2022-2023学年河北省邯郸市高一（下）期末数学试卷（含解析）

这是一份2022-2023学年河北省邯郸市高一（下）期末数学试卷（含解析），共21页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2022-2023学年河北省邯郸市高一（下）期末数学试卷
一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 若复数z满足(2+i)z=1+i，则复数z的虚部是(    )
A. 15 B. −15 C. 15i D. −15i
2. 已知两条不同的直线l，m与两个不同的平面α，β，则下列说法正确的是(    )
A. 若l/​/α，α∩β=m，则l/​/m
B. 若l⊥α且l/​/β，则α⊥β
C. 若l⊂α，m⊄α，则直线l与m是异面直线
D. 若α/​/β，l⊂α，m⊂β，则直线l与m是异面直线
3. 已知a=(−1,3)，b=(1,2)，则向量a在向量b上的投影向量为(    )
A. 13b B. 12b C. b D. 2b
4. 为了解不同年级男、女学生对食堂饭菜的满意程度，某中学采用按比例分配的分层随机抽样的方法从高一、高二、高三年级的所有学生中抽取样本进行调查.该中学高一、高二、高三年级学生的比例与高一男、女生人数如图所示，若抽取的样本中有高一男生140人，则样本容量为(    )


A. 500 B. 600 C. 700 D. 800
5. “黄梅时节家家雨，青草池塘处处蛙”，黄梅时节就是梅雨季节，每年6月至7月会出现持续天阴有雨的天气，它是一种自然气候现象.根据历史数据统计，长江中下游某地区在黄梅时节每天下雨的概率为45.假设每天是否下雨互不影响，则该地区黄梅时节连续两天中至少有一天下雨的概率为(    )
A. 2425 B. 1625 C. 825 D. 425
6. 在△ABC中，∠A=90°，AB=AC=4，点M，N分别为边AB，AC上的动点，且MN=2，点D为斜边BC的中点，则MD⋅ND的最小值为(    )
A. 0 B. 4 C. 4−2 2 D. 8−4 2
7. 武灵丛台位于邯郸市丛台公园中心处，为园内的主体建筑，是邯郸古城的象征.某校数学兴趣小组为了测量其高度AB，在地面上共线的三点C，D，E处分别测得点A的仰角为30°，45°，60°，且CD=DE=22m，则武灵丛台的高度AB约为(参考数据： 6≈2.449)(    )


A. 22m B. 27m C. 30m D. 33m
8. 如图，有质地均匀的正四面体、正六面体和正八面体骰子各一个.首先抛掷正六面体骰子，向上的点数记为a.若a为奇数，则再抛掷正四面体骰子；若a为偶数，则再抛掷正八面体骰子，记第二次向下的点数为b.设事件A：a≤2；事件B：b=4；事件C：b=5；事件D：a+b=7；事件E：a−b=2，则下列说法错误的是(    )


A. C与E为互斥事件 B. A与B相互独立
C. D与E为互斥事件 D. A与D相互独立
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）
9. 如图为2022年2月至2023年2月建筑业和服务业的商务活动指数，该指数等于50%反映该行业经济与上月比较无变化，大于50%反映该行业经济比上月总体上升，小于50%反映该行业经济比上月总体下降，则下列说法正确的是(    )


A. 2022年9月至12月服务业经济持续下降 B. 2022年9月至12月建筑业经济持续下降
C. 2022年5月建筑业经济上升幅度最小 D. 2023年2月服务业经济上升幅度最大
10. 对于非零复数z1，z2，下列结论正确的是(    )
A. 若z1和z2互为共轭复数，则z1z2为实数
B. 若z1为纯虚数，则|z1|2=z12
C. 若|z1|=|z2|，则z1=z2
D. 若|z2+2−i|=1，则|z2|的最大值为 5+1
11. 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b=4，A=π6，则下列说法正确的是(    )
A. 若a≥4，则△ABC有两组解
B. 若2 C. 若△ABC为锐角三角形，则2 3 D. 若△ABC为等腰三角形，则c=4或4 3
12. 在棱长为4的正方体ABCD−A1B1C1D1中，动点P在正方形A1B1C1D1(包括边界)内运动，且满足BP/​/平面AD1C，则下列结论正确的是(    )
A. 线段B1P长度的最小值为2 2
B. 三棱锥A−PB1C的体积为定值
C. 异面直线BP与AC所成角正弦值的取值范围为(0,12]
D. 若动点M在线段B1C上，则线段PM长度的最小值为4 33
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13. 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若b=2，B=45°，A=105°，则c= ______ ．
14. 已知非零向量a,b满足|b|=2|a|=1，且a⊥(a+b)，则a与b的夹角为______ ．
15. 若圆台的高是4，母线长为5，侧面积是45π，则圆台的体积是______．
16. 在△ABC中，AB=BC=5，D为AC的中点，AD=3，沿BD将△BCD折起.当AC=3时，三棱锥C−ABD的外接球半径为______ ；当AC=3 2，且AE=2ED时，过点E作三棱锥C−ABD外接球的截面，则截面圆面积的最小值为______ ．
四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. (本小题10.0分)
为了推进共同富裕，国家选择在某省建设共同富裕示范区，为全国推动共同富裕提供范例.为了了解共同富裕示范区的建设成果，某统计机构调查了该省某示范区100位居民2022年整年的可支配收入，整理后得到如图频率分布直方图．
(1)根据频率分布直方图估计这100位居民可支配收入的众数和80%分位数；
(2)居民人均可支配收入的中位数和平均数的比值是衡量收入分配的指标之一，比值越大收入分配越公平.已知2022年全国居民的人均可支配收入为36883元，人均可支配收入的中位数是平均数的85.1%.请根据频率分布直方图说明该示范区是否起到了示范的作用(利用平均数，中位数和平均数的比值进行说明)．

18. (本小题12.0分)
如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为正方形，PA⊥底面ABCD，PA=AB，E为线段PB的中点．
(1)证明：PD/​/平面AEC；
(2)求AC与平面PCD所成角的正切值．

19. (本小题12.0分)
在△ABC中，AE=12EC．
(1)若2BF=3FE，用AB,AC表示AF；
(2)AD=12AB，线段CD交BE于点G，且AG=λAE+μAD，求的λ+μ值．
20. (本小题12.0分)
在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a2−cosA=bcosB．
(1)求cb的值；
(2)若a=3，角A的平分线与BC交于点D，AD=2 2，求△ABC的面积．
21. (本小题12.0分)
五行，指金、木、水、火、土五个元素.五行学说用五行之间的生、克关系来阐释事物之间的相互关系，是中国文化的重要组成部分，五行之间相生相克的关系如图所示.现有一个不透明的盒子，盒子中有5个完全相同的小球，5个小球上分别标有“金、木、水、火、土”5个字，代表5个元素.现在甲、乙两人各从盒子中随机抽取一个球：
(1)若甲抽到的元素克乙抽取的元素，则甲+2分；
(2)若甲抽到的元素生乙抽取的元素，则甲−1分；
(3)若甲抽到的元素被乙抽取的元素克，则甲−2分；
(4)若甲抽到的元素被乙抽取的元素生，则甲+1分；
(5)若甲抽到的元素与乙抽取的元素相同，则甲不计分．
现有两个游戏方案可供甲选择：
方案一：乙先从盒子中随机抽取一个元素后放回，然后甲再从盒子中随机抽取一个元素；
方案二：乙先从盒子中随机抽取一个元素不放回，然后甲再从盒子中随机抽取一个元素．
每次积完分后把所有小球放回盒子再进行下次游戏．
(1)若按方案一进行两次游戏，求两次游戏后甲的积分之和为1分的概率；
(2)现在要从方案一或方案二中选一个方案进行两次游戏，若两次游戏后甲的积分之和超过1分，则甲获得胜利.为了尽可能获胜，甲应该选择哪个方案，请说明理由．

22. (本小题12.0分)
在正三棱锥D−ABC中，AB=AD=3，点P在线段CD上.过点P作平行于BC和AD的平面α，分别交棱AB，AC，BD于点M，N，O．
(1)证明：四边形OMNP为矩形；
(2)若DP=13DC，求多面体MNPOBC的体积．


答案和解析

1.【答案】A 
【解析】解：(2+i)z=1+i，
则z=1+i2+i=(1+i)(2−i)(2+i)(2−i)=3+i5=35+15i，其虚部为15．
故选：A．
根据已知条件，结合复数的四则运算，以及虚部的定义，即可求解．
本题主要考查复数的四则运算，以及虚部的定义，属于基础题．

2.【答案】B 
【解析】解：两条不同的直线l，m与两个不同的平面α，β，
对于A，若l/​/α，α∩β=m，则l与m平行或异面，故A错误；
对于B，若l⊥α且l/​/β，则由面面垂直的判定定理得α⊥β，故B正确；
对于C，若l⊂α，m⊄α，则直线l与m有可是共面直线，故C错误；
对于D，若α/​/β，l⊂α，m⊂β，则直线l与m相交、平行或异面，故D错误．
故选：B．
对于A，l与m平行或异面；对于B，由面面垂直的判定定理得α⊥β；对于C，直线l与m有可是共面直线；对于D，直线l与m相交、平行或异面．
本题考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力，是中档题．

3.【答案】C 
【解析】解：根据题意，已知a=(−1,3)，b=(1,2)，则a⋅b=−1+6=5，|b|= 1+4= 5，
向量a在向量b上的投影向量为|a|cosb|b|=a⋅b|b|2b=b．
故选：C．
根据题意，由投影向量的计算公式计算可得答案．
本题考查向量数量积的运算，涉及投影向量的计算，属于基础题．

4.【答案】C 
【解析】解：由柱状图可知，高一男生500人，女生400人，总共900人，
若抽取的样本中有高一男生140人，
则抽取的高一总人数为140500×900=252人，
又因为高一占总人数比例为36%，
则抽取的总人数为252÷36%=700人，
即样本容量为700．
故选：C．
根据分层抽样的定义，计算即可．
本题考查分层抽样方法，属于基础题．

5.【答案】A 
【解析】解：两天都不下雨的概率为15×15=125，
所以所求事件概率为1−125=2425，
故选：A．
算出连续两天都不下雨的概率而后用1减去其即可．
本题主要考查相互独立事件的概率乘法公式，属基础题．

6.【答案】D 
【解析】解：在△ABC中，∠A=90°，AB=AC=4，点D为斜边BC的中点，
建立如图所示的平面直角坐标系，
则A(0,0)，B(4,0)，C(0,4)，D(2,2)，
又点M，N分别为边AB，AC上的动点，且MN=2，
不妨设M(x,0)，N(0,y)，
则x2+y2=4，(0≤x≤4,0≤y≤4)，
则MD=(2−x,2)，ND=(2,2−y)，
则MD⋅ND=8−2(x+y)，
又(x+y2)2≤x2+y22，
当且仅当x=y时取等号，
即(x+y2)2≤2，
即x+y≤2 2，
即MD⋅ND≥8−4 2，
即MD⋅ND的最小值为8−4 2．
故选：D．
由平面向量数量积的运算，结合重要不等式的应用求解即可．
本题考查了平面向量数量积的运算，重点考查了重要不等式的应用，属中档题．

7.【答案】B 
【解析】解：由题知，设AB=x，
则BC=xtan30∘= 3x,BD=xtan45∘=x,BE=xtan60∘= 33x，
又CD=DE=22m，
所以在△BEC中，cos∠BEC=BE2+EC2−BC22BE⋅EC=13x2+442−3x22× 33x×44①，
在△BDE中，cos∠BEC=BE2+ED2−BD22BE⋅ED=13x2+222−x22× 33x×22②，
联立①②，解得x=11 6≈26.939≈27．
故选：B．
设AB=x，求出BC，BD，BE，利用余弦定理在△BEC和△BDE中，表示出cos∠BEC和cos∠BED，两者相等即可解出答案．
本题考查了余弦定理在实际生活中的应用，属于中档题．

8.【答案】D 
【解析】解：样本空间为：(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，
(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，
(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，
(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，
(2,5)，(2,6)，(2,7)，(2,8)，
(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，
(4,5)，(4,6)，(4,7)，(4,8)，
(6,1)，(6,2)，(6,3)，(6,4)，
(6,5)，(6,6)，(6,7)，(6,8)．
事件A包含的基本事件为：
(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，
(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，
(2,5)，(2,6)，(2,7)，(2,8)．
事件B包含的基本事件为：(1,4)，(2,4)，(3,4)，(4,4)，(5,4)，(6,4)．
事件C包含的基本事件为：(1,5)，(2,5)，(3,5)，(4,5)，(5,5)，(6,5)．
事件D包含的基本事件为：(3,4)，(5,2)，(2,5)，(4,3)，(6,1)．
事件E包含的基本事件为：(3,1)，(5,3)，(4,2)，(6,4)．
C与E为互斥事件，A选项正确；
B选项，P(A)=1236=13，P(B)=636=16，
事件AB包含的基本事件为：(1,4)，(2,4)，
所以P(AB)=236=118=P(A)P(B)，
所以A与B相互独立，B选项正确；
D与E为互斥事件，C选项正确；
D选项，P(D)=536，P(A)=1236=13
事件AD包含的基本事件为：(2,5)，
所以P(AD)=136≠P(A)P(D)，
所以A与D不是相互独立事件，D选项错误．
故选：D．
根据互斥事件、独立事件的知识进行分析，由此确定正确答案．
本题考查互斥事件与独立事件的应用，属于基础题．

9.【答案】ACD 
【解析】解：A选项，根据服务业商务活动指数图象可知，
2022年9月至12月服务业经济持续下降，所以A选项正确；
B选项，根据建筑业商务活动指数图象可知，
2022年9月至12月服务业经济持续上升，所以B选项错误；
C选项，根据建筑业商务活动指数图象可知，
2022年5月建筑业经济上升幅度最小，所以C选项正确；
D选项，根据服务业商务活动指数图象可知，
2023年2月服务业经济上升幅度最大，所以D选项正确．
故选：ACD．
根据折线图对选项进行分析，从而确定正确答案．
本题考查根据统计图表获取信息，属于基础题．

10.【答案】AD 
【解析】解：对于A，z1和z2互为共轭复数，
则z1z2=|z1|2∈R，故A正确；
对于B，不妨设z1=i，
|z1|2=1，z12=−1，故B错误；
对于C，设z1=1，z2=i，满足|z1|=|z2|，但z1≠z2，故C错误；
对于D，设z2=a+bi，
|z2+2−i|=1，
则|a+2+(b−1)i|= (a+2)2+(b−1)2=1，即(a+2)2+(b−1)2=1，表示以(−2,1)为圆心，1为半径的圆，
|z2|= a2+b2，表示圆上的点到圆心的距离，
故|z2|的最大值为 (−2−0)2+(1−0)2+1= 5+1，故D正确．
故选：AD．
根据已知条件，结合共轭复数的定义，特殊值法，以及复数的几何意义，即可求解．
本题主要考查复数的几何意义，属于基础题．

11.【答案】BC 
【解析】解：A选项，∵a≥b，∴△ABC有一解，故A错误；
B选项，∵bsinA C选项，∵△ABC为锐角三角形，∴bcosA D选项，∵△ABC为等腰三角形，则b=c=4或c=a或a=b=4，
当c=a，则A=C=π6,B=2π3，故16=c2+c2−2×c×c×(−12)，得c=4 33，
当a=b=4，则A=B=π6,C=2π3，故c2=a2+b2−2ab×(−12)=48，得c=4 3，
综上，c=4或c=4 33或c=4 3，故D错误．
故选：BC．
根据三角形的构成，可判断三角形有几个解所要满足的条件，结合正余弦定理及三角形形状判断各项正误．
本题考查了正弦定理和余弦定理的综合应用，属于中档题．

12.【答案】ABD 
【解析】解：由题意可易得平面A1BC1//AD1C，
动点P在正方形A1B1C1D1(包括边界)内运动，且满足BP/​/平面AD1C，
∴P∈A1C1，

对于A：线段B1P长度的最小值即为B1到直线A1C1的距离，
∵A1B1=B1C1，A1C1=4 2，可得线段B1P长度的最小值为2 2，故A正确；
对于B：∵P∈A1C1，∴S△APC为定值，B到平面APC的距离d为定值，
∴VA−PB1C=VB1−APC=13S△APC⋅d，为定值，故B正确；
对于C：当P为A1C1的中点时，可得BP⊥A1C1，∵A1C1/​/AC，
∴BP⊥AC，∴此时异面直线BP与AC所成角正弦值为1，故C不正确；
对于D：以D为坐标原点，DA，DC，DD所在直线为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系，

设A1P=λA1C1，B1M=μB1C，(0≤λ,μ≤1)，
可得P(4−4λ,4λ,4)，M(4−4u,4,4−4μ)，
∴|PM|= (4λ−4μ)2+(4−4λ)2+(−4μ)2=4 λ2−2λμ+μ2+1−2λ+λ2+μ2
=4 ( 22λ− 2μ)2+32(λ−23)2+13≥4 33，
当且仅当λ=23，μ=13取等号，故D正确．
故选：ABD．
由已知可得P∈A1C1，结合每个选项的条件逐项计算可判断其正确性．
本题考查空间几何体的性质，考查推理论证能力，考查运算求解能力，属中档题．

13.【答案】 2 
【解析】解：∵B=45°，A=105°，
∴C=180°−A−B=30°，
由正弦定理得，bsinB=csinC，
即2sin45∘=csin30∘，
解得c= 2．
故答案为： 2．
先利用三角形内角和为180°求出角C，再利用正弦定理求解即可．
本题主要考查了正弦定理的应用，属于基础题．

14.【答案】2π3 
【解析】解：∵|a|=12,|b|=1，且a⊥(a+b)，
∴a⋅(a+b)=a2+a⋅b=14+a⋅b=0，
∴a⋅b=−14，
∴cos=a⋅b|a||b|=−1412=−12，且∈[0,π]，
∴=2π3．
故答案为：2π3．
可知：|a|=12,|b|=1，根据a⊥(a+b)得出a⋅(a+b)=0，进行数量积的运算求出a⋅b的值，然后即可求出cos的值，从而可得出的值．
本题考查了向量垂直的充要条件，向量数量积的运算，向量夹角的余弦公式，考查了计算能力，属于基础题．

15.【答案】84π 
【解析】解：设上下底的半径分别为r，R
则母线，高，R−r构成一个直角三角形，
母线为斜边5，高为直角边4，通过勾股定理得到R−r=3，即R=3+r
圆台的侧面积公式
s=π(r+R)l
=π(r+3+r)
=π(2r+3)
=45π
r=3，则R=6
∴圆台的体积：
V=13πh(R2+Rr+r2)=13π×4×(36+18+9)=84π．
故答案为：84π．
设上下底的半径分别为r，R则母线，高，R−r构成一个直角三角形，母线为斜边5，高为直角边4，通过勾股定理得到R−r=3，即R=3+r，圆台的侧面积公式s=π(r+R)l=45π，求出r=3，则R=6，由此能求出圆台的体积．
本题考查圆台的体积的求法，考查圆台的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．

16.【答案】 7  2π 
【解析】解：由题意可得BD⊥AD，BD⊥DC，AD∩DC=D，
∴BD⊥平面ADC，∵AD=3，AB=5，∴BD=4，
当AC=3时，
△ADC是等边三角形，其外接圆半径为r=12×ADsin60∘=12×3 32= 3，
∴设三棱锥C−ABD的外接球半径为R，
∴R2=( 3)2+(12×4)2=7，∴R= 7，

当AC=3 2，△ADC为直角三角形，且∠ADC=90°，
可以D为正方体的一个顶点，DB，DC，DA为同一个顶点处的三条棱将三棱锥补成一个正方体，
则正方体的体对角线为其外接球的直径，设外接球半径为R′，记外接球的球心为O，
作出正方体的一部分如图所示，AF为正方体的体对角线，

则有(2R′)2=32+32+42=34，∴R′= 342，
∵AE=2ED，∴AE=2，又OA=R′= 342，
cos∠OAE=cos∠FAD=ADAF=3 34，
由余弦定理可得EO2=OA2+AE2−2AO×AE×cos∠OAE=( 342)2+22−2× 342×3 34=264，
当过点E的截面与OE垂直时，截面圆的半径最小，最小值为r′= R′2−EO2= 2，
∴截面圆面积的最小值为πr′2=2π．
故答案为： 7；2π．
利用空间几何体的性质，分别求得两种情况下的外接球的半径可得结论．
本题考查空间几何体的外接球的半径的求法，考查余弦定理的应用，属中档题．

17.【答案】解：(1)由频率分布直方图可得，人数最多的为[4,6)，所以众数为(4+6)÷2=5．
[12,14]的人数占比为2×0.02=0.04，[10,12)的人数占比为2×0.04=0.08，[8,10)的人数占比为2×0.08=0.16，
所以该示范区100位居民可支配收入的80%分位数落在区间[8,10)内，
设该示范区100位居民可支配数入的80%分位数为x，
则0.08(10−x)+0.08+0.04=0.2，解得x=9，
故该示范区100位居民可支配收入的80%分位数为9．
(2)该示范区居民可支配收入的平均数为：
1×2×0.01+3×2×0.09+5×2×0.16+7×2×0.10+9×2×0.08+11×2×0.04+13×2×0.02=6.4(万元)，
64000>36883，
设该示范区100位居民可支配收入的中位数为y，
则2×0.01+2×0.09+(y−4)×0.16=0.5，解得y=5.875(万元)．
5.875÷6.4≈91.8%>85.1%，
所以该示范区起到了示范作用． 
【解析】(1)根据频率直方图估计众数和80%分位数即可；
(2)首先根据频率直方图估计中位数和平均数，在结合平均数和中位数求解即可．
本题考查数据的数字特征，属于基础题．

18.【答案】解：(1)证明：连接BD，交AC于点O，连接OE，
在△PBD中，O，E分别为BD，BP的中点，
所以OE/​/PD，
因为PD⊄面AEC，OE⊂面AEC，
所以PD/​/面AEC．
(2)取PD中点F，连接AF，CF，
因为PA=AD，
所以AF⊥PD，
因为AD⊥CD，PA⊥CD，PA∩AD=A，
所以CD⊥面PAD，
又AF⊂面PAD，
所以CD⊥AF，
又因为CD∩PD=D，
所以AF⊥面PCD，
所以∠ACF为AC与平面PCD所成角，
设PA=AB=a，则AF= 22a，CF= 62a，
所以tan∠ACF=AFCF= 33，
所以AC与平面PCD所成角的正切值为 33． 
【解析】(1)连接BD，交AC于点O，连接OE，由中位线定理可得OE/​/PD，由线面平行的判定定理可得PD/​/面AEC．
(2)取PD中点F，连接AF，CF，根据题意可得AF⊥面PCD，则∠ACF为AC与平面PCD所成角，则tan∠ACF=AFCF，即可得出答案．
本题考查直线与平面的位置关系，解题中需要理清思路，属于中档题．

19.【答案】解：(1)∵AE=12EC，∴AE=13AC，
∵2BF=3FE，
由分点恒等式得：AF=35AE+25AB=35×13AC+25AB=25AB+15AC；
(2)∵AD=12AB，∴AB=2AD，
∵AE=12EC，∴AC=3AE，
∵B，G，E三点共线，
∴AG=mAB+(1−m)AE=2mAD+(1−m)AE，
∵D，G，C三点共线，
∴AG=nAD+(1−n)AC=nAD+3(1−n)AE，
由平面向量基本定理有：2m=n1−m=3(1−n)，∴m=25n=45，
∴AG=45AD+35AE，
∵AG=λAE+μAD，
∴λ=35，μ=45，
∴λ+μ=75． 
【解析】(1)由平面向量得线性运算计算即可；
(2)由平面向量的线性运算和平面向量基本定理计算可得．
本题考查平面向量的线性运算和平面向量基本定理，属于基础题．

20.【答案】解：(1)因为a2−cosA=bcosB，所以acosB=2b−bcosA，
由正弦定理得sinAcosB+sinBcosA=2sinB，所以sinC=2sinB，
所以cb=2．
(2)设∠BAD=∠CAD=θ，因为BDDC=S△ABDS△ACD=12AB⋅AD⋅sinθ12AC⋅AD⋅sinθ=ABAC=cb=2．
又BD+DC=BC=3，所以BD=2，DC=1．
在△ADB中，由余弦定理得BD2=c2+AD2−2⋅c⋅AD⋅cosθ，
在△ADC中，由余弦定理得DC2=b2+AD2−2⋅b⋅AD⋅cosθ，
 将AD=2 2代入，解得c=2 5，b= 5，
所以cosA=b2+c2−a22x=45，
因为A∈(0,π)，所以sinA=35，所以S△ABC=12bcsinA=3． 
【解析】(1)由已知可得sinAcosB+sinBcosA=2sinB，计算可得sinC=2sinB，可求cb的值；
(2)设∠BAD=∠CAD=θ，由已知可得BDDC=cb=2，进而可求BD，CD，结合余弦定理可得c=2 5，b= 5，进而可求△ABC的面积．
本题考查正余弦定理的应用，考查三角形的面积公式，属中档题．

21.【答案】解：(1)按方案一进行第一次游戏，记甲的积分为a，分析可知a∈{−2,−1,0,1,2}，
且出现的概率相同，均为15，
按方案一进行第二次游戏，记甲的积分为b，分析可知b∈{−2,−1,0,1,2}，
且出现的概率相同，均为15，样本空间Ω={(a,b)|a，b∈{−2,−1,0,1,2}}，
每个样本点出现的概率相等，均为15×15=125，
设按方案一进行两次游戏后甲的积分之和为1分为事件A，
则A={(−1,2)，(0,1)，(1,0)，(2,−1)}，所以P(A)=4×125=425；
(2)甲应该选择方案二，理由如下：
设两次游戏甲的积分分别为m，n，两次游戏后甲的积分和超过1分记为事件B．
若按方案一进行两次游戏，
由(1)知，B={(0,2)，(1,1)，(1,2)，(2,0)，(2,1)，(2,2)}，
所以P(B)=6×12=655，
若按方案二进行两次游戏，则样本空间Ω={(m,n)|m，n∈(−2,−1,1,2}}，
每个样本点出现的概率相等，均为14×14=116，
则B={(1,1)，(1,2)，(2,1)，(2,2)}，所以P(B)=4×116=14，
因为625<14，所以甲应该选择方案二． 
【解析】(1)依据方案一计算进行两次游戏后甲的积分之和为1分的概率即可；
(2)分别计算两种方案下甲的积分之和超过1分的概率可得结论．
本题考查优选方案问题，考查概率的计算，属中档题．

22.【答案】证明：(1)因为BC/​/平面OMNP，BC⊂平面BCD，平面BCD∩平面OMNP=OP，所以BC/​/OP，
同理，BC/​/MN，所以MN/​/OP，
因为AD/​/平面OMNP，AD⊂平面ADB，平面ADB∩平面OMNP=OM，所以AD/​/OM，
同理，AD//PN，所以PN//OM，所以四边形OMNP为平行四边形，
取BC的中点H，连接AH，DH，

因为AB=AC，DB=DC，所以BC⊥AH，BC⊥DH，
而AH∩DH=H，所以BC⊥平面ADH，
又AD⊂平面ADH，所以BC⊥AD，而OP//BC，OM/​/AD，所以OP⊥OM，
所以四边形OMNP为矩形；
解：(2)由题意可知该三棱锥的所有棱长均为3，
过点D作DG⊥平面ABC，垂足为G，

可得CG= 3，所以DG= CD2−CG2= 6，
连接MP，PB，此多面体MNPOBC由四棱锥P−MNCB和三棱锥P−MOB两部分组成，
因为DP=13DC，所以点P到平面MNCB的距离为2 63，
S四边形MNCB=89×S△ABC=89×12×3×3 32=2 3，故VP−MNCB=13×2 3×2 63=4 23，
S△MOB=49×S△ABD=49×12×3×3 32= 3，点P到平面OMB的距离为 63，
故VP−MOB=13× 3× 63= 23，
所以多面体MNPOBC的体积为4 23+ 23=5 23． 
【解析】(1)利用线面平行的性质定理得到四边形OMNP为平行四边形，取BC的中点H，连接AH，DH，利用线面垂直即可得证；
(2)由题意可知该三棱锥的所有棱长均为3，过点D作DG⊥平面ABC，垂足为G，连接MP，PB，此多面体MNPOBC由四棱锥P−MNCB和三棱锥P−MOB两部分组成，利用棱锥体积公式即可求解．
本题考查了线面平行、线面垂直的应用和多面体的体积计算，属于中档题．