四川省泸县第一中学2022-2023学年高二下学期期末考试数学（理）试卷（含答案）

这是一份四川省泸县第一中学2022-2023学年高二下学期期末考试数学（理）试卷（含答案），共16页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
四川省泸县第一中学2022-2023学年高二下学期期末考试数学（理）试卷
学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、选择题
1、在复平面内，复数对应的点的坐标是，则复数的虚部是( )
A. B. C. D.
2、函数的图象大致为( )
A. B.
C. D.
3、函数的单调递增区间为( )
A.() B.(1，+) C.(1，1) D.(0，1)
4、已知a，b是两条不同的直线，是平面，且则“”是“”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.既不充分又不必要条件 D.充要条件
5、执行如图的程序框图，若输出的，则输入的整数p的最小值是( )

A.4 B.5 C.6 D.15
6、已知点是抛物线上的一点，F是抛物线的焦点，则点M到F的距离等于( )
A.6 B.5 C.4 D.2
7、甲､乙两机床同时加工直径为100mm的零件，为检验质量，从它们生产的零件中随机抽取6件，其测量数据的条形统计图如下.则( )

A.甲的数据的平均数大于乙的数据的平均数
B.甲的数据的中位数大于乙的数据的中位数
C.甲的数据的方差大于乙的数据的方差
D.甲的数据的极差小于乙的数据的极差
8、已知随机变量X服从正态分布，若，则( )
A.0.2 B.0.3 C.0.4 D.0.6
9、已知命题p：，，命题q：函数在R上单调递增，则下列命题中，是真命题的为( )
A. B. C. D.
10、已知函数.曲线在点处切线方程为( )
A. B.
C. D.
11、已知，则下列关系正确的是( )
A. B. C. D.
12、已知，，若，使得成立，则实数a的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、填空题
13、如图是一个边长为4的正方形二维码，为了测算图中黑色部分的面积，在正方形区域内随机投掷1600个点，其中落入白色部分的有700个点，据此可估计黑色部分的面积为______________．

14、3本不同的数学书与3本不同的语文书放在书架同一层，则相同科目的书不相邻的放法共有______种．
15、抛物线的焦点为F，已知抛物线在A点处的切线斜率为2，则直线AF与该切线的夹角的正弦值为______．
16、在正方体中，棱长为1，E，F分别为，的中点，G为线段AC上异于A，C的动点，现有下列结论：
①DG与EF为异面直线；
②；
③周长最小值为；
④三棱锥的体积为定值.
其中所有正确结论的编号是_______.
三、解答题
17、已知函数在点（1，）处的切线方程为.
（1）求实数k和m的值；
（2）求在[1，3]上的最小值.
18、在迎来中国共产党成立100周年的重要时刻，我国脱贫攻坚战取得全面胜利，现行标准下农村贫困人口全部脱贫，完成了消除绝对贫困的艰巨任务.为了解我市脱贫家庭人均年纯收入情况，某扶贫工作组对A，B两个地区2020年脱贫家庭进行随机抽样调查，共抽取600户作为样本，统计数据如下表：

A地区
B地区
2020年人均年纯收入超过10000元
50户
200户
2020年人均年纯收入未超过10000元
250户
100户
假设所有脱贫家庭的人均年纯收入是否超过10000元相互独立.（将频率视为概率）
（1）从A地区2020年脱贫家庭中随机抽取1户，估计该户人均年纯收入超过10000元的概率；
（2）分别从A地区和B地区2020年脱贫家庭中各随机抽取1户，记为这2户家庭中2020年人均年纯收入未超过10000元的户数，求的分布列和数学期望.
19、如图，在四棱锥中，底面ABCD是平行四边形，平面ABCD，，，.

（1）求证：平面PCD；
（2）求二面角的余弦值.
20、平面直角坐标系中，点，直线：．动点P到l的距离比线段PF的长度大2，记P的轨迹为E．
（1）求E的方程；
（2）设点在E上，C，D为E上异于A的两个动点，且直线AC，AD的斜率互为相反数，求证：直线CD的斜率为定值，并求出该定值．
21、已知函数，.
（1）求的单调区间；
（2）若是函数的导函数，且在定义域内恒成立，求整数a的最小值.
22、已知曲线C的极坐标方程是，直线l的参数方程是(t为参数）
（1）将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程；
（2）设直线l与x轴的交点是P，直线l与曲线C交于M，N两点，求的值．
23、已知函数，且不等式的解集为．
（1）求实数m，n的值；
（2）若正实数a，b，c满足，证明：．
参考答案
1、答案：A
解析：由题知：，，
所以的虚部为.故选：A
2、答案：D
解析：定义域为R，
因为，
所以为偶函数，所以图像关于y轴对称，所以排除AC，
当时，，则，
令，则或（舍去）
当时，，当时，，
所以在上递减，在上递增，所以排除B，
故选：D
3、答案：D
解析：因为函数，，
所以，
由，，解得，
即函数的单调递增区间为.故选：D.
4、答案：B
解析：依题意得，
当，时，直线a与直线b的位置关系为平行或者异面，
当，时，由线面平行的判定定理可得，
综上所述，“”是“”的必要不充分条件.
故选：B.
5、答案：A
解析：满足条件，执行第一次循环，，；
满足条件，执行第二次循环，，；
满足条件，执行第二次循环，，.
满足条件，调出循环体，输出n的值为.
由上可知，，因此，输入的整数p的最小值是，故选A.
6、答案：B
解析：由题意，，解得
所以
故选：B.
7、答案：C
解析：由题设，甲数据为，乙数据为，
所以甲的平均数为，
乙的平均数为，
甲乙中位数均为，
甲的方差，乙的方差，
甲极差为，乙极差为，
综上，甲乙平均数、中位数相同，甲的方差大于乙的方差，甲的极差大于乙的极差.
故A、B、D错误，C正确.故选：C
8、答案：B
解析：，故选：B.
9、答案：D
解析：对于命题p，当时，故命题p为假命题，所以为真命题；
对于，恒成立，
所以函数在R上单调递增，故命题q为真命题，所以为假命题，
所以为假命题，为假命题，为真命题；
故选：D
10、答案：C
解析：首先求出，再求出函数的导函数，即可得到，最后利用点斜式求出切线方程；
因为，所以，
所以，，
所以切点为，切线的斜率，
所以切线方程为，即；
故选：C
11、答案：C
解析：根据，取，，则可排除B、D；
取，，则由，，可排除A．
构造函数，，则，
令，则，即函数在上单调递增，
因为，所以，即，所以，
所以，所以，故C正确；
故选：C．
12、答案：A
解析：由，得，即，
记，，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
，
，记，，
，
，，，
时，，单调递减；
当时，，单调递增，
所以，.
故选：A.
13、答案：9
解析：由题设可估计落入黑色部分的概率
设黑色部分面积为S，由几何概型计算公式可得
解得，故答案为:9
14、答案：72
解析：
3本数学书的放法有种，其间产生4个空挡，如图.
将3本语文书插入①②③号空挡，或②③④号空挡，共有种，
故同类书不相邻的放法共有种.
故答案为：.
15、答案：
解析：由，得，则，
设点A的坐标为，则由题意可得，解得，则，所以，
因为抛物线的焦点，所以，
设切线与AF的夹角为，则，
所以，
故答案为：
16、答案：①②④
解析：①在正方体中，易得DG与EF为异面直线，所以①正确；
②在正方体中，易得，又，，，所以面，又面，所以，故，所以②正确；
③当G移动到线段AC中点时，周长的最小值，此时周长
，所以③错误；
④在三棱锥中，当G在线段AC中移动时，底面中，不变，G到的距离不变，所以面积为定值，又连接BD，交AC于O，则易得面，所以BO为三棱锥的高，且为定值，所以三棱锥的体积为定值，所以④正确；

故答案为：①②④.
17、答案：（1），
（2）
解析：（1）因为
所以，
由题意可得，，
解得，，，
（2）由（1）可得，
所以，
因为
易得，当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，
故当时，函数取得极小值也就是最小值
18、答案：（1）；
（2）X的分布列见解析，X的数学期望为.
解析：（1）从A地区2020年脱贫家庭中随机抽取1户，该户人均年纯收入超过10000元的事件为M，
由表格中数据知，A地区抽出的300户家庭中，2020年人均年纯收入超过10000元的有50户，则人均年纯收入超过10000元的频率为，
由此估计；
（2）X的可能值为0，1，2，
从B地区2020年脱贫家庭中随机抽取1户，该户人均年纯收入超过10000元的事件为N，则，
而M与N相互独立，
，
，
，
所以X的分布列为：
X
0
1
2
P



X的数学期望为：.
19、答案：（1）证明见解析；
（2）.
解析：（1）连结AC，如图，

因为平面ABCD，平面ABCD，所以，
因为底面ABCD是平行四边形，，所以，
因为，所以平面PCD；
（2）以C为原点，CD为x轴，CA为y轴，过点C作平面ABCD的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，如图，

因为，，所以，，，，
所以，，
设平面PCB的一个法向量，
则，取得，
因为平面PCD，所以平面PCD的一个法向量为，
则，
又二面角为钝角，
所以二面角的余弦值为.
20、答案：（1）；
（2）证明见解析，.
解析：（1）由已知，线段PF的长度等于P到：的距离，
则点P的轨迹是以为焦点，：为准线的抛物线，
所以，E的方程为．
（2）将代入得．则
易知直线CD斜率存在，设为，知，直线CD方程为．
由得．
则，．①
则，，
因为直线AC，AD的斜率互为相反数，
所以，，
则．②
联立①②，得，
所以或．
若，则CD的方程为，恒过点，不合题意；
所以，即直线CD的斜率为定值．
21、答案：（1）减区间是，增区间；
（2）2．
解析：（1）由已知，当时，，当时，，
所以的减区间是，增区间；
（2）函数的定义域是，定义域是R，
不等式为，
所以不等式在上恒成立，
所以在上恒成立，
设，则，时，，，
又在上是增函数，，，
所以存在，使得，时，，时，，，即在上递增，在上递减，
，，
，所以，
因为，所以，所以整数a的最小值为2．
22、答案：（1）；
（2）
解析：（1）曲线C的极坐标方程是，
即为，
由，，，
可得，
即；
（2）直线l的参数方程是(t为参数）
令，可得，，即，
将直线l的参数方程代入曲线，可得：
，
即为，
解得，，
由参数t的几何意义可得，
．
23、答案：（1），
（2）证明见解析
解析：（1），，且，
，解得．
．
．
（i）当时，由，解得（不合题意，舍去）；
（ii）当时，由，解得，经检验满足题意．
综上所述，，．
（2）由（1）得．．
，
．当且仅当，即时等号成立．
．