天津市部分区2023届高三下学期质量调查（一）数学试卷（含答案）

这是一份天津市部分区2023届高三下学期质量调查（一）数学试卷（含答案），共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，双空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

天津市部分区2023届高三下学期质量调查（一）数学试卷
学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、选择题
1、设全集，集合，，则( )
A. B. C. D.
2、设，，则“”是“”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
3、函数在图像大致为( )
A. B.
C. D.
4、为了解某校今年准备报考飞行员的学生的体重情况，对所得的体重数据（单位：）进行分组，区间为，，，，将其按从左到右的顺序分别编号为第一组，第二组，....，第五组.画出频率分布直方图（如图所示），已知第一组，第二组和第三组的频率之比为，且第一组的频数为6，则报考飞行员的学生人数是( )

A.48 B.50 C.54 D.60
5、已知，，，则a，b，c的大小关系为( )
A. B. C. D.
6、已知，，则( )
A.-2 B.-1 C.1 D.2
7、已知双曲线的右顶点为A，以A为圆心，b为半径的圆与C的一条渐近线交于M，N两点.若，则C的离心率为( )
A.2 B. C. D.
8、埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥，以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥侧面积的一半，那么其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为( )
A. B. C. D.
9、已知函数的图象的一个对称中心为，则关于有下列结论：
①的最小正周期为；
②是图象的一条对称轴；
③在区间上单调递减；
④先将函数图象上所有点的纵坐标缩短为原来的，然后把所得函数图象向左平移个单位长度，得到的图象.
其中正确结论的个数为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
二、填空题
10、已知i是虚数单位，化简的结果为__________.
11、在的二项展开式中，含的项的系数是_______.（用数字作答）
12、直线与圆相交，所得的弦的长为__________.
13、设.对，用表示，中的较大者.若关于x的方程恰有1个实数根，则a的取值范围为__________.
三、双空题
14、袋中装有大小､形状完全相同的2个白球和4个红球，每次抽取1个球.若无放回的抽取，已知第一次抽到白球的条件下，第二次抽到白球的概率是__________；若有放回的抽取，则在3次抽取中恰有2次抽到白球的概率是__________.
15、在中，D为的中点，，过点E任作一条直线，分别交线段、于F、G两点，设，，若用、表示，则__________；若，，则的最小值是__________.
四、解答题
16、在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知，，.
（1）求的值；
（2）求的值；
（3）求的值.
17、如图，在四棱锥中，M是的中点，，，平面，且，，.

（1）求证：；
（2）求直线与平面所成角的正弦值；
（3）求平面与平面夹角的大小.
18、在公差不为零的等差数列和等比数列中，为的前n项和.已知，，且是与的等比中项.
（1）求和的通项公式；
（2）记数列的前n项和为，求；
（3）求.
19、已知椭圆的左､右焦点分别为、，过作斜率为的直线与椭圆相交于M、N两点，且与x轴垂直.
（1）求椭圆的离心率；
（2）若三角形的面积为，求椭圆的方程.
20、已知函数，.
（1）当时，求曲线在点处的切线方程；
（2）求在区间上的极值；
（3）设函数，.当时，，，不等式恒成立，求a的取值范围.
参考答案
1、答案：B
解析：因为全集，，则，
又因为集合，因此，.
故选：B.
2、答案：C
解析：因为，，由可得，则，即，
因此，若，，则“”是“”充要条件.
故选：C.
3、答案：D
解析：由，得是奇函数，其图象关于原点对称.又，
.
故选D.
4、答案：A
解析：设报考飞行员人数为n，根据前三个小组的频率之比为，可设前三小组的频率分别为x，，，且频率之和为1，即，解得.
则，解得.
故选：A.
5、答案：C
解析：，
.
故选：C.
6、答案：B
解析：因为，，
所以，，
.
故选：B.
7、答案：A
解析：双曲线的右顶点为，以A为圆心，b为半径的圆与C的一条渐近线交于M，N两点.
当时，可得点到渐近线的距离为，
即，整理可得，即.
所以C的离心率为2.
故选：A.
8、答案：D
解析：设正四棱锥的高为h，底面边长为a，侧面三角形底边上的高为，则
由题意可知，，
因此有
，
即，
解得，
因为，
所以.
所以侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为.
故选：D.
9、答案：D
解析：
，
因为图象的一个对称中心为，
则，所以.
所以，
对于①，的最小正周期为，故①正确；
对于②，，故②正确；
对于③，当时，，又在上先单调递减，
所以在上单调递减，故③正确；
对于④，将函数图象上所有点的纵坐标缩短为原来的，然后把所得函数图象向左平移个单位长度，
得到，故④正确.
故选：D.
10、答案：
解析：.
故答案为：.
11、答案：240
解析：根据二项式定理，的通项为，
当时，即时，可得.
即项的系数为240.
故答案为：240.
12、答案：
解析：因为圆即：，
则圆心到直线的距离：，
由弦长公式可得弦长为：.
故答案为：.
13、答案：
解析：设，.
由得，
所以函数的图象与的图象恰有一个交点.
作出函数的图象，如图所示.

抛物线的顶点的横坐标为纵坐标为，所以.
当时，，，
所以点是抛物线和对数函数图象交点.
设抛物线的切点C坐标为，
，
，
，.
所以切点C坐标为，
所以，
.
所以当时，函数的图象与的图象恰有一个交点.
由题得直线AB的斜率为.
当时，，
所以，
.
当，时，
，
.
所以当时，函数的图象与的图象恰有一个交点.
综上，当或时，函数的图象与的图象恰有一个交点.
故答案为：.
14、答案：；
解析：设第一次抽到白球为事件A，第二次抽到白球为事件B，则在第一次抽到白球的条件下，第二次抽到白球的概率为，
因为，，
所以.
若有放回的抽取，设在3次抽取中抽到的白球个数为X，则服从二项分布，即，所以.
故答案为：；.
15、答案：；
解析：如下图所示：

因为D为的中点，则，
因为，则，
因为，，则，
，
因为E、F、G三点共线，则，
所以，存在实数k使得，
即，
所以，，
消去k可得，
即，
所以，，
因为过点E任作一条直线，分别交线段、于F、G两点，且，
则，，
由基本不等式可得，
当且仅当时，
即当时，等号成立.
因此，的最小值是.
故答案为：.
16、答案：（1）
（2）
（3）
解析：（1）
由及正弦定理得：，
，
由余弦定理得.
（2）由（1）知：，
由正弦定理，
得.
（3）由，
且，
，即，
，
.
17、答案：（1）证明见解析
（2）
（3）.
解析：（1）由题意，平面，
以D为原点，分别以，，所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，

则，，，，，，
，，
则，
所以，
所以.
（2），，，，
设平面的法向量，
则，即，
令，则，
，，
设直线与平面所成的角为，，
则，
所以与平面所成角的正弦值为.
（3），，
设平面的法向量，
则，即，
令，则，则，.
又平面的法向量，.
设平面与平面夹角为，则为锐角，
，
所以平面与平面夹角为.
18、答案：（1），
（2）
（3）
解析：（1）设的公差为d，的公比为q，由题意
，
即，
，解得，
，
.
，
，

.
（2）
①
②
①-②得



.
（3）
当n为偶数时，


当n为奇数时，


.
19、答案：（1）
（2）
解析：（1）将代入椭圆的方程可得，
解得，
因为直线的斜率为，易知点，
所以，，
所以，，
等式两边同时除以可得，
因为，
解得.
因此，该椭圆的离心率为.
（2）由（1）知，，，故椭圆方程为，
由题意，则直线的方程为，
联立，
消去y并化简可得，
显然，
设点、，
解得或，
故点、，
所以，，
解得，
因此，椭圆的方程为.
20、答案：（1）
（2）答案见解析
（3）
解析：（1）当时，，，
所以，，
所以曲线在点处的切线方程为.
（2），.
①当时，，在上单调增，所以无极值；
②当时，令，得，列表如下：
x




-
0
+

单调递减
极小值
单调递增
所以的极小值为，无极大值；
综上可得：当时函数无极值，当时极小值为，无极大值；
（3）易知在上单调递减，在上单调递增，
所以在上的最小值为.
所以.
因为，
由题意，对于任意的实数，，
不等式恒成立，
只需恒成立，
所以，
解得，又，所以.
①当时，因为，所以，
由（2）知，在上单调增，所以.
所以，
所以在上单调增，则，
解得，
此时，
②当时，由（2）知，在上单调递增，且，
又，所以存在，
且，
使得，即，得.
所以的解为和a，列表如下：
x



a


+
0
-
0
+

单调递增
极大值
单调递减
极小值
单调递增
所以，
即，又，
所以恒成立，此时，
综上所述，实数a的取值范围为.