上海市2021-2023三年中考数学真题分类汇编-03解答题（提升题）知识点分类

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上海市2021-2023三年中考数学真题分类汇编-03解答题（提升题）知识点分类
一．一次函数的应用（共1小题）
1．（2023•上海）“中国石化”推出促销活动，一张加油卡的面值是1000元，打九折出售．使用这张加油卡加油，每一升油，油的单价降低0.30元．假设这张加油卡的面值能够一次性全部用完．
（1）他实际花了多少钱购买会员卡？
（2）减价后每升油的单价为y元/升，原价为x元/升，求y关于x的函数解析式（不用写出定义域）．
（3）油的原价是7.30元/升，求优惠后油的单价比原价便宜多少元？
二．二次函数综合题（共2小题）
2．（2022•上海）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2+bx+c过点A（﹣2，﹣1），B（0，﹣3）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）平移抛物线，平移后的顶点为P（m，n）（m＞0）．
ⅰ．如果S△OBP＝3，设直线x＝k，在这条直线的右侧原抛物线和新抛物线均呈上升趋势，求k的取值范围；
ⅱ．点P在原抛物线上，新抛物线交y轴于点Q，且∠BPQ＝120°，求点P的坐标．
3．（2021•上海）已知抛物线y＝ax2+c（a≠0）经过点P（3，0）、Q（1，4）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点A在直线PQ上，过点A作AB⊥x轴于点B，以AB为斜边在其左侧作等腰直角三角形ABC．
①当Q与A重合时，求C到抛物线对称轴的距离；
②若C在抛物线上，求C的坐标．

三．垂径定理（共1小题）
4．（2023•上海）如图，在⊙O中，弦AB的长为8，点C在BO延长线上，且cos∠ABC＝，OC＝OB．
（1）求⊙O的半径；
（2）求∠BAC的正切值．

四．圆的综合题（共2小题）
5．（2022•上海）如图，在▱ABCD中，P是线段BC中点，联结BD交AP于点E，联结CE．
（1）如果AE＝CE．
ⅰ．求证：▱ABCD为菱形；
ⅱ．若AB＝5，CE＝3，求线段BD的长；
（2）分别以AE，BE为半径，点A，B为圆心作圆，两圆交于点E，F，点F恰好在射线CE上，如果CE＝AE，求的值．


6．（2023•上海）如图（1）所示，已知在△ABC中，AB＝AC，O在边AB上，点F边OB中点，为以O为圆心，BO为半径的圆分别交CB，AC于点D，E，联结EF交OD于点G．

（1）如果OG＝DG，求证：四边形CEGD为平行四边形；
（2）如图（2）所示，联结OE，如果∠BAC＝90°，∠OFE＝∠DOE，AO＝4，求边OB的长；
（3）联结BG，如果△OBG是以OB为腰的等腰三角形，且AO＝OF，求的值．
五．相似三角形的判定与性质（共2小题）
7．（2023•上海）如图，在梯形ABCD中AD∥BC，点F，E分别在线段BC，AC上，且∠FAC＝∠ADE，AC＝AD．
（1）求证：DE＝AF；
（2）若∠ABC＝∠CDE，求证：AF2＝BF•CE．

8．（2022•上海）如图所示，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，点E，F在线段BC上，点Q在线段AB上，且CF＝BE，AE2＝AQ•AB．
求证：（1）∠CAE＝∠BAF；
（2）CF•FQ＝AF•BQ．

六．相似形综合题（共1小题）
9．（2021•上海）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，AD＝CD，O是对角线AC的中点，联结BO并延长交边CD或边AD于点E．
（1）当点E在CD上，
①求证：△DAC∽△OBC；
②若BE⊥CD，求的值；
（2）若DE＝2，OE＝3，求CD的长．

七．解直角三角形（共1小题）
10．（2021•上海）如图，已知△ABD中，AC⊥BD，BC＝8，CD＝4，cos∠ABC＝，BF为AD边上的中线．
（1）求AC的长；
（2）求tan∠FBD的值．

八．解直角三角形的应用-仰角俯角问题（共1小题）
11．（2022•上海）我们经常会采用不同方法对某物体进行测量，请测量下列灯杆AB的长．
（1）如图（1）所示，将一个测角仪放置在距离灯杆AB底部a米的点D处，测角仪高为b米，从C点测得A点的仰角为α，求灯杆AB的高度．（用含a，b，α的代数式表示）
（2）我国古代数学家赵爽利用影子对物体进行测量的方法，在至今仍有借鉴意义．如图（2）所示，现将一高度为2米的木杆CG放在灯杆AB前，测得其影长CH为1米，再将木杆沿着BC方向移动1.8米至DE的位置，此时测得其影长DF为3米，求灯杆AB的高度．



上海市2021-2023三年中考数学真题分类汇编-03解答题（提升题）知识点分类
参考答案与试题解析
一．一次函数的应用（共1小题）
1．（2023•上海）“中国石化”推出促销活动，一张加油卡的面值是1000元，打九折出售．使用这张加油卡加油，每一升油，油的单价降低0.30元．假设这张加油卡的面值能够一次性全部用完．
（1）他实际花了多少钱购买会员卡？
（2）减价后每升油的单价为y元/升，原价为x元/升，求y关于x的函数解析式（不用写出定义域）．
（3）油的原价是7.30元/升，求优惠后油的单价比原价便宜多少元？
【答案】（1）900；
（2）y＝0.9x﹣0.27；
（3）1.00．
【解答】解：（1）由题意知，1000×0.9＝900（元），
答：实际花了900元购买会员卡；
（2）由题意知，y＝0.9（x﹣0.30），
整理得y＝0.9x﹣0.27，
∴y关于x的函数解析式为 y＝0.9x﹣0.27；
（3）当x＝7.30时，y＝0.9×7.30﹣0.27＝6.30，
∵7.30﹣6.30＝1.00，
∴优惠后油的单价比原价便宜1.00元．
二．二次函数综合题（共2小题）
2．（2022•上海）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2+bx+c过点A（﹣2，﹣1），B（0，﹣3）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）平移抛物线，平移后的顶点为P（m，n）（m＞0）．
ⅰ．如果S△OBP＝3，设直线x＝k，在这条直线的右侧原抛物线和新抛物线均呈上升趋势，求k的取值范围；
ⅱ．点P在原抛物线上，新抛物线交y轴于点Q，且∠BPQ＝120°，求点P的坐标．
【答案】（1）；
（2）i．k≥2；
ii.．
【解答】解：（1）将A（﹣2，﹣1），B（0，﹣3）代入y＝x2+bx+c，得：
，
解得：，
∴抛物线的解析式为y＝x2﹣3．
（2）i．∵y＝x2﹣3，
∴抛物线的顶点坐标为（0，﹣3），
即点B是原抛物线的顶点，
∵平移后的抛物线顶点为P（m，n），
∴抛物线平移了|m|个单位，
∴S△OPB＝×3|m|＝3，
∵m＞0，
∴m＝2，
即平移后的抛物线的对称轴为直线x＝2，
∵在x＝k的右侧，两抛物线都上升，原抛物线的对称轴为y轴，开口向上，
∴k≥2；
ii．把P（m，n）代入y＝x2﹣3，
∴n＝﹣3，
∴P（m，﹣3），
由题意得，新抛物线的解析式为y＝+n＝﹣3，
∴Q（0，m2﹣3），
∵B（0，﹣3），
∴BQ＝m2，+，PQ2＝，
∴BP＝PQ，
如图，过点P作PC⊥y轴于C，则PC＝m，

∵PB＝PQ，PC⊥BQ，
∴BC＝BQ＝m2，∠BPC＝∠BPQ＝×120°＝60°，
∴tan∠BPC＝tan60°＝＝，
∴m＝2或m＝﹣2（舍），
∴n＝﹣3＝3，
∴P点的坐标为（2，3）．
3．（2021•上海）已知抛物线y＝ax2+c（a≠0）经过点P（3，0）、Q（1，4）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点A在直线PQ上，过点A作AB⊥x轴于点B，以AB为斜边在其左侧作等腰直角三角形ABC．
①当Q与A重合时，求C到抛物线对称轴的距离；
②若C在抛物线上，求C的坐标．

【答案】（1）y＝﹣x2+；
（2）①1；②C（﹣2，）．
【解答】解：（1）P（3，0）、Q（1，4）代入y＝ax2+c得：
，解得，
∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2+；
（2）①过C作CH⊥AB于H，交y轴于G，如图：

当A与Q（1，4）重合时，AB＝4，GH＝1，
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴△ACH和△BCH也是等腰直角三角形，
∴CH＝AH＝BH＝AB＝2，
∴CG＝CH﹣GH＝1，
而抛物线y＝﹣x2+的对称轴是y轴（x＝0），
∴C到抛物线对称轴的距离是CG＝1；
②过C作CH⊥AB于H，如图：

设直线PQ解析式为y＝kx+b，将P（3，0）、Q（1，4）代入得：
，解得，
∴直线PQ为y＝﹣2x+6，
设A（m，﹣2m+6），则AB＝|﹣2m+6|，
∴CH＝AH＝BH＝AB＝|﹣m+3|，
当﹣m+3≥0，yC＝﹣m+3时，xC＝﹣（﹣m+3﹣m）＝2m﹣3，
将C（2m﹣3，﹣m+3）代入y＝﹣x2+得：
﹣m+3＝﹣（2m﹣3）2+，
解得m＝或m＝3（与P重合，舍去），
∴m＝，2m﹣3＝﹣2，﹣m+3＝，
∴C（﹣2，）
当﹣m+3＜0，yC＝﹣m+3时，xC＝m﹣（m﹣3）＝3，
C（3，﹣m+3），由P（3，0）可知m＝3，
此时A、B、C重合，舍去，
∴C（﹣2，）
三．垂径定理（共1小题）
4．（2023•上海）如图，在⊙O中，弦AB的长为8，点C在BO延长线上，且cos∠ABC＝，OC＝OB．
（1）求⊙O的半径；
（2）求∠BAC的正切值．

【答案】（1）⊙O的半径为5；
（2）∠BAC的正切值为．
【解答】解：（1）过点O作OD⊥AB，垂足为D，

∵AB＝8，
∴AD＝BD＝AB＝4，
在Rt△OBD中，cos∠ABC＝，
∴OB＝＝＝5，
∴⊙O的半径为5；
（2）过点C作CE⊥AB，垂足为E，

∵OC＝OB，OB＝5，
∴BC＝OB＝7.5，
∵OD⊥AB，
∴OD∥CE，
∴＝，
∴＝，
∴BE＝6，
∴AE＝AB﹣BE＝8﹣6＝2，
在Rt△BCE中，CE＝＝＝4.5，
在Rt△ACE中，tan∠BAC＝＝＝，
∴∠BAC的正切值为．
四．圆的综合题（共2小题）
5．（2022•上海）如图，在▱ABCD中，P是线段BC中点，联结BD交AP于点E，联结CE．
（1）如果AE＝CE．
ⅰ．求证：▱ABCD为菱形；
ⅱ．若AB＝5，CE＝3，求线段BD的长；
（2）分别以AE，BE为半径，点A，B为圆心作圆，两圆交于点E，F，点F恰好在射线CE上，如果CE＝AE，求的值．


【答案】（1）i．证明见解析；
ii.；
（2）．
【解答】（1）i．证明：如图，连接AC交BD于点O，

∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，
∵AE＝CE，OE＝OE，
∴△AOE≌△COE（SSS），
∴∠AOE＝∠COE，
∵∠AOE+∠COE＝180°，
∴∠COE＝90°，
∴AC⊥BD，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴▱ABCD为菱形；
ii．解：∵OA＝OC，
∴OB是△ABC的中线，
∵P为BC的中点，
∴AP是△ABC的中线，
∴点E是△ABC的重心，
∴BE＝2OE，
设OE＝x，则BE＝2x，
在Rt△AOE中，由勾股定理得，OA2＝AE2﹣OE2＝32﹣x2＝9﹣x2，
在Rt△AOB中，由勾股定理得，OA2＝AB2﹣OB2＝52﹣（3x）2＝25﹣9x2，
∴9﹣x2＝25﹣9x2，
解得x＝（负值舍去），
∴OB＝3x＝3，
∴BD＝2OB＝6；
（2）解：方法一：如图，

∵⊙A与⊙B相交于E，F，
∴AB⊥EF，
由（1）②知点E是△ABC的重心，
又∵F在直线CE上，
∴CG是△ABC的中线，
∴AG＝BG＝AB，EG＝CE，
∵CE＝AE，
∴GE＝AE，CG＝CE+EG＝AE，
∴AG2＝AE2﹣EG2＝AE2﹣＝，
∴AG＝AE，
∴AB＝2AG＝AE，
∴BC2＝BG2+CG2＝AE2+＝5AE2，
∴BC＝AE，
∴．
方法二：设EP＝x，则AE＝2x，CE＝2x，
∵AE＝AF，BE＝BF，
∴AB垂直平分EF，∠AGF＝90°，
∴∠DCE＝90°，
延长AP交DC的延长线于点Q，则CQ＝CD，

∴EQ＝ED＝4x，由勾股定理得CD＝2x，∠DEC＝∠CEQ＝45°，
由DE＝4x可得BE＝2x，
∴BP＝＝x，
∴AB：BC＝2x：2x＝．
6．（2023•上海）如图（1）所示，已知在△ABC中，AB＝AC，O在边AB上，点F边OB中点，为以O为圆心，BO为半径的圆分别交CB，AC于点D，E，联结EF交OD于点G．

（1）如果OG＝DG，求证：四边形CEGD为平行四边形；
（2）如图（2）所示，联结OE，如果∠BAC＝90°，∠OFE＝∠DOE，AO＝4，求边OB的长；
（3）联结BG，如果△OBG是以OB为腰的等腰三角形，且AO＝OF，求的值．
【答案】（1）证明见解答过程；
（2）OB＝1+；
（3）的值为．
【解答】（1）证明：如图：

∵AC＝AB，
∴∠ABC＝∠C，
∵OD＝OB，
∴∠ODB＝∠ABC，
∴∠C＝∠ODB，
∴OD∥AC，
∵F是OB的中点，OG＝DG，
∴FG是△OBD的中位线，
∴FG∥BC，即GE∥CD，
∴四边形CEDG是平行四边形；
（2）解：如图：

由∠OFE＝∠DOE，AO＝4，点F边OB中点，设∠OFE＝∠DOE＝α，OF＝FB＝a，则OE＝OB＝2a，
由（1）可得OD∥AC，
∴∠AEO＝∠DOE＝α，
∴∠OFE＝∠AEO＝α，
∵∠A＝∠A，
∴△AEO∽△AFE，
∴，即 AE2＝AO•AF，
在Rt△AEO 中，AE2＝EO2﹣AO2，
∴EO2﹣AO2＝AO×AF，
∴（2a）2﹣42＝4×（4+a），
解得： 或 （舍去），
∴OB＝2a＝1+；
（3）解：①当OG＝OB时，点G与点D重合，不符合题意，舍去；
②当BG＝OB 时，延长BG交AC于点P，如图所示，

∵点F是OB的中点，AO＝OF，
∴AO＝OF＝FB，
设AO＝OF＝FB＝a，
∵OG∥AC，
∴△BGO∽△BPA，
∴，
设OG＝2k，AP＝3k，
∵OG∥AE，
∴△FOG∽△FAE，
∴，
∴AE＝2OG＝4k，
∴PE＝AE﹣AP＝k，
设OE交PG于点Q，

∵OG∥PE，
∴△QPE∽△QGO，
∴，
∴PQ＝a，QG＝a，，
在△PQE 与△BQO 中，
，，
∴，
又∠PQE＝∠BQO，
∴△PQE∽△OQB，
∴，
∴，
∴a＝2k，
∵OD＝OB＝2a，OG＝2k，
∴，
∴的值为．
五．相似三角形的判定与性质（共2小题）
7．（2023•上海）如图，在梯形ABCD中AD∥BC，点F，E分别在线段BC，AC上，且∠FAC＝∠ADE，AC＝AD．
（1）求证：DE＝AF；
（2）若∠ABC＝∠CDE，求证：AF2＝BF•CE．

【答案】证明过程见解答．
【解答】证明：（1）∵AD∥BC，
∴∠ACF＝∠DAC
∵∠FAC＝∠ADE，AC＝AD，
∴△ACF≌△ADE（ASA），
∴AF＝DE；
（2）∵△ACF≌△ADE，
∴∠AFC＝∠DEA，
∴∠AFB＝∠DEC，
∵∠ABC＝∠CDE，
∴△ABF∽△CDE，
∴＝，
∴AF•DE＝BF•CE，
∵AF＝DE，
∴AF2＝BF•CE．
8．（2022•上海）如图所示，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，点E，F在线段BC上，点Q在线段AB上，且CF＝BE，AE2＝AQ•AB．
求证：（1）∠CAE＝∠BAF；
（2）CF•FQ＝AF•BQ．

【答案】（1）证明见解答过程；（2）证明见解答过程．
【解答】证明：（1）∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∵CF＝BE，
∴CF﹣EF＝BE﹣EF，
即CE＝BF，
在△ACE和△ABF中，
，
∴△ACE≌△ABF（SAS），
∴∠CAE＝∠BAF；
（2）∵△ACE≌△ABF，
∴AE＝AF，∠CAE＝∠BAF，
∵AE2＝AQ•AB，AC＝AB，
∴＝，
∴△ACE∽△AFQ，
∴∠AEC＝∠AQF，
∴∠AEF＝∠BQF，
∵AE＝AF，
∴∠AEF＝∠AFE，
∴∠BQF＝∠AFE，
∵∠B＝∠C，
∴△CAF∽△BFQ，
∴＝，
即CF•FQ＝AF•BQ．
六．相似形综合题（共1小题）
9．（2021•上海）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，AD＝CD，O是对角线AC的中点，联结BO并延长交边CD或边AD于点E．
（1）当点E在CD上，
①求证：△DAC∽△OBC；
②若BE⊥CD，求的值；
（2）若DE＝2，OE＝3，求CD的长．

【答案】（1）①证明过程见解析；
②；
（2）CD的长为1+或3+．
【解答】（1）①证明：如图1，

∵AD＝CD，
∴∠DAC＝∠DCA．
∵AD∥BC，
∴∠DAC＝∠ACB．
∵BO是Rt△ABC斜边AC上的中线，
∴OB＝OC，
∴∠OBC＝∠OCB，
∴∠DAC＝∠DCA＝∠ACB＝∠OBC，
∴△DAC∽△OBC；
②解：如图2，若BE⊥CD，

在Rt△BCE中，∠OCE＝∠OCB＝∠EBC，
∴∠OCE＝∠OCB＝∠EBC＝30°．
过点D作DH⊥BC于点H，
设AD＝CD＝2m，则BH＝AD＝2m，
在Rt△DCH中，DC＝2m，
∴CH＝m，
∴BC＝BH+CH＝3m，
∴；
（2）①如图3，当点E在AD上时，

∵AD∥BC，
∴∠EAO＝∠BCO，∠AEO＝∠CBO，
∵O是AC的中点，
∴OA＝OC，
∴△AOE≌△COB（AAS），
∴OB＝OE，
∴四边形ABCE是平行四边形，
又∵∠ABC＝90°，
∴四边形ABCE是矩形．
设AD＝CD＝x，
∵DE＝2，
∴AE＝x﹣2，
∵OE＝3，
∴AC＝6，
在Rt△ACE和Rt△DCE中，CE2＝AC2﹣AE2，CE2＝CD2﹣DE2，
∴62﹣（x﹣2）2＝x2﹣22，
解得x＝1+，或x＝1﹣（舍去）．
∴CD＝1+．
②如图4，当点E在CD上时，设AD＝CD＝x，则CE＝x﹣2，

设OB＝OC＝m，
∵OE＝3，
∴EB＝m+3，
∵△DAC∽△OBC，
∴，
∴，
∴．
又∵∠EBC＝∠OCE，∠BEC＝∠OEC，
∴△EOC∽△ECB，
∴，
∴，
∴，
∴m＝，
将m＝代入，
整理得，x2﹣6x﹣10＝0，
解得x＝3+，或x＝3﹣（舍去）．
∴CD＝3+．
综合以上可得CD的长为1+或3+．
七．解直角三角形（共1小题）
10．（2021•上海）如图，已知△ABD中，AC⊥BD，BC＝8，CD＝4，cos∠ABC＝，BF为AD边上的中线．
（1）求AC的长；
（2）求tan∠FBD的值．

【答案】（1）6；（2）．
【解答】解：（1）∵AC⊥BD，cos∠ABC＝＝，BC＝8，
∴AB＝10，
在Rt△ACB中，由勾股定理得，
AC＝＝＝6，
即AC的长为6；
（2）如图，

连接CF，过F点作BD的垂线，垂足E，
∵BF为AD边上的中线，
即F为AD的中点，
∴CF＝AD＝FD，
在Rt△ACD中，由勾股定理得，
AD＝＝＝2，
∵三角形CFD为等腰三角形，FE⊥CD，
∴CE＝CD＝2，
在Rt△EFC中，EF＝＝＝3，
∴tan∠FBD＝＝＝．
解法二：∵BF为AD边上的中线，
∴F是AD中点，
∵FE⊥BD，AC⊥BD，
∴FE∥AC，
∴FE是△ACD的中位线，
∴FE＝AC＝3，CE＝CD＝2，
∴在Rt△BFE中，tan∠FBD＝＝＝．
八．解直角三角形的应用-仰角俯角问题（共1小题）
11．（2022•上海）我们经常会采用不同方法对某物体进行测量，请测量下列灯杆AB的长．
（1）如图（1）所示，将一个测角仪放置在距离灯杆AB底部a米的点D处，测角仪高为b米，从C点测得A点的仰角为α，求灯杆AB的高度．（用含a，b，α的代数式表示）
（2）我国古代数学家赵爽利用影子对物体进行测量的方法，在至今仍有借鉴意义．如图（2）所示，现将一高度为2米的木杆CG放在灯杆AB前，测得其影长CH为1米，再将木杆沿着BC方向移动1.8米至DE的位置，此时测得其影长DF为3米，求灯杆AB的高度．


【答案】（1）（atanα+b）米；
（2）3.8米．
【解答】解：（1）如图：

由题意得：
BE＝CD＝b米，EC＝BD＝a米，∠AEC＝90°，∠ACE＝α，
在Rt△AEC中，AE＝CE•tanα＝atanα（米），
∴AB＝AE+BE＝（b+atanα）米，
∴灯杆AB的高度为（atanα+b）米；
（2）由题意得：
GC＝DE＝2米，CD＝1.8米，∠ABC＝∠GCD＝∠EDF＝90°，
∵∠AHB＝∠GHC，
∴△ABH∽△GCH，
∴＝，
∴＝，
∵∠F＝∠F，
∴△ABF∽△EDF，
∴＝，
∴＝，
∴＝，
∴BC＝0.9米，
∴＝，
∴AB＝3.8米，
∴灯杆AB的高度为3.8米．