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2022-2023学年江西省宜春一中、万载中学、宜丰中学高二（下）期末数学试卷（含解析）
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这是一份2022-2023学年江西省宜春一中、万载中学、宜丰中学高二（下）期末数学试卷（含解析），共18页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年江西省宜春一中、万载中学、宜丰中学高二（下）期末数学试卷
一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 设集合A={x|x2−5x+6>0}，B={x|x−1<0}，
则A∩B=( )
A. {x|x<1} B. {x|−23}
2. 函数y=lnx−2x的零点所在的大致区间是( )
A. (1e,1) B. (1,2) C. (2,e) D. (e,+∞)
3. 下列函数中最小值为4的是( )
A. y=x2+2x+4 B. y=|sinx|+4|sinx|
C. y=2x+22−x D. y=lnx+4lnx
4. 已知函数f(x)=x2+14，g(x)=sinx，则图象为如图的函数可能是( )
A. y=f(x)g(x)
B. y=g(x)f(x)
C. y=f(x)+g(x)−14
D. y=f(x)−g(x)−14
5. 在△ABC中，“AB2+BC2
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
6. 小红在手工课上设计了一个剪纸图案，她先在一个半径为4的圆纸片上画一个内接正方形，再画该正方形的内切圆，依次重复以上画法，得到了一幅由6个圆和6个正方形构成的图案，依次剪去夹在正方形及其内切圆的部分，并剪去最小正方形内的部分，得到如图所示的一幅剪纸，则该图案(阴影部分)的面积为( )
A. 16(π−2) B. 31(π−2) C. 632(π−2) D. 12716(π−2)
7. 函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π2)的部分图象如图所示，若x1,x2∈(−π6,π3)，且f(x1)=f(x2)(x1≠x2)，则f(x1+x2)=( )
A. 1
B. 12
C. 22
D. 32
8. 已知a=3132,b=4sin14,c=cos14，则( )
A. c>b>a B. b>c>a C. a>b>c D. a>c>b
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）
9. 下列求导运算正确的是( )
A. (sinπ3)′=cosπ3
B. [(x2+2)sinx]′=2xsinx+(x2+2)cosx
C. (x2ex)′=2x−x2ex
D. [ln(3x+2)]′=13x+2
10. 已知函数f(x)=(12)x2+4x+3，则( )
A. 函数f(x)的定义域为R B. 函数f(x)的值域为(0,2]
C. 函数f(x)在[−2,+∞)上单调递增 D. 函数f(x)在[−2,+∞)上单调递减
11. 已知数列{an}的前n项和为Sn，a1=1，Sn+1−1=Sn+2an，数列{2nan⋅an+1}的前n项和为Tn，n∈N*，则下列选项正确的为( )
A. 数列{an+1−an}是等比数列 B. 数列{an+1}是等差数列
C. 数列{an}的通项公式为an=2n−1 D. Tn<1
12. 在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且c−b=2bcosA，则下列结论正确的有( )
A. A=2B
B. B的取值范围为(0,π4)
C. ab的取值范围为( 2, 3)
D. 1tanB−1tanA+2sinA的取值范围为(5 33,3)
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13. 已知函数f(x)=x+lnx2，则曲线y=f(x)在点(1,1)处的切线方程为______ ．
14. 若角θ的终边过点P(−2a,4a)(a≠0)，则sinθ(1+sin2θ)sinθ+cosθ= ______ ．
15. 已知x>0，y>0且12x+1+1y+1=1，则x+y的最小值为______．
16. 已知函数f(x)=|log2x|,x>0 3sinπx−cosπx,−53≤x≤0，若方程f(x)=a恰有四个不同的实数解，分别记为x1，x2，x3，x4，则x1+x2+x3+x4的取值范围是______
四、解答题（本大题共6小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. (本小题12.0分)
设函数f(x)= 2+x+ln(4−x)的定义域为A，集合B={x|m+1≤x≤2m−1}(m≥2)．
(1)求集合A；
(2)若p：x∈A，q：x∈B，且p是q的必要不充分条件，求实数m的取值范围．
18. (本小题12.0分)
在△ABC中，c=2bcosB，C=2π3．
(1)求∠B；
(2)再从条件①、条件②、这两个条件中选择一个作为已知，使△ABC存在且唯一确定，并求BC边上中线的长．
条件①：△ABC的面积为3 34；
条件②：△ABC的周长为4+2 3．
19. (本小题12.0分)
已知函数f(x)=sin(2x+π3)+cos(2x+π6)−2sinxcosx．
(1)求函数f(x)的最小正周期及对称轴方程；
(2)将函数y=f(x)的图象向左平移π12个单位，再将所得图象上各点的纵坐标不变、横坐标伸长为原来的2倍，得到函数y=g(x)的图象，求y=g(x)在[0,2π]上的单调递减区间．
20. (本小题12.0分)
已知函数f(x)=ax(a>0且a≠1)，满足f(2)+f(1)=6．
(1)若方程m=f(x)−f(2x)，x∈[0,1]有解，求m的取值范围；
(2)设g(x)=f(|x|)+lg(|x|+1)，求不等式g(x)>g(2x−1)的解集．
21. (本小题12.0分)
已知数列{an}满足a1=1，an+1=1−14an，其中n∈N*．
(1)设bn=22an−1，求证：数列{bn}是等差数列．
(2)在(1)的条件下，求数列{bn2n+1}的前n项和Sn．
(3)在(1)的条件下，若cn=6n+(−1)n−1⋅λ⋅2bn，是否存在实数λ，使得对任意的n∈N*，都有cn+1>cn，若存在，求出λ的取值范围；若不存在，说明理由．
22. (本小题12.0分)
已知函数f(x)=exx−lnx+x−a．
(1)若f(x)≥0，求a的取值范围；
(2)证明：若f(x)有两个零点x1，x2，则x1x2<1．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】
【分析】
本题考查交集的计算，关键是掌握交集的定义，涉及到不等式的求解，属于基础题．
根据题意，求出集合A、B，由交集的定义计算可得答案．
【解答】
解：根据题意，A={x|x2−5x+6>0}={x|x>3或x<2}，
B={x|x−1<0}={x|x<1}，
则A∩B={x|x<1}，
故选A．
2.【答案】C
【解析】解：由于函数y=lnx−2x在(0,+∞)上是增函数，
f(2)=ln2−1<0，f(e)=1−2e>0，f(2)⋅f(e)<0，
故函数y=lnx−2x的零点所在的大致区间是(2,e)，
故选：C．
由于函数y=lnx−2x在(0,+∞)上是增函数，f(9)<0，f(10)>0，由此得出结论．
本题考查函数零点的定义以及函数零点判定定理的应用，属于基础题．
3.【答案】C
【解析】
【分析】
本题考查了函数最值的求解，涉及了二次函数最值的求解，利用基本不等式求解最值的应用，考查了转化思想，属于中档题．
利用二次函数的性质求出最值，即可判断选项A，根据基本不等式以及取最值的条件，即可判断选项B，利用基本不等式求出最值，即可判断选项C，利用特殊值验证，即可判断选项D．
【解答】
解：对于A，y=x2+2x+4=(x+1)2+3≥3，
所以函数的最小值为3，故选项A错误；
对于B，因为0<|sinx|≤1，所以y=|sinx|+4|sinx|≥2 |sinx|⋅4|sinx|=4，
当且仅当|sinx|=4|sinx|，即|sinx|=2时取等号，
因为|sinx|≤1，所以等号取不到，
所以y=|sinx|+4|sinx|>4，故选项B错误；
对于C，因为2x>0，所以y=2x+22−x=2x+42x≥2 2x⋅42x=4，
当且仅当2x=2，即x=1时取等号，
所以函数的最小值为4，故选项C正确；
对于D，因为当x=1e时，y=ln1e+4ln1e=−1−4=−5<4，
所以函数的最小值不是4，故选项D错误．
故选：C．
4.【答案】B
【解析】解：易知函数f(x)=x2+14是偶函数，g(x)=sinx是奇函数，给出的图象对应的函数是奇函数，
对于A，因为y=f(x)g(x)=(x2+14)sinx，y′=2xsinx+(x2+14)cosx，
当x∈(0,π2)时，y′>0，函数y=f(x)g(x)单调递增，由图象可知所求函数在(0,π4)上不单调，故A不符合题意；
对于C，y=f(x)+g(x)−14=x2+sinx为非奇非偶函数，故C不符合题意；
对于D，y=f(x)−g(x)−14=x2−sinx为非奇非偶函数，故C不符合题意．
故选：B．
由函数的奇偶性与单调性，结合图象，逐项分析排除即可得答案．
本题主要考查函数图象的识别和判断，利用函数的奇偶性和对称性以及排除法进行判断是解决本题的关键，是基础题．
5.【答案】A
【解析】解：若AB2+BC2
故选：A．
分别判断充分性和必要性是否成立即可．
本题考查了充分与必要条件的判断问题，是基础题．
6.【答案】C
【解析】解：根据题意，设6个圆的面积从大到小依次为a1、a2、……，a6，
易得6个圆的面积构成一个公比为12的等比数列，且其首项a1=16π，
设6个正方形的面积从大到小依次为b1、b2、……，b6，
易得b1、b2、……，b6也构成一个公比为12的等比数列，且其首项b1=2×4×4=32，
故该图案的面积S=(a1−b1)+(a2−b2)+(a3−b3)+……+(a6−b6)=(a1+a2+……+a6)−(b1+b2+……+b6)=16π(1−126)1−12−32(1−126)1−12=632(π−2)．
故选：C．
根据题意，设6个圆的面积从大到小依次为a1、a2、……，a6，6个正方形的面积从大到小依次为b1、b2、……，b6，分析可得两个数列都是公比为12的等比数列，又由该图案的面积S=(a1−b1)+(a2−b2)+(a3−b3)+……+(a6−b6)=(a1+a2+……+a6)−(b1+b2+……+b6)，计算可得答案．
本题考查合情推理的应用，涉及等比数列的性质和求和，属于基础题．
7.【答案】D
【解析】解：由图象可得A=1，2π2ω=π3−(−π6)，解得ω=2，
∴f(x)=sin(2x+φ)，
代入点(π3,0)可得sin(2π3+φ)=0
∴2π3+φ=kπ，∴φ=kπ−2π3，k∈Z
又|φ|<π2，∴φ=π3，
∴f(x)=sin(2x+π3)，
∴sin(2×π12+π3)=1，即图中点的坐标为(π12,1)，
又x1,x2∈(−π6,π3)，且f(x1)=f(x2)(x1≠x2)，
∴x1+x2=π12×2=π6，
∴f(x1+x2)=sin(2×π6+π3)= 32，
故选：D．
由图象可得A=1，由周期公式可得ω=2，代入点(π3,0)可得φ值，进而可得f(x)=sin(2x+π3)，再由题意可得x1+x2=π6，代入计算可得．
本题考查三角函数的图象与解析式，属基础题．
8.【答案】B
【解析】解：设f(x)=cosx+12x2−1,x∈(0,+∞)，f′(x)=−sinx+x>0，
所以f(x)在(0,+∞)单调递增，则f(14)>f(0)=0，所以cos14−3132>0，所以c>a，
因为bc=4tan14，因为当x∈(0,π2),sinx14，即bc>1，所以b>c；
所以b>c>a．
故选：B．
由bc=4tan14结合三角函数的性质可得b>c；构造函数f(x)=cosx+12x2−1,x∈(0,+∞)，利用导数可得c>a，即可得解．
本题考查了三角函数线以及导数知识的应用，属于中档题．
9.【答案】BC
【解析】解：(sinπ3)′=0，故A错误；
[(x2+2)sinx]′=(x2+2)′sinx+(x2+2)⋅(sinx)′=2xsinx+(x2+2)cosx，故B正确；
(x2ex)′=2x⋅ex−x2⋅ex(ex)2=2x−x2ex，故C正确；
[ln(3x+2)]′=33x+2，故D错误．
故选：BC．
根据已知条件，结合导数的求导法则，即可求解．
本题主要考查导数的求导法则，属于基础题．
10.【答案】ABD
【解析】解：令u=x2+4x+3，则u∈[−1,+∞)．
对于A，f(x)的定义域与u=x2+4x+3的定义域相同，为R，故A正确；
对于B，y=(12)u，u∈[−1,+∞)的值域为(0,2]，所以函数f(x)的值域为(0,2]，故B正确；
对于C、D，因为u=x2+4x+3在[−2,+∞)上单调递增，且y=(12)u，u∈[−1,+∞)在定义域上单调递减，
所以根据复合函数单调性法则，得函数f(x)在[−2,+∞)上单调递减，所以C不正确，D正确．
故选：ABD．
由函数的表达式可得函数的定义域可判断A；令u=x2+4x+3，则u∈[−1,+∞)，y=(12)u，结合指数函数的单调性得到函数的值域，可判断B；根据复合函数单调性的判断方法可得函数的单调性可判断C、D．
本题主要考查复合函数的单调性，函数定义域、值域的求法，考查运算求解能力，属于中档题．
11.【答案】ACD
【解析】解：∵Sn+1−1=Sn+2an，
∴an+1=Sn+1−Sn=2an+1，即an+1+1=2(an+1)，
又S1=a1=1，
则数列{an+1}是首项为2，公比为2的等比数列，故B错误；
则an+1=2n，即an=2n−1，故C正确；
∴an+1−an=(2n+1−1)−(2n−1)=2n，
∴数列{an+1−an}是首项为2，公比为2的等比数列，故A正确；
又2nanan+1=2n(2n−1)(2n+1−1)=12n−1−12n+1−1，
Tn=1−122−1+122−1−123−1+…+12n−1−12n+1−1=1−12n+1−1<1，故D正确．
故选：ACD．
根据题意可得an+1+1=2(an+1)，数列{an+1}是首项为2，公比为2的等比数列，求出an=2n−1，逐一分析选项，即可得出答案．
本题考查数列的递推式和等比数列的定义、通项公式，以及数列的裂项相消求和，考查化简运算能力和推理能力，属于中档题．
12.【答案】ACD
【解析】解：对于A，∵c−b=2bcosA，
∴由正弦定理可得sinC−sinB=2sinBcosA，
又∵sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB，
∴sinAcosB+cosAsinB−sinB=2sinBcosA，即sinAcosB−sinB=sinBcosA，
∴sinAcosB−cosAsinB=sin(A−B)=sinB，
∵A，B，C为锐角，
∴A−B=B，即A=2B，A正确，
对于B，∵△ABC为锐角三角形，A=2B，
∴C=π−3B，
∴0
∵1tanB−1tanA+2sinA=sin(A−B)sinBsinA+2sinA=sin(2B−B)sinBsinA+2sinA=1sinA+2sinA，
又π3
则f(t)=2t+1t，
由对勾函数性质可知，f(t)=1t+2t在t∈( 32,1)上单调递增，
又f( 32)=1 32+2× 32=5 33，f(1)=11+2×1=3，
∴1tanB−1tanA+2sinA=1sinA+2sinA∈(5 33,3)，故D正确．
故选：ACD．
对于A，结合正弦定理，以及正弦的两角和公式，即可求解，
对于B，结合A的结论，以及△ABC为锐角三角形，即可求解，
对于C，结合正弦定理，以及角B的取值范围，即可求解，
对于D，先对原式化简，再结合换元法，以及对勾函数的性质，即可求解．
本题主要考查解三角形，考查转化能力，属于中档题．
13.【答案】3x−y−2=0
【解析】解：由f(x)=x+lnx2，得f′(x)=1+2x，
∴f′(1)=3，
则曲线y=f(x)在点(1,1)处的切线方程为y=3(x−1)+1，
即3x−y−2=0．
故答案为：3x−y−2=0．
求出原函数的导函数，得到函数在x=1处的导数值，再由直线方程的斜截式得答案．
本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，熟记基本初等函数的导函数是关键，是基础题．
14.【答案】25
【解析】解：因为角θ的终边过点P(−2a,4a)(a≠0)，
所以tanθ=4a−2a=−2，
所以sinθ(1+sin2θ)sinθ+cosθ
=sinθ(sin2θ+cos2θ+2sinθcosθ)sinθ+cosθ
=sinθ(sinθ+cosθ)
=sinθ(sinθ+cosθ)sin2θ+cos2θ
=tan2θ+tanθ1+tan2θ
=4−21+4
=25．
故答案为：25．
由题意利用任意角的三角函数的定义以及三角函数恒等变换即可求解．
本题考查了任意角的三角函数的定义以及三角函数恒等变换在三角函数求值中的应用，属于基础题．
15.【答案】 2
【解析】解：因为x>0，y>0，12x+1+1y+1=1，
则x+y+32=[12(2x+1)+(y+1)](12x+1+1y+1)=32+y+12x+1+122x+1y+1≥32+ 2，
当且仅当y+12x+1=122x+1y+1且12x+1+1y+1=1时取等号，此时取得最小值32+ 2．
故x+y的最小值为 2．
故答案为： 2．
利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出．
本题考查了“乘1法”与基本不等式的性质，属于基础题．
16.【答案】[−16,1912)
【解析】解：因为函数f(x)=|log2x|,x>0 3sinπx−cosπx,−53≤x≤0，
当−53≤x≤0时，f(x)= 3sinπx−cosπx=2sin(πx−π6)，
令πx−π6=−3π2，解得x=−43，
当x=−53时，f(−53)=2sin(−5π3−π6)=1，
当x>0时，f(x)=|log2x|，
令f(x)=2，解得x=4或x=14，
令f(x)=1，解得x=2或x=12，
函数y=f(x)的图象如图所示：
因为方程f(x)=a恰有四个不同的实数解，即y=f(x)与y=a恰有四个交点，所以1≤a<2，
不妨令x1
即−log2x3=log2x4，
所以log2x3+log2x4=0，即x3x4=1，
所以x3=1x4，
所以x1+x2+x3+x4=−83+1x4+x4，
因为y=1x+x在[2,4)上单调递增，
所以52≤1x4+x4<174，
所以−16≤x1+x2+x3+x4<1912，
即x1+x2+x3+x4的取值范围是[−16,1912).
故答案为：[−16,1912).
求出−53≤x≤0时的函数解析式，画出函数图象，不妨令x1
17.【答案】解：(1)要使得函数f(x)有意义，只需要2+x≥04−x>0，解得−2≤x<4，
∴集合A={x|−2≤x<4}；
(2)∵p是q的必要不充分条件，∴B⫋A，
当B=⌀时，m+1>2m−1，解得m<2(舍去)，
当B≠⌀时，有m+1≤2m−1m+1≥−22m−1<4，解得2≤m<52，
综上可知，实数m的取值范围是[2,52)．
【解析】(1)由根式内部的代数式大于等于0，对数式的真数大于0联立不等式组求解；
(2)由题意可得B⫋A，然后分B=⌀和B≠⌀求解．
本题考查函数的定义域及其求法，考查充分必要条件的判定及应用，考查运算求解能力，是基础题．
18.【答案】解：(1)∵c=2bcosB，
∴由正弦定理可得sinC=2sinBcosB=sin2B，
∵C=2π3，
∴sin2B=sin2π3= 32，
∴B∈(0,π3)，可得2B∈(0,2π3)，
∴2B=π3，解得B=π6；
(2)若选择①：由(1)可得A=π−B−C=π6，即a=b，
则S△ABC=12absinC=12a2× 32=3 34，解得a= 3，
则由余弦定理可得BC边上的中线的长度为： b2+(a2)2−2×b×a2×cos2π3= 3+34+ 3× 32= 212．
若选择②：由(1)可得A=π6，
设△ABC的外接圆半径为R，
则由正弦定理可得a=b=2Rsinπ6=R，
c=2Rsin2π3= 3R，
则周长a+b+c=2R+ 3R=4+2 3，
解得R=2，则a=2,c=2 3，
由余弦定理可得BC边上的中线的长度为： (2 3)2+12−2×2 3×1×cosπ6= 7；
【解析】(1)由正弦定理，二倍角公式化简已知等式可得sin2B=sin2π3= 32，结合角的范围即可求解B的值；
(2)若选择①：由(1)利用三角形内角和定理可求A，可得a=b，利用三角形的面积公式可求a的值，进而利用余弦定理即可求解；
若选择②：由(1)可得A=π6，设△ABC的外接圆半径为R，由正弦定理可得a，c的值，进而利用余弦定理即可求解．
本题考查了正弦定理，余弦定理，三角形面积公式以及三角函数恒等变换在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．
19.【答案】(1)f(x)=12sin2x+ 32cos2x+ 32cos2x−12sin2x−sin2x，f(x)= 3cos2x−sin2x=2( 32cos2x−12sin2x)=2(cos2xcosπ6−sin2xsinπ6)=2cos(2x+π6)，
所以函数f(x)的最小正周期为π，
令2x+π6=kπ，k∈Z，得函数f(x)的对称轴方程为x=−π12+kπ2，k∈Z．
(2)将函数y=f(x)的图象向左平移π12个单位后所得图象的解析式为y=2cos[2(x+π12)+π6]=2cos(2x+π3)，所以g(x)=2cos(2×12x+π3)=2cos(x+π3)，
令2kπ≤x+π3≤π+2kπ，所以−π3+2kπ≤x≤2π3+2kπ,k∈Z.又x∈[0,2π]，
所以y=g(x)在[0,2π]上的单调递减区间为[0,2π3],[5π3,2π]．
【解析】(1)直接利用三角函数关系式的恒等变换，把函数的关系式变形成正弦型函数，进一步求出函数的周期和对称轴方程．
(2)利用关系式的平移和伸缩变换，进一步利用整体思想求出函数的单调递减区间．
本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数单调性的应用、周期性的应用，函数关系式的平移和伸缩变换及相关的运算问题．
20.【答案】解：(1)已知函数f(x)=ax(a>0且a≠1)，满足f(2)+f(1)=6，
所以a2+a=6，
解得a=2或a=−3(舍去)，
所以f(x)=2x；
此时方程m=f(x)−f(2x)=2x−22x=2x−(2x)2，
令t=2x，1≤t≤2，
不妨设h(t)=t−t2，函数定义域为[1,2]，
可得h′(t)=1−2t<0，h(t)单调递减，
所以当t=1时，函数h(t)取得极大值也是最大值，最大值h(1)=0，
当t=2时，函数h(t)取得极小值也是最小值，最小值h(2)=−2，
则m的取值范围为[−2,0]；
(2)已知g(x)=f(|x|)+lg(|x|+1)=2|x|+ln(|x|+1)，
因为g(−x)=2|−x|+ln(|−x|+1)=2|x|+ln(|x|+1)=g(x)，
所以函数g(x)为R上的偶函数，
当x>0时，因为y=2x和y=ln(x+1)单调递增，
所以g(x)在x>0上单调递增，
此时g(x)>g(2x−1)，
即g(|x|)>g(|2x−1|)，
所以|x|>|2x−1|，
解得13
(2)先得到函数g(x)的解析式，结合偶函数的定义得到函数g(x)在R上为偶函数，利用对数函数和指数函数的单调性得到g(x)在x>0上单调递增，再列出等式求解即可．
本题考查函数与方程的综合应用，考查了逻辑推理、转化思想和运算能力．
21.【答案】证明：(1)bn+1−bn=22an+1−1−22an−1=22(1−14an)−1−22an−1=21−12an−22an−1=4an−22an−1=2，
b1=22a1−1=2，∴数列{bn}是首项为2，公差为2的等差数列；
(2)解：bn=2+(n−1)×2=2n，设dn=bn2n+1=n2n，
则Sn=12+222+⋯+n2n①，12Sn=122+223+⋯+n2n+1②，
①−②得12Sn=12+122+⋯+12n−n2n+1=12(1−12n)1−12−n2n+1=1−12n−n2n+1，
∴Sn=2−n+22n；
(3)存在，理由如下：
cn=6n+(−1)n−1⋅λ⋅2bn=6n−λ⋅(−4)n，
cn+1=6n+1+(−1)n⋅λ⋅22n+2=6⋅6n+4λ⋅(−4)n，
则cn+1−cn=5[6n+λ⋅(−4)n]=56n[1+λ⋅(−23)n]，
若对任意的n∈N*，都有cn+1>cn，则等价于cn+1−cn=56n[1+λ⋅(−23)n]>0恒成立，即1+λ⋅(−23)n>0恒成立，n∈N*，
当n为偶数时，(−23)n∈(0,49)，则λ>[−1(−23)n]max=−94；
当n为奇数时，(−23)n∈(−23,0)时，则λ<[−1(−23)n]min=32．
综上，存在λ∈(−94,32)，使得对任意的n∈N*，都有cn+1>cn．
【解析】(1)结合递推关系，证明bn+1−bn为常数即可；
(2)由错位相减法求和；
(3)命题等价成cn+1−cn=56n[1+λ⋅(−23)n]>0恒成立，转为说明1+λ⋅(−23)n>0恒成立，对n分奇偶讨论，分别求恒成立问题即可．
本题主要考查数列递推式，数列的求和，等差数列的证明，数列与不等式的综合，考查运算求解能力，属于难题．
22.【答案】
解：(1)f(x)定义域为(0,+∞)，f′(x)=ex(x−1)x2−1x+1=(ex+x)(x−1)x2，
令f′(x)=0⇒x=1，所以当0
即满足f(x)min=e+1−a≥0⇒a⩽e+1．
(2)由(1)知，若f(x)有两个零点x1,x2，则f(x1)=f(x2)=0，
而f(x)=exx−ln x+x−a=ex−lnx+x−lnx−a，
即ex1−lnx1+x1−lnx1=ex2−lnx2+x2−lnx2，
因为函数y=ex+x在R上单调递增，所以x1−lnx1=x2−lnx2成立，
令h(x)=x−lnx，且h(x1)=h(x2)，易知h(x)在(0,1)上单调递减，在(1,+∞)上单调递增，
不妨设0
F(x)在(0,1)单调递增，而F(1)=h(1)−h(1)=0，
所以F(x)
【解析】(1)对函数求导研究其在定义域内单调性，由于函数在(0,+∞)恒大于等于0，故f(x)min=f(1)=e+1−a>0，解出a的范围即可．
(2)首先将原不等式转化为证明1
2022-2023学年江西省宜春一中、万载中学、宜丰中学高二（下）期末数学试卷
一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 设集合A={x|x2−5x+6>0}，B={x|x−1<0}，
则A∩B=( )
A. {x|x<1} B. {x|−2
2. 函数y=lnx−2x的零点所在的大致区间是( )
A. (1e,1) B. (1,2) C. (2,e) D. (e,+∞)
3. 下列函数中最小值为4的是( )
A. y=x2+2x+4 B. y=|sinx|+4|sinx|
C. y=2x+22−x D. y=lnx+4lnx
4. 已知函数f(x)=x2+14，g(x)=sinx，则图象为如图的函数可能是( )
A. y=f(x)g(x)
B. y=g(x)f(x)
C. y=f(x)+g(x)−14
D. y=f(x)−g(x)−14
5. 在△ABC中，“AB2+BC2
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
6. 小红在手工课上设计了一个剪纸图案，她先在一个半径为4的圆纸片上画一个内接正方形，再画该正方形的内切圆，依次重复以上画法，得到了一幅由6个圆和6个正方形构成的图案，依次剪去夹在正方形及其内切圆的部分，并剪去最小正方形内的部分，得到如图所示的一幅剪纸，则该图案(阴影部分)的面积为( )
A. 16(π−2) B. 31(π−2) C. 632(π−2) D. 12716(π−2)
7. 函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π2)的部分图象如图所示，若x1,x2∈(−π6,π3)，且f(x1)=f(x2)(x1≠x2)，则f(x1+x2)=( )
A. 1
B. 12
C. 22
D. 32
8. 已知a=3132,b=4sin14,c=cos14，则( )
A. c>b>a B. b>c>a C. a>b>c D. a>c>b
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）
9. 下列求导运算正确的是( )
A. (sinπ3)′=cosπ3
B. [(x2+2)sinx]′=2xsinx+(x2+2)cosx
C. (x2ex)′=2x−x2ex
D. [ln(3x+2)]′=13x+2
10. 已知函数f(x)=(12)x2+4x+3，则( )
A. 函数f(x)的定义域为R B. 函数f(x)的值域为(0,2]
C. 函数f(x)在[−2,+∞)上单调递增 D. 函数f(x)在[−2,+∞)上单调递减
11. 已知数列{an}的前n项和为Sn，a1=1，Sn+1−1=Sn+2an，数列{2nan⋅an+1}的前n项和为Tn，n∈N*，则下列选项正确的为( )
A. 数列{an+1−an}是等比数列 B. 数列{an+1}是等差数列
C. 数列{an}的通项公式为an=2n−1 D. Tn<1
12. 在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且c−b=2bcosA，则下列结论正确的有( )
A. A=2B
B. B的取值范围为(0,π4)
C. ab的取值范围为( 2, 3)
D. 1tanB−1tanA+2sinA的取值范围为(5 33,3)
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13. 已知函数f(x)=x+lnx2，则曲线y=f(x)在点(1,1)处的切线方程为______ ．
14. 若角θ的终边过点P(−2a,4a)(a≠0)，则sinθ(1+sin2θ)sinθ+cosθ= ______ ．
15. 已知x>0，y>0且12x+1+1y+1=1，则x+y的最小值为______．
16. 已知函数f(x)=|log2x|,x>0 3sinπx−cosπx,−53≤x≤0，若方程f(x)=a恰有四个不同的实数解，分别记为x1，x2，x3，x4，则x1+x2+x3+x4的取值范围是______
四、解答题（本大题共6小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. (本小题12.0分)
设函数f(x)= 2+x+ln(4−x)的定义域为A，集合B={x|m+1≤x≤2m−1}(m≥2)．
(1)求集合A；
(2)若p：x∈A，q：x∈B，且p是q的必要不充分条件，求实数m的取值范围．
18. (本小题12.0分)
在△ABC中，c=2bcosB，C=2π3．
(1)求∠B；
(2)再从条件①、条件②、这两个条件中选择一个作为已知，使△ABC存在且唯一确定，并求BC边上中线的长．
条件①：△ABC的面积为3 34；
条件②：△ABC的周长为4+2 3．
19. (本小题12.0分)
已知函数f(x)=sin(2x+π3)+cos(2x+π6)−2sinxcosx．
(1)求函数f(x)的最小正周期及对称轴方程；
(2)将函数y=f(x)的图象向左平移π12个单位，再将所得图象上各点的纵坐标不变、横坐标伸长为原来的2倍，得到函数y=g(x)的图象，求y=g(x)在[0,2π]上的单调递减区间．
20. (本小题12.0分)
已知函数f(x)=ax(a>0且a≠1)，满足f(2)+f(1)=6．
(1)若方程m=f(x)−f(2x)，x∈[0,1]有解，求m的取值范围；
(2)设g(x)=f(|x|)+lg(|x|+1)，求不等式g(x)>g(2x−1)的解集．
21. (本小题12.0分)
已知数列{an}满足a1=1，an+1=1−14an，其中n∈N*．
(1)设bn=22an−1，求证：数列{bn}是等差数列．
(2)在(1)的条件下，求数列{bn2n+1}的前n项和Sn．
(3)在(1)的条件下，若cn=6n+(−1)n−1⋅λ⋅2bn，是否存在实数λ，使得对任意的n∈N*，都有cn+1>cn，若存在，求出λ的取值范围；若不存在，说明理由．
22. (本小题12.0分)
已知函数f(x)=exx−lnx+x−a．
(1)若f(x)≥0，求a的取值范围；
(2)证明：若f(x)有两个零点x1，x2，则x1x2<1．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】
【分析】
本题考查交集的计算，关键是掌握交集的定义，涉及到不等式的求解，属于基础题．
根据题意，求出集合A、B，由交集的定义计算可得答案．
【解答】
解：根据题意，A={x|x2−5x+6>0}={x|x>3或x<2}，
B={x|x−1<0}={x|x<1}，
则A∩B={x|x<1}，
故选A．
2.【答案】C
【解析】解：由于函数y=lnx−2x在(0,+∞)上是增函数，
f(2)=ln2−1<0，f(e)=1−2e>0，f(2)⋅f(e)<0，
故函数y=lnx−2x的零点所在的大致区间是(2,e)，
故选：C．
由于函数y=lnx−2x在(0,+∞)上是增函数，f(9)<0，f(10)>0，由此得出结论．
本题考查函数零点的定义以及函数零点判定定理的应用，属于基础题．
3.【答案】C
【解析】
【分析】
本题考查了函数最值的求解，涉及了二次函数最值的求解，利用基本不等式求解最值的应用，考查了转化思想，属于中档题．
利用二次函数的性质求出最值，即可判断选项A，根据基本不等式以及取最值的条件，即可判断选项B，利用基本不等式求出最值，即可判断选项C，利用特殊值验证，即可判断选项D．
【解答】
解：对于A，y=x2+2x+4=(x+1)2+3≥3，
所以函数的最小值为3，故选项A错误；
对于B，因为0<|sinx|≤1，所以y=|sinx|+4|sinx|≥2 |sinx|⋅4|sinx|=4，
当且仅当|sinx|=4|sinx|，即|sinx|=2时取等号，
因为|sinx|≤1，所以等号取不到，
所以y=|sinx|+4|sinx|>4，故选项B错误；
对于C，因为2x>0，所以y=2x+22−x=2x+42x≥2 2x⋅42x=4，
当且仅当2x=2，即x=1时取等号，
所以函数的最小值为4，故选项C正确；
对于D，因为当x=1e时，y=ln1e+4ln1e=−1−4=−5<4，
所以函数的最小值不是4，故选项D错误．
故选：C．
4.【答案】B
【解析】解：易知函数f(x)=x2+14是偶函数，g(x)=sinx是奇函数，给出的图象对应的函数是奇函数，
对于A，因为y=f(x)g(x)=(x2+14)sinx，y′=2xsinx+(x2+14)cosx，
当x∈(0,π2)时，y′>0，函数y=f(x)g(x)单调递增，由图象可知所求函数在(0,π4)上不单调，故A不符合题意；
对于C，y=f(x)+g(x)−14=x2+sinx为非奇非偶函数，故C不符合题意；
对于D，y=f(x)−g(x)−14=x2−sinx为非奇非偶函数，故C不符合题意．
故选：B．
由函数的奇偶性与单调性，结合图象，逐项分析排除即可得答案．
本题主要考查函数图象的识别和判断，利用函数的奇偶性和对称性以及排除法进行判断是解决本题的关键，是基础题．
5.【答案】A
【解析】解：若AB2+BC2
故选：A．
分别判断充分性和必要性是否成立即可．
本题考查了充分与必要条件的判断问题，是基础题．
6.【答案】C
【解析】解：根据题意，设6个圆的面积从大到小依次为a1、a2、……，a6，
易得6个圆的面积构成一个公比为12的等比数列，且其首项a1=16π，
设6个正方形的面积从大到小依次为b1、b2、……，b6，
易得b1、b2、……，b6也构成一个公比为12的等比数列，且其首项b1=2×4×4=32，
故该图案的面积S=(a1−b1)+(a2−b2)+(a3−b3)+……+(a6−b6)=(a1+a2+……+a6)−(b1+b2+……+b6)=16π(1−126)1−12−32(1−126)1−12=632(π−2)．
故选：C．
根据题意，设6个圆的面积从大到小依次为a1、a2、……，a6，6个正方形的面积从大到小依次为b1、b2、……，b6，分析可得两个数列都是公比为12的等比数列，又由该图案的面积S=(a1−b1)+(a2−b2)+(a3−b3)+……+(a6−b6)=(a1+a2+……+a6)−(b1+b2+……+b6)，计算可得答案．
本题考查合情推理的应用，涉及等比数列的性质和求和，属于基础题．
7.【答案】D
【解析】解：由图象可得A=1，2π2ω=π3−(−π6)，解得ω=2，
∴f(x)=sin(2x+φ)，
代入点(π3,0)可得sin(2π3+φ)=0
∴2π3+φ=kπ，∴φ=kπ−2π3，k∈Z
又|φ|<π2，∴φ=π3，
∴f(x)=sin(2x+π3)，
∴sin(2×π12+π3)=1，即图中点的坐标为(π12,1)，
又x1,x2∈(−π6,π3)，且f(x1)=f(x2)(x1≠x2)，
∴x1+x2=π12×2=π6，
∴f(x1+x2)=sin(2×π6+π3)= 32，
故选：D．
由图象可得A=1，由周期公式可得ω=2，代入点(π3,0)可得φ值，进而可得f(x)=sin(2x+π3)，再由题意可得x1+x2=π6，代入计算可得．
本题考查三角函数的图象与解析式，属基础题．
8.【答案】B
【解析】解：设f(x)=cosx+12x2−1,x∈(0,+∞)，f′(x)=−sinx+x>0，
所以f(x)在(0,+∞)单调递增，则f(14)>f(0)=0，所以cos14−3132>0，所以c>a，
因为bc=4tan14，因为当x∈(0,π2),sinx
所以b>c>a．
故选：B．
由bc=4tan14结合三角函数的性质可得b>c；构造函数f(x)=cosx+12x2−1,x∈(0,+∞)，利用导数可得c>a，即可得解．
本题考查了三角函数线以及导数知识的应用，属于中档题．
9.【答案】BC
【解析】解：(sinπ3)′=0，故A错误；
[(x2+2)sinx]′=(x2+2)′sinx+(x2+2)⋅(sinx)′=2xsinx+(x2+2)cosx，故B正确；
(x2ex)′=2x⋅ex−x2⋅ex(ex)2=2x−x2ex，故C正确；
[ln(3x+2)]′=33x+2，故D错误．
故选：BC．
根据已知条件，结合导数的求导法则，即可求解．
本题主要考查导数的求导法则，属于基础题．
10.【答案】ABD
【解析】解：令u=x2+4x+3，则u∈[−1,+∞)．
对于A，f(x)的定义域与u=x2+4x+3的定义域相同，为R，故A正确；
对于B，y=(12)u，u∈[−1,+∞)的值域为(0,2]，所以函数f(x)的值域为(0,2]，故B正确；
对于C、D，因为u=x2+4x+3在[−2,+∞)上单调递增，且y=(12)u，u∈[−1,+∞)在定义域上单调递减，
所以根据复合函数单调性法则，得函数f(x)在[−2,+∞)上单调递减，所以C不正确，D正确．
故选：ABD．
由函数的表达式可得函数的定义域可判断A；令u=x2+4x+3，则u∈[−1,+∞)，y=(12)u，结合指数函数的单调性得到函数的值域，可判断B；根据复合函数单调性的判断方法可得函数的单调性可判断C、D．
本题主要考查复合函数的单调性，函数定义域、值域的求法，考查运算求解能力，属于中档题．
11.【答案】ACD
【解析】解：∵Sn+1−1=Sn+2an，
∴an+1=Sn+1−Sn=2an+1，即an+1+1=2(an+1)，
又S1=a1=1，
则数列{an+1}是首项为2，公比为2的等比数列，故B错误；
则an+1=2n，即an=2n−1，故C正确；
∴an+1−an=(2n+1−1)−(2n−1)=2n，
∴数列{an+1−an}是首项为2，公比为2的等比数列，故A正确；
又2nanan+1=2n(2n−1)(2n+1−1)=12n−1−12n+1−1，
Tn=1−122−1+122−1−123−1+…+12n−1−12n+1−1=1−12n+1−1<1，故D正确．
故选：ACD．
根据题意可得an+1+1=2(an+1)，数列{an+1}是首项为2，公比为2的等比数列，求出an=2n−1，逐一分析选项，即可得出答案．
本题考查数列的递推式和等比数列的定义、通项公式，以及数列的裂项相消求和，考查化简运算能力和推理能力，属于中档题．
12.【答案】ACD
【解析】解：对于A，∵c−b=2bcosA，
∴由正弦定理可得sinC−sinB=2sinBcosA，
又∵sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB，
∴sinAcosB+cosAsinB−sinB=2sinBcosA，即sinAcosB−sinB=sinBcosA，
∴sinAcosB−cosAsinB=sin(A−B)=sinB，
∵A，B，C为锐角，
∴A−B=B，即A=2B，A正确，
对于B，∵△ABC为锐角三角形，A=2B，
∴C=π−3B，
∴0
∵1tanB−1tanA+2sinA=sin(A−B)sinBsinA+2sinA=sin(2B−B)sinBsinA+2sinA=1sinA+2sinA，
又π3
则f(t)=2t+1t，
由对勾函数性质可知，f(t)=1t+2t在t∈( 32,1)上单调递增，
又f( 32)=1 32+2× 32=5 33，f(1)=11+2×1=3，
∴1tanB−1tanA+2sinA=1sinA+2sinA∈(5 33,3)，故D正确．
故选：ACD．
对于A，结合正弦定理，以及正弦的两角和公式，即可求解，
对于B，结合A的结论，以及△ABC为锐角三角形，即可求解，
对于C，结合正弦定理，以及角B的取值范围，即可求解，
对于D，先对原式化简，再结合换元法，以及对勾函数的性质，即可求解．
本题主要考查解三角形，考查转化能力，属于中档题．
13.【答案】3x−y−2=0
【解析】解：由f(x)=x+lnx2，得f′(x)=1+2x，
∴f′(1)=3，
则曲线y=f(x)在点(1,1)处的切线方程为y=3(x−1)+1，
即3x−y−2=0．
故答案为：3x−y−2=0．
求出原函数的导函数，得到函数在x=1处的导数值，再由直线方程的斜截式得答案．
本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，熟记基本初等函数的导函数是关键，是基础题．
14.【答案】25
【解析】解：因为角θ的终边过点P(−2a,4a)(a≠0)，
所以tanθ=4a−2a=−2，
所以sinθ(1+sin2θ)sinθ+cosθ
=sinθ(sin2θ+cos2θ+2sinθcosθ)sinθ+cosθ
=sinθ(sinθ+cosθ)
=sinθ(sinθ+cosθ)sin2θ+cos2θ
=tan2θ+tanθ1+tan2θ
=4−21+4
=25．
故答案为：25．
由题意利用任意角的三角函数的定义以及三角函数恒等变换即可求解．
本题考查了任意角的三角函数的定义以及三角函数恒等变换在三角函数求值中的应用，属于基础题．
15.【答案】 2
【解析】解：因为x>0，y>0，12x+1+1y+1=1，
则x+y+32=[12(2x+1)+(y+1)](12x+1+1y+1)=32+y+12x+1+122x+1y+1≥32+ 2，
当且仅当y+12x+1=122x+1y+1且12x+1+1y+1=1时取等号，此时取得最小值32+ 2．
故x+y的最小值为 2．
故答案为： 2．
利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出．
本题考查了“乘1法”与基本不等式的性质，属于基础题．
16.【答案】[−16,1912)
【解析】解：因为函数f(x)=|log2x|,x>0 3sinπx−cosπx,−53≤x≤0，
当−53≤x≤0时，f(x)= 3sinπx−cosπx=2sin(πx−π6)，
令πx−π6=−3π2，解得x=−43，
当x=−53时，f(−53)=2sin(−5π3−π6)=1，
当x>0时，f(x)=|log2x|，
令f(x)=2，解得x=4或x=14，
令f(x)=1，解得x=2或x=12，
函数y=f(x)的图象如图所示：
因为方程f(x)=a恰有四个不同的实数解，即y=f(x)与y=a恰有四个交点，所以1≤a<2，
不妨令x1
即−log2x3=log2x4，
所以log2x3+log2x4=0，即x3x4=1，
所以x3=1x4，
所以x1+x2+x3+x4=−83+1x4+x4，
因为y=1x+x在[2,4)上单调递增，
所以52≤1x4+x4<174，
所以−16≤x1+x2+x3+x4<1912，
即x1+x2+x3+x4的取值范围是[−16,1912).
故答案为：[−16,1912).
求出−53≤x≤0时的函数解析式，画出函数图象，不妨令x1
17.【答案】解：(1)要使得函数f(x)有意义，只需要2+x≥04−x>0，解得−2≤x<4，
∴集合A={x|−2≤x<4}；
(2)∵p是q的必要不充分条件，∴B⫋A，
当B=⌀时，m+1>2m−1，解得m<2(舍去)，
当B≠⌀时，有m+1≤2m−1m+1≥−22m−1<4，解得2≤m<52，
综上可知，实数m的取值范围是[2,52)．
【解析】(1)由根式内部的代数式大于等于0，对数式的真数大于0联立不等式组求解；
(2)由题意可得B⫋A，然后分B=⌀和B≠⌀求解．
本题考查函数的定义域及其求法，考查充分必要条件的判定及应用，考查运算求解能力，是基础题．
18.【答案】解：(1)∵c=2bcosB，
∴由正弦定理可得sinC=2sinBcosB=sin2B，
∵C=2π3，
∴sin2B=sin2π3= 32，
∴B∈(0,π3)，可得2B∈(0,2π3)，
∴2B=π3，解得B=π6；
(2)若选择①：由(1)可得A=π−B−C=π6，即a=b，
则S△ABC=12absinC=12a2× 32=3 34，解得a= 3，
则由余弦定理可得BC边上的中线的长度为： b2+(a2)2−2×b×a2×cos2π3= 3+34+ 3× 32= 212．
若选择②：由(1)可得A=π6，
设△ABC的外接圆半径为R，
则由正弦定理可得a=b=2Rsinπ6=R，
c=2Rsin2π3= 3R，
则周长a+b+c=2R+ 3R=4+2 3，
解得R=2，则a=2,c=2 3，
由余弦定理可得BC边上的中线的长度为： (2 3)2+12−2×2 3×1×cosπ6= 7；
【解析】(1)由正弦定理，二倍角公式化简已知等式可得sin2B=sin2π3= 32，结合角的范围即可求解B的值；
(2)若选择①：由(1)利用三角形内角和定理可求A，可得a=b，利用三角形的面积公式可求a的值，进而利用余弦定理即可求解；
若选择②：由(1)可得A=π6，设△ABC的外接圆半径为R，由正弦定理可得a，c的值，进而利用余弦定理即可求解．
本题考查了正弦定理，余弦定理，三角形面积公式以及三角函数恒等变换在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．
19.【答案】(1)f(x)=12sin2x+ 32cos2x+ 32cos2x−12sin2x−sin2x，f(x)= 3cos2x−sin2x=2( 32cos2x−12sin2x)=2(cos2xcosπ6−sin2xsinπ6)=2cos(2x+π6)，
所以函数f(x)的最小正周期为π，
令2x+π6=kπ，k∈Z，得函数f(x)的对称轴方程为x=−π12+kπ2，k∈Z．
(2)将函数y=f(x)的图象向左平移π12个单位后所得图象的解析式为y=2cos[2(x+π12)+π6]=2cos(2x+π3)，所以g(x)=2cos(2×12x+π3)=2cos(x+π3)，
令2kπ≤x+π3≤π+2kπ，所以−π3+2kπ≤x≤2π3+2kπ,k∈Z.又x∈[0,2π]，
所以y=g(x)在[0,2π]上的单调递减区间为[0,2π3],[5π3,2π]．
【解析】(1)直接利用三角函数关系式的恒等变换，把函数的关系式变形成正弦型函数，进一步求出函数的周期和对称轴方程．
(2)利用关系式的平移和伸缩变换，进一步利用整体思想求出函数的单调递减区间．
本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数单调性的应用、周期性的应用，函数关系式的平移和伸缩变换及相关的运算问题．
20.【答案】解：(1)已知函数f(x)=ax(a>0且a≠1)，满足f(2)+f(1)=6，
所以a2+a=6，
解得a=2或a=−3(舍去)，
所以f(x)=2x；
此时方程m=f(x)−f(2x)=2x−22x=2x−(2x)2，
令t=2x，1≤t≤2，
不妨设h(t)=t−t2，函数定义域为[1,2]，
可得h′(t)=1−2t<0，h(t)单调递减，
所以当t=1时，函数h(t)取得极大值也是最大值，最大值h(1)=0，
当t=2时，函数h(t)取得极小值也是最小值，最小值h(2)=−2，
则m的取值范围为[−2,0]；
(2)已知g(x)=f(|x|)+lg(|x|+1)=2|x|+ln(|x|+1)，
因为g(−x)=2|−x|+ln(|−x|+1)=2|x|+ln(|x|+1)=g(x)，
所以函数g(x)为R上的偶函数，
当x>0时，因为y=2x和y=ln(x+1)单调递增，
所以g(x)在x>0上单调递增，
此时g(x)>g(2x−1)，
即g(|x|)>g(|2x−1|)，
所以|x|>|2x−1|，
解得13
(2)先得到函数g(x)的解析式，结合偶函数的定义得到函数g(x)在R上为偶函数，利用对数函数和指数函数的单调性得到g(x)在x>0上单调递增，再列出等式求解即可．
本题考查函数与方程的综合应用，考查了逻辑推理、转化思想和运算能力．
21.【答案】证明：(1)bn+1−bn=22an+1−1−22an−1=22(1−14an)−1−22an−1=21−12an−22an−1=4an−22an−1=2，
b1=22a1−1=2，∴数列{bn}是首项为2，公差为2的等差数列；
(2)解：bn=2+(n−1)×2=2n，设dn=bn2n+1=n2n，
则Sn=12+222+⋯+n2n①，12Sn=122+223+⋯+n2n+1②，
①−②得12Sn=12+122+⋯+12n−n2n+1=12(1−12n)1−12−n2n+1=1−12n−n2n+1，
∴Sn=2−n+22n；
(3)存在，理由如下：
cn=6n+(−1)n−1⋅λ⋅2bn=6n−λ⋅(−4)n，
cn+1=6n+1+(−1)n⋅λ⋅22n+2=6⋅6n+4λ⋅(−4)n，
则cn+1−cn=5[6n+λ⋅(−4)n]=56n[1+λ⋅(−23)n]，
若对任意的n∈N*，都有cn+1>cn，则等价于cn+1−cn=56n[1+λ⋅(−23)n]>0恒成立，即1+λ⋅(−23)n>0恒成立，n∈N*，
当n为偶数时，(−23)n∈(0,49)，则λ>[−1(−23)n]max=−94；
当n为奇数时，(−23)n∈(−23,0)时，则λ<[−1(−23)n]min=32．
综上，存在λ∈(−94,32)，使得对任意的n∈N*，都有cn+1>cn．
【解析】(1)结合递推关系，证明bn+1−bn为常数即可；
(2)由错位相减法求和；
(3)命题等价成cn+1−cn=56n[1+λ⋅(−23)n]>0恒成立，转为说明1+λ⋅(−23)n>0恒成立，对n分奇偶讨论，分别求恒成立问题即可．
本题主要考查数列递推式，数列的求和，等差数列的证明，数列与不等式的综合，考查运算求解能力，属于难题．
22.【答案】
解：(1)f(x)定义域为(0,+∞)，f′(x)=ex(x−1)x2−1x+1=(ex+x)(x−1)x2，
令f′(x)=0⇒x=1，所以当0
即满足f(x)min=e+1−a≥0⇒a⩽e+1．
(2)由(1)知，若f(x)有两个零点x1,x2，则f(x1)=f(x2)=0，
而f(x)=exx−ln x+x−a=ex−lnx+x−lnx−a，
即ex1−lnx1+x1−lnx1=ex2−lnx2+x2−lnx2，
因为函数y=ex+x在R上单调递增，所以x1−lnx1=x2−lnx2成立，
令h(x)=x−lnx，且h(x1)=h(x2)，易知h(x)在(0,1)上单调递减，在(1,+∞)上单调递增，
不妨设0
F(x)在(0,1)单调递增，而F(1)=h(1)−h(1)=0，
所以F(x)
【解析】(1)对函数求导研究其在定义域内单调性，由于函数在(0,+∞)恒大于等于0，故f(x)min=f(1)=e+1−a>0，解出a的范围即可．
(2)首先将原不等式转化为证明1
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