初中数学北师大版九年级下册1 圆单元测试综合训练题

这是一份初中数学北师大版九年级下册1 圆单元测试综合训练题，共27页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
第三单元《圆》测试卷（含答案解析）
考试范围：第三单元； 考试时间：120分钟；总分：120分，
第I卷（选择题）
一、选择题（本大题共12小题，共36分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 如图，△ABC中，AB=5，AC=4，BC=2，以A为圆心AB为半径作圆A，延长BC交圆A于点D，则CD长为(    )

A. 5 B. 4 C. 92 D. 25
2. 下列各图形中，各个顶点一定在同一个圆上的是．(    )
A. 正方形 B. 菱形 C. 平行四边形 D. 梯形
3. 点A、C为半径是3的圆周上两点，点B为AC的中点，以线段BA、BC为邻边作菱形ABCD，顶点D恰在该圆直径的三等分点上，则该菱形的边长为(    )
A. 5或22 B. 5或23 C. 6或22 D. 6或23
4. 如图，在⊙O中，AB切⊙O于点A，连接OB交⊙O于点C，过点A作AD/​/OB交⊙O于点D，连接CD.若∠B=50°，则∠OCD为(    )

A. 15° B. 20° C. 25° D. 30°
5. 已知四个正六边形如图摆放在圆中，顶点A，B，C，D，E，F在圆上．若两个大正六边形的边长均为2，则小正六边形的边长是(    )
A. 3−3 B. 23−12
C. 3+12 D. 13−12
6. 如图，直径为10的⊙A经过点C(0,5)和点O(0,0)，B是y轴右侧⊙A优弧上一点，则∠OBC的余弦值为(    )

A. 12 B. 34 C. 32 D. 45
7. 如图，在边长为4的正方形ABCD中，以点B为圆心，AB为半径画弧，交对角线BD于点E，则图中阴影部分的面积是(结果保留π)(    )
A. 8−π
B. 16−2π
C. 8−2π
D. 8−12π
8. 下列命题中，正确的命题个数是(    )
①顶点在圆周上的角是圆周角；
②圆周角度数等于圆心角度数的一半；
③90°的圆周角所对的弦是直径；
④圆周角相等，则它们所对的弧也相等．
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
9. 如图，四边形ABCD内接于⊙O，DA=DC，∠CBE=50°，∠AOD的大小为(    )
A. 130°
B. 100°
C. 120°
D. 110°


10. 如图，Rt△ABC中，∠BCA=90°，将Rt△ABC绕点A按逆时针方向旋转30°得到Rt△AB′C′，点Bˈ在直线AC上，若BC=1，则点C和△ABˈC′外心之间的距离是(    )

A. 1 B. 3−1 C. 2−3 D. 3
11. 如图，将大小不同的两块量角器的零度线对齐，且小量角器的中心O2，恰好在大量角器的圆周上，设图中两圆周的交点为P，且点P在小量角器上对应的刻度为63°，那么点P在大量角器上对应的刻度为(只考虑小于90°的角)(    )

A. 54° B. 55° C. 56° D. 57°
12. 已知⊙O的半径为7，AB是⊙O的弦，点P在弦AB上．若PA=4，PB=6，则OP长为(    )
A. 14 B. 4 C. 23 D. 5
第II卷（非选择题）
二、填空题（本大题共4小题，共12分）
13. 已知AB和AC是⊙O的两条弦，∠BAC=57∘，M，N分别是AB，AC的中点，则∠MON的度数为          ．
14. 如图所示，点C在AB上，若AB=1+3，AC=2，∠BAC=45∘，则AB的长度为          ．

15. 如图，在△ABC中，O为BC边上的一点，以O为圆心的半圆分别与AB，AC相切于点M，N.已知∠BAC=120°，AB+AC=16，MN的长为π，则图中阴影部分的面积为______．

16. 如图，已知AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，连接OC交⊙O于点D，连接BD.若∠C=40°，则∠B的度数是______°.


三、解答题（本大题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. (本小题8.0分)
如图所示，破残的圆形轮片上，弦AB的垂直平分线交弧AB于点C，交弦AB于点D.已知AB=24 cm，CD=8 cm．

(1)求作此残片所在的圆(不写作法，保留作图痕迹)；
(2)求(1)中所作圆的半径．

18. (本小题8.0分)
如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，AD与过点C的切线互相垂直，垂足为D.连接BC并延长，交AD的延长线于点E．

(1)求证：AE=AB；
(2)若AB=10，BC=6，求CD的长．
19. (本小题8.0分)
如图，AB=BC，以BC为直径作⊙O，AC交⊙O于点E，过点E作EG⊥AB于点F，交CB的延长线于点G．
(1)求证：EG是⊙O的切线；
(2)若GF=23，GB=4，求⊙O的半径．

20. (本小题8.0分)
如图，在△ABC中，∠C=90°，AC+BC=8，点O是斜边AB上一点，以O为圆心的⊙O分别与AC，BC相切于点D，E．

(1)当AC=2时，求⊙O的半径；
(2)设AC=x，⊙O的半径为y，求y与x的函数关系式．
21. (本小题8.0分)
已知锐角三角形ABC的外接圆圆心为O，半径为R．

(1)求证：ACsinB=2R;
(2)若△ABC中∠A=45∘，∠B=60∘，AC=3，求BC的长及sinC的值．

22. (本小题8.0分)
如图，CD是⊙O的直径，∠A=∠D，割线AB交⊙O于E点，交CD于F点，连接BC、DE、CE，CE=EF．
(1)求证：AC是⊙O的切线；
(2)若∠CAB=30°，AE=4．
①求证：BE是直径；
②求BD的长．(结果保留π)．

23. (本小题8.0分)
已知：如图，AB是⊙O的弦，半径OC，OD分别交AB于点E，F，且OE=OF．

求证：AE=BF．
24. (本小题8.0分)
如图，点D(0,1)是y轴上的点，⊙D交y轴于点A，B，交x轴于点C，直线CP：y=−22x−8与y轴交于点P．

(1)求证：PC是⊙D的切线．
(2)在直线PC上是否存在点E，使得S△EOC=4S△CDO，若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．

25. (本小题8.0分)
如图，在△ABC中，∠ACB=90°，点D是AB边的中点，点O在AC边上，⊙O经过点C且与AB边相切于点E，∠FAC=12∠BDC．
(1)求证：AF是⊙O的切线；
(2)若BC=6，sinB=45，求⊙O的半径及OD的长．


答案和解析

1.【答案】C 
【解析】
【分析】本题主要考查勾股定理的应用及圆的有关性质。连接AD，并作BD边上的垂线，由于AB与AD均为圆的半径，则△ADB为等腰三角形，由三线合一的性质可知DE=BE，在Rt△AEB和Rt△AEC中，利用勾股定理即可求得EC的长度，从而可求CD的长度。
【解答】
连接AD，过点A作BD边上的垂线，垂足为E，如图所示：

因为AE⊥BD，则△AEC与△AEB均为直角三角形；
设AE=x，EC=y，由勾股定理得：
x2+y2=42①，
x2+(y+2)2=52②，
联立①②可得：y=54，
则EC=54，
因为AB、AD均为圆A的半径，所以△ADB为等腰三角形，利用三线合一的性质可知：ED=EB，
则CD=54+54+2=92。
故答案为：C．  
2.【答案】A 
【解析】解：∵正方形对角线相等且互相平分，
∴四个顶点到对角线交点距离相等，
∴正方形四个顶点定可在同一个圆上．
故选：A．
四个顶点可在同一个圆上的四边形，一定有一点到它的四个顶点的距离都相等，因而B、C、D都是错误的；正方形的四个顶点到对角线的交点的距离都相同，因而正方形的四个顶点一定可以在同一个圆上．
此题主要考查了圆的认识，能够理解四个顶点在同一个圆上的条件是解决本题的关键．

3.【答案】D 
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理，菱形的性质，正确的作出图形是解题的关键．过点B作直径，连接AC交BO于E，如图①，根据D在直径的三等分点上，得到BD=2，根据菱形的性质BE=DE=1，从而得到OE=2，连续利用两次勾股定理即可得到AD=6；如图②，BD=23×2×3=4，求得OD=1，根据菱形的性质得到BE=ED=2，求得OE=1，连续利用两次勾股定理即可得到AD=23．
【解答】
解：本题分两种情况讨论：如图1所示，BD=2，连结OA，AC，设AC交BD于点E，

图1
则AE⊥BD，BE=ED=1，OE=2，
在Rt△AEO中，AE2=OA2−OE2=9−4=5，
在Rt△AED中，AD2=AE2+ED2=5+1=6，
∴AD=6，即此时菱形的边长为6;
如图2所示，BD=4，同理，有OE=OD=1，

图2
在Rt△AEO中，AE2=OA2−OE2=9−1=8，
在Rt△ADE中，AD2=AE2+ED2=8+4=12，
∴AD=23，即此时菱形的边长为23．
综上可知，该菱形的边长为6或23．
  
4.【答案】B 
【解析】解：如图，连接OA．

∵AB切⊙O于点A，
∴OA⊥AB．
∴∠OAB=90°．
∵∠B=50°，
∴∠AOB=90°−50°=40°．
∴∠ADC=12∠AOB=20°．
∵AD/​/OB，
∴∠OCD=∠ADC=20∘．


5.【答案】D 
【解析】解：连接AD交PM于O，则点O是圆心，过点O作ON⊥DE于N，连接MF，取MF的中点G，连接GH，GQ，
由对称性可知，OM=OP=EN=DN=1，
由正六边形的性质可得ON=23，
∴OD=DN2+ON2=13=OF，
∴MF=13−1，
由正六边形的性质可知，△GFH、△GHQ、△GQM都是正三角形，
∴FH=12MF=13−12，
故选：D．
在边长为2的大正六边形中，根据正六边形和圆的性质可求出ON和半径OD，进而得出小正六边形对应点的距离MF，再根据正六边形的性质求出半径GF，即边长FH即可．
本题考查正多边形和圆，掌握正六边形和圆的性质是解决问题的关键．

6.【答案】C 
【解析】
【分析】
本题考查了圆周角定理和平面直角坐标系及解直角三角形的相关知识，能够作出辅助线是解题的关键．
作直径OE，连接CE，则OE=10，根据圆周角定理得出∠E=∠B，解直角三角形求出∠OBC的余弦值即可．
【解答】

解：如图，作直径OE，连接CE，则OE=10，根据圆周角定理得：∠E=∠B，
∵OE为直径，
∴∠OCE=90°，
∵C(0,5)，
∴OC=5，
根据勾股定理CE=OE2−OC2=102−52=53，
∴cos∠OBC=cos∠E=CEOE=5310=32，
故答案为C．  
7.【答案】C 
【解析】
【分析】
本题考查扇形的面积的计算，正方形的性质等知识，解题的关键是学会用分割法求阴影部分面积．
根据S阴=S△ABD−S扇形ABE计算即可．
【解答】
解：S阴=S△ABD−S扇形ABE=12×4×4−45⋅π⋅42360=8−2π，
故选：C．  
8.【答案】A 
【解析】
【分析】
此题主要考查了圆周角定理及推论，熟练地记忆圆周角定理的定理与推论是解决问题的关键．
根据圆周角定理的定义，定理与推论进行分析即可．
【解答】
解：根据圆周角定理可知：①顶点在圆周上且两边与圆相交的角是圆周角，故此选项错误；
②圆周角的度数等于圆心角度数的一半；根据在同圆和等圆中，同弧或等弧所对圆周角等于圆心角的一半，故此选项错误；
③90°的圆周角所对的弦是直径；根据圆周角定理推论可知，此选项正确；
④在同圆或等圆中，圆周角相等，则它们所对的弧相等，此选项错误；
正确的有③．
故选A．  
9.【答案】A 
【解析】解：∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠ADC+∠ABC=180°，
∵∠ABC+∠CBE=180°，
∴∠ADC=∠CBE=50°，
∵DA=DC，
∴∠DAC=∠ACD=12×(180°−50°)=65°，
∴∠AOD=2∠ACD=130°．
故选A．
本题考查圆内接四边形的性质，等腰三角形的性质，以及圆周角定理．
首先证明∠ADC=∠CBE，再利用等腰三角形的性质求出∠ACD的度数，利用圆周角定理即可解决问题．

10.【答案】B 
【解析】
【分析】
本题主要考查了三角形的外接圆与外心以及旋转的性质和勾股定理的运用，熟知锐角三角形的外心在三角形的内部;直角三角形的外心为直角三角形斜边的中点;钝角三角形的外心在三角形的外部，是解题的关键.设△AB′C′外心为点O，因为△AB′C′是直角三角形，所以外心在斜边AB′的中点，易求AO的长和AC的长，进而可求出OC的长，即点C和△AB′C′外心之间的距离．
【解答】
解：∵将Rt△ABC绕点A按逆时针方向旋转30∘得到Rt△AB′C′，点B′在直线AC上，
∴∠C′AB′=∠B′AB=30∘，
∵BC=1，
∴AB=AB′=2

∴AC=AB2−BC2=3，
设△AB′C′外心为点O，∠C′=90∘，
∴外心O在斜边AB′的中点处，
∴AO=12AB′=1，
∴OC=3−1，
故选：B．  
11.【答案】A 
【解析】
【分析】
本题考查了圆心角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．
连接O1P，O2P，如图，先根据O1P=O2O1得到∠O1PO2=∠O1O2P=63°，然后根据三角形内角和求出∠PO1O2即可．
【解答】
解：连接O1P，O2P，如图，

∵P在小量角器上对应的刻度为63°，
即∠O1O2P=63°，
而O1P=O2O1，
∴∠O1PO2=∠O1O2P=63°，
∴∠PO1O2=180°−63°−63°=54°，
即点P在大量角器上对应的刻度为54°(只考虑小于90°的角)．
故选：A．  
12.【答案】D 
【解析】解：如图，过点O作OC⊥AB于点C，连接OB，
则OB=7，

∵PA=4，PB=6，
∴AB=PA+PB=10，
∵OC⊥AB，
∴AC=BC=5，
∴PC=PB−BC=1，
在Rt△OBC中，根据勾股定理得：
OC2=OB2−BC2=72−52=24，
在Rt△OPC中，根据勾股定理得：
OP=OC2+PC2=24+1=5，
故选：D．
过点O作OC⊥AB于点C，连接OB，根据垂径定理可得AC=BC=5，所以PC=PB−BC=1，根据勾股定理即可解决问题．
本题考查了垂径定理，勾股定理，解决本题的关键是掌握垂径定理．

13.【答案】123∘或57∘ 
【解析】∵M，N分别是AB，AC的中点，
∴OM⊥AB，ON⊥AC，
∴∠AMO=90∘，∠ANO=90∘．
当圆心在∠BAC内时(如图 ①所示)，
∵∠BAC=57∘，
∴∠MON=360∘−90∘−90∘−57∘=123∘．
当圆心在∠BAC外时(如图 ②所示)，设OM交AC于点D．
∵∠ADM=∠ODN，∠AMD=∠OND，
∴∠BAC=∠MON=57∘．
综上，∠MON的度数为123∘或57∘．



14.【答案】526π 
【解析】如图所示，设圆心为O，连接OA，OB，OC，BC，过点C作CT⊥AB于点T．

∵∠CTA=90∘，∠CAT=45∘，AC=2，
∴AT=TC=1．
∵AB=1+3，
∴BT=3，
∴tan∠CBT=CTBT=33，
∴∠CBT=30∘，
∴∠AOC=2∠CBT=60∘，∠COB=2∠CAB=90∘．
∵OA=OC，
∴△AOC是等边三角形，
∴OA=2，∠AOB=150∘，
∴AB的长度为150×π×2180=526π．


15.【答案】24−33−3π 
【解析】解：如图，连接OM、ON，

∵半圆分别与AB，AC相切于点M，N．
∴OM⊥AB，ON⊥AC，
∵∠BAC=120°，
∴∠MON=60°，
∴∠MOB+∠NOC=120°，
∵MN的长为π，
∴60πr180=π，
∴r=3，
∴OM=ON=r=3，
连接OA，
在Rt△AON中，∠AON=30°，ON=3，
∴AN=3，
∴AM=AN=3，
∴BM+CN=AB+AC−(AM+AN)=16−23，
∴S阴影=S△OBM+S△OCN−(S扇形MOE+S扇形NOF)
=12×3×(BM+CN)−(120π×32360)
=32(16−23)−3π
=24−33−3π
故答案为：24−33−3π．
连接OM、ON，根据半圆分别与AB，AC相切于点M，N.可得OM⊥AB，ON⊥AC，由∠BAC=120°，可得∠MON=60°，得∠MOB+∠NOC=120°，再根据MN的长为π，可得OM=ON=r=3，连接OA，根据Rt△AON中，∠AON=30°，ON=3，可得AM=AN=3，进而可求图中阴影部分的面积．
本题考查了切线的性质、弧长的计算、扇形面积的计算，解决本题的关键是掌握弧长和扇形面积的计算公式．

16.【答案】25 
【解析】解：∵AC是⊙O的切线，
∴OA⊥AC，
∴∠OAC=90°，
∴∠AOC=90°−∠C=90°−40°=50°，
∴∠OBD=12∠AOC=25°，
即∠ABD的度数为25°，
故答案为：25．
先根据切线的性质得∠OAC=90°，再利用互余计算出∠AOC=90°−∠C=50°，由圆周角定理得出∠OBD=12∠AOC=25°，即可得解．
本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了圆周角定理．

17.【答案】解：(1)作弦AC(或BC)的垂直平分线与弦AB的垂直平分线交于O点，以O为圆心，OA(或OB、OC)长为半径作圆，⊙O就是此残片所在的圆，如图．

(2)如图，连接OA，设OA=x cm，则OD=(x−8)cm．

∵AB=24 cm，
∴AD=12AB=12×24=12(cm)．
根据勾股定理列方程，得x2=122+(x−8)2，
解得x=13．
故所作圆的半径为13 cm． 
【解析】本题主要考查了尺规作图，垂径定理，中垂线的性质，勾股定理，熟练掌握垂径定理是解决此题的关键．
(1)由垂径定理知，垂直于弦的直径是弦的中垂线，故作AC，BC的中垂线交于点O，则点O是弧ACB所在圆的圆心；
(2)在Rt△OAD中，由勾股定理可求得半径OA的长．

18.【答案】(1)证明：连接AC、OC，如图，


∵CD为切线，
∴OC⊥CD，
∵CD⊥AD，
∴OC/​/AD，
∴∠OCB=∠E，
∵OB=OC，
∴∠OCB=∠B，
∴∠B=∠E，
∴AE=AB；
(2)解：∵AB为直径，
∴∠ACB=90°，
∴AC=102−62=8，
∵AB=AE=10，AC⊥BE，
∴CE=BC=6，
∵12CD⋅AE=12AC⋅CE，
∴CD=6×810=245． 
【解析】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径；若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．也考查了圆周角定理．
(1)连接AC、OC，根据切线的性质得到OC⊥CD，则可判断OC//AD，所以∠OCB=∠E，然后证明∠B=∠E，从而得到结论；
(2)利用圆周角定理得到∠ACB=90°，则利用勾股定理可计算出AC=8，再根据等腰三角形的性质得到CE=BC=6，然后利用面积法求出CD的长．

19.【答案】解：(1)连接OE．
∵AB=BC，
∴∠A=∠C；
∵OE=OC，
∴∠OEC=∠C，
∴∠A=∠OEC，
∴OE/​/AB，
∵BA⊥GE，
∴OE⊥EG，且OE为半径；
∴EG是⊙O的切线；
(2)∵BF⊥GE，
∴∠BFG=90°，
∵GF=23，GB=4，
∴BF=BG2−GF2=2，
∵BF/​/OE，
∴△BGF∽△OGE，
∴BFOE=BGOG，
∴2OE=44+OE，
∴OE=4，
即⊙O的半径为4． 
【解析】本题考查了切线的性质和判定，勾股定理，相似三角形的判定和性质，关键是灵活运用切线的判定解决问题．
(1)连接OE，根据等腰三角形的性质和平行线的性质即可得到结论；
(2)根据勾股定理和相似三角形的判定和性质定理即可得到结论．

20.【答案】解：(1)连接OE，OD，

在△ABC中，∠C=90°，AC+BC=8，
∵AC=2，
∴BC=6；
∵以O为圆心的⊙O分别与AC，BC相切于点D，E，
∴四边形OECD是正方形，
tanB=tan∠AOD=ADOD=2−ODOD=13，
解得：OD=32，
∴圆的半径为32．
(2)∵AC=x，BC=8−x，
在直角三角形ABC中，tanB=ACBC=x8−x，
∵以O为圆心的⊙O分别与AC，BC相切于点D，E，
∴四边形OECD是正方形．
tan∠AOD=tanB=ACBC=ADOD=x−yy，
解得y=−18x2+x． 
【解析】本题主要考查了圆与三角函数，二次函数的综合，关键是利用圆的切线的性质．
(1)连接OD，OE，由△ABC是直角三角形，以O为圆心的⊙O分别与AC，BC相切于点D，E，可知OD/​/BC，在△ADO中，从而解得半径。
(2)由题意可知，OD/​/BC，∠AOD=∠B，则两角正切值相等，然后列出等式，从而得出答案。

21.【答案】解：(1)证明：如图1，连接AO并延长交⊙O于D，连接CD.则∠ACD=90∘，∠B=∠D. ∵sinB=sinD=ACAD=AC2R， ∴ACsinB=2R;
(2)∵ACsinB=2R，同理可得ACsinB=ABsinC=BCsinA=2R. ∴2R=3sin60∘=2．∴BC=2R⋅sinA=2sin45∘=2.如图2，过C作CE⊥AB于E. ∴BE=BC⋅cosB=2cos60∘=22，AE=AC⋅cosA= 3⋅cos45∘=62. ∴AB=AE+BE=6+22. ∴sin∠ACB=AB2R=6+24．

 
【解析】略

22.【答案】(1)证明：∵CD是⊙O的直径，
∴∠CED=90°，
∴∠D+∠DCE=90°，
∵CE=EF，
∴∠ECF=∠CFE，
∵∠A=∠D，
∴∠A+∠EFC=90°，即CD⊥AC，
∴AC为⊙O的切线；
(2)解：①∠B=∠D=∠A=30°，
由(1)可知AC为⊙O的切线，
∴∠ACD=90°，
在△ABC中
∠A+∠B+∠ACB=180°，
∴∠ACB=180°−30°−30°=120°，
∴∠BCD=∠ACB−∠ACD=30°，
∵∠A+∠AFC=90°，
∴∠AFC=60°，
∵CE=EF，
∴∠ECF=∠AFC=60°，
∴∠ECB=60°+30°=90°
∴BE是⊙O的直径；
②∵BE是⊙O的直径，
∴O与F点重合，
∴∠BOD=60°，
∵∠ACF=90°，∠ECF=60°，
∴∠ACE=30°，
∴CE=AE=4，
在Rt△BCE中，
∵∠B=30°，
∴BE=2CE=8，
∴BD的长为60⋅π×4180=43π. 
【解析】本题考查了切线的判定和性质，圆周角定理，三角形的内角和，弧长的计算，正确的识别图形是解题的关键．
(1)根据圆周角定理得到∠CED=90°，求得∠ECF=∠CFE，根据切线的性质健康得到结论；
(2)解：①∠B根据三角形的内角和得到∠BCD=30°，求得∠ECF=60°，根据圆周角定理得到BE是⊙O的直径；
②根据三角形的内角和得到∠ACE=30°，根据弧长公式即可得到结论．

23.【答案】证明：如图，过点O作OM⊥AB于点M，

则AM=BM．
又∵OE=OF，OM⊥EF，
∴EM=FM，
∴AM−EM=BM−FM，
即AE=BF． 
【解析】本题考查了垂径定理．平分弦所对一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧．过点O作OM⊥AB于点M.根据垂径定理得到AM=BM.然后利用等腰三角形“三线合一”的性质推知EM=FM，故AE=BE．

24.【答案】(1)证明：∵直线CP的解析式为y=−22x−8，
∴P(0,−8)，则OP=8，
解方程−22x−8=0，
得x=−22，
∴C(−22,0)，则OC=22，
∴PC=OC2+OP2=(22)2+82=62，
CD=OC2+OD2=(22)2+12=3，
PD=OD+OP=1+8=9，
∵CD2+PC2=32+(62)2=92=PD2，
∴△DCP为直角三角形，∠DCP=90°．
则PC为⊙D的切线；
(2)解：存在．设点E(x,y)，
由S△OCE=4S△CDO，得12×OC×|y|=4×12OC⋅OD，
即12×22×|y|=4×12×22×1，
解得y=4或y=−4．
当y=4时，
解方程−22x−8=4，
解得x=−32，
当y=−4时，
解方程−22x−8=−4，
解得x=−2．
∴E1(−32,4)，E2(−2,−4)． 
【解析】本题考查的知识点是一次函数综合题，圆的综合题，切线的判断，勾股定理及其逆定理的应用，综合理解题意是解题的关键．
(1)先求出点P，点C的坐标，得出OP，OC的长度，进而得到OP，CD，CP的长度，再利用勾股定理逆定理判断△DCP为直角三角形，∠DCP=90°.从而可得出证明．
(2)设点E(x,y)，由S△OCE=4S△CDO，得12×OC×|y|=4×12OC⋅OD，得出y的值，将其代入直线CP的函数解析式，即可求出点E的坐标．

25.【答案】(1)证明：如图，作OH⊥FA，垂足为H，连接OE，

∵∠ACB=90°，D是AB的中点，
∴CD=AD=12AB，
∴∠CAD=∠ACD，
∵∠BDC=∠CAD+∠ACD=2∠CAD，
又∵∠FAC=12∠BDC，
∴∠FAC=∠CAB，
即AC是∠FAB的平分线，
∵点O在AC上，⊙O与AB相切于点E，
∴OE⊥AB，且OE是⊙O的半径，
∴OH=OE，OH是⊙O的半径，
∴AF是⊙O的切线；
(2)解：如图，在△ABC中，∠ACB=90°，BC=6，sinB=45，
∴可设AC=4x，AB=5x，
∴(5x)2−(4x)2=62，
∴x=2，
则AC=8，AB=10，
设⊙O的半径为r，则OC=OE=r，
∵Rt△AOE∽Rt△ABC，
∴OEAO=BCAB，
即r8−r=610，
∴r=3，
∴AE=4，
又∵AD=5，
∴DE=1，
在Rt△ODE中，由勾股定理得：OD=10． 
【解析】(1)作OH⊥FA，垂足为H，连接OE，利用直角三角形斜边上中线的性质得AD=CD，再通过导角得出AC是∠FAB的平分线，再利用角平分线的性质可得OH=OE，从而证明结论；
(2)根据BC=6，sinB=45，可得AC=8，AB=10，设⊙O的半径为r，则OC=OE=r，利用Rt△AOE∽Rt△ABC，可得r的值，再利用勾股定理求出OD的长．
本题主要考查了圆的切线的性质和判定，直角三角形的性质，三角函数，相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识，熟练掌握切线的判定与性质是解题的关键．