山东省临沂市2021-2023三年中考数学真题分类汇编-03解答题（提升题）知识点分类

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山东省临沂市2021-2023三年中考数学真题分类汇编-03解答题（提升题）知识点分类
一．二次根式的混合运算（共1小题）
1．（2021•临沂）计算|﹣|+（﹣）2﹣（+）2．
二．二次函数的应用（共2小题）
2．（2022•临沂）第二十四届冬奥会在北京成功举办，我国选手在跳台滑雪项目中夺得金牌．在该项目中，运动员首先沿着跳台助滑道飞速下滑，然后在起跳点腾空，身体在空中飞行至着陆坡着陆，再滑行到停止区终止．本项目主要考核运动员的飞行距离和动作姿态，某数学兴趣小组对该项目中的数学问题进行了深入研究：
如图为该兴趣小组绘制的赛道截面图，以停止区CD所在水平线为x轴，过起跳点A与x轴垂直的直线为y轴，O为坐标原点，建立平面直角坐标系．着陆坡AC的坡角为30°，OA＝65m，某运动员在A处起跳腾空后，飞行至着陆坡的B处着陆，AB＝100m．在空中飞行过程中，运动员到x轴的距离y（m）与水平方向移动的距离x（m）具备二次函数关系，其解析式为y＝﹣x2+bx+c．
（1）求b，c的值；
（2）进一步研究发现，运动员在飞行过程中，其水平方向移动的距离x（m）与飞行时间t（s）具备一次函数关系，当运动员在起跳点腾空时，t＝0，x＝0；空中飞行5s后着陆．
①求x关于t的函数解析式；
②当t为何值时，运动员离着陆坡的竖直距离h最大，最大值是多少？


3．（2021•临沂）公路上正在行驶的甲车，发现前方20m处沿同一方向行驶的乙车后，开始减速，减速后甲车行驶的路程s（单位：m）、速度v（单位：m/s）与时间t（单位：s）的关系分别可以用二次函数和一次函数表示，其图象如图所示．
（1）当甲车减速至9m/s时，它行驶的路程是多少？
（2）若乙车以10m/s的速度匀速行驶，两车何时相距最近，最近距离是多少？

三．三角形综合题（共1小题）
4．（2023•临沂）如图，∠A＝90°，AB＝AC，BD⊥AB，BC＝AB+BD．
（1）写出AB与BD的数量关系．
（2）延长BC到E，使CE＝BC，延长DC到F，使CF＝DC，连接EF．求证：EF⊥AB．
（3）在（2）的条件下，作∠ACE的平分线，交AF于点H，求证：AH＝FH．

四．四边形综合题（共2小题）
5．（2022•临沂）已知△ABC是等边三角形，点B，D关于直线AC对称，连接AD，CD．
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）在线段AC上任取一点P（端点除外），连接PD．将线段PD绕点P逆时针旋转，使点D落在BA延长线上的点Q处．请探究：当点P在线段AC上的位置发生变化时，∠DPQ的大小是否发生变化？说明理由．
（3）在满足（2）的条件下，探究线段AQ与CP之间的数量关系，并加以证明．

6．（2021•临沂）如图，已知正方形ABCD，点E是BC边上一点，将△ABE沿直线AE折叠，点B落在F处，连接BF并延长，与∠DAF的平分线相交于点H，与AE，CD分别相交于点G，M，连接HC．
（1）求证：AG＝GH；
（2）若AB＝3，BE＝1，求点D到直线BH的距离；
（3）当点E在BC边上（端点除外）运动时，∠BHC的大小是否变化？为什么？

五．切线的判定与性质（共1小题）
7．（2023•临沂）如图，⊙O是△ABC的外接圆，BD是⊙O的直径，AB＝AC，AE∥BC，E为BD的延长线与AE的交点．
（1）求证：AE是⊙O的切线；
（2）若∠ABC＝75°，BC＝2，求的长．

六．解直角三角形的应用-仰角俯角问题（共1小题）
8．（2022•临沂）如图是一座独塔双索结构的斜拉索大桥，主塔采用倒“Y”字形设计．某学习小组利用课余时间测量主塔顶端到桥面的距离．勘测记录如下表：

活动内容
测量主塔顶端到桥面的距离
成员
组长：×××组员××××××××××××
测量工具
测角仪，皮尺等
测量示意图

说明：图为斜拉索桥的侧面示意图，点A，C，D，B在同一条直线上，EF⊥AB，点A，C分别与点B，D关于直线EF对称．
测量数据
∠A的大小
28°
AC的长度
84m
CD的长度
12m
请利用表中提供的信息，求主塔顶端E到AB的距离（参考数据：sin28°≈0.47，cos28°≈0.88，tan28°≈0.53）．

七．频数（率）分布直方图（共2小题）
9．（2023•临沂）某中学九年级共有600名学生，从中随机抽取了20名学生进行信息技术操作测试，测试成绩（单位：分）如下：
81 90 82 89 99 95 91 83 92 93
87 92 94 88 92 87 100 86 85 96
（1）请按组距为5将数据分组，列出频数分布表，画出频数分布直方图；
频数分布表
成绩分组
　 　
　 　
　 　
　 　
划记
　 　
　 　
　 　
　 　
频数
　 　
　 　
　 　
　 　

（2）①这组数据的中位数是 　 　；
②分析数据分布的情况（写出一条即可） 　 　；
（3）若85分以上（不含85分）成绩为优秀等次，请预估该校九年级学生在同等难度的信息技术操作考试中达到优秀等次的人数．
10．（2022•临沂）省农科院为某县选育小麦种子，为了解种子的产量及产量的稳定性，在该县的10个乡镇中，每个乡镇选择两块自然条件相近的实验田分别种植甲、乙两种小麦，得到其亩产量数据如下（单位：kg）：
甲种小麦：804 818 802 816 806 811 818 811 803 819
乙种小麦：804 811 806 810 802 812 814 804 807 809
画以上甲种小麦数据的频数分布直方图，甲乙两种小麦数据的折线图，得到图1，图2

（1）图1中，a＝　 　，b＝　 　；
（2）根据图1，若该县选择种植甲种小麦，则其亩产量W（单位：kg）落在 　 　内的可能性最大；
A.800≤W＜805
B.805≤W＜810
C.810≤W＜815
D.815≤W＜820
（3）观察图2，从小麦的产量或产量的稳定性的角度，你认为农科院应推荐种植哪种小麦？简述理由．

山东省临沂市2021-2023三年中考数学真题分类汇编-03解答题（提升题）知识点分类
参考答案与试题解析
一．二次根式的混合运算（共1小题）
1．（2021•临沂）计算|﹣|+（﹣）2﹣（+）2．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：解法一，原式＝+[（）²﹣+]﹣[（）²++]
＝+（2﹣+）﹣（2++）
＝+2﹣+﹣2﹣﹣
＝﹣．
解法二，原式＝+（﹣++）（﹣﹣﹣）
＝+2×（﹣1）
＝﹣2
＝﹣．
二．二次函数的应用（共2小题）
2．（2022•临沂）第二十四届冬奥会在北京成功举办，我国选手在跳台滑雪项目中夺得金牌．在该项目中，运动员首先沿着跳台助滑道飞速下滑，然后在起跳点腾空，身体在空中飞行至着陆坡着陆，再滑行到停止区终止．本项目主要考核运动员的飞行距离和动作姿态，某数学兴趣小组对该项目中的数学问题进行了深入研究：
如图为该兴趣小组绘制的赛道截面图，以停止区CD所在水平线为x轴，过起跳点A与x轴垂直的直线为y轴，O为坐标原点，建立平面直角坐标系．着陆坡AC的坡角为30°，OA＝65m，某运动员在A处起跳腾空后，飞行至着陆坡的B处着陆，AB＝100m．在空中飞行过程中，运动员到x轴的距离y（m）与水平方向移动的距离x（m）具备二次函数关系，其解析式为y＝﹣x2+bx+c．
（1）求b，c的值；
（2）进一步研究发现，运动员在飞行过程中，其水平方向移动的距离x（m）与飞行时间t（s）具备一次函数关系，当运动员在起跳点腾空时，t＝0，x＝0；空中飞行5s后着陆．
①求x关于t的函数解析式；
②当t为何值时，运动员离着陆坡的竖直距离h最大，最大值是多少？


【答案】（1）b的值是，c的值是65；
（2）①x＝10t；
②当t为2.5时，运动员离着陆坡的竖直距离h最大，最大值是m．
【解答】解：（1）作BE⊥y轴于点E，
∵OA＝65m，着陆坡AC的坡角为30°，AB＝100m，
∴点A的坐标为（0，65），AE＝50m，BE＝50m，
∴OE＝OA﹣AE＝65﹣50＝15（m），
∴点B的坐标为（50，15），
∵点A（0，65），点B（50，15）在二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象上，
∴，
解得，
即b的值是，c的值是65；
（2）①设x关于t的函数解析式是x＝kt+m，
因为点（0，0），（5，50）在该函数图象上，
∴，
解得，
即x关于t的函数解析式是x＝10t；
②设直线AB的解析式为y＝px+q，
∵点A（0，65），点B（50，15）在该直线上，
∴，
解得，
即直线AB的解析式为y＝﹣x+65，
则h＝（﹣x2+x+65）﹣（﹣x+65）＝﹣x2+x，
∴当x＝﹣＝25时，h取得最值，此时h＝，
∵25＜50，
∴x＝25时，h取得最值，符合题意，
将x＝25代入x＝10t，得：25＝10t，
解得t＝2.5，
即当t为2.5时，运动员离着陆坡的竖直距离h最大，最大值是m．

3．（2021•临沂）公路上正在行驶的甲车，发现前方20m处沿同一方向行驶的乙车后，开始减速，减速后甲车行驶的路程s（单位：m）、速度v（单位：m/s）与时间t（单位：s）的关系分别可以用二次函数和一次函数表示，其图象如图所示．
（1）当甲车减速至9m/s时，它行驶的路程是多少？
（2）若乙车以10m/s的速度匀速行驶，两车何时相距最近，最近距离是多少？

【答案】（1）87.5m；（2）6秒时两车相距最近，最近距离是2米
【解答】解：（1）由图可知：二次函数图象经过原点，
设二次函数表达式为s＝at2+bt，一次函数表达式为v＝kt+c，
∵一次函数经过（0，16），（8，8），
则，解得：，
∴一次函数表达式为v＝﹣t+16，
令v＝9，则t＝7，
∴当t＝7时，速度为9m/s，
∵二次函数经过（2，30），（4，56），
则，解得：，
∴二次函数表达式为，
令t＝7，则s＝＝87.5，
∴当甲车减速至9m/s时，它行驶的路程是87.5m；
（2）设t秒后相距w，则w＝20+10t﹣（﹣t2+16t）＝（t﹣6）2+2，
∵＞0，
∴t＝6时，w有最小值，最小值为2，
∴6秒时两车相距最近，最近距离是2米．
三．三角形综合题（共1小题）
4．（2023•临沂）如图，∠A＝90°，AB＝AC，BD⊥AB，BC＝AB+BD．
（1）写出AB与BD的数量关系．
（2）延长BC到E，使CE＝BC，延长DC到F，使CF＝DC，连接EF．求证：EF⊥AB．
（3）在（2）的条件下，作∠ACE的平分线，交AF于点H，求证：AH＝FH．

【答案】（1）结论：AB＝（+1）BD．理由见解析部分；
（2）（3）证明见解析部分．
【解答】（1）解：结论：AB＝（+1）BD．

理由：在BC上取一点T，使得BT＝BD，连接DT，AT．设AB＝AC＝a，则BC＝a．
∵∠BAC＝90°，AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB＝45°，
∵BD⊥AB，
∴∠ABD＝90°，
∴∠DBT＝45°，
∵BD＝BT，
∴∠BDT＝∠BTD＝67.5°，
∵BC＝AB+BD＝AC+BD＝BT+AC，
∴CT＝CA＝a，
∴BD＝BT＝BC﹣CT＝a﹣a，
∴＝＝+1，
∴AB＝（+1）BD；

（2）证明：如图2中，

在△BCD和△ECF中，
，
∴△BCD≌△ECF（SAS），
∴∠CBD＝∠E＝45°，BD＝EF，
∴BD∥EF，
∵BD⊥AB，
∴EF⊥AB；

（3）证明：延长CH交EF的延长线于点J．

∵∠ACE＝180°﹣∠ACB＝135°，CH平分∠ACE，
∴∠ACH＝∠ECH＝67.5°，
∵∠ACB＝∠E＝45°，
∴AC∥EJ，
∴∠J＝∠ACH＝∠ECJ＝67.5°，
∴CE＝EJ＝CB，
∵BC＝BD+AB，EJ＝EF+FJ，
∴FJ＝AB＝AC，
∵∠AHC＝∠FHJ，∠ACH＝∠J，
∴△ACH≌△FJH（AAS），
∴AH＝FH．
四．四边形综合题（共2小题）
5．（2022•临沂）已知△ABC是等边三角形，点B，D关于直线AC对称，连接AD，CD．
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）在线段AC上任取一点P（端点除外），连接PD．将线段PD绕点P逆时针旋转，使点D落在BA延长线上的点Q处．请探究：当点P在线段AC上的位置发生变化时，∠DPQ的大小是否发生变化？说明理由．
（3）在满足（2）的条件下，探究线段AQ与CP之间的数量关系，并加以证明．

【答案】（1）见解答过程；
（2）不会发生变化，证明见解答过程；
（3）AQ＝CP．
【解答】（1）证明：连接BD，
等边△ABC中，AB＝BC＝AC，
∵点B、D关于直线AC对称，
∴DC＝BC，AD＝AB，
∴AB＝BC＝CD＝DA，
∴四边形ABCD是菱形；
（2）解：当点P在线段AC上的位置发生变化时，∠DPQ的大小不发生变化，始终等于60°，理由如下：
∵将线段PD绕点P逆时针旋转，使点D落在BA延长线上的点Q处，
∴PQ＝PD，
等边△ABC中，AB＝BC＝AC，
∠BAC＝∠ABC＝∠ACB＝60°，
连接PB，过点P分别作PE∥CB交AB于点E，PF⊥AB于点F，如图
则∠APE＝∠ACB＝60°，∠AEP＝∠ABC＝60°，
∴∠BAC＝∠APE＝∠AEP＝60°，
∴△APE是等边三角形，
∴AP＝EP＝AE，
而PF⊥AB，
∴∠APF＝∠EPF，
∵点B，D关于直线AC对称，点P在线段AC上，
∴PB＝PD，∠DPA＝∠BPA，
∴PQ＝PB，
∴∠PDA＝∠PBA，∠PBA＝∠PQA，
∴∠PDA＝∠PQB
∴∠DPQ＝∠DAQ＝60°；
解法二：连接BP，
通过证明△ADP≌△ABP，利用旋转和全等三角形的性质分析求解；
（3）解：在满足（2）的条件下，线段AQ与CP之间的数量关系是AQ＝CP，证明如下：
∵AC＝AB，AP＝AE，
∴AC﹣AP＝AB﹣AE，
即CP＝BE，
∵AP＝EP，PF⊥AB，
∴AF＝FE，
∵PQ＝PB，PF⊥AB，
∴QF＝BF，
∴QF﹣AF＝BF﹣EF，
即AQ＝BE，
∴AQ＝CP．


6．（2021•临沂）如图，已知正方形ABCD，点E是BC边上一点，将△ABE沿直线AE折叠，点B落在F处，连接BF并延长，与∠DAF的平分线相交于点H，与AE，CD分别相交于点G，M，连接HC．
（1）求证：AG＝GH；
（2）若AB＝3，BE＝1，求点D到直线BH的距离；
（3）当点E在BC边上（端点除外）运动时，∠BHC的大小是否变化？为什么？

【答案】（1）证明过程见解析；
（2）点D到直线BH的距离为；
（3）∠BHC的度数不变．
【解答】（1）证明：∵将△ABE沿直线AE折叠，点B落在F处，
∴∠BAG＝∠GAF＝∠BAF，B，F关于AE对称，
∴AG⊥BF，
∴∠AGF＝90°，
∵AH平分∠DAF，
∴∠FAH＝∠FAD，
∴∠EAH＝∠GAF+∠FAH＝∠BAF+∠FAD＝（∠BAF+∠FAD）＝∠BAD，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAD＝90°，
∴∠EAH＝∠BAD＝45°，
∵∠HGA＝90°，
∴GA＝GH；
（2）解：如图1，连接DH，DF，交AH于点N，
由（1）可知AF＝AD，∠FAH＝∠DAH，

∴AH⊥DF，FN＝DN，
∴DH＝HF，∠FNH＝∠DNH＝90°，
又∵∠GHA＝45°，
∴∠NFH＝45°＝∠NDH＝∠DHN，
∴∠DHF＝90°，
∴DH的长为点D到直线BH的距离，
由（1）知AE2＝AB2+BE2，
∴AE＝＝＝，
∵∠BAE+∠AEB＝∠BAE+∠ABG＝90°，
∴∠AEB＝∠ABG，
又∠AGB＝∠ABE＝90°，
∴△AEB∽△ABG，
∴，，
∴AG＝＝，BG＝，
由（1）知GF＝BG，AG＝GH，
∴GF＝，GH＝，
∴DH＝FH＝GH﹣GF＝＝．
即点D到直线BH的距离为；
方法二：
连接BD，

由折叠可知AE⊥BF，
则△ABE≌△BCM，
∴BE＝CM＝1，
∴DM＝2，
∴，
同方法一可知AE＝BM＝，
∴点D到直线BH的距离为＝；

（3）不变．
理由如下：
方法一：连接BD，如图2，

在Rt△HDF中，，
在Rt△BCD中，＝sin45°＝，
∴，
∵∠BDF+∠CDF＝45°，∠FDC+∠CDH＝45°，
∴∠BDF＝∠CDH，
∴△BDF∽△CDH，
∴∠CHD＝∠BFD，
∵∠DFH＝45°，
∴∠BFD＝135°＝∠CHD，
∵∠BHD＝90°，
∴∠BHC＝∠CHD﹣∠BHD＝135°﹣90°＝45°．
方法二：
∵∠BCD＝90°，∠BHD＝90°，
∴点B，C，H，D四点共圆，
∴∠BHC＝∠BDC＝45°，
∴∠BHC的度数不变．
五．切线的判定与性质（共1小题）
7．（2023•临沂）如图，⊙O是△ABC的外接圆，BD是⊙O的直径，AB＝AC，AE∥BC，E为BD的延长线与AE的交点．
（1）求证：AE是⊙O的切线；
（2）若∠ABC＝75°，BC＝2，求的长．

【答案】（1）证明见解答；
（2）的长是．
【解答】（1）证明：连接并延长AO交BC于点F，连接OC，则OA＝OB＝OC，
∴∠OAB＝∠OBA＝，∠OAC＝∠OCA＝，
∵AB＝AC，
∴∠ACB＝∠ABC，
∵∠AOB＝2∠ACB，∠AOC＝2∠ABC，
∴∠AOB＝∠AOC，
∴＝，
∴∠OAB＝∠OAC，
∴AF⊥BC，
∵AE∥BC，
∴∠OAE＝∠AFB＝90°，
∴OA是⊙O的半径，且AE⊥OA，
∴AE是⊙O的切线．
（2）解：∵∠ACB＝∠ABC＝75°，
∴∠BAC＝180°﹣∠ACB﹣∠ABC＝30°，
∴∠BOC＝2∠BAC＝2×30°＝60°，
∴△BOC是等边三角形，∠COD＝180°﹣∠BOC＝120°，
∴OC＝BC＝2，
∴＝＝，
∴的长是．

六．解直角三角形的应用-仰角俯角问题（共1小题）
8．（2022•临沂）如图是一座独塔双索结构的斜拉索大桥，主塔采用倒“Y”字形设计．某学习小组利用课余时间测量主塔顶端到桥面的距离．勘测记录如下表：

活动内容
测量主塔顶端到桥面的距离
成员
组长：×××组员××××××××××××
测量工具
测角仪，皮尺等
测量示意图

说明：图为斜拉索桥的侧面示意图，点A，C，D，B在同一条直线上，EF⊥AB，点A，C分别与点B，D关于直线EF对称．
测量数据
∠A的大小
28°
AC的长度
84m
CD的长度
12m
请利用表中提供的信息，求主塔顶端E到AB的距离（参考数据：sin28°≈0.47，cos28°≈0.88，tan28°≈0.53）．

【答案】主塔顶端E到AB的距离约为47.7m．
【解答】解：延长EF交AB于点G，
∵EF⊥AB，
∴EG⊥AB，
∴∠EGA＝90°，
∵点A，C分别与点B，D关于直线EF对称，
∴CG＝DG，
∵AC＝84m，CD＝12m，
∴CG＝6m，
∴AG＝AC+CG＝84+6＝90（m），
∵∠A＝28°，tanA＝，
∴tan28°＝，
解得EG≈47.7，
即主塔顶端E到AB的距离约为47.7m．

七．频数（率）分布直方图（共2小题）
9．（2023•临沂）某中学九年级共有600名学生，从中随机抽取了20名学生进行信息技术操作测试，测试成绩（单位：分）如下：
81 90 82 89 99 95 91 83 92 93
87 92 94 88 92 87 100 86 85 96
（1）请按组距为5将数据分组，列出频数分布表，画出频数分布直方图；
频数分布表
成绩分组
　80＜x≤85　
　85＜x≤90　
　90＜x≤95　
　95＜x≤100　
划记
　　
　　
　　
　　
频数
　4　
　6　
　7　
　3　

（2）①这组数据的中位数是 　90.5　；
②分析数据分布的情况（写出一条即可） 　成绩在90＜x≤95的人数最多　；
（3）若85分以上（不含85分）成绩为优秀等次，请预估该校九年级学生在同等难度的信息技术操作考试中达到优秀等次的人数．
【答案】（1）详见解答；
（2）①90.5；②成绩在90≤x＜95的人数最多；
（3）480．
【解答】解：（1）画出频数分布直方图如下：
（2）①将这20名学生的成绩从小到大排列，处在中间位置的两个数的平均数为＝90.5，因此中位数是90.5，
故答案为：90.5；
②从频数分布直方图可知：成绩在90≤x＜95的人数最多，
故答案为：成绩在90＜x≤95的人数最多；
（3）600×＝480（人），
答：该校九年级600名学生中，测试成绩达到优秀等次的人数大约为480人．

10．（2022•临沂）省农科院为某县选育小麦种子，为了解种子的产量及产量的稳定性，在该县的10个乡镇中，每个乡镇选择两块自然条件相近的实验田分别种植甲、乙两种小麦，得到其亩产量数据如下（单位：kg）：
甲种小麦：804 818 802 816 806 811 818 811 803 819
乙种小麦：804 811 806 810 802 812 814 804 807 809
画以上甲种小麦数据的频数分布直方图，甲乙两种小麦数据的折线图，得到图1，图2

（1）图1中，a＝　2　，b＝　3　；
（2）根据图1，若该县选择种植甲种小麦，则其亩产量W（单位：kg）落在 　D　内的可能性最大；
A.800≤W＜805
B.805≤W＜810
C.810≤W＜815
D.815≤W＜820
（3）观察图2，从小麦的产量或产量的稳定性的角度，你认为农科院应推荐种植哪种小麦？简述理由．
【答案】（1）2，3；
（2）D；
（3）从产量角度选择甲，从稳定性角度选乙．
【解答】解：（1）由题意a＝2，b＝3，
故答案为：2，3；

（2）由频数分布直方图可知落在815≤W＜820的可能性最大，
故选：D；

（3）甲产量较高，但稳定性差，乙产量低，但稳定．
从产量角度选择甲，从稳定性角度选乙．