湖北省黄冈、孝感、咸宁市2021-2023三年中考数学真题分类汇编-03解答题（提升题）知识点分类

这是一份湖北省黄冈、孝感、咸宁市2021-2023三年中考数学真题分类汇编-03解答题（提升题）知识点分类，共30页。试卷主要包含了两点，与y轴交于点C，是x轴上的动点，【问题呈现】，问题背景等内容，欢迎下载使用。
湖北省黄冈、孝感、咸宁市2021-2023三年中考数学真题分类汇编-03解答题（提升题）知识点分类
一．实数的运算（共1小题）
1．（2021•孝感）计算：|1﹣|﹣2sin60°+（π﹣1）0．
二．反比例函数与一次函数的交点问题（共1小题）
2．（2022•湖北）如图，已知一次函数y1＝kx+b的图象与函数y2＝（x＞0）的图象交于A（6，﹣），B（，n）两点，与y轴交于点C．将直线AB沿y轴向上平移t个单位长度得到直线DE，DE与y轴交于点F．
（1）求y1与y2的解析式；
（2）观察图象，直接写出y1＜y2时x的取值范围；
（3）连接AD，CD，若△ACD的面积为6，则t的值为 　 　．

三．二次函数的应用（共2小题）
3．（2023•湖北）加强劳动教育，落实五育并举．孝礼中学在当地政府的支持下，建成了一处劳动实践基地．2023年计划将其中1000m2的土地全部种植甲乙两种蔬菜．经调查发现：甲种蔬菜种植成本y（单位；元/m2）与其种植面积x（单位：m2）的函数关系如图所示，其中200⩽x⩽700；乙种蔬菜的种植成本为50元/m2．
（1）当x＝　 　m2时，y＝35元/m2；
（2）设2023年甲乙两种蔬菜总种植成本为W元，如何分配两种蔬菜的种植面积，使W最小？
（3）学校计划今后每年在这1000m2土地上，均按（2）中方案种植蔬菜，因技术改进，预计种植成本逐年下降．若甲种蔬菜种植成本平均每年下降10%，乙种蔬菜种植成本平均每年下降a%，当a为何值时，2025年的总种植成本为28920元？

4．（2022•湖北）为增强民众生活幸福感，市政府大力推进老旧小区改造工程．和谐小区新建一小型活动广场，计划在360m2的绿化带上种植甲乙两种花卉．市场调查发现：甲种花卉种植费用y（元/m2）与种植面积x（m2）之间的函数关系如图所示，乙种花卉种植费用为15元/m2．
（1）当x≤100时，求y与x的函数关系式，并写出x的取值范围；
（2）当甲种花卉种植面积不少于30m2，且乙种花卉种植面积不低于甲种花卉种植面积的3倍时．
①如何分配甲乙两种花卉的种植面积才能使种植的总费用w（元）最少？最少是多少元？
②受投入资金的限制，种植总费用不超过6000元，请直接写出甲种花卉种植面积x的取值范围．

四．二次函数综合题（共3小题）
5．（2022•湖北）抛物线y＝x2﹣4x与直线y＝x交于原点O和点B，与x轴交于另一点A，顶点为D．
（1）直接写出点B和点D的坐标；
（2）如图1，连接OD，P为x轴上的动点，当tan∠PDO＝时，求点P的坐标；
（3）如图2，M是点B关于抛物线对称轴的对称点，Q是抛物线上的动点，它的横坐标为m（0＜m＜5），连接MQ，BQ，MQ与直线OB交于点E．设△BEQ和△BEM的面积分别为S1和S2，求的最大值．


6．（2021•孝感）已知抛物线y＝ax2+bx﹣3与x轴相交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C，点N（n，0）是x轴上的动点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，若n＜3，过点N作x轴的垂线交抛物线于点P，交直线BC于点G．过点P作PD⊥BC于点D，当n为何值时，△PDG≌△BNG；
（3）如图2，将直线BC绕点B顺时针旋转，它恰好经过线段OC的中点，然后将它向上平移个单位长度，得到直线OB1．
①tan∠BOB1＝　 　；
②当点N关于直线OB1的对称点N1落在抛物线上时，求点N的坐标．

7．（2023•湖北）已知抛物线与x轴交于A，B（4，0）两点，与y轴交于点C（0，2）．点P为第一象限抛物线上的点，连接CA，CB，PB，PC．

（1）直接写出结果；b＝　 　，c＝　 　，点A的坐标为 　 　，tan∠ABC＝　 　；
（2）如图1，当∠PCB＝2∠OCA时，求点P的坐标；
（3）如图2，点D在y轴负半轴上，OD＝OB，点Q为抛物线上一点，∠QBD＝90°．点E，F分别为△BDQ的边DQ，DB上的动点，且QE＝DF，记BE+QF的最小值为m．
①求m的值；
②设△PCB的面积为S，若，请直接写出k的取值范围．
五．切线的性质（共1小题）
8．（2023•湖北）如图，△ABC中，以AB为直径的⊙O交BC于点D，DE是⊙O的切线，且DE⊥AC，垂足为E，延长CA交⊙O于点F．
（1）求证：AB＝AC；
（2）若AE＝3，DE＝6，求AF的长．

六．几何变换综合题（共1小题）
9．（2023•湖北）【问题呈现】
△CAB和△CDE都是直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，CB＝mCA，CE＝mCD，连接AD，BE，探究AD，BE的位置关系．
【问题探究】
（1）如图1，当m＝1时，直接写出AD，BE的位置关系：　 　．
（2）如图2，当m≠1时，（1）中的结论是否成立？若成立，给出证明；若不成立，说明理由．
【拓展应用】
（3）当m＝，AB＝4，DE＝4时，将△CDE绕点C旋转，使A，D，E三点恰好在同一直线上，求BE的长．

七．相似形综合题（共1小题）
10．（2022•湖北）问题背景：
一次数学综合实践活动课上，小慧发现并证明了关于三角形角平分线的一个结论．如图1，已知AD是△ABC的角平分线，可证＝．小慧的证明思路是：如图2，过点C作CE∥AB，交AD的延长线于点E，构造相似三角形来证明＝．
尝试证明：
（1）请参照小慧提供的思路，利用图2证明：＝；
应用拓展：
（2）如图3，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是边BC上一点．连接AD，将△ACD沿AD所在直线折叠，点C恰好落在边AB上的E点处．
①若AC＝1，AB＝2，求DE的长；
②若BC＝m，∠AED＝α，求DE的长（用含m，α的式子表示）．


八．列表法与树状图法（共1小题）
11．（2023•湖北）打造书香文化，培养阅读习惯．崇德中学计划在各班建图书角，开展“我最喜欢阅读的书篇”为主题的调查活动，学生根据自己的爱好选择一类书籍（A：科技类，B：文学类，C：政史类，D：艺术类，E：其他类）．张老师组织数学兴趣小组对学校部分学生进行了问卷调查，根据收集到的数据，绘制了两幅不完整的统计图（如图所示）．

根据图中信息，请回答下列问题；
（1）条形图中的m＝　 　，n＝　 　，文学类书籍对应扇形圆心角等于 　 　度；
（2）若该校有2000名学生，请你估计最喜欢阅读政史类书籍的学生人数；
（3）甲同学从A，B，C三类书籍中随机选择一种，乙同学从B，C，D三类书籍中随机选择一种，请用画树状图或者列表法求甲乙两位同学选择相同类别书籍的概率．

湖北省黄冈、孝感、咸宁市2021-2023三年中考数学真题分类汇编-03解答题（提升题）知识点分类
参考答案与试题解析
一．实数的运算（共1小题）
1．（2021•孝感）计算：|1﹣|﹣2sin60°+（π﹣1）0．
【答案】0．
【解答】解：原式＝﹣1﹣2×+1
＝﹣1﹣+1
＝0．
二．反比例函数与一次函数的交点问题（共1小题）
2．（2022•湖北）如图，已知一次函数y1＝kx+b的图象与函数y2＝（x＞0）的图象交于A（6，﹣），B（，n）两点，与y轴交于点C．将直线AB沿y轴向上平移t个单位长度得到直线DE，DE与y轴交于点F．
（1）求y1与y2的解析式；
（2）观察图象，直接写出y1＜y2时x的取值范围；
（3）连接AD，CD，若△ACD的面积为6，则t的值为 　2　．

【答案】（1）y2＝，y1＝x﹣；
（2）＜x＜6；
（3）2．
【解答】解：（1）将点A（6，﹣）代入y2＝中，
∴m＝﹣3，
∴y2＝，
∵B（，n）在y2＝中，可得n＝﹣6，
∴B（，﹣6），
将点A、B代入y1＝kx+b，
∴，
解得，
∴y1＝x﹣；
（2）∵一次函数与反比例函数交点为A（6，﹣），B（，﹣6），
∴＜x＜6时，y1＜y2；
（3）在y1＝x﹣中，令x＝0，则y＝﹣，
∴C（0，﹣），
∵直线AB沿y轴向上平移t个单位长度，
∴直线DE的解析式为y＝x﹣+t，
∴F点坐标为（0，﹣+t），
过点F作GF⊥AB于点G，连接AF，
直线AB与x轴交点为（，0），与y轴交点C（0，﹣），
∴∠OCA＝45°，
∴FG＝CG，
∵FC＝t，
∴FG＝t，
∵A（6，﹣），C（0，﹣），
∴AC＝6，
∵AB∥DF，
∴S△ACD＝S△ACF，
∴×6×t＝6，
∴t＝2，
故答案为：2．

三．二次函数的应用（共2小题）
3．（2023•湖北）加强劳动教育，落实五育并举．孝礼中学在当地政府的支持下，建成了一处劳动实践基地．2023年计划将其中1000m2的土地全部种植甲乙两种蔬菜．经调查发现：甲种蔬菜种植成本y（单位；元/m2）与其种植面积x（单位：m2）的函数关系如图所示，其中200⩽x⩽700；乙种蔬菜的种植成本为50元/m2．
（1）当x＝　500　m2时，y＝35元/m2；
（2）设2023年甲乙两种蔬菜总种植成本为W元，如何分配两种蔬菜的种植面积，使W最小？
（3）学校计划今后每年在这1000m2土地上，均按（2）中方案种植蔬菜，因技术改进，预计种植成本逐年下降．若甲种蔬菜种植成本平均每年下降10%，乙种蔬菜种植成本平均每年下降a%，当a为何值时，2025年的总种植成本为28920元？

【答案】（1）500；
（2）当种植甲种蔬菜的种植面积为400m2，乙种蔬菜的种植面积为600m2 时，W最小；
（3）当a为20时，2025年的总种植成本为28920元．
【解答】解：（1）当200≤x≤600时，设甲种蔬菜种植成本y（单位；元/m2 ）与其种植面积x（单位：m2 ）的函数关系式为y＝kx+b，
把（200，20），（600，40）代入得：，
解得：，
∴，
当600＜x≤700时，y＝40，
∴当y＝35时，35＝x+10，
解得：x＝500，
故答案为：500；
（2）当200≤x≤600时，W＝x（x+10）+50（1000﹣x）＝（x﹣400）2+42000，
∵，
∴抛物线开口向上，
∴当x＝400时，W有最小值，最小值为42000，
此时，1000﹣x＝1000﹣400＝600，
当600≤x≤700时，W＝40x+50（1000﹣x）＝﹣10x+50000，
∵﹣10＜0，
∴当x＝700时，W有最小值为：﹣10×700+50000＝43000，
∵42000＜43000，
∴当种植甲种蔬菜的种植面积为400m2，乙种蔬菜的种植面积为600m2时，W最小；
（3）由（2）可知，甲、乙两种蔬菜总种植成本为42000元，乙种蔬菜的种植成本为50×600＝30000（元），
则甲种蔬菜的种植成本为42000﹣30000＝12000（元），
由题意得：12000（1﹣10%）2+30000（1﹣a%）2＝28920，
设a%＝m，
整理得：（1﹣m）2＝0.64，
解得：m1＝0.2＝20%，m2＝1.8（不符合题意，舍去），
∴a%＝20%，
∴a＝20，
答：当a为20时，2025年的总种植成本为28920元．
4．（2022•湖北）为增强民众生活幸福感，市政府大力推进老旧小区改造工程．和谐小区新建一小型活动广场，计划在360m2的绿化带上种植甲乙两种花卉．市场调查发现：甲种花卉种植费用y（元/m2）与种植面积x（m2）之间的函数关系如图所示，乙种花卉种植费用为15元/m2．
（1）当x≤100时，求y与x的函数关系式，并写出x的取值范围；
（2）当甲种花卉种植面积不少于30m2，且乙种花卉种植面积不低于甲种花卉种植面积的3倍时．
①如何分配甲乙两种花卉的种植面积才能使种植的总费用w（元）最少？最少是多少元？
②受投入资金的限制，种植总费用不超过6000元，请直接写出甲种花卉种植面积x的取值范围．

【答案】（1）y＝；
（2）①种植甲种花卉90m2，乙种花卉270m2时，种植的总费用最少，最少为5625元；
②30≤x≤40或60≤x≤90．
【解答】解：（1）当0＜x≤40时，y＝30；
当40＜x≤100时，
设函数关系式为y＝kx+b，
∵线段过点（40，30），（100，15），
∴，
∴，
∴y＝﹣x+40，
即y＝；

（2）∵甲种花卉种植面积不少于30m2，
∴x≥30，
∵乙种花卉种植面积不低于甲种花卉种植面积的3倍，
∴360﹣x≥3x，
∴x≤90，
即30≤x≤90；
①当30≤x≤40时，
由（1）知，y＝30，
∵乙种花卉种植费用为15元/m2．
∴w＝yx+15（360﹣x）＝30x+15（360﹣x）＝15x+5400，
当x＝30时，wmin＝5850；
当40＜x≤90时，
由（1）知，y＝﹣x+40，
∴w＝yx+15（360﹣x）＝﹣（x﹣50）2+6025，
∴当x＝90时，wmin＝﹣（90﹣50）2+6025＝5625，
∵5850＞5625，
∴种植甲种花卉90m2，乙种花卉270m2时，种植的总费用最少，最少为5625元；

②当30≤x≤40时，
由①知，w＝15x+5400，
∵种植总费用不超过6000元，
∴15x+5400≤6000，
∴x≤40，
即满足条件的x的范围为30≤x≤40，
当40＜x≤90时，
由①知，w＝﹣（x﹣50）2+6025，
∵种植总费用不超过6000元，
∴﹣（x﹣50）2+6025≤6000，
∴x≤40（不符合题意，舍去）或x≥60，
即满足条件的x的范围为60≤x≤90，
综上，满足条件的x的范围为30≤x≤40或60≤x≤90．
四．二次函数综合题（共3小题）
5．（2022•湖北）抛物线y＝x2﹣4x与直线y＝x交于原点O和点B，与x轴交于另一点A，顶点为D．
（1）直接写出点B和点D的坐标；
（2）如图1，连接OD，P为x轴上的动点，当tan∠PDO＝时，求点P的坐标；
（3）如图2，M是点B关于抛物线对称轴的对称点，Q是抛物线上的动点，它的横坐标为m（0＜m＜5），连接MQ，BQ，MQ与直线OB交于点E．设△BEQ和△BEM的面积分别为S1和S2，求的最大值．


【答案】（1）B（5，5）；顶点D（2，﹣4）．
（2）点P的坐标为（2，0）或（﹣，0）．
（3）的最大值为．
【解答】解：（1）令y＝x2﹣4x＝x，
解得x＝0或x＝5，
∴B（5，5）；
∵y＝x2﹣4x＝（x﹣2）2﹣4，
∴顶点D（2，﹣4）．
（2）如图，过点D作DE⊥y轴于点E，
∴DE＝2，OE＝4，
∴tan∠DOE＝，
∵tan∠PDO＝，
∴∠DOE＝∠PDO，
①当点P在线段OD的右侧时，DP∥y轴，如图，

∴P（2，0）；
②当点P在线段OD左侧时，设直线DP与y轴交于点G，则△ODG是等腰三角形，

∴OG＝DG，
设OG＝t，则DG＝t，GE＝4﹣t，
在Rt△DGE中，t2＝22+（4﹣t）2，
解得t＝，
∴G（0，﹣），
∴直线DG的解析式为：y＝﹣x﹣，
令y＝0，则﹣x﹣＝0，
解得x＝﹣，
∴P（﹣，0）．
综上，点P的坐标为（2，0）或（﹣，0）．
（3）∵点B（5，5）与点M关于对称轴x＝2对称，
∴M（﹣1，5）．
如图，分别过点M，Q作y轴的平行线，交直线OB于点N，K，
∴N（﹣1，﹣1），MN＝6，
∵点Q横坐标为m，
∴Q（m，m2﹣4m），K（m，m），
∴KQ＝m﹣（m2﹣4m）＝﹣m2+5m．
∵S1＝QK（xB﹣xE），S2＝MN（xB﹣xE），
∴＝＝﹣（m2﹣5m）＝﹣（m﹣）2+，
∵﹣＜0，
∴当m＝时，的最大值为．
提示：本题也可分别过点M，Q作BO的垂线，用m分别表示高线，再求比，也可得出结论．

6．（2021•孝感）已知抛物线y＝ax2+bx﹣3与x轴相交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C，点N（n，0）是x轴上的动点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，若n＜3，过点N作x轴的垂线交抛物线于点P，交直线BC于点G．过点P作PD⊥BC于点D，当n为何值时，△PDG≌△BNG；
（3）如图2，将直线BC绕点B顺时针旋转，它恰好经过线段OC的中点，然后将它向上平移个单位长度，得到直线OB1．
①tan∠BOB1＝　　；
②当点N关于直线OB1的对称点N1落在抛物线上时，求点N的坐标．

【答案】（1）y＝x2﹣2x﹣3；（2）±；（3）①；②点N的坐标为（，0）或（，0）．
【解答】解：（1）设抛物线的表达式为y＝a（x﹣x1）（x﹣x2），
则y＝a（x﹣3）（x+1）＝ax2﹣2ax﹣3a，
故﹣3a＝﹣3，解得a＝1，
故抛物线的表达式为y＝x2﹣2x﹣3①；

（2）①当点N在y轴右侧时，
由抛物线的表达式知，点C（0，﹣3），
故OB＝OC＝3，则∠OBC＝∠OCB＝45°，
则NB＝3﹣n＝NG，则BG＝（3﹣n），
∵△PDG≌△BNG，
故PG＝BG＝（3﹣n），
则PN＝3﹣n+（3﹣n）＝（3﹣n）（1+），
故点P的坐标为（n，﹣（3﹣n）（1+）），
将点P的坐标代入抛物线表达式得：（n﹣3）（+1）＝n2﹣2n﹣3，
解得n＝3（舍去）或，
故n＝；
②当点N在y轴左侧时，
同理可得：n＝﹣，
综上，n＝；
（3）①设OC的中点为R（0，﹣），
由B、R的坐标得，直线BR的表达式为y＝x﹣，
则将它向上平移个单位长度，得到直线OB1，
此时函数的表达式为y＝x，
设B（m，m）
故tan∠BOB1＝＝，
故答案为；
②设线段NN1交OB1于点H，则OB1是NN1的中垂线，

∵tan∠BOB1＝，则tan∠N1NB＝2，
∵NN1⊥OB1，
∴tan∠HON＝＝，
∵ON＝n，
∴HN＝n，OH＝n，
作HT⊥ON于点T，则HT＝＝n，
∴OT＝n，
∴H（n，n），
∵点H是NN1的中点，
由中点坐标公式得：点N1的坐标为（，），
将点N1的坐标代入抛物线表达式得：＝（）2﹣2×﹣3，
解得n＝，
故点N的坐标为（，0）或（，0）．
7．（2023•湖北）已知抛物线与x轴交于A，B（4，0）两点，与y轴交于点C（0，2）．点P为第一象限抛物线上的点，连接CA，CB，PB，PC．

（1）直接写出结果；b＝　　，c＝　2　，点A的坐标为 　（﹣1，0）　，tan∠ABC＝　　；
（2）如图1，当∠PCB＝2∠OCA时，求点P的坐标；
（3）如图2，点D在y轴负半轴上，OD＝OB，点Q为抛物线上一点，∠QBD＝90°．点E，F分别为△BDQ的边DQ，DB上的动点，且QE＝DF，记BE+QF的最小值为m．
①求m的值；
②设△PCB的面积为S，若，请直接写出k的取值范围．
【答案】（1），2，（﹣1，0），；
（2）（2，3）；
（3）①；②13≤k＜17．
【解答】解：（1）∵抛物线 经过点B（4，0），C（0，2），
∴，
解得：，
∴抛物线解析式为：，
∵抛物线 与x轴交于A、B（4，0）两点，
∴y＝0时，，解得：x1＝﹣1，x2＝4，
∴A（﹣1，0），
∴OB＝4，OC＝2，
在 Rt△COB 中，．
故答案为：，2，（﹣1，0），；
（2）过点C作CD∥x轴，交BP于点D，过点P作 PE∥x 轴，交y轴于点E，

∵AO＝1，OC＝2，OB＝4，
∴，
由（1）可得，，即 tan∠OCA＝tan∠ABC，
∴∠OCA＝∠ABC，
∵∠PCB＝2∠OCA，
∴∠PCB＝2∠ABC，
∵CD∥x轴，EP∥x 轴，
∴∠ACB＝∠DCB，∠EPC＝∠PCD，
∴∠EPC＝ABC，
又∵∠PEC＝∠BOC＝90°
∴△PEC∽△BOC，
∴，
设点P坐标为 ，则 EP＝t，，
∴，
解得：t＝0 （舍），t＝2，
∴点P坐标为（2，3）；

（3）①如图2，作DH⊥DQ，且使 DH＝BQ，连接FH，

∵∠BQD+∠BDQ＝90°，∠HDF+∠BDQ＝90°，
∴∠BQD＝∠HDF，
∵QE＝DF，DH＝BQ，
∴△BQE≌△HDF（SAS），
∴BE＝FH，
∴BE+QF＝FH+QF≥QH，
∴Q，F，H共线时，BE+QF的值最小．作QG⊥AB于点G，
∵OB＝OD，∠BOD＝90°，
∴∠OBD＝45°，
∵∠QBD＝90°，
∴∠QBG＝45°，
∴QG＝BG．设G（n，0），则 ，
∴，
解得 n＝1 或 n＝4 （舍去），
∴Q（1，3），
∴QG＝BG＝4﹣1＝3，
∴，
∴m＝QH＝＝2；
②如图3，作PT∥y轴，交BC于点T，

∵BC解析式为 ，
设，，
则 ，
∵点P在第一象限，
∴0＜S≤4，
∴，
∴0＜17﹣k≤4，
∴13≤k＜17．
五．切线的性质（共1小题）
8．（2023•湖北）如图，△ABC中，以AB为直径的⊙O交BC于点D，DE是⊙O的切线，且DE⊥AC，垂足为E，延长CA交⊙O于点F．
（1）求证：AB＝AC；
（2）若AE＝3，DE＝6，求AF的长．

【答案】（1）证明见解析；（2）9．
【解答】（1）证明：连接OD，
∵DE是⊙O的切线，
∴半径OD⊥DE，
∵DE⊥AC，
∴OD∥AC，
∴∠C＝∠ODB，
∵OD＝OB，
∴∠B＝∠ODB，
∴∠B＝∠C，
∴AB＝AC；
（2）解：连接DF，DA，
∵∠F＝∠B，∠B＝∠C，
∴∠F＝∠C，
∴DF＝DC，
∵DE⊥CF，
∴FE＝EC，
∵AB是圆的直径，
∴∠ADB＝90°，
∴∠ADC＝90°，
∠ADE+∠CDE＝90°，
∵DE⊥AC，
∴∠C+∠CDE＝90°，
∴∠C＝∠ADE，
∵∠AED＝∠CDE＝90°，
∴△DAE∽△CDE，
∴DE：CE＝AE：DE，
∵AE＝3，DE＝6，
∴6：CE＝3：6，
∴CE＝12，
∴EF＝EC＝12，
∴AF＝EF﹣AE＝12﹣3＝9．

六．几何变换综合题（共1小题）
9．（2023•湖北）【问题呈现】
△CAB和△CDE都是直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，CB＝mCA，CE＝mCD，连接AD，BE，探究AD，BE的位置关系．
【问题探究】
（1）如图1，当m＝1时，直接写出AD，BE的位置关系：　AD⊥BE　．
（2）如图2，当m≠1时，（1）中的结论是否成立？若成立，给出证明；若不成立，说明理由．
【拓展应用】
（3）当m＝，AB＝4，DE＝4时，将△CDE绕点C旋转，使A，D，E三点恰好在同一直线上，求BE的长．

【答案】（1）BE⊥AD；
（2）成立，理由见解析过程；
（3）BE＝6或4．
【解答】解：（1）如图1，延长BE交AC于点H，交AD于N，

当m＝1时，DC＝CE，CB＝CA，
∵∠ACB＝∠DCE＝90°，
∴∠ACD＝∠BCE，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴∠DAC＝∠CBE，
∵∠CAB+∠ABE+∠CBE＝90°，
∴∠CAB+∠ABE+∠DAC＝90°，
∴∠ANB＝90°，
∴AD⊥BE，
故答案为：AD⊥BE；
（2）（1）中的结论成立，理由如下：
如图2，延长BE交AC于点H，交AD于N，

∵∠ACB＝∠DCE＝90°，
∴∠ACD＝∠BCE，
又∵，
∴△DCA∽△ECB，
∴∠DAC＝∠CBE，
∵∠CAB+∠ABE+∠CBE＝90°，
∴∠CAB+∠ABE+∠DAC＝90°，
∴∠ANB＝90°，
∴AD⊥BE，
（3）如图3，当点E在线段AD上时，连接BE，

∵△DCA∽△ECB，
∴＝m＝，
∴BE＝AD＝（4+AE），
∵AD⊥BE，
∵∴AB2＝AE2+BE2，
∴112＝AE2+3（4+AE）2，
∴AE＝2或AE＝﹣8（舍去），
∴BE＝6，
当点D在线段AE上时，连接BE，

∵△DCA∽△ECB，
∴＝m＝，
∴BE＝AD＝（AE﹣4），
∵AD⊥BE，
∵∴AB2＝AE2+BE2，
∴112＝AE2+3（AE﹣4）2，
∴AE＝8或AE＝﹣2（舍去），
∴BE＝4，
综上所述：BE＝6或4．
七．相似形综合题（共1小题）
10．（2022•湖北）问题背景：
一次数学综合实践活动课上，小慧发现并证明了关于三角形角平分线的一个结论．如图1，已知AD是△ABC的角平分线，可证＝．小慧的证明思路是：如图2，过点C作CE∥AB，交AD的延长线于点E，构造相似三角形来证明＝．
尝试证明：
（1）请参照小慧提供的思路，利用图2证明：＝；
应用拓展：
（2）如图3，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是边BC上一点．连接AD，将△ACD沿AD所在直线折叠，点C恰好落在边AB上的E点处．
①若AC＝1，AB＝2，求DE的长；
②若BC＝m，∠AED＝α，求DE的长（用含m，α的式子表示）．


【答案】（1）证明过程见解析；
（2）①；
②．
【解答】（1）证明：∵CE∥AB，
∴∠E＝∠EAB，∠B＝∠ECB，
∴△CED∽△BAD，
∴，
∵∠E＝∠EAB，∠EAB＝∠CAD，
∴∠E＝∠CAD，
∴CE＝CA，
∴．
（2）解：①∵将△ACD沿AD所在直线折叠，点C恰好落在边AB上的E点处，
∴∠CAD＝∠BAD，CD＝DE，
由（1）可知，，
又∵AC＝1，AB＝2，
∴，
∴BD＝2CD，
∵∠BAC＝90°，
∴BC＝＝＝，
∴BD+CD＝，
∴3CD＝，
∴CD＝；
∴DE＝；
②∵将△ACD沿AD所在直线折叠，点C恰好落在边AB上的E点处，
∴∠CAD＝∠BAD，CD＝DE，∠C＝∠AED＝α，
∴tan∠C＝tanα＝，
由（1）可知，，
∴tanα＝，
∴BD＝CD•tanα，
又∵BC＝BD+CD＝m，
∴CD•tanα+CD＝m，
∴CD＝，
∴DE＝．
八．列表法与树状图法（共1小题）
11．（2023•湖北）打造书香文化，培养阅读习惯．崇德中学计划在各班建图书角，开展“我最喜欢阅读的书篇”为主题的调查活动，学生根据自己的爱好选择一类书籍（A：科技类，B：文学类，C：政史类，D：艺术类，E：其他类）．张老师组织数学兴趣小组对学校部分学生进行了问卷调查，根据收集到的数据，绘制了两幅不完整的统计图（如图所示）．

根据图中信息，请回答下列问题；
（1）条形图中的m＝　18　，n＝　6　，文学类书籍对应扇形圆心角等于 　72　度；
（2）若该校有2000名学生，请你估计最喜欢阅读政史类书籍的学生人数；
（3）甲同学从A，B，C三类书籍中随机选择一种，乙同学从B，C，D三类书籍中随机选择一种，请用画树状图或者列表法求甲乙两位同学选择相同类别书籍的概率．
【答案】（1）18，6，72；
（2）估计最喜欢阅读政史类书籍的学生人数约为480人；
（3）．
【解答】解：（1）调查的学生人数为：4÷8%＝50（人），
∴m＝50×36%＝18，
∴n＝50﹣18﹣10﹣12﹣4＝6，
文学类书籍对应扇形圆心角＝360°×＝72°，
故答案为：18，6，72；
（2）2000×＝480（人），
答：估计最喜欢阅读政史类书籍的学生人数约为480人；
（3）画树状图如下：

共有91种等可能的结果，其中甲乙两位同学选择相同类别书籍的结果有2种，即BB、CC，
∴甲乙两位同学选择相同类别书籍的概率为．