山东省烟台市2021-2023三年中考数学真题分类汇编-03解答题（基础题）知识点分类

这是一份山东省烟台市2021-2023三年中考数学真题分类汇编-03解答题（基础题）知识点分类，共17页。试卷主要包含了先化简，再求值，直播购物逐渐走进了人们的生活等内容，欢迎下载使用。

山东省烟台市2021-2023三年中考数学真题分类汇编-03解答题（基础题）知识点分类
一．分式的化简求值（共2小题）
1．（2023•烟台）先化简，再求值：÷（a+2+），其中a是使不等式≤1成立的正整数．
2．（2021•烟台）先化简，再求值：，从﹣2＜x≤2中选出合适的x的整数值代入求值．
二．一元二次方程的应用（共1小题）
3．（2021•烟台）直播购物逐渐走进了人们的生活．某电商在抖音上对一款成本价为40元的小商品进行直播销售，如果按每件60元销售，每天可卖出20件．通过市场调查发现，每件小商品售价每降低5元，日销售量增加10件．
（1）若日利润保持不变，商家想尽快销售完该款商品，每件售价应定为多少元？
（2）小明的线下实体商店也销售同款小商品，标价为每件62.5元．为提高市场竞争力，促进线下销售，小明决定对该商品实行打折销售，使其销售价格不超过（1）中的售价，则该商品至少需打几折销售？
三．分式方程的应用（共2小题）
4．（2023•烟台）中华优秀传统文化源远流长，是中华文明的智慧结晶．《孙子算经》、《周髀算经》是我国古代较为普及的算书，许多问题浅显有趣．某书店的《孙子算经》单价是《周髀算经》单价的，用600元购买《孙子算经》比购买《周髀算经》多买5本．
（1）求两种图书的单价分别为多少元？
（2）为等备“3.14数学节”活动，某校计划到该书店购买这两种图书共80本，且购买的《周髀算经》数量不少于《孙子算经》数量的一半．由于购买量大，书店打折优惠，两种图书均按八折出售，求两种图书分别购买多少本时费用最少？
5．（2022•烟台）扫地机器人具备敏捷的转弯、制动能力和强大的自主感知、规划能力，深受人们喜爱．某商场根据市场需求，采购了A，B两种型号扫地机器人．已知B型每个进价比A型的2倍少400元．采购相同数量的A，B两种型号扫地机器人，分别用了96000元和168000元．请问A，B两种型号扫地机器人每个进价分别为多少元？

四．解一元一次不等式组（共1小题）
6．（2022•烟台）求不等式组的解集，并把它的解集表示在数轴上．
五．反比例函数与一次函数的交点问题（共1小题）
7．（2021•烟台）如图，正比例函数y＝x与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于点A，过点A作AB⊥y轴于点B，OB＝4，点C在线段AB上，且AC＝OC．
（1）求k的值及线段BC的长；
（2）点P为B点上方y轴上一点，当△POC与△PAC的面积相等时，请求出点P的坐标．

六．平行四边形的性质（共1小题）
8．（2022•烟台）如图，在▱ABCD中，DF平分∠ADC，交AB于点F，BE∥DF，交AD的延长线于点E．若∠A＝40°，求∠ABE的度数．

七．作图—复杂作图（共1小题）
9．（2022•烟台）如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠ABC＝45°．
（1）请用尺规作出⊙O的切线AD（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）在（1）的条件下，若AB与切线AD所夹的锐角为75°，⊙O的半径为2，求BC的长．

八．统计图的选择（共1小题）
10．（2022•烟台）2021年4月，教育部办公厅在《关于进一步加强中小学生体质健康管理工作的通知》中明确要求保障学生每天校内、校外各1小时体育活动时间．某校为了解本校学生校外体育活动情况，随机对本校100名学生某天的校外体育活动时间进行了调查，并按照体育活动时间分A，B，C，D四组整理如下：
组别
体育活动时间/分钟
人数
A
0≤x＜30
10
B
30≤x＜60
20
C
60≤x＜90
60
D
x≥90
10
根据以上信息解答下列问题：
（1）制作一个适当的统计图，表示各组人数占所调查人数的百分比；
（2）小明记录了自己一周内每天的校外体育活动时间，制作了如下折线统计图．请计算小明本周内平均每天的校外体育活动时间；
（3）若该校共有1400名学生，请估计该校每天校外体育活动时间不少于1小时的学生人数．

九．列表法与树状图法（共1小题）
11．（2021•烟台）2021年是中国共产党成立100周年．为普及党史知识，培养爱国主义精神，今年五月份，某市党校举行党史知识竞赛，每个班级各选派15名学员参加了网上测试，现对甲、乙两班学员的分数进行整理分析如下：
甲班15名学员测试成绩（满分100分）统计如下：
87，84，88，76，93，87，73，98，86，87，79，85，84，85，98．
乙班15名学员测试成绩（满分100分）统计如下：
77，88，92，85，76，90，76，91，88，81，85，88，98，86，89
（1）按如表分数段整理两班测试成绩
班级
70.5～75.5
75.5～80.5
80.5～85.5
85.5～90.5
90.5～95.5
95.5～100.5
甲
1
2
a
5
1
2
乙
0
3
3
6
2
1
表中a＝　 　；
（2）补全甲班15名学员测试成绩的频数分布直方图；

（3）两班测试成绩的平均数、众数、中位数、方差如表所示：
班级
平均数
众数
中位数
方差
甲
86
x
86
44.8
乙
86
88
y
36.7
表中x＝　 　，y＝　 　．
（4）以上两个班级学员掌握党史相关知识的整体水平较好的是 　 　班；
（5）本次测试两班的最高分都是98分，其中甲班2人，乙班1人．现从以上三人中随机抽取两人代表党校参加全市党史知识竞赛，利用树状图或表格求出恰好抽取甲、乙两班各一人参加全市党史知识竞赛的概率．


山东省烟台市2021-2023三年中考数学真题分类汇编-03解答题（基础题）知识点分类
参考答案与试题解析
一．分式的化简求值（共2小题）
1．（2023•烟台）先化简，再求值：÷（a+2+），其中a是使不等式≤1成立的正整数．
【答案】，﹣．
【解答】解：原式＝÷
＝•
＝•
＝，
∵≤1，
解得：a≤3，
∵a是使不等式≤1成立的正整数，且a﹣2≠0，a﹣3≠0，
∴a＝1，
∴原式＝＝﹣．
2．（2021•烟台）先化简，再求值：，从﹣2＜x≤2中选出合适的x的整数值代入求值．
【答案】，﹣1．
【解答】解：
＝[]•
＝•
＝
＝，
∵﹣2＜x≤2且（x+1）（x﹣1）≠0，2﹣x≠0，
∴x的整数值为﹣1，0，1，2且x≠±1，2，
∴x＝0，
当x＝0时，原式＝＝﹣1．
二．一元二次方程的应用（共1小题）
3．（2021•烟台）直播购物逐渐走进了人们的生活．某电商在抖音上对一款成本价为40元的小商品进行直播销售，如果按每件60元销售，每天可卖出20件．通过市场调查发现，每件小商品售价每降低5元，日销售量增加10件．
（1）若日利润保持不变，商家想尽快销售完该款商品，每件售价应定为多少元？
（2）小明的线下实体商店也销售同款小商品，标价为每件62.5元．为提高市场竞争力，促进线下销售，小明决定对该商品实行打折销售，使其销售价格不超过（1）中的售价，则该商品至少需打几折销售？
【答案】（1）售价应定为50元；（2）8折销售．
【解答】解：（1）设售价应定为x元，则每件的利润为（x﹣40）元，日销售量为20+＝（140﹣2x）件，
依题意，得：（x﹣40）（140﹣2x）＝（60﹣40）×20，
整理，得：x2﹣110x+3000＝0，
解得：x1＝50，x2＝60（舍去）．
答：售价应定为50元；
（2）该商品需要打a折销售，
由题意，得，62.5×≤50，
解得：a≤8，
答：该商品至少需打8折销售．
三．分式方程的应用（共2小题）
4．（2023•烟台）中华优秀传统文化源远流长，是中华文明的智慧结晶．《孙子算经》、《周髀算经》是我国古代较为普及的算书，许多问题浅显有趣．某书店的《孙子算经》单价是《周髀算经》单价的，用600元购买《孙子算经》比购买《周髀算经》多买5本．
（1）求两种图书的单价分别为多少元？
（2）为等备“3.14数学节”活动，某校计划到该书店购买这两种图书共80本，且购买的《周髀算经》数量不少于《孙子算经》数量的一半．由于购买量大，书店打折优惠，两种图书均按八折出售，求两种图书分别购买多少本时费用最少？
【答案】（1）《孙子算经》的单价是30元，《周髀算经》的单价是40元；
（2）当购买53本《孙子算经》、27本《周髀算经》时，总费用最少．
【解答】解：（1）设《周髀算经》的单价是x元，则《孙子算经》的单价是x元，
根据题意得：﹣＝5，
解得：x＝40，
经检验，x＝40是所列方程的解，且符合题意，
∴x＝×40＝30．
答：《孙子算经》的单价是30元，《周髀算经》的单价是40元；
（2）设购买m本《孙子算经》，则购买（80﹣m）本《周髀算经》，
根据题意得：80﹣m≥m，
解得：m≤．
设购买这两种图书共花费w元，则w＝30×0.8m+40×0.8（80﹣m），
∴w＝﹣8m+2560，
∵﹣8＜0，
∴w随m的增大而减小，
又∵m≤，且m为正整数，
∴当m＝53时，w取得最小值，此时80﹣m＝80﹣53＝27．
答：当购买53本《孙子算经》、27本《周髀算经》时，总费用最少．
5．（2022•烟台）扫地机器人具备敏捷的转弯、制动能力和强大的自主感知、规划能力，深受人们喜爱．某商场根据市场需求，采购了A，B两种型号扫地机器人．已知B型每个进价比A型的2倍少400元．采购相同数量的A，B两种型号扫地机器人，分别用了96000元和168000元．请问A，B两种型号扫地机器人每个进价分别为多少元？

【答案】见试题解答内容
【解答】解：设每个A型扫地机器人的进价为x元，则每个B型扫地机器人的进价为（2x﹣400）元，
依题意得：＝，
解得：x＝1600，
经检验，x＝1600是原方程的解，且符合题意，
∴2x﹣400＝2×1600﹣400＝2800．
答：每个A型扫地机器人的进价为1600元，每个B型扫地机器人的进价为2800元．
四．解一元一次不等式组（共1小题）
6．（2022•烟台）求不等式组的解集，并把它的解集表示在数轴上．
【答案】1≤x＜4，在数轴上表示见解析．
【解答】解：，
由①得：x≥1，
由②得：x＜4，
∴不等式组的解集为：1≤x＜4，
将不等式组的解集表示在数轴上如下：

五．反比例函数与一次函数的交点问题（共1小题）
7．（2021•烟台）如图，正比例函数y＝x与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于点A，过点A作AB⊥y轴于点B，OB＝4，点C在线段AB上，且AC＝OC．
（1）求k的值及线段BC的长；
（2）点P为B点上方y轴上一点，当△POC与△PAC的面积相等时，请求出点P的坐标．

【答案】（1）k＝32，BC＝3；
（2）P（0，10）．
【解答】解：（1）∵点A在正比例函数y＝x上，AB⊥y轴，OB＝4，
∵点B的坐标为（0，4），
∴点A的纵坐标是4，代入y＝x，得x＝8，
∴A（8，4），
∵点A在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，
∴k＝4×8＝32，
∵点C在线段AB上，且AC＝OC．
设点C（c，4），
∵OC＝＝，AC＝AB﹣BC＝8﹣c，
∴＝8﹣c，解得：c＝3，
∴点C（3，4），
∴BC＝3，
∴k＝32，BC＝3；

（2）如图，

设点P（0，p），
∵点P为B点上方y轴上一点，
∴OP＝p，BP＝p﹣4，
∵A（8，4），C（3，4），
∴AC＝8﹣3＝5，BC＝3，
∵△POC与△PAC的面积相等，
∴×3p＝×5（p﹣4），解得：p＝10，
∴P（0，10）．
六．平行四边形的性质（共1小题）
8．（2022•烟台）如图，在▱ABCD中，DF平分∠ADC，交AB于点F，BE∥DF，交AD的延长线于点E．若∠A＝40°，求∠ABE的度数．

【答案】见试题解答内容
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠A+∠ADC＝180°，
∵∠A＝40°，
∴∠ADC＝140°，
∵DF平分∠ADC，
∴∠CDF＝ADC＝70°，
∴∠AFD＝∠CDF＝70°，
∵DF∥BE，
∴∠ABE＝∠AFD＝70°．
七．作图—复杂作图（共1小题）
9．（2022•烟台）如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠ABC＝45°．
（1）请用尺规作出⊙O的切线AD（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）在（1）的条件下，若AB与切线AD所夹的锐角为75°，⊙O的半径为2，求BC的长．

【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）如图，切线AD即为所求；


（2）过点O作OH⊥BC于H，连接OB，OC．
∵AD是切线，
∴OA⊥AD，
∴∠OAD＝90°，
∵∠DAB＝75°，
∴∠OAB＝15°，
∵OA＝OB，
∴∠OAB＝∠OBA＝15°，
∴∠BOA＝150°，
∴∠BCA＝∠AOB＝75°，
∵∠ABC＝45°，
∴∠BAC＝180°﹣45°﹣75°＝60°，
∴∠BOC＝2∠BAC＝120°，
∵OB＝OC＝2，
∴∠BCO＝∠CBO＝30°，
∵OH⊥BC，
∴CH＝BH＝OC•cos30°＝，
∴BC＝2．
八．统计图的选择（共1小题）
10．（2022•烟台）2021年4月，教育部办公厅在《关于进一步加强中小学生体质健康管理工作的通知》中明确要求保障学生每天校内、校外各1小时体育活动时间．某校为了解本校学生校外体育活动情况，随机对本校100名学生某天的校外体育活动时间进行了调查，并按照体育活动时间分A，B，C，D四组整理如下：
组别
体育活动时间/分钟
人数
A
0≤x＜30
10
B
30≤x＜60
20
C
60≤x＜90
60
D
x≥90
10
根据以上信息解答下列问题：
（1）制作一个适当的统计图，表示各组人数占所调查人数的百分比；
（2）小明记录了自己一周内每天的校外体育活动时间，制作了如下折线统计图．请计算小明本周内平均每天的校外体育活动时间；
（3）若该校共有1400名学生，请估计该校每天校外体育活动时间不少于1小时的学生人数．

【答案】（1）详见解答；
（2）64；
（3）980．
【解答】解：（1）由于各组人数占所调查人数的百分比，因此可以采用扇形统计图；

（2）＝64（分），
答：小明本周内平均每天的校外体育活动时间为64分钟；
（3）1400×＝980（名），
答：该校1400名学生中，每天校外体育活动时间不少于1小时的大约有980名．
九．列表法与树状图法（共1小题）
11．（2021•烟台）2021年是中国共产党成立100周年．为普及党史知识，培养爱国主义精神，今年五月份，某市党校举行党史知识竞赛，每个班级各选派15名学员参加了网上测试，现对甲、乙两班学员的分数进行整理分析如下：
甲班15名学员测试成绩（满分100分）统计如下：
87，84，88，76，93，87，73，98，86，87，79，85，84，85，98．
乙班15名学员测试成绩（满分100分）统计如下：
77，88，92，85，76，90，76，91，88，81，85，88，98，86，89
（1）按如表分数段整理两班测试成绩
班级
70.5～75.5
75.5～80.5
80.5～85.5
85.5～90.5
90.5～95.5
95.5～100.5
甲
1
2
a
5
1
2
乙
0
3
3
6
2
1
表中a＝　4　；
（2）补全甲班15名学员测试成绩的频数分布直方图；

（3）两班测试成绩的平均数、众数、中位数、方差如表所示：
班级
平均数
众数
中位数
方差
甲
86
x
86
44.8
乙
86
88
y
36.7
表中x＝　87　，y＝　88　．
（4）以上两个班级学员掌握党史相关知识的整体水平较好的是 　乙　班；
（5）本次测试两班的最高分都是98分，其中甲班2人，乙班1人．现从以上三人中随机抽取两人代表党校参加全市党史知识竞赛，利用树状图或表格求出恰好抽取甲、乙两班各一人参加全市党史知识竞赛的概率．

【答案】（1）4；
（2）图形见解析；
（3）87，88；
（4）乙；
（5）．
【解答】解：（1）由题意得：a＝4，
故答案为：4；
（2）补全甲班15名学员测试成绩的频数分布直方图如下：

（3）甲班15名学员测试成绩中，87分出现的次数最多，
∴x＝87，由题意得：乙班15名学员测试成绩的中位数为88，
故答案为：87，88；
（4）以上两个班级学员掌握党史相关知识的整体水平较好的是乙班，理由如下：
①甲、乙两个班的平均数相等，但乙班的中位数大于甲班的中位数；
②乙班的方差小于甲班的方差，因此乙班的成绩更稳定；
故答案为：乙；
（5）把甲班2人记为A、B，乙班1人记为C，
画树状图如图：

共有6种等可能的结果，恰好抽取甲、乙两班各一人参加全市党史知识竞赛的结果有4种，
∴恰好抽取甲、乙两班各一人参加全市党史知识竞赛的概率为＝．