数学北师大版 (2019)4.2 单位圆与正弦函数、余弦函数的基本性质优秀ppt课件

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第一章 三角函数
高中/数学/北师大版（2019）/必修第二册
4.2 单位圆与正弦函数、余弦函数的基本性质
(1,0)
O
P
α
M
x
y
 
前面我们学习了周期现象，角的一边可以绕角的顶点旋转，得到了终边相同的角，如图所示，今天我们学习正弦函数、余弦函数的周期性及性质.
温故知新
水车又称孔明车，是我国最古老的农业灌溉工具，是先人们在征服世界的过程中创造出来的高超劳动技艺，是珍贵的历史文化遗产. 相传，水车在汉灵帝时由毕岚造出雏形，三国时经孔明改造完善后在蜀国推广使用，隋唐时广泛用于农业灌溉，至今已有1700余年历史． 如果将水车边缘看成一个圆，如何确定水车边缘上的点呢？   建立直角坐标系.
 
0
1
0
-1
0
在直角坐标系的单位圆中，求各个角终边与单位圆的交点坐标，并将各特殊角的正弦函数值、余弦函数值填入下表
观察此表格中的数据,你能发现函数y=sinx和y=cosx的变化有什么特点吗？
正弦函数 y=sin x、余弦函数y=cos x的基本性质：
正弦函数、余弦函数的 定义域为全体实数R
一、定义域
二 、最大（小）值、值域
例2.写出下列函数取最大值、最小值时的自变量x的集合，并说出最大值、最小值分别是什么.
最大值为
最小值为
所以使函数 取得最大值的的集合是 最大值为3.
（2）函数y=sin x，x∈R取得最大值、最小值时，函数 则取得最小值、最大值，
使函数 取得最小值的的集合是 ，最小值为-3.
观察右图，在单位圆中，由任意角的正弦函数、余弦函数定义不难得到下列事实：终边相同的角的正弦函数值相等，即 ；终边相同的角的余弦函数值相等，即 .
三、周期性
把这种随自变量的变化呈周期性变化的函数叫作周期函数.
正弦函数、余弦函数是周期函数，称 为正弦函数、余弦函数的周期.
例如， 等都是它们的周期.其中 是正弦函数、余弦函数正周期中最小的一个，称为最小正周期.
1.函数f(x)=c(c为常数) , x∈R，问函数f(x)是不是周期函数，若是，有无最小正周期.
答:是，无最小正周期.
2.等式sin(30°+120°)=sin30°是否成立？如果成立，能否说明120°是正弦函数y=sinx,x∈R的一个周期？为什么？
答:成立，不能说明，因为不符合定义中的每一个x.
思 考

练习 求下列三角函数值

四.单调性
观察右图 ，在单位圆中，设任意角x的终边与单位圆交于点P(cos x,sin x)，
 
 
思考：在单位圆中余弦函数的单调性又是如何呢？
 
 
 
 
 
五、三角函数值在各象限的符号
思考1 角α的正弦、余弦、正切的值的正负与谁有关？
与角α终边所在的象限有关.
思考2 如何判断角α的正弦、余弦、正切值的正负？
角α的正弦、余弦、正切值的正负只与点P(u,v)的坐标u,v的正负有关，所以可通过u,v的正负来判断角α的正弦、余弦、正切值的正负.
根据三角函数的定义，研究三角函数的值在各个象限的符号.
O
x
y
O
x
y
+
_
+
+
+
_
_
_
口诀： Ⅰ全正，Ⅱ正弦，Ⅲ全负，Ⅳ余弦
sin a=y cos a=x
sina
cosa
提升总结：正弦函数、余弦函数的值在各象限的符号
+
+
-
+
+
-
-
-
例5 确定下列三角函数值的符号： （1） （2） （3）解：




变式1　(1)若α是第二象限角，则点P(sin α，cos α)在A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限
解析　∵α为第二象限角，∴sin α＞0，cos α＜0，∴点P在第四象限，故选D.
√
2判断下列各式的符号.①sin 145°cos(－210°)； ②sin 3·cos 4.
解　①∵145°是第二象限角，∴sin 145°＞0，∵－210°＝－360°＋150°，∴－210°是第二象限角，∴cos(－210°)＜0，∴sin 145°cos(－210°)＜0.
∴sin 3＞0，cos 4＜0，∴sin 3·cos 4<0.
1
－1
2kπ
1
(2k＋1)π
－1
[2kπ－π,2kπ]
(k∈Z)上是增加的
[2kπ,2kπ＋π]
(k∈Z)上是减少的
2kπ
2π
当堂小测
了解周期函数的定义.知道正弦函数、余弦函数都是周期函数，并知道它的最小正周期为 2π.理解正弦函数、余弦函数的基本性质
回顾本节课的收获
课堂小结
成功的花，人们只惊慕她现时的明艳！然而当初它的芽儿，浸透了奋斗的泪泉，洒遍了牺牲的血雨。
谢谢观看