浙江省金华市十校2023届高三下学期4月模拟联考数学试卷（含答案）

这是一份浙江省金华市十校2023届高三下学期4月模拟联考数学试卷（含答案），共18页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
浙江省金华市十校2023届高三下学期4月模拟联考数学试卷
学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、选择题
1、设i为虚数单位，复数z满足，则( )
A. B.2 C. D.
2、若集合，，则( )
A. B. C. D.
3、已知向量，，若，则( )
A. B. C. D.
4、已知函数在上有且仅有2个零点，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
5、已知函数，则( )
A.函数的极大值点为
B.函数的极小值为2
C.过点作曲线的切线有两条
D.直线是曲线的一条切线
6、魔方，又叫鲁比克方块，最早是由匈牙利布达佩斯建筑学院厄尔诺-鲁比克教授于1974年发明的机械益智玩具.魔方拥有竞速、盲拧、单打等多种玩法，风暃程度经久末衰，每年都会举办大小赛事，是最受欢迎的智力游戏之一，一个三阶魔方，由27个单位正方体组成，如图是把魔方的中间一层转动了，则该魔方的表面积是( )
A.54 B. C. D.

7、三棱雉中，，，，，，则三棱雉的外接球表面积的最小值为( )
A. B. C. D.
8、“清明时节雨纷纷，路上行人欲断魂”描述的是我国传统节日“清明节”的景象.“青团”创于宋朝，是清明节的寒食名点之一，也是人们提起清明节会最先想到的美食.某地居民喜好的青团品种有4个，假定每个人购买时对于每种青团的选择是独立的，选择每个品种的概率均为.若在清明节当日，某传统糕点店为顾客只准备了3个品种的青团，则一位进店顾客，他的要求可以被满足的概率为( )
A. B. C. D.
二、多项选择题
9、在单位正方体中，O为底面ABCD的中心，M为线段上的动点（不与两个端点重合），P为线段BM的中点，则( )
A.直线DP与OM是异面直线
B.三棱雉的体积是定值
C.存在点M，使平面BDM
D.存在点M，使平面BDM
10、已知，B，C为抛物线上的三个点，焦点F是的重心.记直线AB，AC，BC的斜率分别为，，，则( )
A.线段BC的中点坐标为
B.直线BC的方程为
C.
D.
11、已知函数，，记一次完整的图形变换为“T变换”，“T变换”的规则为:将函数图象向右平移2个单位，纵坐标缩短为原来的，再向上平移1个单位.的图象经历一次“T变换”得到的图象，依此类推，经历次“T变换”后，得到的图象，则( )
A.，
B.若，，则
C.当时，函数，，，的极大值之和小于
D.
12、已知定义在R上且不恒为0的函数，若对任意的x，，都有，则( )
A.函数是奇函数
B.对，有
C.若，则
D.若，则
三、填空题
13、除以100的余数是________.
14、折纸是很多人喜爱的游戏，通过自己动手折纸，可以激发和培养审美情趣，锻炼双手，开发智力，提高实践技能.一张圆形纸片的半径为8，圆心O到定点A的距离为6，在圆周上任取一点P，将圆形纸片折起，使得P与A重合，折痕记为直线l，直线l与直线OP的交点为Q.将此操作多次重复，则Q点的轨迹是________.（填“圆”、“椭圆”、“双曲线”、“抛物线”）
15、若关于x的不等式恒成立，则a的取值范围是________.
16、已知椭圆的右焦点为F，左右顶点分别为A、B，点P是椭圆G上异于A，B的动点，过F作直线AP的垂线交直线BP于点，若，则椭圆G的离心率为________.
四、解答题
17、在等差数列中，，为的前n项和，，数列满足
.
（1）求数列和的通项公式;
（2）求数列的前n项和.
18、在中，角A，B，C所对应的边为a，b，c.已知的面积，其外接圆半径，且.
（1）求;
（2）若A为钝角，P为外接圆上的一点，求的取值范围.
19、如图，在圆台中，圆的半径是1，圆的半径是2，高是，圆是的外接圆，，PC是圆台的一条母线.

（1）求三棱锥体积的最大值;
（2）当时，求平面PAC与平面PBC的夹角的余弦值.
20、全国“两会”召开的一项重要意义在于将“两会代表”从人民中得来的信息和要求进行收集及整理，传达给中央.“两会代表”代表着广大选民的利益，代表选民在“两会”期间向政府有关部门提出选民的意见和要求.下表是2011年至2020年历年全国政协提案的数量统计.
年份
2011
2012
2013
2014
2015
2016
2017
2018
2019
2020
年份代码x
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
提案数量y
(单位:千件)
5.762
6.069
5.641
5.875
5.857
5.769
5.21
5.36
5.488
5.044
（1）请用相关系数说明y与x之间的关系可否用线性回归模型拟合?若能，求y关于x的一元线性回归方程;（运算结果精确到0.01）（若，则线性相关程度很高，可用直线拟合）
（2）中央政府回应2020年“两会”的热点议题“战胜疫情”，以令世界惊叹的中国速度、中国效率和中国奇迹，社会各阶层、各行各业迅速投身战“疫”行动，团结共进、众志成城.其中一个关键举措是2021年全国各地全面展开的疫苗接种.为方便市民合理安排疫苗接种，城市便民电子系统即时提供接种点相关信息，若某疫苗接种点上午和下午接种疫苗分别需要等待20分钟和40分钟，而甲、乙市民均在某日接种疫苗，且上午去接种疫苗的概率分别为p，，要使两市民需要等待时间的总和的期望值不超过60分钟，求实数p的取值范围.
参考公式:相关系数，
，
参考数据:，，，.
21、P是双曲线右支上一点，A、B是双曲线的左右顶点，过A，B分别作直线PA，PB的垂线AQ，BQ，AQ与BQ的交点为Q，PA与BQ的交点为C.
（1）记P，Q的纵坐标分别为，，求的值;
（2）记，的面积分别为，，当时，求的取值范围.
22、已知函数，.
（1）若对时，，求正实数a的最大值;
（2）证明:;
（3）若函数的最小值为m，证明:方程有唯一的实数根.（其中是自然对数的底数）
参考答案
1、答案：A
解析：因为，故有则.故选:A.
2、答案：D
解析：，等价于且，解得，
，，
故选：D.
3、答案：A
解析：，，，

故选:A.
4、答案：B
解析：
因为在上仅有2个零点，当时，
所以，解得.故选:B.
5、答案：D
解析：，令0，解得或，
因为，;，;,;
所以在递增，递减，递增，
故的极大值点为，故A错误;
极小值为，故B错误;
设过的切线为，切点为，
所以，
则
从而
解得或，有三条切线，故C错误;
令，即
解得，
从而，即切线方程为，故D正确.
故选：D.
6、答案：C
解析：如图，

转动了后，此时魔方相对原来魔方多出了16个小三角形的面积，
显然小三角形为等腰直角三角形，直角边为x，则斜边为，
故，可得，
由几何关系得：阴影部分的面积为
所以，所求面积
故选:C.
7、答案：C
解析：如图，将三棱雉画在长方体方体中，并建立空间直角坐标系，由，由面，可知P点在面上，又，面，所以为直角三角形，故，即P点轨迹为以D为圆心，半径为4，在上的圆，设点，则①，因为为等腰直角三角形，所以三棱雉的外接球的球心O在直线EF上，
设点，由，得
联立①②得:，
设过点和点的直线斜率为k，则
由直线与圆相切，可得，
则，所以，所以
.
故选:C
8、答案：D
解析：设不被满足的概率为P，则，
则他的要求可以被满足的概率为.故选：D.
9、答案：BC
解析：A项:因为BD，BM相交，
所以DP，OM共面，故错误;
B项:因为，是正方体，
所以，
因为平面，平面，
所以平面，
所以M到面的距离不变，
所以为定值，故正确;
C项:当M为中点时，OM为的中位线，，
因为平面BDM，平面BDM，
所以平面BDM，故正确;
D项:当M与重合时，因为，
，，AC，平面
所以平面，
因为平面，
所以，
同理可证，
因为，BD，平面BDM
所以平面BDM，
又因为M不与端点重合，故错误.

故选:BC.
10、答案：ABD
解析：
11、答案：ACD
解析：，其中，即，作出的图象，可得，.若，，只需，对即可，故，，故B错误;记的极大值为（也是最大值），则，且，则，，即，即，故D正确;当时，函数，，，的极大值之和，故C正确;故选:ACD
12、答案：AD
解析：
13、答案：1
解析：
由于是100的倍数，
故除以100的余数等于1，
故答案为:1
14、答案：椭圆
解析：在圆周上任取一点P，将圆形纸片折起，使得P与A重合，折痕记为直线l，直线l与直线OP的交点为Q，则，由题意可知，圆O的半径为8，且，
所以，由椭圆的定义可得，点Q的轨迹为椭圆.故答案为:椭圆.
15、答案：
解析：①当即时，

设，，则

当时，单调递减，
当时，单调递增，故，
此时易知;
②当即时，，因为，所以，，所以，则综上，.故答案为:.
16、答案：
解析：不妨设直线AP的斜率大于0，设为k，
则直线AP的方程为，直线FM的方程为，
解得，则，
由，，
即，
所以
所以且，解得（负值舍去）.
故答案为:.
17、答案：（1）答案见解析
（2）答案见解析
解析：（1），，.
，①
则当时，②
①-②得:，则
而当时，，则，满足上式.
所以.
（2）记

18、答案：（1）
（2）
解析：（1），.
则解得，因此.
（2）若A为钝角，则，则，.如图建立平面直角坐标系，则，，，
设.则，，，





19、答案：（1）
（2）
解析：（1）取AB中点M，连，
则的高.
.
（2）如图，以为坐标原点，过与AB平行的直线为x轴，为z轴.
建立空间直角坐标系，设，，
，,
又，解得，
则
设平面PAC的法向量为，则解得，
同理.
设平面PAC与平面PBC的夹角为，则.

20、答案：（1）答案看解析
（2）
解析：（1）因为，
根据参考数据，所以相关系数，即，所以线性相关程度很高，可用直线拟合.
由，
所以，
即关于的线性回归方程为.
（2）设甲、乙两人需要排队的总时间为，则的可能取值为40，60，80，
,,
所以的分布列为:

40
60
80
P



因此，可得，又，
故实数p的取值范围为.
21、答案：（1）3
（2）
解析：由已知条件得:,，设PA，PB的斜率分别为,，则QA，QB的斜率分别为,，
由即有
由即有
（1），
而，

（2）由于，
显然P，Q，B，A四点共圆，
PQ，为直径，PQ中点为圆心，
又
则，
①，又②，
得:，解得.
而，而

.
因为，根据单调性，求得.
22、答案：（1）证明见解析
（2）证明见解析
解析：（1），又a为正实数，
函数在区间上单调递增，且.
（1）当时，，所以函数在上单调递减，
此时，符合题意.
（2）当时，,，
由零点存在定理，时，有，即函数在上递减，在上递增，所以当时，有，此时不符合.
综上所述，正实数a的最大值为1.
（2）由（1）知，当,时，，
令时，有，即
累加得，.
（3）因为，所以，即函数在上递增，
又,，
由零点存在定理，时，有，
即，因此.
而函数在上递减，在上递增，
所以，
即.
要证方程有唯一的实数解，只要证方程有唯一的实数解.设，则，
所以函数在上递增，又,，由零点存在定理，时，，
即，因此，
又，设，则函数在上递增，
于是且，
而函数在上递减，在上递增，
，即函数有唯一零点，故方程有唯一的实数解.