2023北京朝阳高一（下）期末数学试卷

这是一份2023北京朝阳高一（下）期末数学试卷，共8页。

2023北京朝阳高一（下）期末
数 学
2023．7
（考试时间120分钟 满分150分）
本试卷分为选择题（共50分）和非选择题（共100分）两部分
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
第一部分（选择题 共50分）
一、选择题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．
1.计算
A. B.-2 C.-4 D. 4
2.已知,若,则点的坐标为
A. B. C. D.
3.在如图所示的正方体中，异面直线与所成角的大小为
A. B. C. D.
4.从装有两个红球和两个白球的口袋内任取两个球，则下列事件是对立事件的是
A.“都是白球”与“至少有一个白球”
B.“恰有一个白球”与“都是红球”
C.“都是白球”与“都是红球”
D.“至少有一个白球”与“都是红球”
5.已知两条不同直线和平面，若，则“b”是“”的
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
6.甲、乙两人射击，甲的命中率为，乙的命中率为，如果甲、乙两人各射击一次，恰有一人命中的概率为
A. B. C. D.
7. 已知函数的部分图象如图所示，则
A. B. C. D.
8.已知一组不全相同的数据的平均数为，方差为，在这组数据中加入一个数后得到一组新数据，其平均数为，方差为，则
A． B． C． D．
9. 堑堵、阳马、鳖臑这些名词出自中国古代的数学名著《九章算术·商功》.如图1,把一块长方体分成相同的两块，得到两个直三棱柱（堑堵）.如图2,再沿堑堵的一顶点与相对的棱剖开，得四棱锥和三棱锥各一个,以矩形为底,另有一棱与底面垂直的四棱锥，称为阳马.余下的三棱锥是由四个直角三角形组成的四面体，称为鳖臑.则图2中的阳马与图1中的长方体的体积比是
A. B. C. D.

9题图1




9题图2
10.设为平面四边形所在平面内的一点，，，，.
若且，则平面四边形一定是（ ）
A.正方形 B.菱形 C.矩形 D.梯形
第二部分（非选择题 共100分）
二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．
11.在平面直角坐标系中，为坐标原点，复数对应的点为，则 .
12.某地区有高中生3000人，初中生6000人，小学生6000人.教育部门为了了解本地区中小学生的近视率，采用分层抽样的方法，按高中生、初中生、小学生进行分层，如果在各层中按比例分配样本，总样本量为150，那么在高中生中抽取了 人.
13. 在△中，,则____；____.
14.把函数图象上的所有点向右平行移动个单位长度得到函数的图象，则的一个对称中心坐标为________.
15.如图，在△中，设，的平分线和交于点，点在线段上，且满足,设（,），则 ；当 时，.
16.如图1，四棱锥是一个水平放置的装有一定量水的密闭容器（容器材料厚度不计），底面为平行四边形，现将容器以棱为轴向左侧倾斜到图2的位置，这时水面恰好经过，其中分别为棱的中点，在倾斜过程中，给出以下四个结论：
① 没有水的部分始终呈棱锥形
② 有水的部分始终呈棱柱形
③ 棱AB始终与水面所在平面平行
④ 水的体积与四棱锥体积之比为
其中所有正确结论的序号为 .
第16题图1
第16题图2

三、解答题共5小题，共70分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．
17. （本小题13分）
已知函数.
(Ⅰ)求函数的最小正周期；
(Ⅱ)求函数在区间上的最大值和最小值.


18.（本小题13分）
海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取了100个网箱，测量各箱水产品的产量（单位：kg），其频率分布直方图如图所示. 两种养殖方法的箱产量相互独立.
(Ⅰ)求频率分布直方图中的值；
(Ⅱ)用频率估计概率，从运用新、旧网箱养殖方法的水产品中各随机抽取一个网箱，估计两个网箱的箱产量都不低于55 kg的概率；
（Ⅲ）假定新、旧网箱养殖方法网箱数不变，为了提高总产量，根据样本中两种养殖法的平均箱产量，该养殖场下一年应采用哪种养殖法更合适？（直接写出结果）

19.（本小题14分）
在△中，已知，.
(Ⅰ)求证：；
(Ⅱ)在①；②；③这三个条件中选择一个作为已知，使△存在且唯一确定，求和△的面积．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.


20.(本小题15分)
已知四棱锥的底面为直角梯形，，，，
平面⊥平面，是的中点．
(Ⅰ)求证：平面；
(Ⅱ)求证：平面；
（Ⅲ）设棱与平面交于点，求的值．


21.（本小题15分）
设，已知由自然数组成的集合，集合是的互不相同的非空子集，定义数表：
，其中
设，令是中的最大值．
（Ⅰ）若，，且，求及；
（Ⅱ）若，集合中的元素个数均相同，若，求的最小值；
（Ⅲ）若，，集合中的元素个数均为3，且
，求证：的最小值为．
参考答案
一、选择题（共10小题，每小题5分，共50分）
（1） C （2） A （3） B （4） D （5）C
（6） C （7） B （8） D （9） B （10）C
二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分）
（11） （12）30 （13）,.
（14） (答案不唯一) （15）1， （16）①③④
三、解答题（共5小题，共70分）
（17）（本小题共13分）
解：（Ⅰ）

，. ....................................................6分
（Ⅱ）因为当时，，
所以当时，即当时，
f(x)取到最小值，最小值为；
当，即当时，
f(x)取到最大值，最大值为. ..........................................13分
（18）（本小题共13分）
解：(Ⅰ)由，
所以 ..............................................................4分
(Ⅱ)设事件A、B分别表示：从运用新、旧网箱养殖方法的水产品中随机抽取一个网箱，其箱产量不低于55kg，用频率估计概率，则，.
因为A、B相互独立，所以. ........................ 10分
（Ⅲ）新养殖法 ............................................................. 13分
（19）（本小题共14分）
解：(Ⅰ)由，根据正弦定理可得.
又因为，由余弦定理得：.
将代入该式，得到，即. ...............8分
(Ⅱ)选① 由，且，
所以 ，,则.
由得,则.
. ............................................ 14分
选②
根据 ，所以，.
因为，所以,即.
. ........................................ 14分
（20）（本小题共15分）
解：（Ⅰ）因为，所以.
又，所以.
因为平面⊥平面，
且平面平面，平面
所以平面. ...............................................................5分
（Ⅱ）取中点，连接，
因为分别是的中点，
所以.
又，
所以.
因为,
所以.
所以四边形是平行四边形，
所以.
且平面，平面，
所以平面. ...............................................................11分
（Ⅲ） 延长与交于点，连接.
因为,平面，
所以平面，
因为,平面，
所以平面，
所以平面平面
交于点,
故为与平面的交点.
在△中，为边的中线，
为边的中线，
所以. ...............................................................15分
（21）（本小题共15分）
解：（Ⅰ），．....................................4分
（Ⅱ）设使得，
则，
所以．
所以至少有3个元素个数相同的非空子集．
当时，，其非空子集只有自身，不符题意．
当时，，其非空子集只有，不符题意．
当时，，元素个数为1的非空子集有，
元素个数为2的非空子集有．
当时，，不符题意．
当时，，不符题意．
当时，，令，
则，．
所以的最小值为．................................................................9分
（Ⅲ）由题可知，，记为集合中的元素个数，
则为数表第列之和．
因为是数表第行之和，
所以．
因为，所以．
所以．
当，
时，
，
．所以的最小值为．.............................................................15分