2022-2023学年天津市朱唐庄中学高一(下)期中数学试卷(含解析)
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这是一份2022-2023学年天津市朱唐庄中学高一(下)期中数学试卷(含解析),共12页。试卷主要包含了单选题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。
2022-2023学年天津市朱唐庄中学高一(下)期中数学试卷
一、单选题(本大题共10小题,共40.0分。在每小题列出的选项中,选出符合题目的一项)
1. 设全集U={−3,−2,−1,0,1,2,3},集合A={−1,0,1,2},B={−3,0,2,3},则A∩(∁UB)=( )
A. {−3,3} B. {0,2}
C. {−1,1} D. {−3,−2,−1,1,3 }
2. 下列各式中不能化简为AD的是( )
A. (AB−DC)−CB B. AD−(CD+DC)
C. −(CB+MC)−(DA+BM) D. −BM−DA+MB
3. 若a=(2,1),b=(−1,1),(2a+b)//(a+mb),则m的值为( )
A. 12 B. 2 C. −2 D. −12
4. 已知向量a=(2,4),b=(x,1),且a⊥b,则x的值为( )
A. −2 B. 2 C. −12 D. 12
5. 设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若a=2,c=2 3,cosA= 32,则b=( )
A. 2 B. 2或4 C. 4 D. 2 2
6. 在△ABC中,∠A、∠B、∠C所对的边分别为a,b,c,若∠A=π3,a= 6,b=2,则∠B=( )
A. π6 B. π4 C. 3π4 D. π4或3π4
7. 已知m,n是空间两条不同的直线,α,β是空间两个不同的平面,下列正确的是( )
A. 若m⊥n,n//α,则m⊥α B. 若m⊥α,α⊥β,则m⊥β
C. 若m⊥n,n⊥α,则m⊥α D. 若m⊥α,α//β,则m⊥β
8. 辽宁省博物馆收藏的商晚期饕餮纹大圆鼎(如图一)出土于辽宁省喀左县小波汰沟.此鼎直耳,深腹,柱足中空,胎壁微薄,口沿下及足上端分别饰单层兽面纹,足有扉棱,耳、腹、足皆有炱痕.它的主体部分可以近似地看作是半球与圆柱的组合体(忽略鼎壁厚度),如图二所示.已知球的半径为R,圆柱的高近似于半球的半径,则此鼎的容积约为( )
A. 83πR3 B. 73πR3 C. 2πR3 D. 53πR3
9. 埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一,它的形状可视为一个正四棱锥,以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥侧面积的一半,那么其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为( )
A. 2−14 B. 2−12 C. 2+14 D. 2+12
10. 下列命题:①若|a|=|b|,则a=b;
②若a=b,b=c,则a=c;
③a=b的充要条件是|a|=|b|且a//b;
④若a//b,b//c,则a//c;
⑤若A、B、C、D是不共线的四点,则AB=DC是四边形ABCD为平行四边形的充要条件.
其中,真命题的个数是( )
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
二、填空题(本大题共5小题,共20.0分)
11. i是虚数单位,则|4+2i1−i|的值为 .
12. 已知向量a和b满足:|a|=1,|b|=2,|2a−b|=2 3,则向量a与向量b的夹角为______ .
13. 若△ABC的三个内角A,B,C满足sinA:sinB:sinC=2:3:4,则cosB= ______ .
14. 一个圆柱的侧面展开图是一个正方形,则这个圆柱的表面积与侧面积的比是______ .
15. 已知直角梯形ABCD中,AD//BC,∠ADC=90°,AD=2,BC=1,P是腰DC上的动点,则|PA+3PB|的最小值为______.
三、解答题(本大题共6小题,共60.0分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)
16. (本小题10.0分)
已知复数z=(m2−3m+2)+(m2−4m+3)i,m∈R.
(1)若z是实数,求m的值.
(2)若z是纯虚数,求m的值.
(3)若z对应复平面上的点在第四象限,求m的范围.
17. (本小题10.0分)
已知|a|=1,|b|=2,a与b的夹角为120°.
(1)求|2a−b|.
(2)求(a+2b)⋅(a−3b).
(3)若向量b+ka与b−ka相互垂直,求实数k的值.
18. (本小题10.0分)
△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且 3(a2+c2−b2)=2bcsinA.
(Ⅰ)求角B的大小;
(Ⅱ)若cosA=13,求sin(2A−B)的值.
19. (本小题10.0分)
在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知b+c=2a,5csinB=6asinC.
(1)求cosB的值;
(2)求sin(2B+π6)值.
20. (本小题10.0分)
如图,PD垂直于梯形ABCD所在平面,∠ADC=∠BAD=90°,F为PA的中点,PD= 2,AB=AD=12CD=1,四边形PDCE为矩形.求证:AC//平面DEF.
21. (本小题10.0分)
已知在直三棱柱ABC−A1B1C1中,AB⊥BC,且AA1=2AB=2BC=2,E,M分别是CC1,AB1的中点.证明:EM//平面ABC.
答案和解析
1.【答案】C
【解析】
【分析】
本题主要考查补集、交集的运算,属于基础题.
先求出集合B的补集、再与集合A求交集.
【解答】
解:全集U={−3,−2,−1,0,1,2,3},
集合A={−1,0,1,2},B={−3,0,2,3},
则∁UB={−2,−1,1},
∴A∩(∁UB)={−1,1},
故选:C.
2.【答案】D
【解析】解:A.(AB−DC)−CB=AB+(CD+BC)=AB+BD=AD,∴A错误;
B.AD−(CD+DC)=AD,∴B错误;
C.−(CB+MC)−(DA+BM)=BM−DA−BM=AD,∴C错误;
D.−BM−DA+MB=2MB+AD,∴D正确.
故选:D.
根据向量加法的几何意义进行运算即可.
本题考查了向量加法和数乘的几何意义,考查了计算能力,属于基础题.
3.【答案】A
【解析】
【分析】
本题考查向量的运算,考查向量坐标运算法则、向量平行的性质等基础知识,考查运算求解能力,是基础题.
先求出2a+b=(3,3),a+mb=(2−m,1+m),再由(2a+b)//(a+mb),能求出m的值.
【解答】
解:a=(2,1),b=(−1,1),
∴2a+b=(3,3),a+mb=(2−m,1+m),
∵(2a+b)//(a+mb),
∴2−m3=1+m3,
解得m=12.
故选A.
4.【答案】A
【解析】解:∵向量a=(2,4),b=(x,1),
又∵a⊥b,
∴a⋅b=0
即2x+4=0
解得x=−2
故选:A.
由已知中向量a=(2,4),b=(x,1),且a⊥b,根据两向量垂直数量积为0,可以构造关于x的方程,解方程可得答案.
本题考查的知识点是数量积判断两个平面向量的垂直关系,其中根据两向量垂直数量积为0,构造关于x的方程,是解答本题的关键.
5.【答案】B
【解析】解:由余弦定理得:a2=b2+c2−2bccosA,即4=b2+12−6b,化简得b2−6b+8=0,解得b=2或b=4.
故选:B.
由余弦定理即可代入求值.
本题主要考查余弦定理的应用,属于基础题.
6.【答案】B
【解析】解:由正弦定理asinA=bsinB,得sinB=bsinAa=2× 32 6= 22,
又b0,
由余弦定理b2=a2+c2−2accosB,得到cosB=a2+c2−b22ac,
所以cosB=(2k)2+(4k)2−(3k)216k2=11k216k2=1116.
故答案为:1116.
利用正弦定理,进行边角转化,从而得出a:b:c=2:3:4,从而直接设出a=2k,b=3k,c=4k,其中k>0,再利用余弦定理即可得出结果.
本题主要考查正余弦定理的应用,考查运算求解能力,属于基础题.
14.【答案】2π+12π
【解析】解:设底面半径为r,则圆柱的侧面展开图的边长为2πr,即圆柱的高为2πr,
∴圆柱的侧面积为S1=(2πr)2=4π2r2,表面积为S=S1+2πr2=4π2r2+2πr2,
则圆柱的表面积与侧面积的比是SS1=4π2r2+2πr24π2r2=2π+12π.
故答案为:2π+12π.
根据圆柱的侧面展开图是一个正方形,得到圆柱的高和底面半径之间的关系,然后求出圆柱的表面积和侧面积即可得到结论.
本题主要考查圆柱的表面积与侧面积的求解,属于基础题.
15.【答案】5
【解析】解:如图,以直线DA,DC分别为x,y轴建立平面直角坐标系,
则A(2,0),B(1,a),C(0,a),D(0,0)
设P(0,b)(0≤b≤a)
则PA=(2,−b),PB=(1,a−b),
∴PA+3PB=(5,3a−4b)
∴|PA+3PB|= 25+(3a−4b)2≥5.
故答案为5.
根据题意,利用解析法求解,以直线DA,DC分别为x,y轴建立平面直角坐标系,则A(2,0),B(1,a),C(0,a),D(0,0),设P(0,b)(0≤b≤a),求出PA+3PB,根据向量模的计算公式,即可求得|PA+3PB|,利用完全平方式非负,即可求得其最小值.
此题是个基础题.考查向量在几何中的应用,以及向量模的求法,同时考查学生灵活应用知识分析解决问题的能力.
16.【答案】解:(1)因为z为实数,
所以m2−4m+3=0,解得m=1或m=3.
(2)因为z是纯虚数,
所以m2−3m+2=0m2−4m+3≠0,解得m=2.
(3)因为z对应复平面上的点在第四象限,
所以有m2−3m+2>0m2−4m+3
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