考查了非负性和勾股定理逆定理的知识,求解的关键是熟练掌握非负数的和为0,每一个非负数均为0,和勾股定理逆定理.
8. 若一个点的纵坐标是横坐标的3倍,则称这个点为“三倍点”,如:等都是三倍点”,在的范围内,若二次函数的图象上至少存在一个“三倍点”,则c的取值范围是( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由题意可得:三倍点所在的直线为,根据二次函数的图象上至少存在一个“三倍点”转化为和至少有一个交点,求,再根据和时两个函数值大小即可求出.
【详解】解:由题意可得:三倍点所在的直线为,
在的范围内,二次函数的图象上至少存在一个“三倍点”,
即在的范围内,和至少有一个交点,
令,整理得:,
则,解得,
,
∴,
∴或
当时,,即,解得,
当时,,即,解得,
综上,c的取值范围是,
故选:D.
【点睛】本题考查二次函数与一次函数交点问题,熟练掌握相关性质是关键.
二、填空题(本大题共6个小题,每小题3分,共18分,只要求把最后结果填写在答题卡的相应区域内.)
9. 因式分解:______.
【答案】
【解析】
【分析】直接提取公因式m,进而分解因式即可.
【详解】解:m2-4m=m(m-4).
故答案为:m(m-4).
【点睛】本题主要考查了提取公因式法分解因式,正确找出公因式是解题关键.
10. 计算:___________.
【答案】1
【解析】
【分析】根据先计算绝对值,特殊角的三角函数值,零指数幂,再进行加减计算即可.
【详解】解:
故答案为:1.
【点睛】本题考查了实数运算,掌握绝对值、特殊角的三角函数值、零指数幂的运算是解题的关键.
11. 用数字0,1,2,3组成个位数字与十位数字不同的两位数,其中是偶数的概率为__________.
【答案】
【解析】
【分析】先列表得出所有的情况,再找到符合题意的情况,利用概率公式计算即可.
【详解】解:0不能在最高位,而且个位数字与十位数字不同,
列表如下:
1
2
3
0
10
20
30
1
21
31
2
12
32
3
13
23
一共有可以组成9个数字,偶数有10、12、20、30、32,
∴是偶数的概率为.
故答案为:.
【点睛】本题考查了列表法求概率,注意0不能在最高位.
12. 如图,正八边形的边长为4,以顶点A为圆心,的长为半径画圆,则阴影部分的面积为__________(结果保留).
【答案】
【解析】
【分析】先利用正八边形求出圆心角的度数,再利用扇形的面积公式求解即可.
【详解】解:由题意,,
∴,
故答案为:.
【点睛】本题考查正多边形与圆,扇形的面积等知识,解题的关键是记住扇形的面积,正多边形的每个内角度数为.
13. 如图,点E是正方形内的一点,将绕点B按顺时针方向旋转得到.若,则__________度.
【答案】80
【解析】
【分析】先求得和的度数,再利用三角形外角的性质求解即可.
【详解】解:∵四边形是正方形,
∴,
∵,
∴,
∵绕点B按顺时针方向旋转得到
∴,,
∴,
∴,
故答案为:80.
【点睛】本题考查了正方形的性质,等腰三角形的性质,旋转图形的性质和三角形外角的性质,利用旋转图形的性质求解是解题的关键.
14. 如图,在四边形中,,点E在线段上运动,点F在线段上,,则线段的最小值为__________.
【答案】##
【解析】
【分析】设的中点为O,以为直径画圆,连接,设与的交点为点,证明,可知点F在以为直径的半圆上运动,当点F运动到与的交点时,线段有最小值,据此求解即可.
【详解】解:设的中点为O,以为直径画圆,连接,设与的交点为点,
∵,
∴,
∴,
∵,
∴,
∴点F在以为直径的半圆上运动,
∴当点F运动到与的交点时,线段有最小值,
∵,
∴,,
∴,
的最小值为,
故答案为:.
【点睛】本题考查了平行线的性质,圆周角定理的推论,勾股定理等知识,根据题意分析得到点F的运动轨迹是解题的关键.
三、解答题(本题共78分,把解答或证明过程写在答题卡的相应区域内.)
15. 解不等式组:.
【答案】
【解析】
【分析】分别求出各个不等式的解,再取各个解集的公共部分,即可.
【详解】解:解得:,
解得:,
∴不等式组的解集为.
【点睛】本题主要考查解一元一次不等式组,熟练掌握解不等式组的基本步骤,是解题的关键.
16. 先化简,再求值:,其中x,y满足.
【答案】,6
【解析】
【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算,同时将除法变为乘法,约分得到最简结果,将变形整体代入计算即可求解.
【详解】解:原式
;
由,得到,
则原式.
【点睛】此题考查分式的化简求值,解题关键熟练掌握分式混合运算的顺序以及整体代入法求解.
17. 如图,在中,平分,交于点E;平分,交于点F.求证:.
【答案】证明见解析
【解析】
【分析】由平行四边形的性质得,,,由平行线的性质和角平分线的性质得出,可证,即可得出.
【详解】证明:∵四边形是平行四边形,
∴,,,,
∵平分,平分,
∴,
在和中,
∴
∴.
【点睛】本题主要考查平行四边形的性质,平行线的性质及全等三角形的判定与性质,根据题目已知条件熟练运用平行四边形的性质,平行线的性质是解答本题的关键.
18. 无人机在实际生活中的应用广泛,如图所示,某人利用无人机测最大楼的高度,无人机在空中点P处,测得点P距地面上A点80米,点A处俯角为,楼顶C点处的俯角为,已知点A与大楼的距离为70米(点A,B,C,P在同一平面内),求大楼的高度(结果保留根号)
【答案】大楼的高度为.
【解析】
【分析】如图,过作于,过作于,而,则四边形是矩形,可得,,求解,,可得,,可得.
【详解】解:如图,过作于,过作于,而,
则四边形是矩形,
∴,,
由题意可得:,,,,
∴,,
∴,
∴,
∴,
∴大楼的高度为.
【点睛】本题考查的是矩形的判定与性质,解直角三角形的实际应用,理解仰角与俯角的含义是解本题的关键.
19. 某班学生以跨学科主题学习为载体,综合运用体育,数学,生物学等知识,研究体育课的运动负荷,在体育课基本部分运动后,测量统计了部分学生的心率情况,按心率次数x(次/分钟)分为如下五组:A组:,B组:,C组:,D组:,E组:.其中,A组数据为73,65,74,68,74,70,66,56.根据统计数据绘制了不完整的统计图(如图所示),请结合统计图解答下列问题:
(1)A组数据的中位数是_______,众数是_______;在统计图中B组所对应的扇形圆心角是_______度;
(2)补全学生心率频数分布直方图;
(3)一般运动的适宜行为为(次/分钟),学校共有2300名学生,请你依据此次跨学科项目研究结果,估计大约有多少名学生达到适宜心率?
【答案】(1)69,74,54;
(2)见解析 (3)大约有1725名学生达到适宜心率.
【解析】
【分析】(1)根据中位数和众数的概念求解,先求出总人数,然后求出B组所占的百分比,最后乘以即可求出在统计图中B组所对应的扇形圆心角;
(2)根据样本估计总体的方法求解即可.
【小问1详解】
将A组数据从小到大排列为:56,65,66,68,70,73,74,74,
∴中位数为;
∵74出现的次数最多,
∴众数是74;
,
∴在统计图中B组所对应的扇形圆心角是;
故答案为:69,74,54;
【小问2详解】
∴C组的人数为30,
∴补全学生心率频数分布直方图如下:
【小问3详解】
(人),
∴大约有1725名学生达到适宜心率.
【点睛】本题主要考查调查与统计的相关知识,理解频数分布直方图,扇形统计图的相关信息,掌握运用样本百分比估算总体数量是解题的关键.
20. 如图,已知坐标轴上两点,连接,过点B作,交反比例函数在第一象限的图象于点.
(1)求反比例函数和直线的表达式;
(2)将直线向上平移个单位,得到直线l,求直线l与反比例函数图象的交点坐标.
【答案】(1),
(2)或
【解析】
【分析】(1)如图,过点C作轴于点D,证明,利用相似三角形的性质得到,求出点C的坐标,代入可得反比例函数解析式,设的表达式为,将点代入即可得到直线的表达式;
(2)先求得直线l的解析式,联立反比例函数的解析式即可求得交点坐标.
【小问1详解】
如图,过点C作轴于点D,
则,,
∵,
∴,
∴,
∵,
∴,
∴,
∴,
∴,
∵,
∴,,
∴,
∴,
∴,
∴点,
将点C代入中,
可得,
∴,
设的表达式为,
将点代入可得,
解得:,
∴的表达式为;
【小问2详解】
直线l的解析式为,
当两函数相交时,可得,
解得,,
代入反比例函数解析式,
得,
∴直线l与反比例函数图象的交点坐标为或
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质,待定系数法求函数的解析式,反比例函数与一次函数的交点问题,一次函数的平移问题,解一元二次方程等知识.
21. 某学校为美化学校环境,打造绿色校园,决定用篱笆围成一个一面靠墙(墙足够长)的矩形花园,用一道篱笆把花园分为A,B两块(如图所示),花园里种满牡丹和芍药,学校已定购篱笆120米.
(1)设计一个使花园面积最大的方案,并求出其最大面积;
(2)在花园面积最大的条件下,A,B两块内分别种植牡丹和芍药,每平方米种植2株,知牡丹每株售价25元,芍药每株售价15元,学校计划购买费用不超过5万元,求最多可以购买多少株牡丹?
【答案】(1)长为60米,宽为20米时,有最大面积,且最大面积为1200平方米
(2)最多可以购买1400株牡丹
【解析】
【分析】(1)设长为x米,面积为y平方米,则宽为米,可以得到y与x的函数关系式,配成顶点式求出函数的最大值即可;
(2)设种植牡丹的面积为a平方米,则种植芍药的面积为平方米,由题意列出不等式求得种植牡丹面积的最大值,即可解答.
【小问1详解】
解:设长为x米,面积为y平方米,则宽为米,
∴,
∴当时,y有最大值是1200,
此时,宽为(米)
答:长为60米,宽为20米时,有最大面积,且最大面积为1200平方米.
【小问2详解】
解:设种植牡丹的面积为a平方米,则种植芍药的面积为平方米,
由题意可得
解得:,
即牡丹最多种植700平方米,
(株),
答:最多可以购买1400株牡丹.
【点睛】本题考查二次函数的应用、一元一次不等式的应用,解题的关键是明确题意,找出所求问题需要的条件.
22. 如图,为的直径,C是圆上一点,D是的中点,弦,垂足为点F.
(1)求证:;
(2)P是上一点,,求;
(3)在(2)的条件下,当是的平分线时,求的长.
【答案】(1)证明见解析;
(2)
(3)
【解析】
【分析】(1)由D是的中点得,由垂径定理得,得到,根据同圆中,等弧对等弦即可证明;
(2)连接,证明,设的半径为r,利用相似三角形的性质得,,由勾股定理求得,得到,即可得到;
(3)过点B作交于点G,证明是等腰直角三角形,解直角三角形得到,由得到,解得,即可求解.
【小问1详解】
解:∵D是的中点,
∴,
∵且为的直径,
∴,
∴,
∴;
【小问2详解】
解:连接,
∵,
∴,
∵为的直径,
∴,
∵,
∴,
∴,
∴,
设的半径为r,
则,
解得,经检验,是方程的根,
∴,
∴,
∴,
∵,
∴;
【小问3详解】
解:如图,过点B作交于点G,
∴
∵,是的平分线,
∴
∴
∴,
∵
∴,
∴,
∴.
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质,垂径定理,圆周角定理及推论,解直角三角形等知识,熟练掌握以上知识并灵活运用是解题的关键.
23. (1)如图1,在矩形中,点,分别在边,上,,垂足为点.求证:.
【问题解决】
(2)如图2,在正方形中,点,分别在边,上,,延长到点,使,连接.求证:.
【类比迁移】
(3)如图3,在菱形中,点,分别在边,上,,,,求的长.
【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)3
【解析】
【分析】(1)由矩形的性质可得,则,再由,可得,则,根据等角的余角相等得,即可得证;
(2)利用“”证明,可得,由,可得,利用“”证明,则,由正方形的性质可得,根据平行线的性质,即可得证;
(3)延长到点,使,连接,由菱形的性质可得,,则,推出,由全等的性质可得,,进而推出是等边三角形,再根据线段的和差关系计算求解即可.
【详解】(1)证明:四边形是矩形,
,
,
,
,
,
,
;
(2)证明:四边形正方形,
,,,
,
,
,
又,
,
点在延长线上,
,
,
,
,
,
;
(3)解:如图,延长到点,使,连接,
四边形是菱形,
,,
,
,
,,
,
,
是等边三角形,
,
.
【点睛】本题是四边形综合题,主要考查了矩形的性质,正方形的性质,菱形的性质,相似三角形的判定,全等三角形的判定和性质,等边三角形的判定和性质,熟练掌握这些知识点并灵活运用是解题的关键.
24. 已知抛物线与x轴交于A,B两点,与y轴交于点,其对称轴为.
(1)求抛物线的表达式;
(2)如图1,点D是线段上的一动点,连接,将沿直线翻折,得到,当点恰好落在抛物线的对称轴上时,求点D的坐标;
(3)如图2,动点P在直线上方的抛物线上,过点P作直线的垂线,分别交直线,线段于点E,F,过点F作轴,垂足为G,求的最大值.
【答案】(1)
(2)
(3)
【解析】
【分析】(1)由题易得c的值,再根据对称轴求出b的值,即可解答;
(2)过作x轴的垂线,垂足为H求出A和B的坐标,得到,,由,推出,解直角三角形得到的长,即可解答;
(3)求得所在直线的解析式为,设,设所在直线的解析式为:,得,令,解得,分别表示出和,再对进行化简计算,配方成顶点式即可求解.
【小问1详解】
解:抛物线与y轴交于点,
∴,
∵对称轴,
∴,,
∴抛物线的解析式为;
【小问2详解】
如图,过作x轴的垂线,垂足为H,
令,
解得:,
∴,,
∴,
由翻折可得,
∵对称轴为,
∴,
∵,
∴,
∴,
在中,,
∴;
【小问3详解】
设所在直线的解析式为,
把B、C坐标代入得:,
解得,
∴,
∵,
∴,
∵,
∴直线与x轴所成夹角为,
设,
设所在直线的解析式为:,
把点P代入得,
∴,
令,则,
解得,
∴
∴
∵点P在直线上方,
∴,
∴当时,的最大值为.
【点睛】本题考查了二次函数综合问题,利用数形结合的思想是解题的关键.
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