云南省2021-2023三年中考数学真题分类汇编-03解答题知识点分类

这是一份云南省2021-2023三年中考数学真题分类汇编-03解答题知识点分类，共36页。试卷主要包含了﹣1﹣tan45°，的横坐标，m＝，，且与x轴交于A、B两点等内容，欢迎下载使用。
云南省2021-2023三年中考数学真题分类汇编-03解答题知识点分类
一．实数的运算（共2小题）
1．（2023•云南）计算：|﹣1|+（﹣2）2﹣（π﹣1）0+（）﹣1﹣tan45°．
2．（2021•云南）计算：（﹣3）2++（﹣1）0﹣2﹣1+×（﹣6）．
二．分式方程的应用（共1小题）
3．（2021•云南）“30天无理由退货”是营造我省“诚信旅游”良好环境，进一步提升旅游形象的创新举措．机场、车站、出租车、景区、手机短信……，“30天无理由退货”的提示随处可见，它已成为一张云南旅行的“安心卡”，极大地提高了旅游服务的品质．刚刚过去的“五•一”假期，旅游线路、住宿、餐饮、生活服务、购物等旅游消费的供给更加多元，同步的是云南旅游市场强劲复苏．某旅行社今年5月1日租用A、B两种客房一天，供当天使用．下面是有关信息：

请根据上述信息，分别求今年5月1日该旅行社租用的A、B两种客房每间客房的租金．
三．一次函数的应用（共3小题）
4．（2023•云南）蓝天白云下，青山绿水间，支一顶帐篷，邀亲朋好友，听蝉鸣，闻清风，话家常，好不惬意．某景区为响应文化和旅游部《关于推动露营旅游休闲健康有序发展的指导意见》精神，需要购买A、B两种型号的帐篷．若购买A种型号帐篷2顶和B种型号帐篷4顶，则需5200元；若购买A种型号帐篷3顶和B种型号帐篷1顶，则需2800元．
（1）求每顶A种型号帐篷和每顶B种型号帐篷的价格；
（2）若该景区需要购买A、B两种型号的帐篷共20顶（两种型号的帐篷均需购买），购买A种型号帐篷数量不超过购买B种型号帐篷数量的，为使购买帐篷的总费用最低，应购买A种型号帐篷和B种型号帐篷各多少顶？购买帐篷的总费用最低为多少元？
5．（2022•云南）某学校要购买甲、乙两种消毒液，用于预防新型冠状病毒．若购买9桶甲消毒液和6桶乙消毒液，则一共需要615元；若购买8桶甲消毒液和12桶乙消毒液，则一共需要780元．
（1）每桶甲消毒液、每桶乙消毒液的价格分别是多少元？
（2）若该校计划购买甲、乙两种消毒液共30桶，其中购买甲消毒液a桶，且甲消毒液的数量至少比乙消毒液的数量多5桶，又不超过乙消毒液的数量的2倍．怎样购买，才能使总费用W最少？并求出最少费用．
6．（2021•云南）某鲜花销售公司每月付给销售人员的工资有两种方案．
方案一：没有底薪，只付销售提成；
方案二：底薪加销售提成．
如图中的射线l1，射线l2分别表示该鲜花销售公司每月按方案一，方案二付给销售人员的工资y1（单位：元）和y2（单位：元）与其当月鲜花销售量x（单位：千克）（x≥0）的函数关系．
（1）分别求y1、y2与x的函数解析式（解析式也称表达式）；
（2）若该公司某销售人员今年3月份的鲜花销售量没有超过70千克，但其3月份的工资超过2000元．这个公司采用了哪种方案给这名销售人员付3月份的工资？

四．抛物线与x轴的交点（共1小题）
7．（2021•云南）已知抛物线y＝﹣2x2+bx+c经过点（0，﹣2），当x＜﹣4时，y随x的增大而增大，当x＞﹣4时，y随x的增大而减小．设r是抛物线y＝﹣2x2+bx+c与x轴的交点（交点也称公共点）的横坐标，m＝．
（1）求b、c的值；
（2）求证：r4﹣2r2+1＝60r2；
（3）以下结论：m＜1，m＝1，m＞1，你认为哪个正确？请证明你认为正确的那个结论．
五．二次函数的应用（共1小题）
8．（2023•云南）数和形是数学研究客观物体的两个方面，数（代数）侧重研究物体数量方面，具有精确性，形（几何）侧重研究物体形的方面，具有直观性．数和形相互联系，可用数来反映空间形式，也可用形来说明数量关系．数形结合就是把两者结合起来考虑问题，充分利用代数、几何各自的优势，数形互化，共同解决问题．
同学们，请你结合所学的数学解决下列问题．
在平面直角坐标系中，若点的横坐标、纵坐标都为整数，则称这样的点为整点．设函数y＝（4a+2）x2+（9﹣6a）x﹣4a+4（实数a为常数）的图象为图象T．
（1）求证：无论a取什么实数，图象T与x轴总有公共点；
（2）是否存在整数a，使图象T与x轴的公共点中有整点？若存在，求所有整数a的值；若不存在，请说明理由．
六．二次函数综合题（共1小题）
9．（2022•云南）已知抛物线y＝﹣x2﹣x+c经过点（0，2），且与x轴交于A、B两点．设k是抛物线y＝﹣x2﹣x+c与x轴交点的横坐标，M是抛物线y＝﹣x2﹣x+c上的点，常数m＞0，S为△ABM的面积．已知使S＝m成立的点M恰好有三个，设T为这三个点的纵坐标的和．
（1）求c的值；
（2）直接写出T的值；
（3）求的值．
七．全等三角形的判定（共1小题）
10．（2023•云南）如图，C是BD的中点，AB＝ED，AC＝EC．求证：△ABC≌△EDC．

八．全等三角形的判定与性质（共1小题）
11．（2021•云南）如图，在四边形ABCD中，AD＝BC，AC＝BD，AC与BD相交于点E．求证：∠DAC＝∠CBD．

九．菱形的判定与性质（共1小题）
12．（2023•云南）如图，平行四边形ABCD中，AE、CF分别是∠BAD、∠BCD的平分线，且E、F分别在边BC、AD上，AE＝AF．
（1）求证：四边形AECF是菱形；
（2）若∠ABC＝60°，△ABE的面积等于，求平行线AB与DC间的距离．

一十．矩形的判定与性质（共1小题）
13．（2022•云南）如图，在平行四边形ABCD中，连接BD，E为线段AD的中点，延长BE与CD的延长线交于点F，连接AF，∠BDF＝90°．
（1）求证：四边形ABDF是矩形；
（2）若AD＝5，DF＝3，求四边形ABCF的面积S．

一十一．切线的判定与性质（共1小题）
14．（2021•云南）如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上异于A、B的点，连接AC、BC，点D在BA的延长线上，且∠DCA＝∠ABC，点E在DC的延长线上，且BE⊥DC．
（1）求证：DC是⊙O的切线；
（2）若＝，BE＝3，求DA的长．

一十二．圆的综合题（共1小题）
15．（2022•云南）如图，四边形ABCD的外接圆是以BD为直径的⊙O．P是⊙O的劣弧BC上的任意一点．连接PA、PC、PD，延长BC至E，使BD2＝BC•BE．
（1）试判断直线DE与⊙O的位置关系，并证明你的结论；
（2）若四边形ABCD是正方形，连接AC．当P与C重合时，或当P与B重合时，把转化为正方形ABCD的有关线段长的比，可得＝．当P既不与C重合也不与B重合时，＝是否成立？请证明你的结论．

一十三．翻折变换（折叠问题）（共1小题）
16．（2021•云南）如图，四边形ABCD是矩形，E、F分别是线段AD、BC上的点，点O是EF与BD的交点．若将△BED沿直线BD折叠，则点E与点F重合．
（1）求证：四边形BEDF是菱形；
（2）若ED＝2AE，AB•AD＝3，求EF•BD的值．

一十四．相似三角形的判定与性质（共1小题）
17．（2023•云南）如图，BC是⊙O的直径，A是⊙O上异于B、C的点．⊙O外的点E在射线CB上，直线EA与CD垂直，垂足为D，且DA•AC＝DC•AB．设△ABE的面积为S1，△ACD的面积为S2．
（1）判断直线EA与⊙O的位置关系，并证明你的结论；
（2）若BC＝BE，S2＝mS1，求常数m的值．

一十五．用样本估计总体（共1小题）
18．（2023•云南）
调查主题
某公司员工的旅游需求
调查人员
某中学数学兴趣小组
调查方法
抽样调查
背景介绍
某公司计划组织员工前往5个国家全域旅游示范区（以下简称示范区）中的1个自费旅游．这5个示范区为：
A．保山市腾冲市；B．昆明市石林彝族自治县；C．红河哈尼族彝族自治州弥勒市；D．大理白族自治州大理市；E．丽江市古城区．
某中学数学兴趣小组针对该公司员工的意向目的地开展抽样调查，并为该公司出具了调查报告（注：每位被抽样调查的员工选择且只选择1个意向前往的示范区）．
报告内容

请阅读以上材料，解决下列问题（说明：以上仅展示部分报告内容）．
（1）求本次被抽样调查的员工人数；
（2）该公司总的员工数量为900人，请你估计该公司意向前往保山市腾冲市的员工人数．
一十六．条形统计图（共1小题）
19．（2022•云南）临近端午节，某学校数学兴趣小组到社区参加社会实践活动，帮助有关部门了解某小区居民对去年销量较好的鲜花粽、火腿粽、豆沙粽、蛋黄粽四种粽子的喜爱情况．在对该小区居民进行抽样调查后，根据统计结果绘制如下统计图：

说明：参与本次抽样调查的每一位居民在上述四种粽子中选择且只选择了一种喜爱的粽子．
请根据以上信息，解答下列问题：
（1）补全条形统计图；
（2）若该小区有1820人，估计喜爱火腿粽的有多少人？
一十七．中位数（共1小题）
20．（2021•云南）垃圾的分类回收不仅能够减少环境污染、美化家园，甚至能够变废为宝、节约资源．为增强学生垃圾分类意识，推动垃圾分类进校园，某中学组织全校1565名学生参加了“垃圾分类知识竞赛”（满分为100分）．该校数学兴趣小组为了解全校学生竞赛分数情况，采用简单随机抽样的方法（即每名学生的竞赛分数被抽到的可能性相等的抽样方法）抽取部分学生的竞赛分数进行调查分析．
（1）以下三种抽样调查方案：
方案一：从七年级、八年级、九年级中指定部分学生的竞赛分数作为样本；
方案二：从七年级、八年级中随机抽取部分男生的竞赛分数以及在九年级中随机抽取部分女生的竞赛分数作为样本；
方案三：从全校1565名学生的竞赛分数中随机抽取部分学生的竞赛分数作为样本．
其中抽取的样本最具有代表性和广泛性的一种抽样调查方案是 　 　（填写“方案一”、“方案二”或“方案三”）；
（2）该校数学兴趣小组根据简单随机抽样方法获得的样本，绘制出如下统计表（90分及以上为“优秀”，60分及以上为“及格”，学生竞赛分数记为x分）
样本容量
平均分
及格率
优秀率
最高分
最低分
100
83.59
95%
40%
100
52

分数段
50≤x＜60
60≤x＜70
70≤x＜80
80≤x＜90
90≤x≤100
频数
5
7
18
30
40
结合上述信息解答下列问题：
①样本数据的中位数所在分数段为 　 　；
②全校1565名学生，估计竞赛分数达到“优秀”的学生有 　 　人．
一十八．列表法与树状图法（共3小题）
21．（2023•云南）甲、乙两名同学准备参加种植蔬菜的劳动实践活动，各自随机选择种植辣椒、种植茄子、种植西红柿三种中的一种，记种植辣椒为A，种植茄子为B，种植西红柿为C．假设这两名同学选择种植哪种蔬菜不受任何因素影响，且每一种被选到的可能性相等．记甲同学的选择为x，乙同学的选择为y．
（1）请用列表法或画树状图法中的一种方法，求（x，y）所有可能出现的结果总数；
（2）求甲、乙两名同学选择种植同一种蔬菜的概率P．
22．（2022•云南）某班甲、乙两名同学被推荐到学校艺术节上表演节目，计划用葫芦丝合奏一首乐曲．要合奏的乐曲是用游戏的方式在《月光下的凤尾竹》与《彩云之南》中确定一首．
游戏规则如下，在一个不透明的口袋中装有分别标有数字1，2，3，4的四个小球（除标号外，其余都相同），甲从口袋中任意摸出1个小球，小球上的数字记为a．在另一个不透明的口袋中装有分别标有数字1，2的两张卡片（除标号外，其余都相同），乙从口袋里任意摸出1张卡片，卡片上的数字记为b．然后计算这两个数的和，即a+b．若a+b为奇数，则演奏《月光下的凤尾竹》；否则，演奏《彩云之南》．
（1）用列表法或画树状图法中的一种方法，求（a，b）所有可能出现的结果总数；
（2）你认为这个游戏公平吗？如果公平，请说明理由；如果不公平，哪一首乐曲更可能被选中？
23．（2021•云南）为庆祝中国共产党成立100周年，某市组织该市七、八两个年级学生参加演讲比赛，演讲比赛的主题为“追忆百年历程，凝聚青春力量”．该市一中学经过初选，在七年级选出3名同学，其中2名女生，分别记为x1、x2，1名男生，记为y1；在八年级选出3名同学，其中1名女生，记为x3，2名男生，分别记为y2、y3．现分别从两个年级初选出的同学中，每个年级随机选出一名同学组成代表队参加比赛．
（1）用列表法或树状图法（树状图也称树形图）中的一种方法，求所有可能出现的代表队总数；
（2）求选出的代表队中的两名同学恰好是一名男生和一名女生的概率P．

云南省2021-2023三年中考数学真题分类汇编-03解答题知识点分类
参考答案与试题解析
一．实数的运算（共2小题）
1．（2023•云南）计算：|﹣1|+（﹣2）2﹣（π﹣1）0+（）﹣1﹣tan45°．
【答案】6．
【解答】解：原式＝1+4﹣1+3﹣1
＝4+3﹣1
＝6．
2．（2021•云南）计算：（﹣3）2++（﹣1）0﹣2﹣1+×（﹣6）．
【答案】6．
【解答】解：原式＝9++1﹣﹣4
＝6．
二．分式方程的应用（共1小题）
3．（2021•云南）“30天无理由退货”是营造我省“诚信旅游”良好环境，进一步提升旅游形象的创新举措．机场、车站、出租车、景区、手机短信……，“30天无理由退货”的提示随处可见，它已成为一张云南旅行的“安心卡”，极大地提高了旅游服务的品质．刚刚过去的“五•一”假期，旅游线路、住宿、餐饮、生活服务、购物等旅游消费的供给更加多元，同步的是云南旅游市场强劲复苏．某旅行社今年5月1日租用A、B两种客房一天，供当天使用．下面是有关信息：

请根据上述信息，分别求今年5月1日该旅行社租用的A、B两种客房每间客房的租金．
【答案】每间A客房租金为200元，每间B客房租金为160元．
【解答】解：设每间B客房租金为x元，则每间A客房租金为（x+40）元，根据题意可得：
，
解得：x＝160，
经检验：x＝160是原分式方程的解，且符合实际，
160+40＝200元，
∴每间A客房租金为200元，每间B客房租金为160元．
三．一次函数的应用（共3小题）
4．（2023•云南）蓝天白云下，青山绿水间，支一顶帐篷，邀亲朋好友，听蝉鸣，闻清风，话家常，好不惬意．某景区为响应文化和旅游部《关于推动露营旅游休闲健康有序发展的指导意见》精神，需要购买A、B两种型号的帐篷．若购买A种型号帐篷2顶和B种型号帐篷4顶，则需5200元；若购买A种型号帐篷3顶和B种型号帐篷1顶，则需2800元．
（1）求每顶A种型号帐篷和每顶B种型号帐篷的价格；
（2）若该景区需要购买A、B两种型号的帐篷共20顶（两种型号的帐篷均需购买），购买A种型号帐篷数量不超过购买B种型号帐篷数量的，为使购买帐篷的总费用最低，应购买A种型号帐篷和B种型号帐篷各多少顶？购买帐篷的总费用最低为多少元？
【答案】（1）每顶A种型号帐篷600元，每顶B种型号帐篷1000元；
（2）购买A种型号帐篷5顶，购买B种型号帐篷15顶，总费用最低，最低总费用为18000元．
【解答】解：（1）设每顶A种型号帐篷m元，每顶B种型号帐篷n元，
根据题意得：，
解得：，
∴每顶A种型号帐篷600元，每顶B种型号帐篷1000元；
（2）设购买A种型号帐篷x顶，总费用为w元，则购买B种型号帐篷（20﹣x）顶，
∵购买A种型号帐篷数量不超过购买B种型号帐篷数量的，
∴x≤（20﹣x），
解得x≤5，
根据题意得：w＝600x+1000（20﹣x）＝﹣400x+20000，
∵﹣400＜0，
∴w随x的增大而减小，
∴当x＝5时，w取最小值，最小值为﹣400×5+20000＝18000（元），
∴20﹣x＝20﹣5＝15，
答：购买A种型号帐篷5顶，购买B种型号帐篷15顶，总费用最低，最低总费用为18000元．
5．（2022•云南）某学校要购买甲、乙两种消毒液，用于预防新型冠状病毒．若购买9桶甲消毒液和6桶乙消毒液，则一共需要615元；若购买8桶甲消毒液和12桶乙消毒液，则一共需要780元．
（1）每桶甲消毒液、每桶乙消毒液的价格分别是多少元？
（2）若该校计划购买甲、乙两种消毒液共30桶，其中购买甲消毒液a桶，且甲消毒液的数量至少比乙消毒液的数量多5桶，又不超过乙消毒液的数量的2倍．怎样购买，才能使总费用W最少？并求出最少费用．
【答案】（1）每桶甲消毒液价格为45元，每桶乙消毒液的价格为35元；
（2）购买甲消毒液18桶，乙消毒液12桶时，才能使总费用W最少，最少费用是1230元．
【解答】解：（1）设每桶甲消毒液价格为x元，每桶乙消毒液的价格为y元，
由题意可得：，
解得，
答：每桶甲消毒液价格为45元，每桶乙消毒液的价格为35元；
（2）由题意可得，
W＝45a+35（30﹣a）＝10a+1050，
∴W随a的增大而增大，
∵甲消毒液的数量至少比乙消毒液的数量多5桶，又不超过乙消毒液的数量的2倍，
∴，
解得17.5≤a≤20，
∵a为整数，
∴当a＝18时，W取得最小值，此时W＝1230，30﹣a＝12，
答：购买甲消毒液18桶，乙消毒液12桶时，才能使总费用W最少，最少费用是1230元．
6．（2021•云南）某鲜花销售公司每月付给销售人员的工资有两种方案．
方案一：没有底薪，只付销售提成；
方案二：底薪加销售提成．
如图中的射线l1，射线l2分别表示该鲜花销售公司每月按方案一，方案二付给销售人员的工资y1（单位：元）和y2（单位：元）与其当月鲜花销售量x（单位：千克）（x≥0）的函数关系．
（1）分别求y1、y2与x的函数解析式（解析式也称表达式）；
（2）若该公司某销售人员今年3月份的鲜花销售量没有超过70千克，但其3月份的工资超过2000元．这个公司采用了哪种方案给这名销售人员付3月份的工资？

【答案】（1）y1＝30x（x≥0）；y2＝10x+800（x≥0）；（2）方案一．
【解答】解：（1）设y1＝k1x，
根据题意得40k1＝1200，
解得k1＝30，
∴y1＝30x（x≥0）；
设y2＝k2x+b，
根据题意，得，
解得，
∴y2＝10x+800（x≥0）；
（2）当x＝70时，
y1＝30×70＝2100＞2000；
y2＝10×70+800＝1500＜2000；
∴这个公司采用了方案一给这名销售人员付3月份的工资．
四．抛物线与x轴的交点（共1小题）
7．（2021•云南）已知抛物线y＝﹣2x2+bx+c经过点（0，﹣2），当x＜﹣4时，y随x的增大而增大，当x＞﹣4时，y随x的增大而减小．设r是抛物线y＝﹣2x2+bx+c与x轴的交点（交点也称公共点）的横坐标，m＝．
（1）求b、c的值；
（2）求证：r4﹣2r2+1＝60r2；
（3）以下结论：m＜1，m＝1，m＞1，你认为哪个正确？请证明你认为正确的那个结论．
【答案】（1）；
（2）证明见解答过程；
（3）m＞1，理由见解答过程．
【解答】（1）解：∵y＝﹣2x2+bx+c经过点（0，﹣2），当x＜﹣4时，y随x的增大而增大，当x＞﹣4时，y随x的增大而减小，即对称轴为直线x＝﹣4，
∴，解得；
（2）证明：由题意，抛物线的解析式为y＝﹣2x2﹣16x﹣2，
∵r是抛物线y＝﹣2x2﹣16x﹣2与x轴的交点的横坐标，
∴2r2+16r+2＝0，
∴r2+8r+1＝0，
∴r2+1＝﹣8r
∴（r2+1）2＝（﹣8r）2，
∴r4+2r2+1＝64r2，
∴r4﹣2r2+1＝60r2；
（3）m＞1正确，理由如下：
由（2）知：r4﹣2r2+1＝60r2；
∴r4﹣62r2+1＝0，
∴r7﹣62r5+r3＝0，
而m﹣1＝﹣1
＝
＝
＝，
由（2）知：r2+8r+1＝0，
∴8r＝﹣r2﹣1，
∵﹣r2﹣1＜0，
∴8r＜0，即r＜0，
∴r9+60r5﹣1＜0，
∴＞0，
即m﹣1＞0，
∴m＞1．
五．二次函数的应用（共1小题）
8．（2023•云南）数和形是数学研究客观物体的两个方面，数（代数）侧重研究物体数量方面，具有精确性，形（几何）侧重研究物体形的方面，具有直观性．数和形相互联系，可用数来反映空间形式，也可用形来说明数量关系．数形结合就是把两者结合起来考虑问题，充分利用代数、几何各自的优势，数形互化，共同解决问题．
同学们，请你结合所学的数学解决下列问题．
在平面直角坐标系中，若点的横坐标、纵坐标都为整数，则称这样的点为整点．设函数y＝（4a+2）x2+（9﹣6a）x﹣4a+4（实数a为常数）的图象为图象T．
（1）求证：无论a取什么实数，图象T与x轴总有公共点；
（2）是否存在整数a，使图象T与x轴的公共点中有整点？若存在，求所有整数a的值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）证明见解答过程；
（2）a＝﹣2或a＝﹣1或a＝0或a＝1．
【解答】（1）证明：当a＝﹣时，函数表达式为y＝12x+6，
令y＝0得x＝﹣，
∴此时函数y＝（4a+2）x2+（9﹣6a）x﹣4a+4（实数a为常数）的图象与x轴有交点；
当a≠时，y＝（4a+2）x2+（9﹣6a）x﹣4a+4为二次函数，
∵Δ＝（9﹣6a）2﹣4（4a+2）（﹣4a+4）＝100a2﹣140a+49＝（10a﹣7）2≥0，
∴函数y＝（4a+2）x2+（9﹣6a）x﹣4a+4（实数a为常数）的图象与x轴有交点；
综上所述，无论a取什么实数，图象T与x轴总有公共点；
（2）解：存在整数a，使图象T与x轴的公共点中有整点，理由如下：
当a＝﹣时，不符合题意；
当a≠时，
在y＝（4a+2）x2+（9﹣6a）x﹣4a+4中，令y＝0得：0＝（4a+2）x2+（9﹣6a）x﹣4a+4，
解得x＝﹣或x＝，
∵x＝＝2﹣，a是整数，
∴当2a+1是6的因数时，是整数，
∴2a+1＝﹣6或2a+1＝﹣3或2a+1＝﹣2或2a+1＝﹣1或2a+1＝1或2a+1＝2或2a+1＝3或2a+1＝6，
解得a＝﹣或a＝﹣2或a＝﹣或a＝﹣1或a＝0或a＝或a＝1或a＝，
∵a是整数，
∴a＝﹣2或a＝﹣1或a＝0或a＝1．
六．二次函数综合题（共1小题）
9．（2022•云南）已知抛物线y＝﹣x2﹣x+c经过点（0，2），且与x轴交于A、B两点．设k是抛物线y＝﹣x2﹣x+c与x轴交点的横坐标，M是抛物线y＝﹣x2﹣x+c上的点，常数m＞0，S为△ABM的面积．已知使S＝m成立的点M恰好有三个，设T为这三个点的纵坐标的和．
（1）求c的值；
（2）直接写出T的值；
（3）求的值．
【答案】（1）c＝2；
（2）﹣；
（3）．
【解答】解：（1）把点（0，2）代入抛物线y＝﹣x2﹣x+c中得：c＝2；
（2）由（1）知：y＝﹣x2﹣x+2＝﹣（x+）2+，
∴顶点的坐标为（﹣，），
∵使S＝m成立的点M恰好有三个，常数m＞0，S为△ABM的面积，
∴其中一个点M就是抛物线的顶点，
∴T＝﹣×2+＝﹣；
（3）解法一：当y＝0时，﹣x2﹣x+2＝0，
x2+x﹣2＝0，
∴x+﹣＝0，
x﹣＝﹣，
∴（x﹣）2＝3，
∴x2+＝7，
∴k2+＝7，
∴（k2+）2＝49，
∴k4+＝41，
∴
＝
＝
＝
＝．
解法二：当y＝0时，﹣x2﹣x+2＝0，
x2+x﹣2＝0，
∵k是抛物线y＝﹣x2﹣x+c与x轴交点的横坐标，即x＝k是x2+x﹣2＝0的解，
∴k2+k﹣2＝0，
∴k2＝2﹣k，
∴k4＝（2﹣k）2＝4﹣4k+3k2＝4﹣4k+3（2﹣k）＝10﹣7k，
∵k8+k6+2k4+4k2+16
＝（10﹣7k）2+（2﹣k）（10﹣7k）+2（10﹣7k）+4（2﹣k）+16
＝100﹣140k+147k2+20﹣24k+21k2+20﹣14k+8﹣4k+16
＝164﹣182k+168（2﹣k）
＝500﹣350k，
∴
＝
＝．
七．全等三角形的判定（共1小题）
10．（2023•云南）如图，C是BD的中点，AB＝ED，AC＝EC．求证：△ABC≌△EDC．

【答案】证明过程见解答．
【解答】证明：∵C是BD的中点，
∴BC＝DC，
在△ABC和△EDC中，
，
∴△ABC≌△EDC（SSS）．
八．全等三角形的判定与性质（共1小题）
11．（2021•云南）如图，在四边形ABCD中，AD＝BC，AC＝BD，AC与BD相交于点E．求证：∠DAC＝∠CBD．

【答案】见解答．
【解答】证明：在△CDA和△DCB中，
，
∴△CDA≌△DCB（SSS），
∴∠DAC＝∠CBD．
九．菱形的判定与性质（共1小题）
12．（2023•云南）如图，平行四边形ABCD中，AE、CF分别是∠BAD、∠BCD的平分线，且E、F分别在边BC、AD上，AE＝AF．
（1）求证：四边形AECF是菱形；
（2）若∠ABC＝60°，△ABE的面积等于，求平行线AB与DC间的距离．

【答案】（1）证明见解析过程；
（2）．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠BAD＝∠BCD，AD∥BC，
∵AE、CF分别是∠BAD、∠BCD的平分线，
∴，，
∴∠DAE＝∠BCF，
∵AD∥BC，
∴∠DAE＝∠AEB，
∴∠BCF＝∠AEB，
∴AE∥FC，
∴四边形AECF是平行四边形，
∵AE＝AF，
∴四边形AECF是菱形；
（2）解：连接AC，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠DAE＝∠AEB，
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE＝∠DAE，
∴∠BAE＝∠AEB，
∴AB＝EB，
∵∠ABC＝60°，
∴△ABE是等边三角形，
∴∠BAE＝∠AEB＝∠ABEA＝60°，
∵△ABE的面积等于，
∴，
∴AB＝4，
即AB＝AE＝EB＝4，
由（1）知四边形AECF是菱形，
∴AE＝CE＝4，
∴∠EAC＝∠ECA，
∵∠AEB是△AEC的一个外角，
∴∠AEB＝∠EAC+∠ECA＝60°，
∴∠EAC＝∠ECA＝30°，
∴∠BAC＝∠BAE+∠EAC＝90°，
即AC⊥AB，
由勾股定理得，
即平行线AB与DC间的距离是．

一十．矩形的判定与性质（共1小题）
13．（2022•云南）如图，在平行四边形ABCD中，连接BD，E为线段AD的中点，延长BE与CD的延长线交于点F，连接AF，∠BDF＝90°．
（1）求证：四边形ABDF是矩形；
（2）若AD＝5，DF＝3，求四边形ABCF的面积S．

【答案】（1）证明见解答过程；
（2）四边形ABCF的面积S为18．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BA∥CD，
∴∠BAE＝∠FDE，
∵点E是AD的中点，
∴AE＝DE，
在△BEA和△FED中，
，
∴△BEA≌△FED（ASA），
∴EF＝EB，
又∵AE＝DE，
∴四边形ABDF是平行四边形，
∵∠BDF＝90°．
∴四边形ABDF是矩形；
（2）解：由（1）得四边形ABDF是矩形，
∴∠AFD＝90°，AB＝DF＝3，AF＝BD，
∴AF＝＝＝4，
∴S矩形ABDF＝DF•AF＝3×4＝12，BD＝AF＝4，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD＝AB＝3，
∴S△BCD＝BD•CD＝×4×3＝6，
∴四边形ABCF的面积S＝S矩形ABDF+S△BCD＝12+6＝18，
答：四边形ABCF的面积S为18．
一十一．切线的判定与性质（共1小题）
14．（2021•云南）如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上异于A、B的点，连接AC、BC，点D在BA的延长线上，且∠DCA＝∠ABC，点E在DC的延长线上，且BE⊥DC．
（1）求证：DC是⊙O的切线；
（2）若＝，BE＝3，求DA的长．

【答案】(1)证明过程见解析;
(2)．
【解答】(1)证明:连接OC,

∵OC＝OB,
∴∠OCB＝∠OBC,
∵∠ABC＝∠DCA,
∴∠OCB＝∠DCA,
又∵AB是⊙O的直径,
∴∠ACB＝90°,
∴∠ACO+∠OCB＝90°,
∴∠DCA+∠ACO＝90°,
即∠DCO＝90°,
∴DC⊥OC,
∵OC是半径,
∴DC是⊙O的切线;
(2)解:∵,且OA＝OB,
设OA＝OB＝2x,OD＝3x,
∴DB＝OD+OB＝5x,
∴,
又∵BE⊥DC,DC⊥OC,
∴OC∥BE,
∴△DCO∽△DEB,
∴,
∵BE＝3,
∴OC＝,
∴2x＝,
∴x＝,
∴AD＝OD﹣OA＝x＝,
即AD的长为．
一十二．圆的综合题（共1小题）
15．（2022•云南）如图，四边形ABCD的外接圆是以BD为直径的⊙O．P是⊙O的劣弧BC上的任意一点．连接PA、PC、PD，延长BC至E，使BD2＝BC•BE．
（1）试判断直线DE与⊙O的位置关系，并证明你的结论；
（2）若四边形ABCD是正方形，连接AC．当P与C重合时，或当P与B重合时，把转化为正方形ABCD的有关线段长的比，可得＝．当P既不与C重合也不与B重合时，＝是否成立？请证明你的结论．

【答案】（1）DE与⊙O相切，证明详见解答；
（2）＝仍然成立，证明详见解答．
【解答】解：（1）DE与⊙O相切，理由如下：
∵BD为⊙O的直径，
∴∠BCD＝90°，
∵BD2＝BC•BE，
∴，
∵∠CBD＝∠DBE，
∴△BCD∽△BDE，
∴∠BDE＝∠BCD＝90°，
∵点D在圆上，
∴DE是⊙O的切线，
即：DE与⊙O相切；
（2）如图，

＝仍然成立，理由如下：
作DG⊥PD，交PC的延长线于G，
∴∠GDP＝90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴CD＝AD，∠ADC＝90°，AC⊥BD，
∴∠COD＝∠AOD＝90°，∠ADC＝∠EDP，
∴∠ADC﹣∠PDC＝∠GDP﹣∠PDC，
即：∠ADP＝∠CDE，
∵＝，
∴∠CPD＝，
同理可得：∠APD＝，
∴∠G＝90°﹣∠DPG＝90°﹣45°＝45°，
∴∠G＝∠GPD，sinG＝＝，
∴DG＝PD，＝，
∴＝，
在△PAD和△GCD中，
，
∴△PAD≌△GCD（SAS），
∴PA＝CG，
∴．
一十三．翻折变换（折叠问题）（共1小题）
16．（2021•云南）如图，四边形ABCD是矩形，E、F分别是线段AD、BC上的点，点O是EF与BD的交点．若将△BED沿直线BD折叠，则点E与点F重合．
（1）求证：四边形BEDF是菱形；
（2）若ED＝2AE，AB•AD＝3，求EF•BD的值．

【答案】（1）详见解答过程；
（2）EF•BD＝4．
【解答】解：（1）证明：将△BED沿BD折叠，使E，F重合，
∴OE＝OF，EF⊥BD，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠C＝90°，AD∥BC，
∴∠ODE＝∠OBF，
在△OBF和△ODE中，
，
∴△OBF≌△ODE（AAS），
∴OB＝OD，
∵OE＝OF，
∴四边形BFDE是平行四边形，
∵EF⊥BD，
∴四边形BFDE是菱形．
（2）如图，∵AB•AD＝3，
∴S△ABD＝AB•AD＝，
∵ED＝2AE，
∴ED＝AD，
∴S△BDE：S△ABD＝2：3，
∴S△BDE＝，
∴菱形BEDF的面积＝EF•BD＝2S△BDE＝2，
∴EF•BD＝4．
一十四．相似三角形的判定与性质（共1小题）
17．（2023•云南）如图，BC是⊙O的直径，A是⊙O上异于B、C的点．⊙O外的点E在射线CB上，直线EA与CD垂直，垂足为D，且DA•AC＝DC•AB．设△ABE的面积为S1，△ACD的面积为S2．
（1）判断直线EA与⊙O的位置关系，并证明你的结论；
（2）若BC＝BE，S2＝mS1，求常数m的值．

【答案】（1）AE与⊙O相切，理由见解析过程；
（2）m＝．
【解答】解：（1）AE与⊙O相切，理由如下：
如图，连接OA，
∵DA•AC＝DC•AB，
∴，
∵BC是⊙O的直径，
∴∠BAC＝90°＝∠ADC，
∴△ABC∽△DAC，
∴∠ACB＝∠ACD，
∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠ACB＝∠ACD，
∴OA∥CD，
∴∠OAE＝∠CDE＝90°，
∴OA⊥DE，
又∵OA为半径，
∴AE与⊙O相切；
（2）如图，∵OA∥CD，
∴△AOE∽△DCE，
∴，
设BO＝OC＝OA＝a，则BC＝2a，
∵BC＝BE＝2a，
∴S△ABE＝S△ABC，EO＝3a，EC＝4a，
∴，
∴CD＝a，
∵△ABC∽△DAC，
∴，
∴AC2＝BC•CD＝a2，
∵△ABC∽△DAC，
∴＝（）2＝，
∴S2＝S1，
∴m＝．

一十五．用样本估计总体（共1小题）
18．（2023•云南）
调查主题
某公司员工的旅游需求
调查人员
某中学数学兴趣小组
调查方法
抽样调查
背景介绍
某公司计划组织员工前往5个国家全域旅游示范区（以下简称示范区）中的1个自费旅游．这5个示范区为：
A．保山市腾冲市；B．昆明市石林彝族自治县；C．红河哈尼族彝族自治州弥勒市；D．大理白族自治州大理市；E．丽江市古城区．
某中学数学兴趣小组针对该公司员工的意向目的地开展抽样调查，并为该公司出具了调查报告（注：每位被抽样调查的员工选择且只选择1个意向前往的示范区）．
报告内容

请阅读以上材料，解决下列问题（说明：以上仅展示部分报告内容）．
（1）求本次被抽样调查的员工人数；
（2）该公司总的员工数量为900人，请你估计该公司意向前往保山市腾冲市的员工人数．
【答案】（1）100人；
（2）270人．
【解答】解：（1）30+18+15+24+13＝100（人）．
故本次被抽样调查的员工人数是100人；
（2）900×30.00%＝270（人）．
故估计该公司意向前往保山市腾冲市的员工人数是270人．
一十六．条形统计图（共1小题）
19．（2022•云南）临近端午节，某学校数学兴趣小组到社区参加社会实践活动，帮助有关部门了解某小区居民对去年销量较好的鲜花粽、火腿粽、豆沙粽、蛋黄粽四种粽子的喜爱情况．在对该小区居民进行抽样调查后，根据统计结果绘制如下统计图：

说明：参与本次抽样调查的每一位居民在上述四种粽子中选择且只选择了一种喜爱的粽子．
请根据以上信息，解答下列问题：
（1）补全条形统计图；
（2）若该小区有1820人，估计喜爱火腿粽的有多少人？
【答案】（1）60，条形统计图见解答过程；
（2）546．
【解答】解：（1）抽样调查的总人数：70÷35%＝200（人），
喜欢火腿粽的人数为：200﹣70﹣40﹣30＝60（人），
补全条形统计图如图所示：
（2）根据题意得：1820×＝546（人），
答：喜爱火腿粽的有546人，
故答案为：546．

一十七．中位数（共1小题）
20．（2021•云南）垃圾的分类回收不仅能够减少环境污染、美化家园，甚至能够变废为宝、节约资源．为增强学生垃圾分类意识，推动垃圾分类进校园，某中学组织全校1565名学生参加了“垃圾分类知识竞赛”（满分为100分）．该校数学兴趣小组为了解全校学生竞赛分数情况，采用简单随机抽样的方法（即每名学生的竞赛分数被抽到的可能性相等的抽样方法）抽取部分学生的竞赛分数进行调查分析．
（1）以下三种抽样调查方案：
方案一：从七年级、八年级、九年级中指定部分学生的竞赛分数作为样本；
方案二：从七年级、八年级中随机抽取部分男生的竞赛分数以及在九年级中随机抽取部分女生的竞赛分数作为样本；
方案三：从全校1565名学生的竞赛分数中随机抽取部分学生的竞赛分数作为样本．
其中抽取的样本最具有代表性和广泛性的一种抽样调查方案是 　方案三　（填写“方案一”、“方案二”或“方案三”）；
（2）该校数学兴趣小组根据简单随机抽样方法获得的样本，绘制出如下统计表（90分及以上为“优秀”，60分及以上为“及格”，学生竞赛分数记为x分）
样本容量
平均分
及格率
优秀率
最高分
最低分
100
83.59
95%
40%
100
52

分数段
50≤x＜60
60≤x＜70
70≤x＜80
80≤x＜90
90≤x≤100
频数
5
7
18
30
40
结合上述信息解答下列问题：
①样本数据的中位数所在分数段为 　80≤x＜90　；
②全校1565名学生，估计竞赛分数达到“优秀”的学生有 　626　人．
【答案】（1）方案三；（1）①80≤x＜90；②626．
【解答】解：（1）根据抽样的代表性、普遍性和可操作性可得，方案三：从全校1565名学生的竞赛分数中随机抽取部分学生的竞赛分数作为样本进行调查分析，是最符合题意的．
故答案为：方案三；
（2）①样本总数为：5+7+18+30+40＝100（人），
成绩从小到大排列后，处在中间位置的两个数都在80≤x＜90，因此中位数在80≤x＜90组中；
②由题意得，1565×＝626（人），
故答案为：①80≤x＜90；②626．
一十八．列表法与树状图法（共3小题）
21．（2023•云南）甲、乙两名同学准备参加种植蔬菜的劳动实践活动，各自随机选择种植辣椒、种植茄子、种植西红柿三种中的一种，记种植辣椒为A，种植茄子为B，种植西红柿为C．假设这两名同学选择种植哪种蔬菜不受任何因素影响，且每一种被选到的可能性相等．记甲同学的选择为x，乙同学的选择为y．
（1）请用列表法或画树状图法中的一种方法，求（x，y）所有可能出现的结果总数；
（2）求甲、乙两名同学选择种植同一种蔬菜的概率P．
【答案】（1）共有9种等可能的结果，分别为（A，A）、（A，B）、（A，C）、（B，A），（B，C），（B，B）、（C，A）、（C，B）、（C，C）；
（2）．
【解答】解：（1）画树状图如下：

共有9种等可能的结果，分别为（A，A）、（A，B）、（A，C）、（B，A），（B，C），（B，B）、（C，A）、（C，B）、（C，C）；
（2）由（1）可知，共有9种等可能的结果，其中甲、乙两名同学选择种植同一种蔬菜的结果有3种，
∴甲、乙两名同学选择种植同一种蔬菜的概率P＝．
22．（2022•云南）某班甲、乙两名同学被推荐到学校艺术节上表演节目，计划用葫芦丝合奏一首乐曲．要合奏的乐曲是用游戏的方式在《月光下的凤尾竹》与《彩云之南》中确定一首．
游戏规则如下，在一个不透明的口袋中装有分别标有数字1，2，3，4的四个小球（除标号外，其余都相同），甲从口袋中任意摸出1个小球，小球上的数字记为a．在另一个不透明的口袋中装有分别标有数字1，2的两张卡片（除标号外，其余都相同），乙从口袋里任意摸出1张卡片，卡片上的数字记为b．然后计算这两个数的和，即a+b．若a+b为奇数，则演奏《月光下的凤尾竹》；否则，演奏《彩云之南》．
（1）用列表法或画树状图法中的一种方法，求（a，b）所有可能出现的结果总数；
（2）你认为这个游戏公平吗？如果公平，请说明理由；如果不公平，哪一首乐曲更可能被选中？
【答案】（1）共有8种等可能，列表见解析；（2）游戏公平，理由见解析．
【解答】解：（1）按游戏规则计算两个数的和，列表如下：

从表中可以看出共有8种等可能；
（2）我认为这个游戏公平，理由：
从表中可以看出共有8种等可能，其中和为奇数与和为偶数的等可能性各有4种，
所以P（和为奇数）＝P（和为偶数），
∴这个游戏公平．
23．（2021•云南）为庆祝中国共产党成立100周年，某市组织该市七、八两个年级学生参加演讲比赛，演讲比赛的主题为“追忆百年历程，凝聚青春力量”．该市一中学经过初选，在七年级选出3名同学，其中2名女生，分别记为x1、x2，1名男生，记为y1；在八年级选出3名同学，其中1名女生，记为x3，2名男生，分别记为y2、y3．现分别从两个年级初选出的同学中，每个年级随机选出一名同学组成代表队参加比赛．
（1）用列表法或树状图法（树状图也称树形图）中的一种方法，求所有可能出现的代表队总数；
（2）求选出的代表队中的两名同学恰好是一名男生和一名女生的概率P．
【答案】（1）树状图见解答，9种；
（2）．
【解答】解：（1）树状图如下图所示：

由上可得，出现的代表队一共有9种可能性；
（2）由（1）可知，一共9种可能性，其中一男一女出现有5种，
故选出的代表队中的两名同学恰好是一名男生和一名女生的概率P＝．