2023北京东城高一（下）期末数学

这是一份2023北京东城高一（下）期末数学，共10页。试卷主要包含了已知向量，若复数满足，则，设为实数，若，则等内容，欢迎下载使用。
2023北京东城高一（下）期末
数 学
2023.7
本试卷共4页，满分100分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
第一部分（选择题共30分）
一､选择题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.
1.已知向量.若，则（ ）
A.2 B.1 C.-1 D.
2.若复数满足，则（ ）
A. B.
C. D.
3.某中学为了解在校高中学生的身高情况，在高中三个年级各随机抽取了的学生，并分别计算了三个年级抽取学生的平均身高，数据如下表：
年级
高一
高二
高三
抽样人数
36
34
30
平均身高



则该校高中学生的平均身高可估计为（ ）
A. B.
C. D.
4.已知圆锥的轴截面是一个边长为2的等边三角形，则该圆锥的体积为（ ）
A. B. C. D.
5.设为实数，若，则（ ）
A. B.
C. D.
6.将函数的图象向左平移个单位，所得图象的函数解析式为（ ）
A. B.
C. D.
7.已知长方形墙把地面上两点隔开，该墙与地面垂直，长10米，高3米.已测得米，米.现欲通过计算，能唯一求得两点之间的距离，需要进一步测量的几何量可以为（ ）

A.点到的距离 B.长度和长度
C.和 D.长度和
8.设为非零向量，，则“夹角为钝角”是“”的（ ）
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
9.如图，直三棱柱中，为棱的中点，为线段上的动点.以下结论中正确的是（ ）

A.存在点，使
B.不存在点，使
C.对任意点，都有
D.存在点，使平面
10.如图，质点在以坐标原点为圆心，半径为1的圆上逆时针作匀速圆周运动，的角速度大小为，起点为射线与的交点.则当时，动点的纵坐标关于（单位：）的函数的单调递增区间是（ ）

A. B. C. D.
第二部分（非选择题共70分）
二､填空题共5小题，每小题4分，共20分.
11.已知，则的值为__________.
12.在边长为1的正方形中，为中点，则__________.
13.下表是某市6月1日至14日的空气质量指数统计表.由表判断，从6月__________.日开始，连续三天的空气质量指数方差最大.
日期
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
空气质量指数
60
79
90
50
38
26
32
49
48
62
52
38
30
37
14.已知为复数，且，写出满足上述条件的一个复数__________；的最大值为__________.
15.金刚石也被称作钻石，是天然存在的最硬的物质，可以用来切割玻璃，也用作钻探机的钻头.金刚石经常呈现如图所示的“正八面体”外形.正八面体由八个全等的等边三角形围成，体现了数学的对称美.下面给出四个结论：

①平面；
②平面平面；
③过点存在唯一一条直线与正八面体的各个面所成角均相等；
④以正八面体每个面的中心为顶点的正方体的棱长是该正八面体棱长的.
其中所有正确结论的序号是__________.
三､解答题共5小题，共50分.解答应写出文字说明､演算步骤或证明过程.
16.（本小题10分）
在中，角所对的边为.
（1）求；
（2）若，求的面积.
17.（本小题10分）
某市举办“强国有我，爱我中华”科技知识竞赛，赛后将参赛的2000名学生成绩分成4组：①，
②，③，④，并进行统计分析，公布了如图所示的频率分布直方图.

（1）估计这2000名学生科技知识竞赛成绩的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作为代表）；
（2）某同学获知自己的成绩进入本次竞赛成绩前，估计该同学的成绩不低于多少分？
18.（本小题10分）
已知函数.
（1）若为偶函数，求的值；
（2）从下列三个条件中选择两个作为已知，使函数存在且唯一确定，并求在区间上的最大值与最小值.
条件①：；
条件②：为的一个零点；
条件③：图象的相邻两条对称轴之间的距离为.
注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分.
19.（本小题10分）
如图，四棱锥的底面是菱形，侧面是正三角形，是上一动点，是中点.

（1）当是中点时，求证：平面；
（2）若，求证：；
（3）在（2）的条件下，是否存在点，使得？若存在，求的值；若不存在，请说明理由.
20.（本小题10分）
对于三维向量，定义“变换”：，其中，.记，.
（1）若，求及；
（2）证明：对于任意，经过若干次变换后，必存在，使；
（3）已知，将再经过次变换后，最小，求的最小值.

参考答案
一､选择题（共10小题，每小题3分，共30分）
1.D 2.B 3.C 4.A 5.B
6.C 7.D 8.A 9.C 10.B
二､填空题共5小题，每小题4分，共20分.
11.1 12.-1 13.3 14.；3 15.①④
三､解答题（共5小题，每小题10分，共50分）
16.（本小题10分）
解：（1）因为，
在中，由正弦定理得，.
（2）因为，所以.
在中，，
根据余弦定理得，.
整理得，.
解得或（舍）.
于是.
17.（本小题10分）
解：（1）因为，
所以这2000名学生竞赛成绩的平均数可以估计为83.5.
（2）因为这组数据占总数的，该同学的成绩进人本次竞赛成绩前，
所以.
所以可以估计该同学的成绩不低于92分.
18.（本小题10分）
解：（1）因为，
所以的定义域为.
因为为偶函数，
所以.
即.
即.
所以.
（2）


选择条件①③：
因为函数图象的相邻两条对称轴之间的距离为，
所以，即.所以，即.
因为，即，所以.
所以.
因为，
所以.
所以.
当，即时，取得最大值3；
当，即时，取得最小值0.
选择条件②③：
因为函数图象的相邻两条对称轴之间的距离为，
所以，即.所以，即.
因为为的一个零点，
即，所以.
所以.
因为，
所以.
所以.
当，即时，取得最大值3；
当，即时，取得最小值0.
19.（本小题10分）
解：（1）因为点是中点，点是中点，所以.
因为平面平面，
所以平面.

（2）如图，取中点，连接.
因为侧面是正三角形，所以.
因为底面是菱形，且，所以是等边三角形.
所以.
因为平面，
所以平面.
因为平面，所以.
（3）如图，取中点，连接.
因为四棱锥的底面是菱形，侧面是正三角形，
所以.
所以.
又因为，
所以平面.
过作交于点.
因为，
所以点平面.
所以平面.
因为为的中点，，
所以.
所以.
20.（本小题10分）
解：（1），故.
（2）设，
假设对，则均不为0.
所以.
即.
因为，
所以.
所以.
与矛盾，故假设不正确.
综上，对于任意，经过若干次变换后，必存在，使.
（3）设，因为，所以有或.
当时，可得三式相加得.
又，可得.
当时，也可得，于是.
设的三个分量为这三个数，
当时，的三个分量为这三个数，
所以.
当时，的三个分量为，
则的三个分量为的三个分量为，
所以.
所以，由，可得.
因为，所以任意的三个分量始终为偶数，
且都有一个分量等于2.
所以的三个分量只能是三个数，
的三个分量只能是三个数.
所以当时，；当时，.
所以的最小值为505.